一、單選題（本大題共8小題）
1．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．已知均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
5．同時(shí)滿足：①偶數(shù)；②沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；③個(gè)位數(shù)不為0，這三個(gè)條件的數(shù)有（ ）
A．64個(gè)B．128個(gè)C．196個(gè)D．256個(gè)
6．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知過原點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于，兩點(diǎn)（為圓心），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)分別為，離心率分別為是的一個(gè)公共點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，則（ ）
A．B．2C．D．3
二、多選題（本大題共3小題）
9．近些年食品安全問題日益突出，為了達(dá)到宣傳食品安全防范意識(shí)的目的，某市組織全市中學(xué)生食品安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．某高中采用分層抽樣的方式從該校的高一?二?三年級(jí)中抽取10名同學(xué)作為代表隊(duì)參賽，已知該校高一?二?三年級(jí)的人數(shù)比例為，統(tǒng)計(jì)并記錄抽取到的10名同學(xué)的成績(jī)（滿分100分）為：，則（ ）
A．中位數(shù)為90B．分位數(shù)為92
C．方差為58D．代表隊(duì)中高三的同學(xué)有4人
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為2
B．為圖象的一條對(duì)稱軸
C．在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減
D．在區(qū)間上恰有8個(gè)零點(diǎn)
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，則（ ）
A．
B．是奇函數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，
D．（，且）
三、填空題（本大題共3小題）
12．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
13．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則 ．
14．光學(xué)是物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域，點(diǎn)光源是抽象化的物理概念，指從一個(gè)點(diǎn)向周圍空間均勻發(fā)光的光源.如圖1所示，有一點(diǎn)光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出長(zhǎng)方形的影像，此時(shí)點(diǎn)光源發(fā)光所形成的空間圖形是以為頂點(diǎn)，以長(zhǎng)方形為底面的四棱錐.已知，，，直線平行于屏幕邊界.如圖2所示，將圖1的屏幕以直線為旋轉(zhuǎn)軸向箭頭方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，屏幕上映出的影像從長(zhǎng)方形變成了梯形，則四棱錐的體積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在幾何體中，為等邊三角形，底面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，記平面和平面的交線為．
(1)證明：直線平面；
(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若，求的取值范圍.
17．已知甲和乙配合做壓軸題，從4道壓軸題（每題均為2問）中隨機(jī)選擇3道，甲做第一問，乙做第二問.4道題中甲會(huì)做其中3道題的第一問，若甲能做出第一問，則乙做出第二問的概率是；若甲做不出第一問，則乙也做不出第二問．
(1)求甲和乙配合做出2道題的概率；
(2)記甲和乙配合做出題目的個(gè)數(shù)為，求的分布列和期望．
18．已知數(shù)列滿足，且．
(1)證明：；
(2)證明：；
(3)證明：．（附：當(dāng)時(shí)，）
19．給定平面上一些點(diǎn)的集合D及若干個(gè)點(diǎn)若對(duì)于為定值，我們就稱為一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)集.
(1)判斷集合與點(diǎn)構(gòu)成的是不是穩(wěn)定點(diǎn)集，并說明理由；
(2)判斷集合以及點(diǎn)構(gòu)成的是不是穩(wěn)定點(diǎn)集，并說明理由；
(3)若集合及單位圓中的內(nèi)接2024邊形的頂點(diǎn)，，，構(gòu)成的是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)集，求的值.
參考答案
1．【答案】A
【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以所求的否定是：.
故選：A
2．【答案】C
【詳解】依題意，，則
所以.
故選：C
3．【答案】C
【詳解】由向量，得，
所以在上的投影向量為.
故選：C
4．【答案】D
【詳解】由均為正數(shù)，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.
故選：D
5．【答案】D
【詳解】個(gè)位數(shù)的選擇：由于是偶數(shù)且個(gè)位不能為0，個(gè)位只能是2、4、6、8中的一個(gè)，共有4種選擇.
百位數(shù)的選擇：百位不能為0，且不能與個(gè)位數(shù)字重復(fù).因此，對(duì)于每個(gè)個(gè)位數(shù)，百位有8種選擇（1-9中排除個(gè)位數(shù)）.
十位數(shù)的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個(gè)位已經(jīng)使用的數(shù)字，剩下的8種選擇.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理同時(shí)滿足題設(shè)三個(gè)條件得數(shù)得總個(gè)數(shù)為 種.
故選：D.
6．【答案】C
【詳解】.
故選：C
7．【答案】B
【詳解】設(shè)直線l的方程為：，
圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，
所以，
當(dāng)時(shí)，面積S最大，這時(shí)，整理得，解得，
所以直線的斜率為．
故選：B
8．【答案】A
【詳解】由，得，，
由，得，在中，，
由余弦定理得，
由橢圓定義得，即，
由雙曲線定義得，即，
所以.
故選：A
9．【答案】AC
【詳解】將10名同學(xué)的成績(jī)從小到大排列為：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100，
對(duì)于A，中位數(shù)為，A正確；
對(duì)于B，由，得分位數(shù)為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，平均數(shù)為，
方差 ，C正確；
對(duì)于D，由分層抽樣，得高三年級(jí)的同學(xué)有人，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，的最小正周期為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則為圖象的一條對(duì)稱軸，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，
在上遞減，因此在區(qū)間上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減，C正確；
對(duì)于D，由，得，解得，
由，解得，
而，
，因此的整數(shù)值有8個(gè)，D正確.
故選：BCD
11．【答案】ACD
【詳解】A：令，則，對(duì)；
B：令，則，故，
而且，若，則，錯(cuò)；
C：當(dāng)，則，
若，，則，所以，
即，即是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
故，所以，對(duì)；
D：令，，則，即，所以，
令，則，所以且，則，
所以，即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，則，
所以，又且，則，，
所以，對(duì).
故選：ACD
12．【答案】
【詳解】拋物線化為：，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：
13．【答案】
【詳解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得.
故答案為：
14．【答案】72
【詳解】重新作出棱錐，如圖，分別在上且，平面與平面所成二面角是，
，因?yàn)椋?br>是矩形，則是中點(diǎn)，也是中點(diǎn)，
所以，又因?yàn)槠矫?，?br>所以平面，
取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，，，，
又因?yàn)?，平面?br>所以平面，而平面，所以，
設(shè)，連接，
所以是平面與平面所成二面角的平面角，即，
易得，，，
，，
所以，，即，，
所以，從而，
中由正弦定理有，，
所以，解得，同理得，
所以是中點(diǎn)，所以是的中位線，，
又平面，平面，
所以平面平面，又平面平面，
過作平面的垂直，則垂足在上，
，
所以，
從而到平面的距離為，
，
所以，
故答案為：72．
15．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在等腰梯形中，由，得，而為的中點(diǎn)，
則，四邊形為平行四邊形，于是，又平面平面，
因此平面，而平面，平面平面，則，
又平面，所以直線平面.
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，由平面平面，
平面平面，平面，得平面，
而平面，則，由為等邊三角形，得，
以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，
因此，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>，令，解得或（舍去），
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，解得，即；
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>，令，解得（舍去）或，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，解得，即.
綜上所述，的取值范圍是.
17．【答案】(1)；
(2)分布列見解析，期望為.
【詳解】（1）甲乙配合做出2道題的事件為，則需要抽中2個(gè)或3個(gè)甲會(huì)做的題，且乙做對(duì)其中2道，
因此，
所以甲和乙配合做出2道題的概率為．
（2）依題意，隨機(jī)變量可能的取值為，
可得，
，
，．
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）由題意可得.
構(gòu)造函數(shù)，
則，在單調(diào)遞增.
所以，即任意時(shí)，.
，，且，
且，
故.
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，，
則當(dāng)時(shí)，，
且，所以，
綜合①②可知，對(duì)任意，成立.
，，
由，則，即，
， 數(shù)列為遞增數(shù)列，
，即.
（3）要證，由，故即證.
當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，由題附結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
由，故在式兩邊同除以得，
所以，即，
，，
由，可得數(shù)列是正項(xiàng)遞減數(shù)列，又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)遞增數(shù)列，
所以，
則
，
又，
，
，
綜上所述，對(duì)任意，都有，
故，得證.
19．【答案】(1)不是，理由見解析
(2)是，理由見解析
(3)0
【詳解】（1）不是穩(wěn)定點(diǎn)集，理由如下：
取，則；
取，則，
故不是穩(wěn)定點(diǎn)集.
（2）是穩(wěn)定點(diǎn)集，理由如下：
設(shè)，，則，
則
，為定值，
故是穩(wěn)定點(diǎn)集.
（3）因?yàn)槭欠€(wěn)定點(diǎn)集，設(shè)是單位圓上任意一點(diǎn)，所以為定值，
所以，
因?yàn)?，故?br>因?yàn)闉槎ㄖ?，所以為定值?br>因?yàn)槭菃挝粓A上任意一點(diǎn)，所以，故.0
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2
3

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