一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以A不符合題意；
B、圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以B符合題意；
C、圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以C不符合題意；
D、圖案不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，所以D不符合題意；
故答案為：B.
【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；把一個平面圖形，繞著某一點旋轉180°后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形，根據(jù)定義即可逐一判斷得出答案.
2．我國近年來大力推進國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過7.8萬門，學習人次達1290000000，建設和應用規(guī)模居世界第一.用科學記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案為：C.
【分析】把一個數(shù)表示成a×10n的形式時，a和n的確定方法如下：將原數(shù)的小數(shù)點移到從左到右第1個不是0的數(shù)字的后邊即可得到a的值，n的確定方法有兩種：①n為比原數(shù)整數(shù)位數(shù)少1 的正整數(shù)；②小數(shù)點向左移動了幾位，n就等于幾.
3．“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器.“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是-180℃、最高溫度是150℃，則它能夠耐受的溫差是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：150-（-180）=330（℃)
故答案為：D.
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法用最高溫度減去最低溫度列式計算即可得出答案.
4．下列計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，所以A正確；
B、和不是同類二次根式，不能合并，所以B不正確；
C、，所以C不正確；
D、，所以D不正確.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法可得出A正確；根據(jù)冪的乘方可得出C不正確；根據(jù)同類二次根式可得出B不正確；根據(jù)完全平方公式，可得出D不正確，綜上即可得出答案.
5．為慶祝五四青年節(jié)，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數(shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．9.2B．9.4C．9.5D．9.6
【答案】B
【解析】【解答】解：把這組數(shù)據(jù)（7個）按照從小到大的順序重新排列為：8.8，9.2，9.4，9.4， 9.5，9.5，9.6，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9.4.
故答案為：B.
【分析】首先把收據(jù)按照從小到大的順序重新排列，然后找到第4個數(shù)據(jù)也就是它們的中位數(shù).
6．在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（ ）
A．B．C．(3，3)D．(3，7)
【答案】D
【解析】【解答】解： 將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為 （3，5+2），即：(3，7).
故答案為：D.
【分析】根據(jù)平面直角坐標系內點的移動與坐標的變化規(guī)律“左減右加，上加下減”，即可得出答案.
7．對于一次函數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．它的圖象與軸交于點
B．隨的增大而減小
C．當時，
D．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
【答案】A
【解析】【解答】解：A、一次函數(shù)y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1與y軸的交點坐標為（0，-1），所以A正確；
B、因為2＞0，所以y隨x的增大而增大，所以B錯誤；
C、當x=時，y=2×-1=0，所以當x＞時，y＞0，所以C錯誤；
D、因為k=2＞0，所以圖象經(jīng)過一三象限，因為-1＜0，所以圖象經(jīng)過三，四，所以圖象經(jīng)過一三四象限，所以、D不正確.
故答案為：A.
【分析】首先令x=0，求得直線與y軸的交點坐標，可得出A正確；根據(jù)函數(shù)的增減性可得出B不正確；根據(jù)函數(shù)的增減性，通過計算可得出C不正確；根據(jù)函數(shù)圖象的位置與系數(shù)的關系可得出D不正確，故而得出答案.
8．如圖，在中，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在中，∵，
∴∠C=70°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠C=70°.
故答案為：C.
【分析】首先根據(jù)三角形內角和定理求得∠C=70°，再根據(jù)二直線平行，內錯角相等，即可得出∠1的度數(shù).
9．如圖，在中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離，則的半徑長為（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE=，
∵OE=4，
∴OA=，
即的半徑長為.
故答案為：B.
【分析】首先根據(jù)垂徑定理得出AE=，然后再根據(jù)勾股定理得出OA的長度，也就是的半徑長。
10．如圖，在菱形ABCD中，，點是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點作于點.設，則與之間的函數(shù)解析式為(不考慮自變量的取值范圍)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如圖，過點A作AG⊥BC，垂足為點G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∵∠AGB=90°，∠B=30°，
∴AG=，
∴S菱形ABCD=BC×AG=6×3=18，
∵S△ADE=，
∵于點，，
∴S△ADE=，
∴，
∴y=.
故答案為：C.
【分析】過點A作AG⊥BC，垂足為點G，首先根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質，求得AG的長度，然后可求得菱形ABCD的面積，然后根據(jù)面積法得出S△ADE=，進一步即可整理得出y=.
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分,共18分)
11．為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8.由此可知 種秧苗長勢更整齊(填“甲”、“乙”或“丙”).
【答案】甲
【解析】【解答】解：∵3.6＜10.8＜15.8，
∴甲種秧苗的長勢更整齊.
故答案為：甲.
【分析】通過比較三組秧苗的方差，即可得出方差最小的長勢更整齊.
12．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會，進入抽獎環(huán)節(jié)，抽獎方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球(除顏色外其余都相同)，其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個.每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會.小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為 .
【答案】
【解析】【解答】解：P（獲得一等獎）=.
故答案為：.
【分析】根據(jù)概率計算公式，用箱子中紅色小球的個數(shù)比上箱子中小球的總個數(shù)即可求得答案.
13．要使分式有意義.則需滿足的條件是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由題意得：x-19≠0，
∴x≠19.
故答案為：x≠19.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件“分母不能為零”列出不等式，再進行解答，即可得出答案.
14．半徑為4，圓心角為的扇形的面積為 (結果保留).
【答案】4
【解析】【解答】解：S扇形=.
故答案為：4.
【分析】根據(jù)扇形面積計算公式“”即可求得答案.
15．如圖，在中，點D，E分別是AC，BC的中點，連接DE.若，則AB的長為 .
【答案】24
【解析】【解答】解：∵ 點D，E分別是AC，BC的中點，
∴DE是的中位線，
∴DE=，
∴AB=2DE=24.
故答案為：24.
【分析】根據(jù)三角形中位線等于第三邊的一半即可得出答案.
16．為慶視中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶?；顒樱F(xiàn)場參與者均為在校中學生.其中有一個活動項目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數(shù)，比如2010年對應的四位數(shù)是2010)，得到最終的運算結果.只要參與者報出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份，若某位參與者報出的最終的運算結果是915，則這位參與者的出生年份是
【答案】2009
【解析】【解答】解：設參與者選取數(shù)字為x，出生年份為y，
根據(jù)題意得：
(10x+4.6)×10+1978-y=915，
整理為：y=100x+1109，
∵此時中學生的出生日期都在2000后，
∴x=9，
∴y=2009.
故答案為：2009.
【分析】首先根據(jù)題意列出方程，然后再根據(jù)實際情況進行推理，即可得出答案.
三、解答題（本大題共9個小題、第17、18、19題每小題6分,第20、21題每小題8分,第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分,解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．計算：
【答案】解：原式
【解析】【分析】首先根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質分別進行化簡，然后再進行加法運算即可.
18．先化簡，再求值：，其中.
【答案】解：原式
當時，原式.
【解析】【分析】先將待求式子根據(jù)單項式乘以多項式法則、平方差公式分別去括號，再合并同類項化簡，然后再代入m的值求值即可.
19．如圖，在Rt中，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點和，作直線MN分別交AB，BC于點D，E，連接CD，AE.
（1）求CD的長；
（2）求的周長.
【答案】（1）解：由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，
所以在Rt中，點是斜邊AB的中點.
所以；
（2）解：在Rt中，
因為MN是線段AB的垂直平分線，點在MN上，
所以.
所以的周長.
【解析】【分析】（1）由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質即可得出CD的長度；
（2）首先根據(jù)勾股定理求得BC的長度，然后根據(jù)三角形周長的定義及中垂線段的性質可得出的周長=AC+BC，即可得出答案.
20．中國新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術路線，加大研發(fā)投入形成了領先的技術優(yōu)勢.2023年，中國新能源汽車產(chǎn)銷量均突破900萬輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調查活動（每人限選其中一種類型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）本次調查活動隨機抽取了 人；表中 ， ；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖；
（3）請計算扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)；
（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料)汽車的有多少人?
【答案】（1）50；30；6
（2）解：混動的人數(shù)為：50-27-3-5=15（人）
如圖所示，
（3）解：扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°x30%=108°；
（4）解：4000x(54%+30%+6%)=3600(人).
答：估計喜歡新能源(純電、混動、氫燃料)汽車的有3600人.
【解析】 【解答】解：（1） 本次調查活動隨機抽取的人數(shù)為：27÷54%=50（人）；
∴混動的人數(shù)為：50-27-3-5=15（人），
∴混動的百分比為：15÷50=30%，
∴a=30；
氫燃料的百分比為：3÷50=6%，
∴b=6，
故答案為：50；30；6；
【分析】（1）用純電的人數(shù)÷純電的百分比，即可得出隨機抽取的人數(shù)；從總人數(shù)中減去其他類人數(shù)可得出混動人數(shù)，然后用混動人數(shù)除以總人數(shù)即可得出混動的百分比，即可得出a的值；用氫燃料人數(shù)除以總人數(shù)即可得出氫燃料的百分比，即可得出b的值；
（2）由（1）知：混動人數(shù)為15人，并補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）360°×混動的百分比，即可得出扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)；
（4）用總人數(shù)4000× 樣本中新能源所占的百分比的和即可得出答案.
21．如圖，點在線段AD上，.
（1）求證：：
（2）若，求的度數(shù).
【答案】（1）證明：在△ABC與△ADE中，
所以△ABC≌△ADE(SAS)；
（2）解：因為△ABC≌△ADE，
所以AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°.
所以△ACE是等邊三角形，
所以∠ACE=60°.
【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS即可證得；
（2）根據(jù)全等三角形的性質可得出AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，即可判定△ACE是等邊三角形，進而得出∠ACE=60°.
22．刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝.湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外.在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品.已知購買1件種湘繡作品與2件種湘繡作品共需要700元，購買2件種湘繡作品與3件種湘繡作品共需要1200元.
（1）求種湘繡作品和種湘繡作品的單價分別為多少元?
（2）該國際旅游公司計劃購買種湘繡作品和種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買種湘繡作品多少件?
【答案】（1）解：設種湘繡作品的單價為元，種湘繡作品的單價為元.
根據(jù)題意，得
解得
答：種湘繡作品的單價為300元，種湘繡作品的單價為200元.
（2）解：設購買種湘繡作品件，則購買種湘繡作品件.
根據(jù)題意，得，
解得.
答：最多能購買100件種湘繡作品.
【解析】【分析】（1）設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據(jù)購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元， 可得出方程組，解方程組即可得出答案；
（2）設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品(200-a)件，根據(jù)總費用不超過50000元 ，可得不等式，求出不等式的解集，即可得出答案。
23．如圖，在中，對角線AC，BD相交于點.
（1）求證：；
（2）點在BC邊上，滿足.若，求CE的長及的值.
【答案】（1）證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，且，
所以四邊形ABCD是矩形.
所以.
（2）解：在Rt中，.
因為四邊形ABCD是矩形，
所以.
因為，
所以.
過點作于點.
因為四邊形ABCD是矩形，
所以.
所以.
所以.
在Rt中，.
所以.
【解析】【分析】（1）根據(jù)有一個角為直角的平行四邊形是矩形得四邊形ABCD是矩形，進而根據(jù)矩形的對角線相等即可得出結論；
（2）首先根據(jù)勾股定理可求得AC的長度為10，然后根據(jù)矩形的性質得出OC=5，再根據(jù)等角對等邊得出CE=OC=5，過點作于點，根據(jù)等腰三角形三線合一可得出，進而得出EF=1，再根據(jù)勾股定理，已知OC，CF的長度可求得OF的長度，再根據(jù)正切的定義即得出的值.
24．對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓(四個頂點都在同一個圓上)與內切圓(四條邊都與同一個圓相切)，可分為四種類型，我們不妨約定：
既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形：
只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形：
只有內切圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形：
既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.
請你根據(jù)該約定，解答下列問題：
（1）請你判斷下列說法是否正確(在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”).
①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（ ）
②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（ ）
③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為，內切圓半徑為，則有.（ ）
（2）如圖1，已知四邊形ABCD內接于，四條邊長滿足：.
①該四邊形ABCD是“ ▲ ”四邊形(從約定的四種類型中選一種填入)；
②若的平分線AE交于點的平分線CF交于點，連接EF.求證：EF是的直徑.
（3）已知四邊形ABCD是“完美型雙圖”四邊形，它的內切圖與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F(xiàn)，G，H.
①如圖2，連接EG，F(xiàn)H交于點.求證：；
②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若，求內切圓的半徑及OD的長.
【答案】（1）×；√；√
（2）解：①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形：
②：如圖1，因為AE平分平分，所以.
所以，即.
所以與均為半圓.
所以EF是的直徑.
（3）證明：①證明：如圖3，連接OE，OF，OG，OH，HG.
因為是四邊形ABCD的內切圓，
所以.
所以.
所以在四邊形EAHO中，.
同理可證.
因為四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，
所以四邊形ABCD有外接圓.
所以.所以.所以
又因為，
所以.所以，即.
解：如圖4，連接OE，OF，OG，OH.
因為四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，
所以.
又因為與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，所以.所以.
又因為，所以.
又因為，所以.
所以，即，解得.
在Rt中，有，即，
解得.
在Rt中，.
同理可證，
所以，即，解得.
【解析】【解答】解：（1）①∵一般的平行四邊形對角不一定互補，
∴平行四邊形不一定有外接圓；
∵一般的平行四邊形對邊之和不一定相等，
∴平行四邊形不一定有內切圓，故①不正確；
②∵菱形的對邊之和相等，
∴菱形有內切圓，
∵內角不等于90°，
∴對角之和不等于180°，
∴這樣的菱形沒有外接圓，
∴這樣的菱形 一定是“內切型單圓”四邊形，故②正確；
③∵ “完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，
∴該四邊形是正方形，
如圖所示：這里OM=r，ON=R，
∵三角形OMN是等腰直角三角形，
∴ON=，
∴R=，故③正確；
故答案為：×；√；√；
【分析】（1）根據(jù)幾種四邊形的性質分別進行推理判斷即可得出對錯；
（2）①根據(jù)四邊形ABCD有外接圓，沒有內切圓可得出答案；
②證明與均為半圓，即可得出結論；
（3）①四邊形ABCD是完美型雙圓四邊形，可得出∠A+∠EOH=180°，∠FOG+∠C=180°，從而得到∠EOH=∠C，∠FOG+∠EOH=180°，再根據(jù)圓周角定理可得∠HPG=90°，即可得證；②首先證明，得出，然后再根據(jù)勾股定理建立方程即可求解.
25．已知四個不同的點都在關于的函數(shù)是常數(shù)，的圖象上.
（1）當A，B兩點的坐標分別為時，求代數(shù)式的值；
（2）當A，B兩點的坐標滿足時，請你判斷此函數(shù)圖象與軸的公共點的個數(shù)，并說明理由；
（3）當時，該函數(shù)圖象與軸交于E，F(xiàn)兩點，且A，B，C，D四點的坐標滿足：.請問是否存在實數(shù)，使得這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之比為1：2：3？若存在，求出的值和此時函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由(注：表示一條長度等于EF的倍的線段).
【答案】（1）解：將代入得
②-①得8a+4b=8，即.
所以.
（2）解：此函數(shù)圖象與軸的公共點個數(shù)為兩個.
由，得.
可得或.
當時，，此拋物線開口向上，而A，B兩點之中至少有一個點在軸的下方，此時該函數(shù)圖象與軸有兩個公共點；
當時，，此拋物線開口向下，而A，B兩點之中至少有一個點在軸的上方，此時該函數(shù)圖象與軸也有兩個公共點.
綜上所述，此函數(shù)圖象與軸必有兩個公共點.
（3）解：因為，所以該函數(shù)圖象開口向上.
由，得，可得.
由，得，可得.
所以直線AB，CD均與軸平行.
由(2)可知該函數(shù)圖象與軸必有兩個公共點，設.由圖象可知，即.
所以的兩根為，可得
同理的兩根為，可得.
同理的兩根為，可得.
由于，結合圖象與計算可得.
若存在實數(shù)，使得這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為的直角三角形，所以線段AB不可能是該直角三角形的斜邊.
①當以線段CD為斜邊，且兩銳角分別為時，因為，所以必須同時滿足：.
將上述各式代入化簡可得，且，聯(lián)立解之得，解得符合要求.
所以，此時該函數(shù)的最小值為.
②當以線段為斜邊時，必有，同理代入化簡可得，解得.
因為以線段為斜邊，且有一個內角為，而，所以，即，化簡得符合要求.
所以，此時該函數(shù)的最小值為.
綜上所述，存在兩個的值符合題意；
當時，此時該函數(shù)的最小值為；
當時，此時該函數(shù)的最小值為
【解析】【分析】（1）根據(jù)點A和點B的坐標，代入二次函數(shù)關系式中，即可得出，然后整體代入，即可得出的值；
（2）令由，求解，再根據(jù)a的正負分類討論即可；
（3）由內角之比可得出這是一個含30°銳角的直角三角形，再將線段表示出來，利用特殊角的三角函數(shù)值建立方程即可.類型
人數(shù)
百分比
純電
m
54%
混動
n
a%
氫燃料
3
b%
油車
5
c%

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