一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．B．C．D．
3．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知角頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則它的終邊過點若將角的終邊繞坐標(biāo)原點順時針旋轉(zhuǎn)得到角，則（ ）
A．B．C．D．
5．將一個底面半徑為2，高為的圓錐形石材打磨成一個球，則該球表面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
6．甲乙兩人參加一項戶外挑戰(zhàn)賽，該挑戰(zhàn)賽設(shè)置了多道關(guān)卡，已知兩人是否通過某道關(guān)卡是相互獨立的，且兩人中至少有一人通過當(dāng)前關(guān)卡，才有資格同時進(jìn)入下一關(guān)挑戰(zhàn)，否則挑戰(zhàn)結(jié)束.已知在第一關(guān)中甲乙兩人通過的概率分別為，若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知橢圓分別為橢圓的左右焦點，離心率為，點為直線上的一點.當(dāng)?shù)耐饨訄A周長取最小值時，該圓的半徑為（ ）
A．1B．2C．4D．8
8．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的有（ ）
A．的展開式中，的系數(shù)是
B．的展開式中，各二項式系數(shù)和為
C．從名男生，名女生中選名學(xué)生參加志愿者服務(wù)，表示參加志愿服務(wù)的男生人數(shù)，則
D．有個不同的正因數(shù)
10．如圖，直線與函數(shù)的部分圖象交于三點（點在軸上），若，則下列說法正確的是（ ）

A．
B．
C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象
D．當(dāng)時，
11．已知是雙曲線：的左右焦點，過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，和的內(nèi)切圓半徑分別為.設(shè)點為的內(nèi)心，的面積為，的面積為，的面積為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．雙曲線的離心率
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量.若，則 .
13．已知數(shù)列滿足，則 .
14．已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象有且僅有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知分別為的內(nèi)角的對邊，且，點為邊的中點，若，且.
(1)求；
(2)求的面積.
16．已知拋物線的焦點為，點在直線上，是拋物線上兩個不同的點.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線的斜率為，若，證明：直線過定點，并求定點坐標(biāo).
17．如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，為邊的中點，.

(1)求證：；
(2)已知二面角的平面角等于，則在線段上是否存在點，使得到平面的距離為，若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.
18．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)令，當(dāng)時，求的極值點個數(shù)；
(3)令，當(dāng)有且僅有兩個零點時，求的取值范圍.
19．“外觀數(shù)列”設(shè)各位上的數(shù)字均不為是指以下特點的整數(shù)序列：它以正整數(shù)開始，逐項地描述前一項的外觀，將描述結(jié)果作為下一項．比如外觀數(shù)列為：
第一項：
第二項：描述第一項為個
第三項：描述第二項為個個
第四項：描述第三項為個個個
第五項：描述第四項個個個．
(1)求“外觀數(shù)列”的第三項和第五項；
(2)若從“外觀數(shù)列”中隨機選取一個數(shù)列，求該數(shù)列第二項小于第一項的概率；
(3)證明：當(dāng)是六位數(shù)時，“外觀數(shù)列”從首項開始最多連續(xù)項單調(diào)遞減．
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由，得，所以，
故選：D.
2．【答案】C
【詳解】由 ．
故選：C
3．【答案】B
【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域為，
若函數(shù)為奇函數(shù)，則，
可得，
所以.
故選：B.
4．【答案】C
【詳解】由題意，
則.
故選：C
5．【答案】A
【詳解】由題意可得圓錐的母線長為，所以圓錐的軸截面是等邊三角形，
將圓錐形石材打磨成一個球，要使球的表面積的最大，則球的半徑要最大，
此時球是圓錐的內(nèi)切球，設(shè)等邊三角形的內(nèi)切球的半徑為，
由等邊三角形的性質(zhì)可得，所以，
所以球的表面積為.
故選：A.
6．【答案】D
【詳解】在第一關(guān)中甲乙兩人通過的事件分別為，兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)的事件為，
則，，，
所以若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率.
故選：D
7．【答案】C
【詳解】

設(shè)的外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上
又在上，在軸上
，即當(dāng)?shù)耐饨訄A的半徑為時，周長取最小值，
由題意可知，，即，所以該圓的半徑為4.
故選：C.
8．【答案】B
【詳解】因為，所以，
因為當(dāng)時，不等式恒成立，
即當(dāng)時，不等式恒成立，
所以當(dāng)時，不等式恒成立，
即當(dāng)時，不等式恒成立，
即當(dāng)時，不等式恒成立，
即當(dāng)時，不等式恒成立，
設(shè)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
可以轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
即對恒成立，
即對恒成立，即，.
設(shè)，，則，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，又，，顯然，
所以，所以，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
9．【答案】BCD
【詳解】由展開式的通項公式為，
令時，展開式中的系數(shù)為，A錯誤；
由的展開式中，可得各二項式系數(shù)和為，B正確；
由題意，從名男生和名女生中任選名參加活動，共有種不同選法，
的取值為、、，，，，
所以，C正確；
因為，所以有個不同的正因數(shù)，D正確．
故選：BCD
10．【答案】AD
【詳解】對A，由過可得，即，由圖結(jié)合可得，故A正確；
對B，由可得，即或，
由相鄰可得，，
故，又，則，可得，故B錯誤；
對C，由AB可得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，故C錯誤；
對D，當(dāng)時，，故，
則，故D正確.
故選：AD
11．【答案】BCD
【詳解】對于A，如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓與的三邊分別切與點，
則由雙曲線定義可得，又由內(nèi)切圓性質(zhì)可得：，
又，則，，所以，
又，即，
則，故A錯誤；
對于B，設(shè)，，
所以為等腰三角形，則點為的中點，
則，，
所以，即得，所以雙曲線離心率為，故B正確；
對于C，由B可知：，，
則.因為內(nèi)切圓半徑為，
所以，
由等面積法可知，，
整理得，即，
設(shè)，，，又由可知為等腰三角形，
則，所以，
由余弦定理可得：，
整理得：，即，即，，
又等面積法可得：，
即，即，
則，故C正確；
對于D，所以，故D正確，
故選：BCD.
12．【答案】
【詳解】，，
因為，所以，即.
故答案為：.
13．【答案】；
【詳解】由，可得，
所以，
兩式相減得，
所以，
當(dāng)時，，所以，適合上式，
所以.
故答案為：.
14．【答案】.
【詳解】當(dāng)時，則，令，
求導(dǎo)可得，令，解得，可得下表：
由函數(shù)的極大值為，則存在唯一零點，
所以函數(shù)與函數(shù)在上有且僅有一個交點；
當(dāng)時，，令，
求導(dǎo)可得，顯然上，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
由，則函數(shù)在上存在唯一零點，
所以函數(shù)與函數(shù)在上有且僅有一個交點；
由題意可得函數(shù)與函數(shù)在上有且僅有一個交點，
當(dāng)時，，令，
令，整理可得，
當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)解時，，解得，
此時，符合題意，
當(dāng)方程在有一個實數(shù)根時，可得，解得，
綜上可得.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），利用正弦定理可得
，
又，
故，
即，
因為，所以，故，
由輔助角公式得，
又，故，
即，所以；
（2），故，
由余弦定理得，
由為中點，化簡得，
，故，
又，所以，
又，故，
將代入上式得，即，
解得，負(fù)值舍去，
則的面積為
16．【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）的焦點在軸上，為，
直線與軸的交點坐標(biāo)為，
則，即
所以拋物線為
（2）法一：由題意可知所在直線斜率不為0，
設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，化簡可得：
，
則，
又
則，滿足（*）式
即直線恒過點
法二：當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，
所以，所以，所以直線的方程為；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)所在直線方程為
，聯(lián)立，化簡可得：，
由題意可知即（*）；
由韋達(dá)定理知，
所以，
所以，滿足（*）式；
所以所在直線方程為
綜上，直線恒過點
17．【答案】(1)證明見解析
(2)存在，為中點
【詳解】（1）因為，為邊的中點，所以，
又在中，，
由余弦定理可得，即，則，
又為平行四邊形，所以，則，
又平面底面，平面底面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）法一：取的中點，又，

所以，
又平面底面，
所以底面，
所以，
而，
所以即為二面角的平面角，，
又為直角三角形，，
所以，
設(shè)在線段上存在點，使得到平面的距離為，且，
為直角三角形，，
，
又，
解得，即為中點.
法二：取的中點，又，

所以，
又平面底面，
所以底面，
又，所以，
所以兩兩垂直.
如圖，以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系：
，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，
又平面的一個法向量為，
則，得，即.
則平面的一個法向量為，
設(shè)，則，
則，
解得，
即為中點.
18．【答案】(1)答案見解析
(2)兩個極值點.
(3)或
【詳解】（1）的定義域為，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時，由，得，
由，得，
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），
令
當(dāng)時，時單調(diào)遞減，
時，單調(diào)遞增，，
又時，，
所以分別在和上存在唯一的變號零點，
即有兩個極值點.
（3），
又為一個零點，
①若，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以只有一個零點.
②若，令
又，則，即單調(diào)遞增，
i.當(dāng)時，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，的最小值為，函數(shù)只有一個零點.
ii.當(dāng)時，即，當(dāng)時，，
所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增.
又時，，所以有兩個零點.
iii.當(dāng)時，即，當(dāng)時，，
所以存在唯一，使得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
又時，，所以有兩個零點.
所以，有且僅有兩個零點時，或.
19．【答案】(1)第三項為第五項為
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）根據(jù)“外觀數(shù)列”的定義得到，第三項為第五項為；
（2）為一位數(shù)時，第項為兩位數(shù)，不符合；
為兩位數(shù)時，即為時，第二項為當(dāng)大于時第二項小于第一項，此時有個符合.當(dāng)由兩種不同的數(shù)字構(gòu)成時，第二項為四位數(shù)，不符合；
為三位數(shù)時，即為時，第二項為第二項小于第一項，此時有個符合.當(dāng)由兩種或三種數(shù)字構(gòu)成時，第二項為四位數(shù)或六位數(shù)，不符合．
綜上，總共有個數(shù)列符合，在所有數(shù)列中含的數(shù)有個，故總數(shù)為個，故第二項小于第一項的概率為．
（3）證明：定義一個數(shù)列中連續(xù)相同若干個數(shù)字為一個數(shù)字串，數(shù)列中第項為．
若只有一個數(shù)字串，即則.若則為位數(shù)若則兩種都不存在連續(xù)項單調(diào)遞減．
若只有兩個數(shù)字串，即則
若則至少三個數(shù)字串至少是位數(shù)不存在連續(xù)項單調(diào)遞減
若此時同理或否則
若則當(dāng)時
當(dāng)時兩種都不存在連續(xù)項單調(diào)遞減
若則
若則不符合題意
若則此時存在連續(xù)項單調(diào)遞減
若只有三個數(shù)字串，即
若則至少四個數(shù)字串不存在連續(xù)項單調(diào)遞減；
當(dāng)時，同理或或；
若則同理或又時矛盾，
若與矛盾.若則
同理或又時矛盾，若則不存在連續(xù)項單調(diào)遞減.同理可得和不存在連續(xù)項單調(diào)遞減．
若有四個以上數(shù)字串，則不存在連續(xù)項單調(diào)遞減所以當(dāng)是六位數(shù)時，“外觀數(shù)列”從首項開始最多連續(xù)項單調(diào)遞減．單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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