注意事項：
1．作答前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上．
2．作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效．
3．考試結束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的．
1. 已知集合 ，集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化簡集合 ，再利用交集的定義求解.
【詳解】解不等式 ，得 或 ，因此 或 ，
所以 .
故選：B
2. 在復平面內， 對應的點位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結合復數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為 ，
則所求復數(shù)對應的點為 ，位于第一象限.
故選：A.
第 1頁/共 21頁
3. 已知向量 ， ，且 ，則實數(shù) （ ）
A. B. C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由已知條件可求得 ，再根據(jù)向量平行的條件，即可求得 的值.
【詳解】由已知可得： ，
因為 ，所以有 ，解之得： .
故選：C.
4. 某地區(qū) 2024 年全年月平均溫度 （單位：℃）與月份 之間近似滿足
.已知該地區(qū) 2 月份的月平均溫度為 ℃，全年月平均溫度最高的月份為 6 月份，且平
均溫度為 32℃，則該地區(qū) 12 月份的平均溫度為（ ）
A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得 ，可求得 ，進而根據(jù)已知可得 ， ，
可求得解析式，進而可求得 時的函數(shù)值，可得結論.
【詳解】由題意可知，直線 是曲線 的一條對稱軸，
所以 ， ，即 ， .又 ，
即 ，所以 .
因為全年月平均溫度的最大值為 32℃，所以 ①.
又當 時， ，所以 ，所以 ②.
由①②解得 ， ，
第 2頁/共 21頁
所以 ，則當 時， ℃.
故選：A.
5. 已知雙曲線 的離心率為 為 的兩個焦點，過 作 的一條漸近線的垂線，垂足為 為坐
標原點，則 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意， 利用余弦定理可得 ，從而得解.
【詳解】根據(jù)題意， ，由 ，
則 ， ．
由余弦定理可得，
，
所以 ，
所以 ．
故選：A
6. 在正方體 中， 是棱 上的點，且 ．平面 將此正方體分為兩
第 3頁/共 21頁
部分，設兩部分體積分別為 和 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出輔助線，得到臺體 體積為 ，剩余圖形的體積為 ，設正方體的棱長為 4，
求出臺體體積，得到 ，進而正方體體積得到 ，求出答案.
【詳解】延長 ，交 的延長線于點 ，連接 ，交 于點 ，連接 ，
平面 將此正方體分為兩部分，設兩部分體積分別為 和 ，
故臺體 體積為 ，剩余圖形的體積為 ，
設正方體的棱長為 4，則正方體體積為 ，
又 ， ，故 ，
， ，
臺體 的高為 ，
故臺體 的體積為 ，
故 ，
所以 .
第 4頁/共 21頁
故選：D
7. 已知 的內角 所對的邊分別為 ，若 ，則 邊上
中線長度的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理角化邊得到 ，結合基本不等式得到 ，再由中線長公式求
解.
【詳解】 ，由正弦定理可得 ，
即 ，則 ，
又 ，所以 ，因為 ，當且僅當 時等號成立，
所以 ，則 ．
設 邊上中線 長度為 ，則 ，
所以 邊上中線長度的最大值為 ．
故選：C
8. 定義雙曲正弦函數(shù)： .若雙曲正弦函數(shù)在區(qū)間 上的值域與
在區(qū)間 上的值域相同，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別分析兩個函數(shù)的單調性，求出它們的值域，再根據(jù)函數(shù)的值域相同，得到一個方程組，進而
第 5頁/共 21頁
將問題轉化為方程對應的函數(shù)有兩個不同的零點問題求解.
【詳解】因為 ，所以 在 上為增函數(shù)，
所以 在 上的值域為 .
又 在 也是增函數(shù)，
所以 在 上的值域為 .
因為兩個函數(shù)的值域相同，所以 .
即方程 有兩個不同的解.
因為方程 .
當 即 時，方程成立，即 是方程的一個解；
則當 即 時， 只有一個解，
因為函數(shù) 在 上單調遞增，且 ，所以函數(shù) 在 上單調遞減.
因為 且 ，所以 且 ，
所以當 且 時，方程 有且只有一個非 0 解.
綜上： 且 .
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是根據(jù)兩個函數(shù)的值域相同，得到方程組 ，進
第 6頁/共 21頁
而將問題轉化為方程 有兩個不同的解.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求．全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 設 O 為坐標原點，直線 過拋物線 C： 的焦點，且與拋物線 C 交于 M，N
兩點，l 為拋物線 C 的準線，則（ ）
A. B.
C. 為等腰三角形 D. 以 MN 為直徑的圓與 l 相切
【答案】AD
【解析】
【分析】先求得焦點坐標，從而求得 ，根據(jù)弦長公式求得 ，根據(jù)圓與等腰三角形 知識確定正確答
案.
【詳解】A 選項：直線 過點 ，所以拋物線 的焦點 ，
所以 ，則 A 選項正確，且拋物線 的方程為 .
B 選項：設 ，
由 消去 并化簡得 ，
解得 ，所以 ，B 選項錯誤.
C 選項：直線 ，即 ，
到直線 的距離為 ，
所以三角形 的面積為 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
第 7頁/共 21頁
所以三角形 不是等腰三角形，C 選項錯誤.
D 選項：設 的中點為 ， 到直線 的距離分別為 ，
因為 ，
即 到直線 的距離等于 的一半，所以以 為直徑的圓與直線 相切，D 選項正確.
故選：AD.
10. 已知函數(shù) 是定義域為 的奇函數(shù)， ，若 ， ，
，則（ ）
A. B. 的圖象關于點 對稱
C. 是周期為 的周期函數(shù) D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結合函數(shù)對稱性、周期性的定義探討函數(shù)性質，再逐項計算判斷得解.
【詳解】因為函數(shù) 是定義域為 的奇函數(shù)， ，且 ， ，
對于 A 選項，因 ，則 ，A 錯；
對于 B 選項，由 可得 ，
整理可得 ，
當 時，則有 ，即 ，
當 時， ，也滿足 ，
所以，函數(shù) 的圖象關于點 對稱，B 對；
第 8頁/共 21頁
對于 C 選項，因為 是定義域為 的奇函數(shù)，
且 ，所以，函數(shù) 是周期為 的周期函數(shù)，C 對；
對于 D 選項，因為函數(shù) 是定義域為 的奇函數(shù)，
則 ， ， ， ，
，所以， ，
因為 ，則 ，D 對.
故選：BCD.
【點睛】結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：
（1）若函數(shù) 的圖象關于直線 和 對稱，則函數(shù) 的周期為 ；
（2）若函數(shù) 的圖象關于點 和點 對稱，則函數(shù) 的周期為 ；
（3）若函數(shù) 的圖象關于直線 和點 對稱，則函數(shù) 的周期為 .
11. 對于任意兩個正數(shù) ， ，記曲線 與直線 ， ， 軸圍成的曲邊梯形的面積為
，并約定 和 ，德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)
.關于 ，下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)所給新定義運算即可判斷 AB，根據(jù)曲邊梯形與梯形面積大小判斷 C，取特殊值判斷 D.
【詳解】由題意 ，所以 ，
當 時， ；
當 時， ；
第 9頁/共 21頁
當 時， ；
當 或 時， 也成立；
綜上所述： .
對于選項 A： ， ，
所以 ，故 A 正確；
對于選項 B： ，
且 ，所以 ，故 B 正確；
對于選項 C：如圖，
因為 ，所以 ，
即 ，故 C 正確.
對于選項 D：取 ，則 ，故 D 錯誤；
故選：ABC.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用 的定義，分類討論求得 ，從而得解
.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知正實數(shù) 滿足 ，則 ______.
【答案】 ##
第 10頁/共 21頁
【解析】
【分析】對等式兩邊取對數(shù)后構造關于 的方程，求出其解后可求 的值.
【詳解】因為 ，易知 且 ，故 ，
故 ，即 ，
故 ，
故答案為： .
13. 已知成對樣本數(shù)據(jù) ， ，…， 中 ， ，…， 不全相等，且所有樣
本點 都在直線 上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù) r=______，其決
定系數(shù) =______．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】由所有樣本點都在一條直線上，結合相關系數(shù)的意義，可得出答案.
【詳解】由所有樣本點 都在直線 上，
又 ，
由題易知 ， ．
故答案為：
14. 已知直線 與⊙ ： 交于 A，B 兩點，寫出滿足“ 面積為 ”的實數(shù)
的一個值______（寫出其中一個即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】設圓心到直線的距離為 ，則弦長為 ，那么 進行求解.
【詳解】設圓心 到直線 的距離為 ，則 ，
由 ，解得： 或 .
若 ，則 或 ；
第 11頁/共 21頁
若 ，則 或 .
故答案為： （ ， ， 任意一個也對）
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知等差數(shù)列 滿足： ，且 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）若等差數(shù)列 的公差不為零，且數(shù)列 滿足： ，記數(shù)列 的前 n 項和為 ，求證：
；
【答案】（1） 或
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列結合等差數(shù)列的通項公式計算求解即可；
（2）應用裂項相消法求和得出 ，再結合單調性證明即可.
【小問 1 詳解】
設數(shù)列 的公差為 d，依題意： 成等比數(shù)列，
所以 ，解得： 或
當 時， ，當 時，
所以數(shù)列 的通項公式為 或
【小問 2 詳解】
因為等差數(shù)列 的公差不為零，由（1）知
則
所以 ，故
第 12頁/共 21頁
而 隨 n 的增大而增大，則 ，故 成立
16. 已知函數(shù) .
（1）若 時，求曲線 在 處的切線方程；
（2）若 時， 在區(qū)間 上的最小值為 ，求實數(shù) 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解直線方程，
（ 2） 求 導 ， 根 據(jù) 導 數(shù) 確 定 函 數(shù) 的 單 調 性 ， 即 可 求 解 ， 構 造 函 數(shù)
求導即可求解.
【小問 1 詳解】
當 時， 且 ，
所以 ，
故切線方程為 ，即 ，
【小問 2 詳解】
，
由 ，存在 ，使得 ，即 ，
當 時， ，此時 單調遞減，
當 時， ，此時 單調遞增，
故 ，
，
故 在 單調遞減，又 ，
故
第 13頁/共 21頁
17. 已知三棱錐 ，D 在平面 上的射影為 的重心 O， ， .
（1）證明： ；
（2）E 為 AD 上靠近 A 三等分點，若三棱錐 的體積為 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可得 、 平面 ABC，根據(jù)線面垂直的性質可得 ，結合線面
垂直的判定定理和性質即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標系，利用三棱錐的體積公式求得 ，由空間向量的線性運算求得
，結合空間向量法求解面面角即可.
【小問 1 詳解】
如圖所示，連結 并延長交 于 ，因為 O 為△ABC 的重心，所以 是 的中點，
又因為 ，所以由等腰三角形三線合一可得 ，
因為 D 在平面 ABC 上的射影為 O，所以 平面 ABC，
又 平面 ABC，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
【小問 2 詳解】
由（1）知 ， 面 ABC，
過 作 軸平行于 ，則 軸垂直于面 ABC，
如圖，以 為 軸， 軸，建立空間直角坐標系，
在 中， ， 由（1）知， ，
故 ，得 ，
所以三棱錐 A-BCD 的體積為 ，則
因為 為△ABC 的重心，故 ，
則 ，
第 14頁/共 21頁
因為 E 為 AD 上靠近 A 的三等分點，所以 ，
故
設 為平面 的一個法向量，則 ，
取 ，則 ，故 ，
易得 是平面 的一個法向量，
設二面角 的平面角為 ，則 為鈍角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值為 .
【點睛】
18. 如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有 三個腔室，粒子只能從 室出發(fā)經 室到達 室.
粒子在 室不旋轉，在 室? 室都旋轉，且只有上旋和下旋兩種狀態(tài)，粒子間的旋轉狀態(tài)相互獨立.粒子從
室經過 1 號門進入 室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從 室經過 2 號門進入 室后，粒子的
旋轉狀態(tài)發(fā)生改變的概率為 .現(xiàn)有兩個粒子從 室出發(fā)，先后經過 1 號門，2 號門進入 室，
記 室兩個粒子中，上旋狀態(tài)粒子的個數(shù)為 .
（1）已知兩個粒子通過 1 號門后，恰有 1 個上旋狀態(tài) 1 個下旋狀態(tài).若這兩個粒子通過 2 號門后仍然恰有 1
第 15頁/共 21頁
個上旋狀態(tài) 1 個下旋狀態(tài)的概率為 ，求 ；
（2）求 的分布列和數(shù)學期望；
（3）設 ，若兩個粒子經過 2 號門后都為上旋狀態(tài)，求這兩個粒子通過 1 號門后都為上旋狀態(tài)的概率
.
【答案】（1） 或
（2）分布列見解析，1
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，從而求得 .
（2）根據(jù)獨立事件概率計算求得 的分布列，并求得數(shù)學期望.
（3）根據(jù)全概率公式以及條件概率計算公式求得正確答案.
【小問 1 詳解】
設 “兩個粒子通過 2 號門后仍然恰有 1 個上旋狀態(tài) 1 個下旋狀態(tài)”.
事件 A 發(fā)生即通過 2 號門時，兩個粒子都不改變或都改變旋轉狀態(tài)，
故 ，解得 或 .
【小問 2 詳解】
由題知 ，
時分 3 類情形，
①兩個粒子通過 1 號門后均處上旋狀態(tài)，通過 2 號門后均不改變狀態(tài)；
②兩個粒子通過 1 號門后一個上旋狀態(tài)一個下旋狀態(tài)，
通過 2 號門后上旋狀態(tài)粒子不改變狀態(tài)，下旋狀態(tài)粒子改變狀態(tài)；
③兩個粒子通過 1 號門后兩個均為下旋狀態(tài)，通過 2 號門后均改變狀態(tài)，
所以 ，
同理 ，
，
所以所求的分布列為
第 16頁/共 21頁
.
【小問 3 詳解】
設 “兩個粒子通過 1 號門后處于上旋狀態(tài)粒子個數(shù)為 個”， ，
“兩個粒于通過 2 號門后處于上旋狀態(tài)的粒于個數(shù)為 2 個”，
則 ，
，
則 .
故 .
19. 如圖，已知面積為 的矩形 ，與坐標軸的交點 是橢圓 ：
的四個頂點，且該橢圓的離心率為 .
（1）求橢圓 的標準方程；
（2） 為坐標原點，過下頂點 的直線與 軸相交于點 （不同于 ），與直線 相交于點 ，與橢圓
相交于點 ，直線 與直線 相交于點 .
（i）證明： ；
（ii）設線段 的中點為 為橢圓 上的兩點，且直線 ， 與橢圓 都僅有一個公共點，
第 17頁/共 21頁
，垂足為 .探究：是否存在定點 ，使得 為定值?若存在，求點 的坐標以及此定值；若不
存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析，（ii） ，使得 為定值 ，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質列等量關系即可求解，
（2）根據(jù)兩點斜率公式，即可化簡求解 ，根據(jù)直線方程求解 ，即
可根據(jù)長度關系求（i），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)相切，利用判別式可得切線方程為 ，進
而 求 解 方 程 為 : ， 化 簡 得 方 程 為 ， 令
， 求 解 定 點 ， 根 據(jù) 得 在 以 為 直 徑 的 圓 上 ， 即
.
【小問 1 詳解】
由題意可得 ，解得 ，
故橢圓方程為
小問 2 詳解】
設 ，則 ，故 ，
,
設直線 的斜率分別為 ，
第 18頁/共 21頁
則 ，
故
由于 ,則 ，
直線 的方程為 令 則 ，故
所以
直線 的方程為 令 則 ，故
所以 ，
，
故 ，即 ；
（ii）存在定點 ，使得 為定值 ，理由如下：
設 ，
①當過橢圓上點 的有斜率時，設直線 ： ，
聯(lián)立 與橢圓方程 可得 ，
由于直線 與橢圓只有一個公共點，故 ，
化簡得 ，
所以 ，代入到 可得 ，
第 19頁/共 21頁
所以 ，
從而直線 ： ，即 （※），
②當過 的直線 斜率不存在且與橢圓只有一個交點時， ： 也滿足（※），
同理可得當過 且與橢圓只有一個交點的直線方程為 ，
由于兩直線均經過點 ,故 ，
故直線 方程為: ，
由（i）可知 的方程為 令 則 ，故
又 ，
則 的中點 即 ，
直線 方程為 ，
即 ，
令 ，解得 ，
故直線 恒過點 ，又 ,
故 在以 為直徑的圓上，即 ，使得 為定值 ，
【點睛】關鍵點點睛：橢圓 上一點 , 的切線方程為 ．
第 20頁/共 21頁
第 21頁/共 21頁

相關試卷

重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（Word版附解析）：

這是一份重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（Word版附解析），文件包含重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期第一次聯(lián)合考試數(shù)學試卷原卷版docx、重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期第一次聯(lián)合考試數(shù)學試卷Word版含解析docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共26頁， 歡迎下載使用。

重慶市名校聯(lián)盟2025年高三下學期高考第一次聯(lián)合考試數(shù)學試題：

這是一份重慶市名校聯(lián)盟2025年高三下學期高考第一次聯(lián)合考試數(shù)學試題，文件包含重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年度第二期第一次聯(lián)合考試數(shù)學答案pdf、重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年度第二期第一次聯(lián)合考試數(shù)學pdf等2份試卷配套教學資源，其中試卷共10頁， 歡迎下載使用。

重慶市拔尖強基聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期2月聯(lián)合考試數(shù)學試卷（PDF版附解析）：

這是一份重慶市拔尖強基聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期2月聯(lián)合考試數(shù)學試卷（PDF版附解析），文件包含重慶市西南大學附屬中學2024-2025學年高三下學期入學考試數(shù)學試題pdf、重慶市西南大學附屬中學2024-2025學年高三下學期入學考試數(shù)學試題參考答案pdf等2份試卷配套教學資源，其中試卷共8頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

重慶市拔尖強基聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期2月聯(lián)合考試數(shù)學試題（含解析）

重慶市拔尖強基聯(lián)盟2024-2025學年高三下學期2月聯(lián)合考試數(shù)學試題（含解析）
2024～2025學年遼寧省名校聯(lián)盟高一(上)12月聯(lián)合考試數(shù)學試卷(含解析)

2024～2025學年遼寧省名校聯(lián)盟高一(上)12月聯(lián)合考試數(shù)學試卷(含解析)
重慶市名校聯(lián)盟2025屆高三10月第一次半期聯(lián)合考試數(shù)學試卷（附參考答案）

重慶市名校聯(lián)盟2025屆高三10月第一次半期聯(lián)合考試數(shù)學試卷（附參考答案）
2021-2022學年重慶市名校聯(lián)盟高二下學期第一次聯(lián)合考試數(shù)學試題（解析版）

2021-2022學年重慶市名校聯(lián)盟高二下學期第一次聯(lián)合考試數(shù)學試題（解析版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部