一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知直線l1：ax+y?1=0，直線l2：x+ay?2=0，則“a=1”是“l(fā)1//l2”的( )條件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
2.襪子由襪口、襪筒、腳趾三部分組成，現(xiàn)有四種不同顏色的布料，設計襪子的顏色配比，要求相連的部分顏色不同，共可以設計出不同顏色類型的襪子種數(shù)為( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
3.如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OE=13OA，BF=14BC，且EF=( )
A. 13a?34b+14c
B. 13a+34b+14c
C. ?13a?34b+14c
D. ?13a+34b+14c
4.拋物線y=?14x2的準線方程為( )
A. x=116B. y=1C. x=1D. y=116
5.若直線mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長為2，則1m+3n的最小值為( )
A. 4B. 12C. 16D. 6
6.拋物線y2=4x的焦點為F，過F的直線交該拋物線于A、B兩點，則|AF|+4|BF|的最小值為( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.已知點A(?1,0)，B(0,3)，點P是圓(x?3)2+y2=1上任意一點，則△PAB面積的最小值為( )
A. 6B. 112C. 92D. 6? 102
8.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，P為C上一點，PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于8，則b=( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念，則( )
A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法
B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法
C. 5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法
D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法
10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點，點P為線段D1F上的一點，則下列說法正確的是( )
A. 平面FCC1⊥平面BEP
B. 直線BE與GC1所成角的余弦值為14
C. 平面BED1與平面BCC1B1夾角的余弦值為 66
D. 點P到直線CD的距離的最小值為1
11.已知曲線C：1x2+1y2=1，稱曲線C上的點P(x,y)為“邊線點”，曲線C稱為“邊線曲線”，則( )
A. “邊線曲線”關(guān)于y=x對稱
B. “邊線曲線”在x= 2處切線的斜率為±1
C. 存在“邊線點”P(x,y)，使得|y|≤1
D. “邊線點”P(x,y)到原點距離的最小值為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知平面α的法向量為m=(2,3,z)，平面β的法向量為n=(x,1,5)，若α//β，x，z∈R，則xz= ______．
13.在空間直角坐標系Oxyz中，點P(a,0,2b?3)與Q(a,0,b)關(guān)于原點O對稱，則點Q的坐標為______．
14.若圓C：(x?2)2+(y?1)2=1關(guān)于直線ax+2by+2=0對稱，則點(a,b)與圓心C的距離的最小值是______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F(?c,0)，離心率為 33，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=b24截得的線段的長為c，|FM|=4 33．
(Ⅰ)求直線FM的斜率；
(Ⅱ)求橢圓的方程．
16.(本小題12分)
已知數(shù)列{an}的通項公式為an=13n?2，n∈N?．
(1)求數(shù)列{an+2an}的前n項和Sn；
(2)設bn=anan+1，求{bn}的前n項和Tn．
17.(本小題12分)
已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=BB1=2，且AB⊥BC，點E，F(xiàn)分別為線段AC和CC1的中點．
(1)證明：A1E⊥平面BEF；
(2)求平面ABC1與平面BEF的夾角．
18.(本小題12分)
已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點A(2,a)在拋物線C上，且|AF|=3．
(1)求拋物線C的方程，并求a的值；
(2)過焦點F的直線l與拋物線C交于M，N兩點，若點B(?1,1)滿足∠MBN=90°，求直線l的方程．
19.(本小題12分)
定義：由橢圓的一個焦點和長軸的一個頂點(焦點與頂點在同一邊)和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個橢圓的“焦頂三角形”相似，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，下列問題中(C1對應圖1，C2對應圖2)．
(1)判斷橢圓C1：x24+y23=1與橢圓C2：x216+y212=1是否是“相似橢圓”？若是，求出相似比；若不是，請說明理由；
(2)已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，橢圓C2：x2a′2+y2b′2=1(a′>b′>0)的離心率為e′，C1與C2是“相似橢圓”，且C1與C2的相似比為k：1，若△AF2B的面積為S，求△A′F1′F2′的面積(用e′，k，S表示)．
參考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.D
6.B
7.D
8.C
9.BD
10.AC
11.ABD
12.10
13.(0,0,1)
14.2 2
15.解：(Ⅰ)由離心率為 33，得c2a2=13，又由a2=b2+c2，得a2=3c2，b2=2c2，
設直線FM的斜率為k(k>0)，則直線FM的方程為y=k(x+c)，
由已知有(kc k2+1)2+(c2)2=(b2)2，解得k= 33．
∴直線FM的斜率為 33．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得橢圓方程為x23c2+y22c2=1，
直線FM的方程為y= 33(x+c)，
兩個方程聯(lián)立，消去y，得3x2+2cx?5c2=0，
解得x=?53c或x=c，
∵點M在第一象限，∴M(c,2 33c)，
由|FM|= (c+c)2+(2 33c?0)2=4 33，解得c=1，
∴橢圓的方程為x23+y22=1．
16.解：(1)∵an=13n?2，n∈N?．
∴an+2an=13n?2+213n?2=6n?3，
6(n+1)?3?(6n?3)=6，
∴數(shù)列{an+2an}是首項為3，公差為6的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{an+2an}的前n項和為Sn=n(3+6n?3)2=3n2．
(2)bn=anan+1=1(3n?2)(3n+1)=13(13n?2?13n+1)．
∴{bn}的前n項和Tn=13[(1?14)+(14?17)+…+(13n?2?13n+1)]
=13(1?13n+1)=n3n+1．
17.解：(1)證明：∵A1A⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴A1A⊥BE，
又∵AB=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
又∵A1A∩AC=A，A1A，AC?平面ACC1A1，
∴BE⊥平面ACC1A1，
又∵A1E?平面A1ACC1，
∴A1E⊥BE.又∵tan∠A1EA=tan∠EFC= 2，
∴∠A1EA=∠EFC，
∵∠EFC+∠FEC=π2，∠A1EA+∠FEC=π2，
即A1E⊥EF.又EF∩BE=E，EF，BE?平面BEF，
∴A1E⊥平面BEF．
(2)如圖所示，以點B為原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立空間直角坐標系，

易得A(2,0,0)，B(0,0,0)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)，E(1,1,0)，BA=(2,0,0)，BC1=(0,2,2)，
設平面ABC1的法向量n=(x,y,z)，
則n?BA=2x=0，n?BC1=2y+2z=0，
取y=1，則法向量n=(0,1,?1)，
由(1)可知A1E=(?1,1,?2)平面BEF的法向量，
∴cs?A1E,n?=A1E?n|A1E|?|n|=3 2× 6= 32，
∴平面ABC1與平面BEF的夾角為π6．
18.解：(1)易知拋物線C的準線方程為x=?p2，
因為點A(2,a)在拋物線C上，且|AF|=3，
所以|AF|=2+p2=3，
解得p=2，
則拋物線方程為y2=4x，
因為點A(2,a)在拋物線C上，
所以a2=8，
解得a=±2 2；
(2)由(1)可知拋物線的焦點F(1,0)，
顯然直線l的斜率不為0，
當直線l的斜率存在時，
設直線的方程為x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
聯(lián)立x=my+1y2=4x，消去x并整理得y2?4my?4=0，
此時Δ=16m2+16>0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=4m，y1y2=?4，
所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1，
因為B(?1,1)，
所以BM=(x1+1,y1?1)，BN=(x2+1,y2?1)，
因為∠MBN=90°，
所以BM?BN=(x2+1)(x1+1)+(y1?1)(y2?1)=0，
即x1x2+(x1+x2)+1+y1y2?(y1+y2)+1=0，
因為x1+x2=4m2+2，x1x2=1，
所以1+4m2+2+1?4?4m+1=0，
解得m=12，
則直線l的方程為x=12y+1，
即2x?y?2=0．
19.解：(1)已知由橢圓的一個焦點和長軸的一個頂點(焦點與頂點在同一邊)和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個橢圓的“焦頂三角形”相似，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，
又橢圓C1：x24+y23=1與橢圓C2：x216+y212=1，
則這兩個橢圓是“相似橢圓”，相似比為12，理由如下：
橢圓C1：x24+y23=1中，
|BF2|=2?1=1,|AF2|=2,|AB|= 4+3= 7，
橢圓C2：x216+y212=1中，
|B′F2′|=4?2=2,|A′F2′|=4,|A′B′|= 16+12=2 7，
則|BF2||B′F2′|=|AF2||A′F2′|=|AB||A′B′|=12，
所以兩個橢圓的“焦頂三角形”相似，則這兩個橢圓是“相似橢圓”，且相似比為12．
(2)設橢圓C1的半焦距為c，因為△AF2B的面積為S，
又S△AF2F1=12?2c?b=bc，S=12ab?12ac=12(a?c)b，
所以△AF2F1的面積與△AF2B的面積之比為2c：(a?c)，
所以△AF2F1的面積為2cSa?c，
又C1與C2的相似比為k：1，
所以△AF2F1的面積與△AF2′F1′的面積的比為k2：1，
即S△AF2F1S△AF2′F1′=k2，
所以△AF2′F1′的面積為2cS(a?c)k2=2?ca?S(1?ca)k2，
又兩個橢圓是“相似橢圓”，
則其焦頂三角形”的三個對應角相等，
如圖，有∠ABO=∠A′B′O′，

則tan∠ABO=|AO||BO|=ba，tan∠A′B′O′=|A′O′||B′O′|=b′a′，
所以ba=b′a′，
又因為e=ca= c2a2= a2?b2a2= 1?b2a2，
e′=c′a′= c′2a′2= a′2?b′2a′2= 1?b′2a′2= 1?b2a2，
所以e=e′，
故△AF2′F1′的面積為2e′S(1?e′)k2．

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