一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，
則，
故選：A
2. 已知等比數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. B. C. 5D. 15
【答案】D
【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，
又，解得或，
當(dāng)時，，
所以，故，
當(dāng)時，，
所以，故，
綜上，，
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
.
故選：C
4. 已知復(fù)數(shù)，其中，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由，則，可得或，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 在中，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，
所以，
則
.
故選：C.
6. 已知變量線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)，滿足，用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為.若增加一個數(shù)據(jù)后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數(shù)據(jù)的殘差的絕對值為（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】由題設(shè)，則，
增加數(shù)據(jù)后，，，且回歸直線為，
所以，則，
所以，有，故殘差的絕對值為.
故選：A
7. 已知為拋物線上一點，若過點且與該拋物線相切的直線交軸于點，則的值為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】不妨令，由，則，
所以，切點為的直線斜率為，則切線為，故，
又，即（負值舍），則.
故選：C
8. 已知定義在上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，且，若，則正整數(shù)的最小值為（ ）
A. 17B. 19C. 21D. 23
【答案】B
【解析】由，則，
所以，即是周期為8的函數(shù)，
由為奇函數(shù)，則，則，
所以，即是偶函數(shù)，
由，則，結(jié)合周期性，
對于，依次為，
所以是周期為4的函數(shù)，則
，
，
，
，
，
，
綜上，易知時，，時，.
所以正整數(shù)的最小值為19.
故選：B
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 在區(qū)間上的取值范圍為
D. 的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
【答案】ABD
【解析】由，
所以最小正周期為，A對；
，即的圖象關(guān)于直線對稱，B對；
由上，故，C錯；
向右平移個單位長度，，D對.
故選：ABD
10. 如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，下列說法正確的有（ ）
A. 若，則
B. 直線與底面所成角的正弦值為
C. 若點在底面內(nèi)的射影為的中心，則
D. 若三棱錐的體積為2，則三棱柱的體積為6
【答案】ACD
【解析】設(shè)，，，由題意可得，，
，
對于A，由圖可得，，
由，則，即，
化簡可得，解得，故A正確；
對于B，由題意取的中點，連接，過作平面，垂足為，連接，如下圖：
由題意可知，則，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，所以，則，
可得，所以為直線與平面的夾角，
由A可得，，
在等邊中，易知，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為，故B錯誤；
對于C，由題意取的中點，連接，過作平面，垂足為，如下圖：
易知點在平面上的射影為點，即點為等邊的中心，
易知，
因為平面，平面，所以，
由B可知，在中，，故C正確；
對于D，由題意作圖如下：
設(shè)點到平面的距離為，的面積為，
則三棱錐的體積，
平行四邊形中，易知的面積，
則三棱錐的體積，
由圖可知三棱柱的體積，故D正確.
故選：ACD.
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點到點與到軸的距離之積為常數(shù)，設(shè)點的軌跡在軸右側(cè)的部分為曲線，下列說法正確的有（ ）
A. 曲線關(guān)于直線對稱
B. 若，則曲線與直線有三個公共點
C. 當(dāng)時，曲線上的點到點距離的最小值為
D. 無論為何值，曲線均為一條連續(xù)曲線
【答案】AC
【解析】設(shè)動點，則其到的距離為，
動點到軸的距離為，
則，
即，
因為點也符合上式，
所以選項A正確；
若，則把代入上式，
得方程，
當(dāng)時，，
方程，解得或（舍去），
即得對應(yīng)點，
當(dāng)時，方程為，
解得，即得對應(yīng)點，所以B錯誤；
當(dāng)時，的軌跡方程為，
令曲線上的點到點距離為，
則，，
因為是對稱軸，所以代入軌跡方程得，
當(dāng)時，方程為，解得，
當(dāng)時，方程為，則無解，
將代入方程得，
則點到的距離最小，且為，C正確；
因為軌跡方程為，，
不妨取，，此時，
當(dāng)時，方程為，解得（負值舍去），
當(dāng)時，方程為，解得或，
取，，則，無解，即直線與曲線無交點，
但在直線兩側(cè)均有點在曲線上，此時曲線的曲線不連續(xù)，D錯誤.
故選：AC
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 第九屆亞洲冬季運動會于2025年2月在哈爾濱成功舉行.4名大學(xué)生到冰球、速滑以及體育中心三個場館做志愿者，每名大學(xué)生只去1個場館，每個場館至少安排1人，則所有不同的安排種數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）
【答案】36
【解析】由題設(shè)，需要將4個人分成3組，有種，
再將3組人分配到三個場館，有種，
所以共有種.
故答案為：36
13. 設(shè)為雙曲線的左、右焦點，過且傾斜角為的直線與在第一象限的部分交于點，若為等腰三角形，則的離心率為__________.
【答案】
【解析】由題設(shè)及圖知，且，，
所以，則，
所以，即，可得（負值舍）.
故答案為：
14. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________：當(dāng)取得最小值時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】①. 5 ②.
【解析】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為5，此時不等式化為恒成立，
所以，即
令且，則，
時，時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故， 則
因此可得在上，恒成立，
令且，
所以，
令，，
在單調(diào)遞增，且，
則時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，
時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，
因此可得，即，
則當(dāng)，，則在單調(diào)遞增，
當(dāng)，，則在單調(diào)遞減，
所以，故只需.
故答案為：5，
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在處有極大值.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）由函數(shù)，求導(dǎo)可得，
由函數(shù)在處取極大值，則，解得或，
當(dāng)時，可得，
易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，
則此時函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，可得，
易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，
則此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意.
綜上所述，.
（2）由（1）可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，
令，解得或，可得下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為，
函數(shù)存在三個零點，等價于函數(shù)圖象與直線存在三個交點，
如下圖：
由圖可得，則.
16. 如圖，點在以為直徑的半圓的圓周上，，且平面，
（1）求證：；
（2）當(dāng)為何值時，平面與平面夾角的余弦值為？
證明：（1）由平面，平面，則，
又點在以為直徑的半圓的圓周上，則，
由且都在面內(nèi)，則面，
由面，故；
（2）若為的中點，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，
由，，則，
故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，
由，故，可得，
所以，，，
若，分別為面、面的一個法向量，
則，取，，
，取，，
所以，
整理得，則，可得或
17. 為加強中小學(xué)科學(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局擬于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全市中小學(xué)機器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設(shè)置穿越障礙、搬運物品兩個項目.每支參賽隊先挑戰(zhàn)穿越障礙項目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運物品項目.每支參賽隊每個項目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金2000元，該項目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金1000元，否則，不獲得獎金.假設(shè)甲參賽隊在每個項目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，第一次挑戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項目成功的概率為；兩個項目是否挑戰(zhàn)成功相互獨立.
（1）設(shè)事件“甲參賽隊兩個項目均挑戰(zhàn)成功”，求；
（2）設(shè)比賽結(jié)束時，甲參賽隊獲得獎金數(shù)為隨機變量，求的分布列；
（3）假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊，且根據(jù)往屆比賽成績，甲參賽隊獲得獎金數(shù)近似為各參賽隊獲得獎金數(shù)的平均水平.某贊助商計劃提供全部獎金，試估計其需提供的獎金總額.
解：（1）每個項目挑戰(zhàn)成功的概率 ，
則 .
（2）甲參賽隊獲得獎金數(shù)為隨機變量的所有可能取值為4000，3000，2000，1000，0.
；；
；
；.
∴甲獲得獎金數(shù)的分布列為：
（3）由（2）得出甲參賽隊獲得獎金數(shù)數(shù)學(xué)期望
元，
因為假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊，估計其需提供的獎金總額為元
18. 已知橢圓的焦距為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，為上兩個動點，且，作，垂足為.
（i）線段的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（ii）設(shè)點軌跡為，過點作的切線交于點（異于），求面積的最小值.
解：（1）由橢圓的焦距為，則，
由橢圓的離心率為，則，解得，
易知，則可得橢圓.
（2）（i）
當(dāng)直線的斜率不存在時，可設(shè)方程為，代入橢圓，
可得，易知，解得；
當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)方程為，
聯(lián)立，消去可得，
由，設(shè)，
則，
可得，
由直線的斜率，直線的斜率，且，
則，整理可得，
化簡可得，解得，
由.
（ii）
由圓的對稱性，則，
由（i）可知：
當(dāng)直線的斜率不存在時，，
當(dāng)直線的斜率存在時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，
綜上可得，故的最小值為.
19. 設(shè)是一個項數(shù)為的數(shù)列，其中每一項均為集合中的元素.定義數(shù)列如下：若，則，其中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且.
（1）若數(shù)列，求數(shù)列；
（2）若存在，對任意，均有數(shù)列與為同一數(shù)列，則稱為數(shù)列組的一個周期.
（i）若，求數(shù)列組的最小正周期；
（ii）若數(shù)列組存在周期，求的所有可能取值.
解：（1）由，對于，則，
同理，，
所以，對于，則，
同理，，
所以，依上的過程，易知；
（2）（i）若，，則，記，
若，，則，記，
若，，則，記，
令，各不相同，
則，
若，則，，，顯然，即是周期；
若，則，，，顯然，即是周期；
若，則，即是周期；（注意為正整數(shù)），
綜上，對任意，為數(shù)列組周期，最小正周期是3；
（ii）當(dāng)為偶數(shù)，不妨設(shè)，則，為正整數(shù)，
此時不存在正整數(shù)，使得數(shù)列與同一數(shù)列，即數(shù)列組不存在周期；
當(dāng)為奇數(shù)，由的每一項均為中元素，所以至多有個，
對于給定的，總存在，，使得，
下證：若時，，
事實上，設(shè)表示除以的余數(shù)，
由數(shù)列到的變換結(jié)果，知，，
不妨設(shè)，，
由，則，，
所以，
即，
結(jié)合為奇數(shù)，，，可得，則，
同理可證：對任意，均有，所以，
以此類推，有，，，
所以，對于任意均存在整數(shù)，使得，
在變化時，所有的最小公倍數(shù)，即為數(shù)列組的一個周期，
綜上，數(shù)列組均存在周期時，的所有可能取值為且.單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
4000
3000
2000
1000
0

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