江蘇無錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高一（下）數(shù)學(xué)第4周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)【含答案】

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1．已知，，則csα＝（ ）
A．B．C．D．
2．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，則AD1與A1C1所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
3．在銳角△ABC中，，AC＝4，則BC的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
已知，且．則α+β的值為（ ）
A．B．C．D．
5．若△ABC中，，若該三角形有兩個(gè)解，則x范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知M＝sin100°﹣cs100°，，（1+tan23°），那么M，N，P之間的大小順序?yàn)椋? ）
A．M＜N＜PB．P＜M＜NC．N＜M＜PD．P＜N＜M
7．已知，且，則tanθ＝（ ）
A．B．C．D．或
8．△ABC中，BC＝2，，∠ACB＝90°，D為線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BA，AC上．若△DEF為正三角形，則△DEF的面積為（ ）
A．B．C．D．
9．已知，則sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
10．在△ABC中，若，則AC＝（ ）
A．B．C．D．
11．若，則＝（ ）
A．B．2C．﹣2或D．或2
12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c﹣b＝2bcsA，則的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，2）B．C．D．（2，3）
二．多選題（共3小題）
（多選）13．對(duì)于△ABC有如下命題，其中正確的是（ ）
A．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，則△ABC為鈍角三角形
B．若，，且△ABC有兩解，則b的取值范圍是
C．在銳角△ABC中，不等式sinA＞csB恒成立
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
（多選）14．如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角，C是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形，記∠POC＝α．則下列說法正確的是（ ）
A．弧PQ的長為
B．扇形OPQ的面積為
C．當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積為
D．矩形ABCD的面積的最大值為
（多選）15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是（ ）
A．若bcsC+ccsB＝b，則△ABC是等腰三角形
B．若a＝2，b＝3，A＝30°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)
C．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形
D．若sin2B+sin2C＝sin2A，則△ABC為直角三角形
三．填空題（共4小題）
16．計(jì)算：＝ ．
17．已知，則sin2x＝ ．
18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bcsA＝a+2c，且b＝4，則△ABC面積的最大值為 ．
19．已知2sinβ﹣csβ+2＝0，sinα＝2sin（α+β），則tan（α+β）＝ ．
四．解答題（共4小題）
20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3sinC＝sinB（sinA﹣csA）．
（1）若b＝15c，求的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，求證：；
（3）若△ABC的面積為，求邊AC的最小值．
21．已知函數(shù)．
（1）若，求α的值；
（2）若，求的值．
22．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若D為AB的中點(diǎn)，且，求cs∠ACB．
23．在凸四邊形ABCD中，DC＝2AD．
（1）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，，求四邊形ABCD的面積；
（2）若，求的值．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．【解答】解：∵α∈（，），∴α+∈（，），
∵，∴cs（α+）＝﹣，
則csα＝cs（α+﹣）＝cs（α+）cs+sin（α+）sin＝﹣×+＝，
故選：A．
2．【解答】解：如圖，連接AC，CD1．
在長方體中，因?yàn)锳1C1∥AC，所以AD1與A1C1所成角等于AD1與AC所成的角；
在△ACD1中，，
由余弦定理得＝．
故選：D．
3．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，
∴，
在銳角△ABC中，，則，∴，
∴，則，
故．
故選：B．
4．【解答】解：因?yàn)椋?br>所以sin（α+β+α）＝4sin（α+β﹣α），
所以sin（α+β）csα+sinαcs（α+β）＝4sin（α+β）csα﹣4sinαcs（α+β），
即3sin（α+β）csα＝5sinαcs（α+β），
所以tan（α+β）＝tanα，
由10tan＝（1﹣tan2），可得＝＝tanα，
所以tan（α+β）＝tanα＝，
因?yàn)椋?br>所以0＜α+β＜π，
則α+β＝．
故選：A．
5．【解答】解：由正弦定理，可得＝，
所以sinB＝，
因?yàn)樵撊切斡袃蓚€(gè)解，
所以＜1且x＜，
解得＜x＜，則x范圍是．
故選：D．
6．【解答】解：由題意可得：M＝＝＝＝1，
N＝＝，
又tan（22°+23°）＝，
可得tan22°+tan23°+tan22°tan23°＝1，
可得＝＝1，
所以P＜M＜N．
故選：B．
7．【解答】解：∵，
∴cs2θ﹣sin2θ＝，
即＝，
∴＝，
∴tan2θ＝，
∵，
∴tanθ＝．
故選：A．
8．【解答】解：設(shè)∠CDF＝θ，則∠BDE＝120°﹣θ，在△ABC中，BC＝2，，∠ACB＝90°，
在△DCF中，，∠DCF＝90°，
在△DEB中，∠EBD＝60°，∠DEB＝θ，則，
所以，
由題，△DEF為正三角形，所以DF＝DE，即，
所以，所以，所以，
從而△DEF的面積為．
故選：C．
9．【解答】解：因?yàn)椋?﹣2sin2α，
所以sin2α＝．
故選：C．
10．【解答】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，若，
所以由正弦定理，可得＝，
解得AC＝2．
故選：D．
11．【解答】解：因?yàn)椋剑砜傻?tan2α+3tanα﹣2＝0，
解得tanα＝﹣2或，
則＝＝＝2．
故選：B．
12．【解答】解：因?yàn)閏﹣b＝2bcsA，則由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcsA，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB﹣sinB＝2sinBcsA，
則sinB＝sinAcsB﹣sinBcsA＝sin（A﹣B），
所以B＝A﹣B，即A＝2B，則C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B，
所以，解得0＜B＜，則，
所以＝＝
＝＝
＝＝2csB+1∈（2，3），
則的取值范圍是（2，3）．
故選：D．
二．多選題（共3小題）
13．【解答】解：A中，由題意可得sin2A+sin2B＜1﹣cs2C＝sin2C，
由正弦定理可得a2+b2＜c2，
由余弦定理可得csC＝＜0，
又因?yàn)镃∈（0，π），所以角C為鈍角，即該三角形為鈍角三角形，所以A正確；
B中，B＝，a＝2，若三角形有兩解，
則asinB＜b＜a，即3＜b＜2，所以B不正確；
C中，在銳角三角形中，A+B＞，即＞A＞﹣B，可得sinA＞sin（﹣B）＝csB，所以C正確；
D中，△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accsB＝bc，
可得（a﹣c）2＝0，可得a＝c，所以△ABC必是等邊三角形，所以D正確．
故選：ACD．
14．【解答】解：對(duì)于A，由題意知，弧PQ的長為，A正確；
對(duì)于B，扇形OPQ的面積為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在Rt△OBC中，OB＝OC?csα＝csα，BC＝OC?sinα＝sinα，
在Rt△OAD中，，，
則ABCD的面積，
當(dāng)時(shí)，由，得，，C正確；
對(duì)于D，，
當(dāng)，即時(shí)，矩形ABCD的面積取最大值，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
15．【解答】解：對(duì)于A，由正弦定理得，sinBcsC+sinCcsB＝sinB，
即sinB＝sin（B+C）＝sinA，則A＝B，△ABC是等腰三角形，故A正確；
對(duì)于B：由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，即，
整理得，解得c＝，所以符合條件的△ABC有兩個(gè)，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)锳，B∈（0，π），0＜2A＜2π，則0＜2B＜2π，又sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由sin2B+sin2C＝sin（B+C+B﹣C）+sin（B+C﹣（B﹣C））
＝2sin（B+C）cs（B﹣C）＝sin2A＝2sinAcsA，
易知sinA＝sin（B+C）≠0，所以csA＝cs（B﹣C），
根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：
若B＜C，則，
若B＝C?A＝0（舍去），
若B＞C，則，所以都能得出△ABC為直角三角形，故D正確．
故選：ABD．
三．填空題（共4小題）
16．【解答】解：∵＝＝＝﹣4
故答案為﹣4
17．【解答】解：因?yàn)椋?br>兩邊平方，可得cs2x+sin2x+2sinxcsx＝1+sin2x＝，
所以sin2x＝．
故答案為：．
18．【解答】解：2bcsA＝a+2c，
則，即c2+a2+ac＝b2，
由余弦定理，
又B∈（0，π），故，
16＝a2+c2+ac≥2ac+ac＝3ac，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)，
故，即△ABC面積的最大值為．
故答案為：．
19．【解答】解：因?yàn)閟inα＝sin（α+β﹣β）＝2sin（α+β），
所以sin（α+β）csβ﹣cs（α+β）sinβ＝2sin（α+β），
化簡得sin（α+β）（csβ﹣2）＝cs（α+β）sinβ，
所以tan（α+β）＝，又2sinβ﹣csβ+2＝0，
所以＝，
故tan（α+β）＝．
故答案為：．
四．解答題（共4小題）
20．【解答】解：（1）在△ABC中，3sinC＝sinB（sinA﹣csA），
由正弦定理及b＝15c，所以sinB＝15sinC，
所以sin﹣csA＝，
則，
解得sinA＝，csA＝或sinA＝﹣，csA＝﹣，
在三角形中，可得sinA＝，csA＝，
所以tan＝＝＝；
（2）證明：因?yàn)?sinC＝sinB（sinA﹣csA），
在三角形中，3sin（A+B）＝sinAsinB﹣csAsinB，
所以3csAsinB+3csBsinA＝sinAsinB﹣csAsinB，
所以4csAsinB+3csBsinA＝sinAsinB，
因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA≠0，sinB≠0，兩邊同時(shí)除以sinAsinB，
可得，即，
所以，
又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)3tan2A＝4tan2B時(shí)取等號(hào)，即tanA＝2（2+），tanB＝2+3時(shí)取等號(hào)；
所以tanA+tanB的最小值為7+4；
（3）因?yàn)?sinC＝sinB（sinA﹣csA），由正弦定理得3c＝b（sinA﹣csA），
即，
因?yàn)椤鰽BC的面積
＝，
所以，
因?yàn)?c＝b（sinA﹣csA）＞0，且0＜A＜π，所以，
所以，
所以當(dāng)即時(shí)，b2取得最小值．
所以AC的最小值為．
21．【解答】解：（1）由題意可得，
又，
所以，
故，
因?yàn)棣痢剩?，π），
所以，
所以，
故．
（2）已知，
則，
所以，
所以，
又，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
22．【解答】（1）在△ABC中，因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)閟inB＞0，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>故．
（2）由題意知，，
由cs∠ADC+cs∠BDC＝0，
+＝0，
化簡得，①
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，②
將①②聯(lián)立，得3c2+8bc﹣16b2＝0，
即（c+4b）（3c﹣4b）＝0，所以3c＝4b，
令c＝4t（t＞0），則，
所以．
23．【解答】解：（1）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓且，所以∠ABC+∠ADC＝π，可得，
在△ADC中，由余弦定理得AC2＝DA2+DC2﹣2DA?DCcs∠ADC，
結(jié)合DC＝2AD，AC＝，所以，解得DA＝1（舍負(fù)），所以DC＝2，
則，
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BA2+BC2﹣2BA?BCcs∠ABC，
結(jié)合AB＝BC+AD＝BC+1，可得，
解得BC＝2或BC＝﹣3（舍去），所以AB＝3，
所以，
可得；
（2）在△ABD中，設(shè)∠ADB＝θ（0＜θ＜），AD＝x（x＞0），則CD＝2x，
∠ADC＝∠BCD＝θ+，由，可得BD＝，
因?yàn)椋裕?br>在△BCD中，由正弦定理可得，即，
所以，即，
所以＝
＝，
整理得，結(jié)合，解得，
根據(jù)正弦定理，可得，
故，所以＝．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
A
D
B
A
C
C
D
B
題號(hào)
12
答案
D