一、單選題（本大題共8小題）
1．若，則復數(shù)的虛部為（ ）
A．B．1C．D．
2．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．在高三某次調(diào)研考試時，某學習小組對本組6名同學的考試成績進行統(tǒng)計，其中數(shù)學試卷上有一道滿分為12分的解答題，6名同學的得分按從低到高的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)極差，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（ ）
A．7B．7C．9D．10
4．正項等比數(shù)列中，是其前項和，若，則（ ）
A．63B．56C．52D．42
5．已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
6．正方體的棱長為1，為棱的中點，點在面對角線上運動（點異于點），以下說法錯誤的是（ ）

A．平面
B．
C．直線與平面所成角的余弦值為
D．三棱錐的體積為
7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
8．若不等式對一切恒成立，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則的可能取值為（ ）
A．B．C．1D．2
二、多選題（本大題共3小題）
9．坐位體前屈（Sit And Reach）是一種體育鍛煉項目，也是大中小學體質(zhì)健康測試項目，通常使用電動測試儀進行測試，為鼓勵和推動學生積極參加體育鍛煉，增強學生體質(zhì)，我國于2002年開始在全國試行《學生體質(zhì)健康標準》，坐位體前屈屬于該標準規(guī)定的測試內(nèi)容之一，已知某地區(qū)進行體育達標測試，統(tǒng)計得到高三女生坐位體前屈的成績（單位：cm）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機抽取3人，記在區(qū)間的人數(shù)為，則正確的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的三個交點，其橫坐標分別是，則正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則的單調(diào)減區(qū)間為
C．若，則
D．若，且，點的橫坐標為，則
11．已知曲線為上一點，則以下說法正確的有（ ）
A．存在點，使得
B．的取值范圍為
C．若的值與無關(guān)，且，則取值范圍為
D．若的值與無關(guān)，則其最小值為．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知拋物線的焦點為，點在上，且，則到軸的距離為 ．
13．已知平面向量滿足，則 ．
14．三棱錐中，平面，平面內(nèi)動點的軌跡是集合，已知，且在所在直線上，．則三棱錐外接球的表面積為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若為的中點，在下列兩個條件中任選一個，求的長度．
條件①：的面積，且，
條件②：
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
16．已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有極小值，且的極小值小于，求實數(shù)的取值范圍．
17．第九屆亞洲冬季運動會在哈爾濱圓滿落下帷幕．在這場盛大的亞洲冰雪盛會中，獎牌榜見證了各國運動員的榮耀與拼搏．中國隊以32金27銀26銅，總計85枚獎牌的傲人成績，強勢登頂獎牌榜，成為最大贏家．這一成績不僅創(chuàng)造了中國隊亞冬會歷史最佳，更是追平了單屆金牌數(shù)紀錄，書寫了中國冰雪運動的嶄新篇章．冰球深受廣大球迷的喜愛，每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現(xiàn)有一支冰球隊，其中甲球員是其主力隊員，經(jīng)統(tǒng)計該球隊在某階段所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表：
(1)完成列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān)聯(lián)？
(2)由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員上場時，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊贏球的概率分別為0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）當甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；
（ⅱ）當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率．
附：．
18．已知橢圓的左，右焦點分別為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點（其中點在軸上方）．

(1)為橢圓上頂點時求的面積；
(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．
（?。┤簦螽惷嬷本€和所成角的余弦值；
（ⅱ）是否存在，使得折疊后與距離與折疊前與距離之比為？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
19．已知正項數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，其中為非零常數(shù)．
(1)若，求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：；
(3)若且，從（且）中任取兩個數(shù)，記事件A：“取出的兩個數(shù)是無理數(shù)且中間僅包含一個整數(shù)”，其概率為，若，求正整數(shù)的最小值．公式：（其中為正整數(shù)）．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】由，可得：，
所以復數(shù)的虛部為1.
故選：B
2．【答案】D
【詳解】集合，
，
則.
故選：D.
3．【答案】D
【詳解】已知數(shù)據(jù)，，，，10，12，數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，所以中位數(shù)是中間兩個數(shù)和的平均數(shù)，即中位數(shù)為.
極差是最大值12減去最小值，即極差為.
因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)的極差，所以.可得：.
此時這組數(shù)據(jù)為，，，10，10，12.
計算，所以第60百分位數(shù)是第個數(shù)，即10.
故選：D.
4．【答案】D
【詳解】正項等比數(shù)列中，是其前項和，
若，則，所以或，
因為，所以，所以，
又因為，所以，
則.
故選：D.
5．【答案】C
【詳解】已知，且，
則，所以，
則.
故選：C.
6．【答案】C
【詳解】

連接，因為分別是中點，所以平面，平面，所以平面，A選項正確；

如圖建系，設(shè)，
所以，
所以，B選項正確；
設(shè)，設(shè)平面法向量為，，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以，C選項錯誤；
設(shè)平面法向量為，
因為，所以，
所以，令，則，
因為，所以，
所以點到平面的距離為，
所以三棱錐的體積為，D選項正確.
故選：C.
7．【答案】A
【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，
且，，
所以，即，
解得，得到，其定義域關(guān)于原點對稱，
此時，
，
故是偶函數(shù)，符合題意，
而，
令，，令，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，且，得到，
而由偶函數(shù)性質(zhì)得，
而，則，
得到成立，故A正確.
故選：A
8．【答案】A
【詳解】不等式可化為，
令，
當時，，此時，直線恒過點，
故只需直線為在點處的切線即可，，此時．
當時，亦恒過點，為使，對一切恒成立，
需開口向下，且在點處與有公切線即可，
故，此時．
綜上，的取值范圍是，所以的可能取值為.
故選：A.
9．【答案】AB
【詳解】對于A，由，得，
則，A正確；
對于B，由A知，在區(qū)間的概率為，，，
因此，B正確；
對于C，由B知，，因此，C錯誤；
對于D，，D錯誤.
故選：AB
10．【答案】ABD
【詳解】對于A，觀察圖象知，函數(shù)的最小正周期，因此，A正確；
對于B，函數(shù)的一個最大值點為，右側(cè)相鄰最小值點，
則函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，B正確；
對于C，，當時，由，得，
由或或，得或或，
而均在區(qū)間內(nèi)，C錯誤；
對于D，由，得，由并結(jié)合圖象得
，則，解得，，
又，且在的一個減區(qū)間內(nèi)，則，解得，
因此，，D正確.
故選：ABD
11．【答案】BCD
【詳解】我們首先對曲線的方程化簡，得到，
對于A，若點在曲線上時，
有，此時，不可能有；
當點在曲線上時，曲線的漸近線方程，
當點在上時，曲線的漸近線方程，
如圖，因為直線與漸近線方程平行，
則不存在點，使得，故A錯誤；
對于B，因為可看作到
直線的距離的倍，
因為直線與平行，
且之間的距離為1，故，
由圖可知，當點在曲線上時，
點到直線的距離有最大值，
設(shè)，
點到直線的距離為，
結(jié)合余弦函數(shù)有界性可得，
當且僅當?shù)忍柍闪?，即?br>則的取值范圍為，故B正確．
對于C，設(shè)
由
得表示點到直線和的距離之和的倍，
的值與無關(guān)，則該曲線在兩平行線和之間，
當與曲線橢圓部分相切時，
聯(lián)立得，且，解得或，
所以的范圍為，故C正確；
對于D，當為漸近線為
與曲線橢圓部分相切的直線時，
的值最小，
由平行線間距離公式得與的距離，
則，
且，故D正確．
故選：BCD
12．【答案】/
【詳解】在拋物線中，，則，所以準線方程為.
設(shè)點的坐標為，由拋物線的定義，已知，即點到焦點的距離為，那么點到準線的距離也為.
點到準線的距離為，所以.
解方程，可得.
點到軸的距離就是點橫坐標的絕對值，因為，所以點到軸的距離為.
故答案為：.
13．【答案】/
【詳解】因為，所以，得到，
即，而，
故，解得.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】以中點為原點建立直角坐標系，不妨設(shè)，
設(shè)，由可得，，
化簡得：，此即點的軌跡方程，其中，
，故外接圓半徑為4，
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，球心為，取的中點，
點即的外接圓圓心，連接，作于點，
則平面，在中，，
則，
在中，可得：，解得，
所以.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，
由正弦定理得，
，
．
（2）若選條件①：
∵的面積，，，
，
，
為的中點，，
在中，，
．
若選條件②：
，
由正弦定理得，，
，解得或（舍），
為的中點，，
在中，，
．
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當時，，則，所以，
因為，所以在處的切線方程為．
（2）因為，其中，
則，
①當時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極小值，
②當時，令，可得，列表如下：
所以，
由題意可得，即，
令，則．
因為，當?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以由，得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
17．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)
(2)（ⅰ）0.78；（ⅱ）
【詳解】（1）根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：
零假設(shè)：球隊勝負與甲球員是否上場無關(guān)
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為球隊勝負與甲球員是否上場有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.025．
（2）甲球員上場時，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊贏的概率分別為0.7，0.9，0.5
（?。┰O(shè)事件：“甲球員上場打邊鋒”，事件：“甲球員上場打中鋒”
事件：“甲球員上場打后衛(wèi)”，事件：“球隊贏球”
則
所以當甲球員上場參加比賽時，球隊贏球的概率
當甲球員上場參加比賽時，求球隊勝的概率0.78
（ⅱ）當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率
．
當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率
18．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，
【詳解】（1）由橢圓方程知
當為橢圓上頂點時，又，直線的方程為
由知，
．
（2）（?。r在折疊前圖中，直線方程為，
由（1）可知此時
折疊后仍以軸為軸，軸原位置仍為軸，折疊后軸的正方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，
則
，
所以異面直線和所成角的余弦值為；

（ⅱ）折疊前設(shè)，直線
由知，
折疊后按（?。┲凶鴺讼?br>由知
或（舍去）
，故存在
19．【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)19
【詳解】（1）由知為等差數(shù)列，
（2）根據(jù)遞推關(guān)系可得：
所以
，
因此
（3）由（2）中結(jié)論且可得；
又，即可得，
因此，即可得；
又，即，即可知；
所以，即，
因此此時；
數(shù)列中無理數(shù)項對應(yīng)的為非平方數(shù)項，符合條件的無序?qū)橄噜弲^(qū)間和中的無理數(shù)項對，
即在區(qū)間和上分別任取一個無理數(shù)構(gòu)成無理數(shù)項對，
相鄰兩區(qū)間上符合題意的無理數(shù)項對為；
因此總對數(shù)共有
；
從（且）中任取兩個數(shù)共有，
因此，
即，
解得或 ，又，
所以
因此正整數(shù)的最小值為19.甲球員是否上場
球隊的勝負情況
合計
勝
負
上場
38
45
未上場
3
合計
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.741
5.024
6.635
10.728
-
0
+
遞減
極小值
遞增
甲球員是否上場
球隊的勝負情況
合計
勝
負
上場
38
7
45
未上場
2
3
5
合計
40
10
50

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