題型一 二次函數(shù)中的最值模型
題型二 二次函數(shù)中的翻折模型
題型三 二次函數(shù)中的切線模型
題型四 二次函數(shù)中的線段關(guān)系問題
題型五 二次函數(shù)中的角度關(guān)系問題
題型六 二次函數(shù)中的面積關(guān)系問題
題型七 二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合
題型八 二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合
題型九 二次函數(shù)與相似綜合
題型十 二次函數(shù)與圓綜合
【經(jīng)典例題一 二次函數(shù)中的最值模型】
【例1】（24-25九年級上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，直線的解析式是 ；
(3)請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上找一點(diǎn)P，使的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)對稱性得到，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)在線段上時，的值最小，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴當(dāng)時，，
∴，
∵B4,0，
∴設(shè)直線的解析式為：，把B4,0代入，得：，
∴；
故答案為：．
（3）∵，
∴對稱軸為直線，
∵關(guān)于對稱軸對稱，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時，的值最小，為的長，
由（2）知：直線的解析式為：，
∴當(dāng)時，，
∴，
∵B4,0，，
∴，
∴的最小值為．
1．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)在拋物線對稱軸上取一點(diǎn)，使得最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；
(2)連接，當(dāng)?shù)拿娣e的最大時，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，線段最短問題，面積問題；
（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點(diǎn)在上，求得拋物線對稱軸為直線，進(jìn)而求出直線的解析式，將代入，即可求解；
（2）設(shè)，則，表示出的長，進(jìn)而表示出三角形面積公式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴拋物線對稱軸為直線，
依題意，，
∴
∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時，最小，
當(dāng)時，，則B0,3，
當(dāng)時，，
解得：，則A3，0，，
設(shè)直線的解析式為
∵過點(diǎn)，
∴
∴
∴直線的解析式為
當(dāng)時，
∴，
故答案為：．
（2）解：設(shè)，則
∴，
∴的面積為
∴當(dāng)時，的面積的最大
則
即．
2．（24-25九年級上·全國·期中）已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，如圖．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)，使得的周長最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(3)存在，以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
【分析】（）利用待定系數(shù)法，設(shè)頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（）根據(jù)軸對稱最短路徑問題得到點(diǎn)的位置，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，令代入計(jì)算得到答案；
（）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)分三種情況當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時分析即可解答；
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，
∵圖象過點(diǎn)點(diǎn)，
∴，解得，，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，即；
（2）解：如圖，連接，
由（）得：二次函數(shù)的表達(dá)式為，
當(dāng)時，，
∴，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，
∵關(guān)于對稱軸直線對稱，點(diǎn)在對稱軸上，
∴，
∴的周長，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，的周長最小，
設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
則，解得，
∴直線的函數(shù)解析式為，
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：存在，理由：
∵點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)在拋物線上，
∴設(shè)，，
當(dāng)為對角線時，
∴，解得：，
∴；
當(dāng)為對角線時，
∴，解得：，
∴；
當(dāng)為對角線時，
∴，解得：，
∴；
綜上可知：以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時點(diǎn)坐標(biāo)為或或．
3．（24-25九年級上·山東威?！て谥校┤鐖D，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作矩形，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)矩形的周長最大時，求矩形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，矩形的性質(zhì)，函數(shù)思想求最大值；
（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由，可推出點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出的值，即可寫出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)，用含的代數(shù)式表示出矩形的周長，用函數(shù)的思想求出取其最大值時的值，即求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出矩形的面積；
解題關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出矩形的周長并用函數(shù)的思想求最大值．
【詳解】（1）解：在拋物線中，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
將代入，得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)，
∵拋物線的解析式為，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∴點(diǎn)到對稱軸的距離為，點(diǎn)到軸的距離為：，
由拋物線的對稱性可得，
∴矩形的周長為：，
即，
∵，
∴當(dāng)時，矩形周長存在最大值，
此時，
∴，，
∴，
∴矩形的面積為．
【經(jīng)典例題二 二次函數(shù)中的翻折模型】
【例2】（24-25九年級上·河北廊坊·期中）已知：拋物線：；拋物線：（其中為常數(shù)），頂點(diǎn)為．
(1)①直接寫出的對稱軸．
②當(dāng)時，此時點(diǎn)和點(diǎn)在上，
則______（填“”、“”或“”）．
(2)設(shè)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，用含的式子分別表示和；并寫出的最大值．
(3)當(dāng)時，
①拋物線是由拋物線沿直線翻折得到，寫出的值．
②把拋物線向左平移個單位得到拋物線，求拋物線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
③將拋物線向左平移個單位（）得到新的拋物線，設(shè)新的拋物線和的交點(diǎn)為和，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______（直接用含的式子表示）．
【答案】(1)①對稱軸為；②
(2)、，的最大值
(3)①；②或；③點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【分析】（1）①由頂點(diǎn)式直接得出對稱軸；②利用拋物線的圖象與性質(zhì)即可得到答案；
（2）將拋物線：配方，化為頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到、，再由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可得到的最大值；
（3）①根據(jù)對稱性得到拋物線：，再由拋物線：，對比列方程求解即可得到答案；②由函數(shù)圖象平移得到拋物線：，聯(lián)立方程組求解即可得到拋物線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；③由函數(shù)圖象平移得到新拋物線，聯(lián)立方程組得到，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：①拋物線：，
的對稱軸為；
②當(dāng)時，拋物線：，
拋物線開口向上，對稱軸為，
拋物線上的點(diǎn)到對稱軸的距離越近，越小，
點(diǎn)和點(diǎn)到對稱軸為的距離分別為和，
，
故答案為：；
（2）解：拋物線：（其中為常數(shù)），
，
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則、，
，
由可知拋物線開口向下，有最大值為；
（3）解：當(dāng)時，拋物線：，
由①拋物線是由拋物線沿直線翻折得到，
，即，
拋物線：，
拋物線：，
，解得；
②把拋物線向左平移個單位得到拋物線，則拋物線：，
聯(lián)立，解得或；
③將拋物線向左平移個單位（）得到新的拋物線，則表達(dá)式為，
聯(lián)立，則，
，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)、，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象的平移、函數(shù)圖象對稱、求兩個拋物線的交點(diǎn)、解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
1．（24-25九年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，將二次函數(shù)位于x軸下方的圖象沿x軸翻折，再得到一個新函數(shù)的圖象（圖中的實(shí)線）．
(1)當(dāng)時，新函數(shù)值為 ，當(dāng)時，新函數(shù)值為 ；
(2)當(dāng) 時，新函數(shù)有最小值；
(3)當(dāng)新函數(shù)中函數(shù)y隨x的增大而增大時，自變量x的范圍是 ；
(4)直線與新函數(shù)圖象有4個公共點(diǎn)時，a的取值范圍是 ．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
(4)
【分析】本題考查了利用函數(shù)圖象解決問題；
（1）由翻折得新函數(shù)為，分別代值計(jì)算，即可求解；
（2）根據(jù)圖象即可求解；
（3）根據(jù)圖象即可求解；
（4）根據(jù)圖象即可求解；
能利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：圖象沿x軸翻折，再得到一個新函數(shù)為：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故答案：，；
（2）解：由圖象得
當(dāng)或時，新函數(shù)有最小值；
故答案：或；
（3）解：由圖象得
或，函數(shù)y隨x的增大而增大時，
故答案：或；
（4）解：
由圖象得：當(dāng)時，
直線與新函數(shù)圖象有4個公共點(diǎn)，
故答案：．
2．（24-25九年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D1所示，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)平移線段，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將上方的拋物線沿著直線翻折，點(diǎn)是上方的拋物線上的一動點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
①當(dāng)四邊形是菱形時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，求線段的最大值．
【答案】(1)；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(3)①點(diǎn)的坐標(biāo)為；②的最大值為．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）連接，則四邊形為平行四邊形，求得直線的解析式，聯(lián)立，計(jì)算即可求解；
（3）①當(dāng)四邊形是菱形時，是線段的垂直平分線，求得直線的解析式，聯(lián)立計(jì)算即可求解；
②作軸交于點(diǎn)，由①知是等腰直角三角形，由對稱的性質(zhì)得，設(shè)，則，求得關(guān)于的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，連接，則四邊形為平行四邊形，
∴，
∵直線的解析式為，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
整理得，
解得或，
當(dāng)時，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：①∵點(diǎn)關(guān)于的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，，
∵四邊形是菱形，
∴是線段的垂直平分線，
如圖標(biāo)注點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，
對于直線，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
聯(lián)立，解得或，
∴，，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
整理得，
解得（舍去負(fù)值），，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②作軸交于點(diǎn)，由①知是等腰直角三角形，，由對稱的性質(zhì)得，當(dāng)有最大值時，就有最大值，
設(shè)，則，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解一元二次方程、軸對稱的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2024·湖北襄陽·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．
(1)拋物線的對稱軸為直線______；
(2)當(dāng)時，函數(shù)值的取值范圍是，求和的值；
(3)當(dāng)時，解決下列問題：
①拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②將該拋物線在間的部分記為，將在直線下方的部分沿翻折，其余部分保持不變，得到的新圖象記為．設(shè)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，若，請求出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)，
(3)①或；②
【分析】（1）根據(jù)即可求解；
（2）由題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，據(jù)此可求得解析式；根據(jù)當(dāng)時，即可求解；
（3）①由題意可得點(diǎn)在軸上方，令，即可求解；②根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，分類討論點(diǎn)在點(diǎn)下方和上方兩種情況即可求解；
【詳解】（1）解：∵
∴拋物線的對稱軸為直線
故答案為：
（2）解：∵當(dāng)時，函數(shù)值的取值范圍是，
且，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
將代入得：，
解得：，
∴
∵
∴當(dāng)時，；
解得：
（3）解：①當(dāng)時，；
∵拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為6，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∴點(diǎn)在軸上方
令，解得：
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②設(shè)圖象折疊后，頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
∴；
∵當(dāng)時，；
∴
若點(diǎn)在點(diǎn)下方，則的最高點(diǎn)為，最低點(diǎn)為;
∴，解得：；
若點(diǎn)在點(diǎn)上方，則的最高為，最低點(diǎn)為;
∴，解得：；
綜上所述：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及了二次函數(shù)的對稱軸、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)與翻折問題，掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題三 二次函數(shù)中的切線模型】
【例3】（24-25八年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)小組在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，進(jìn)一步查閱其相關(guān)資料進(jìn)行學(xué)習(xí)：
材料一：給出如下定義：與坐標(biāo)軸不平行的直線與拋物線有兩個交點(diǎn)時，稱直線與拋物線相交；直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時，稱直線與拋物線相切，這個交點(diǎn)稱作切點(diǎn)；直線與拋物線沒有交點(diǎn)時，稱直線與拋物線相離．
材料二：判斷：拋物線與直線的位置關(guān)系聯(lián)立得．根據(jù)一元二次方程根的判別式
①當(dāng)時，拋物線與直線有兩個交點(diǎn)，則直線與拋物線相交（如圖1）．
②當(dāng)時，拋物線與直線有且只有一個交點(diǎn)，則直線與拋物線相切．直線叫做拋物線的切線，交點(diǎn)叫做拋物線的切點(diǎn)（如圖2）．
③當(dāng)，拋物線與直線沒有交點(diǎn)，則直線與拋物線相離（如圖3）本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
【探究性質(zhì)】（1）判斷：直線與拋物線的位置關(guān)系是：________（選填“相交”或“相切”或“相離”）；
【運(yùn)用性質(zhì)】（2）若直線與拋物線相離，求的取值范圍；
【問題解決】某小區(qū)修建完成人工噴泉，人工噴泉中心有一豎直的噴水柱，噴水口為，數(shù)學(xué)興趣小組觀察發(fā)現(xiàn)，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，其中一條水流落地點(diǎn)為，興趣小組將噴泉柱底端標(biāo)為原點(diǎn)，噴泉柱所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的井面直角坐標(biāo)系．從水流噴出到落下的過程中，水流噴出的豎直高度與水流落地點(diǎn)與噴水柱底端的距離滿足二次函數(shù)關(guān)系，其表達(dá)式為．
（3）小區(qū)現(xiàn)要進(jìn)行噴泉亮化工作，擬安裝射燈，要求射燈發(fā)出的光線與地面的夾角為；并且射燈發(fā)出的光線恰好不穿過下落的水流，請問射燈安裝在什么位置，符合安裝要求．
【答案】（1）相交；（2）；（3）射燈安裝距離噴泉柱底端4米處．
【分析】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根的判別式，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）把與聯(lián)立方程組得到，根據(jù)，于是得到結(jié)論；
（2）把與聯(lián)立方程組得到，根據(jù)直線與拋物線相離，得到，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)射燈發(fā)出的光線與軸交于，得到，設(shè)，則，設(shè)直線的解析式為，得到直線的解析式為，聯(lián)立得到，利用，求得，得到米．本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)##學(xué)第六感
【詳解】解：（1）把與聯(lián)立方程組，
得，
，
直線與拋物線的位置關(guān)系是相交，
故答案為：相交；
（2）把與聯(lián)立方程組，
得，
直線與拋物線相離，
，
解得，
故答案為：；
（3）設(shè)射燈發(fā)出的光線與軸交于，
，，
∴為等腰直角三角形，
，
設(shè)，則，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，，
射燈發(fā)出的光線恰好不穿過下落的水流，
直線與拋物線相切，
，
解得，
米，
答：射燈安裝距離噴泉柱底端4米處．
1．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，其中，．當(dāng)時，必有；當(dāng)時，必有．
(1)求a與c之間的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)F的坐標(biāo)，以BF為半徑的與x軸只有一個公共點(diǎn)．本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感
①求此拋物線解析式；
②延長線交拋物線L于點(diǎn)E，的切線FM交拋物線L于M，N兩點(diǎn)．求四邊形BMEN面積的最小值．
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（1）可求，從而可得，即可求解．
（2）①可求，可得，可求，可得，從而可求，即可求解；②設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式和直線的解析式得，可求，從而可求，進(jìn)而可求，可求，同理可求，由，即可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，必有，
，，
，
拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，
，
解得：．
（2）解：①，
，，
，
，
以為半徑的與x軸只有一個公共點(diǎn)，
與x軸相切，
，
，
，
整理得：，
時，必有，
，
解得：，
；
②設(shè)直線的解析式為，
聯(lián)立拋物線解析式和直線的解析式得
，
整理得：，
，
，
，
，
同理可求：，
如圖，
的切線FM交拋物線L于M，N兩點(diǎn)，
是的切線，
，
，
，
當(dāng)，即時，
，
的最小值為
．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，根于系數(shù)的關(guān)系，掌握性質(zhì)及解法是解題的關(guān)鍵．
2．（23-24九年級上·福建廈門·期中）矩形中，把點(diǎn)D沿對折，使點(diǎn)D落在上的F點(diǎn)，已知，．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如果一條不與拋物線對稱軸平行的直線與該拋物線僅有一個交點(diǎn)，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知拋物線過點(diǎn)且直線是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；
(3)直線與（2）中的拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．求證： 為定值（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，Mx1,y1，Nx2,y2，則M，N兩點(diǎn)之間的距離為）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)見解析；
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)．解題時， 要學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到所以在直角中，利用勾股定理來求的長度， 然后由點(diǎn)在軸上易求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知拋物線與軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，所以可以設(shè)拋物線的交點(diǎn)式方程即，根據(jù)拋物線的切線的定義知，直線 與該拋物線有一個交點(diǎn)，則聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，得到關(guān)于的一元二次方程則該方程的根的判別式；*本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
（3）設(shè) 假設(shè) 根據(jù)拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法得到： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得 利用兩點(diǎn)間的距離公式推知， 易求 為定值．
【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得到：則 本#號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學(xué)第六感
又
∴．
（2）解：依題意可設(shè)過點(diǎn)的拋物線解析式為
即，
依題意知，拋物線與直線相切，
有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
解得
∴拋物線的解析式為．
（3）證明： 設(shè)
假設(shè)
依題意得
得
，
即 為定值．
3．（23-24九年級下·湖南長沙·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線的解析式為： (為常數(shù)且．)，當(dāng)直線與一條曲線有且只有一個公共點(diǎn)時，我們稱直線與這條曲線“相切”，這個公共點(diǎn)叫做“切點(diǎn)”．
(1)求直線：與雙曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，使得直線 與都相切于同一點(diǎn)? 若存在，求出的解析式；若不存在，請說明理由；
(3)已知直線，直線是拋物線 的兩條切線，當(dāng)與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時，試判斷是否為定值，并說明理由．
【答案】(1)切點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）聯(lián)立直線和雙曲線解析式得到關(guān)于的一元二次方程，由相切的定義得出的值，解之可得；
（2）聯(lián)立可得切點(diǎn)為，從而得出經(jīng)過點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法得出，聯(lián)立，得：，利用得出，，，即可得解；
（3）由與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，可令，則直線，直線 ，聯(lián)立，得：，由直線是拋物線的切線，可得，同理可得：，從而得出為的兩根，最后由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．
【詳解】（1）解：聯(lián)立，得：，
解得：，
切點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）解：直線與二次函數(shù)相切，
聯(lián)立，得：，
解得：，
切點(diǎn)為，
與都相切于同一點(diǎn)，
經(jīng)過點(diǎn)，，
解得：，
，
聯(lián)立，得：，
，
解得：，
，，
的解析式為：；
（3）解：是定值，，
理由如下：
與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
令，
直線，直線 ，
，，
直線，直線 ，
聯(lián)立，得：，
直線是拋物線的切線，
，
同理可得：，
為的兩根，
．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．
【經(jīng)典例題四 二次函數(shù)中的線段關(guān)系問題】
【例4】（24-25九年級上·廣東東莞·期中）【問題背景】
如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
【知識技能】
（1）求此拋物線的解析式．
【構(gòu)建聯(lián)系】
（2）在下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為多少時，線段的長度最大？最大是多少？
（3）在軸上找一點(diǎn)，使得為等腰三角形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)為，有最大值，最大值為（3）或或
【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值等，其中（3）要注意分類求解，避免遺漏．
（1）由得，，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)，則，求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理求出，再分為腰和底兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：（1）∵
∴，C0,?3，
把，C0,?3代入，得，
，
解得，，
∴此拋物線的解析式為．
（2）設(shè)直線的解析式為，
把把，C0,?3代入，得，
，
解得，
∴直線的解析式為；
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值為，此時點(diǎn)N的坐標(biāo)為；
（3）∵
∴
如圖，
當(dāng)為底邊時，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)為腰時，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,3或；
綜上，為等腰三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為或0,3或．
1．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）已知拋物線．
(1)當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，求h的最小值；
(2)已知A、B兩點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，若拋物線與線段只有一個公共點(diǎn)，求h的取值范圍．
【答案】(1)
(2)且
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)該二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可；
（2）分別求得拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)時的h值，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性求解即可．
【詳解】（1）解：由拋物線知，該拋物線的開口向上，對稱軸為直線，
∵當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，
∴，則h的最小值為1；
（2）解：由題意得，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時，
解得或，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時，
解得或．
當(dāng)時，拋物線同時經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，不合題意，
，
則h的取值范圍是，且．
2．（23-24九年級上·江蘇泰州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為，直線與x軸相交于點(diǎn)B，連接，二次函數(shù)圖象從點(diǎn)O沿方向平移，與直線交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動．
(1)求線段所在直線的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時，線段最短，并求出二次函數(shù)的表達(dá)式；
(3)當(dāng)線段最短時，二次函數(shù)的圖象能否過點(diǎn)？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，最短，
(3)二次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，一元二次方程根的判別式：
（1）利用待定系數(shù)法求解；
（2）先表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而用含m的式子表示出平移后拋物線的解析式，再用含m的式子表示出線段的長度，即可求解；
（3）將代入二次函數(shù)解析式，利用一元二次方程根的判別式求解．
【詳解】（1）解：設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，
將代入，得，
解得，
線段所在直線的函數(shù)解析式為；
（2）解：∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段上移動，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為，
∴當(dāng)時，，
∴，
∴當(dāng)時，最短，
當(dāng)最短時，拋物線的解析式為；
（3）解：假設(shè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
則方程有解，
即方程有解，
，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴假設(shè)不成立，二次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)．
3．（24-25九年級上·天津·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)P為線段上一動點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)作軸分別交線段AB、拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)，求線段的最大值及此時的面積．
【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為
(2)線段的最大值為23；此時的面積
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，面積問題，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．
，
解得：，
，
，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）解：∵，
設(shè)直線的解析式為，代入，則，
，
∴直線的解析式為，
設(shè)，
則，
∴，
∵，
當(dāng)時，有最大值，最大值為23，
∴．
【經(jīng)典例題五 二次函數(shù)中的角度關(guān)系問題】本#號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學(xué)第六感
【例5】（24-25九年級上·重慶開州·期中）如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．本號資料全部來源于#微信公眾號*：數(shù)學(xué)第六感
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)直線是下方拋物線上一個動點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將拋物線向右移動兩個單位得到新拋物線，在新拋物線上是否存在一點(diǎn)使，若有請直接寫出的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，
（1）用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；
（2）由，即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在的右側(cè)時，證明，即點(diǎn)B、N關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)N，證明四邊形為正方形，得到點(diǎn)，然后求出直線解析式與拋物線解析組成方程組，進(jìn)而求解即可．
熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式；
（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式，
∴，解得，
∴直線的表達(dá)式為：，
過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)H，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∴，
故的最大值為，此時，則點(diǎn)；
（3）解：∵拋物線向右移動兩個單位得到新拋物線，本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第*六感
∴平移后的拋物線表達(dá)式為，
當(dāng)點(diǎn)M在的右側(cè)時，
設(shè)交x軸于點(diǎn)N，
∵、，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，即點(diǎn)B、N關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)，則，
過點(diǎn)N作軸交于點(diǎn)T，則為等腰直角三角形，本號資料全部來源于微信公#眾號：數(shù)學(xué)第六感
過點(diǎn)T作x軸的平行線交過點(diǎn)A與y軸的平行線于點(diǎn)，同理可得為等腰直角三角形，
則四邊形為正方形，則，即和新拋物線的交點(diǎn)也符合題意，
∴點(diǎn)，
由點(diǎn)C、N的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，同理可得直線的表達(dá)式為：，
聯(lián)立上述兩式和新拋物線的表達(dá)式得：或，
解得：（正值已舍）或（正值已舍），
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或．
1．（24-25九年級上·重慶萬州·階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，其中，，直線分別交坐標(biāo)軸于C、D兩點(diǎn)，直線l1與l2的交點(diǎn)為E．已知，且．
(1)求直線的解析式和點(diǎn)E坐標(biāo)；
(2)如圖2，若點(diǎn)P為線段上的一個動點(diǎn)（不與C、E兩點(diǎn)重合），點(diǎn)R為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，當(dāng)四邊形的面積最小時，求出周長的最小值；
(3)如圖3，在（2）的條件下，將直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，與直線交于點(diǎn)F，連接，若在直線上存在點(diǎn)M，使得，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）證明，是等腰直角三角形，則可求A、B、C、D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線、的解析式，再聯(lián)立方程組并解方程組即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）證明，設(shè)，則，根據(jù)可求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)時，有最大值，此時，由兩點(diǎn)間距離公式求出，作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，，則，故當(dāng)、R、B三點(diǎn)共線時，最小，則最小，即的周長最小，即可求解；
（3）過B作交于Q，過Q作于K，過P作于L，證明，可求出，，進(jìn)而求出，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式為，聯(lián)立方程組，可求出，然后分兩種情況討論：當(dāng)M在E的左側(cè)時，判斷和關(guān)于直線對稱，則M和F關(guān)于直線對稱，即可求出M的坐標(biāo)；當(dāng)M在E的右側(cè)時，即為，可得出，根據(jù)等角對等邊得出，根據(jù)三線合一得出，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴B0,3，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
∴，
同理可求直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴；
（2）解：同（1）可證，
設(shè)，則，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
，
∴當(dāng)時，有最大值，
此時，
∴，
作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接，，
∴，
∴當(dāng)、R、B三點(diǎn)共線時，最小，則最小，即的周長最小，最小值為．
（3）解：過B作交于Q，過Q作于K，過P作于L，
則，
∴，
∵直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，B0,3，
∴，，
∴，
∴，
同理可求直線解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得，
∴，
當(dāng)M在E的左側(cè)時，如圖，
∵，，，
∴，
∴和關(guān)于直線對稱，
∴M和F關(guān)于直線對稱，
∴；
當(dāng)M在E的右側(cè)時，即為，如圖
則，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
綜上，M的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．本號資料全部*來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
2．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A．
(1)如圖1，求拋物線的解析式；
(2)如圖2，點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，線段的長度為d．求d與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，過點(diǎn)B作，點(diǎn)P在拋物線上，連接并延長交于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，交直線于點(diǎn)G．若，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）求出直線的解析式為，即可求解；
（3）證明，，，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)，直線的函數(shù)表達(dá)式為：，
把點(diǎn)，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
令，則，
∴，
∴；
（3）解：當(dāng)，則，則，
∴
延長交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，
在函數(shù)中，令，則，
∴點(diǎn)A0，3，
∴軸，
當(dāng)時，直線的解析式為：，
令，則，
∴點(diǎn)D0,1，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，
∴，
∴，
設(shè)直線解析式為：，把，代入得：
，
解得：，
∴直線解析式為：，
聯(lián)立得：，
解得： ，
∴，
∴點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
3．（24-25九年級上·重慶九龍坡·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與軸交于、B4,0兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個動點(diǎn)，連接、；求當(dāng)?shù)拿娣e及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，連接，將拋物線沿射線的方向平移得到新拋物線，使得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)時，直接寫出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)的最大值，
(3)或
【分析】（1）將、、的坐標(biāo)代入解析式，即可求解；
（2）過點(diǎn)作軸于，交直線于，由待定系數(shù)法得直線的解析式為，設(shè)，由得出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）由正切函數(shù)得，由勾股定理得，設(shè)將拋物線沿射線的方向平移（）個單位得到新拋物線，可得原拋物線水平向右平移個單位，向下平移個單位，平移后的二次函數(shù)，將B4,0代入可求的值，聯(lián)立此拋物線和直線的解析式可求，①當(dāng)在直線的上方，連接，過點(diǎn)作軸交于，作軸交的延長線于，過作軸于，由可判定，由三角形的性質(zhì)得，，由正切函數(shù)及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系數(shù)法可求直線的解析式為，聯(lián)立此直線與的解析式即可求出的坐標(biāo)； ②當(dāng)在直線的下方，過點(diǎn)作軸交于，作軸交于，過作軸于，同理可求直線的解析式為，設(shè)，由勾股定理得，可求出的值，從而可求 ，同理可求直線的解析式為，聯(lián)立此直線與的解析式即可求出的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
；
（2）解：過點(diǎn)作軸于，交直線于，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，
，
，
，
，
當(dāng)時，取得最大值，
，
，
故的最大值，；
（3）解：B4,0，，
，，
，
，
設(shè)將拋物線沿射線的方向平移（）個單位得到新拋物線，
原拋物線水平向右平移個單位，向下平移個單位，
，
經(jīng)過B4,0，
，
整理得：，
解得：，，
，
聯(lián)立，
解得：或，
，
①當(dāng)在直線的上方，
如圖，連接，過點(diǎn)作軸交于，作軸交的延長線于，過作軸于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
同理可求直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
；
②當(dāng)在直線的下方，
如圖，過點(diǎn)作軸交于，作軸交于，過作軸于， 本號資料全部來#源于微信公*眾號：數(shù)學(xué)第六感
由①同理可求：，
，
同理可求直線的解析式為，
設(shè)，
，
，
，
，
解得：，，
當(dāng)時，
，
不合題意舍去，
當(dāng)時，
，
，
同理可求直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：解得：或，
；
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正切函數(shù)等，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，能作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建三角形及全等三角形，熟練利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題六 二次函數(shù)中的面積關(guān)系問題】本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六#感
【例6】（24-25九年級上·福建漳州·期中）已知拋物線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求的面積；
(3)點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)且不同于頂點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得和面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由？
【答案】(1)
(2)3
(3)存在；
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何圖形面積的計(jì)算方法，掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式的計(jì)算，二次函數(shù)與幾何圖形面積的計(jì)算方法阿是解題的關(guān)鍵．
（1）把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的計(jì)算方法可得，，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可得，根據(jù)∴，即可求解；本號資料全部來源于微信公眾號：*#數(shù)學(xué)第六感
（3）根據(jù)題意，點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)且不同于頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，計(jì)算方法如（2），由此即可求解．
【詳解】（1）解：已知拋物線，頂點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）解：令x=0，則，
∴，
令，則，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
把x=1代入直線得，，
∴，
∴，，
∴，
∴的面積為3；
（3）解：如圖所示，
∵點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)且不同于頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴設(shè)，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，即
∴，
根據(jù)（2）的計(jì)算方法得，，
∴，
∴，
解得，（不符合題意，舍去），，
當(dāng)時，，
∴，
∴存在點(diǎn)，使得和面積相等，坐標(biāo)為．
1．（24-25九年級上·四川德陽·期中）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與二次圖象交于軸上的一點(diǎn)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)在軸上，且．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)圖象另一交點(diǎn)為．
①在拋物線上是否存在點(diǎn)，使面積與面積相等，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
②已知為軸上一個動點(diǎn)，且為直角三角形，求點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為：和．
【分析】（1）根據(jù)交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，即可得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)C在x軸上，且．得出可設(shè)二次函數(shù)，進(jìn)而求出即可；
（2）①分點(diǎn)P在直線上方和點(diǎn)P在直線下方兩種情況，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時，過點(diǎn)C作，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時，記與軸的交點(diǎn)為，在軸上取點(diǎn)，且，可得，過點(diǎn)K作直線交拋物線于，利用平行關(guān)系和對稱性求出直線，解析式再分別和拋物線解析式聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
②先求解，根據(jù)當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，以及當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，設(shè)，分別利用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴令，則，解得，即，
令，則，即，
∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)C在x軸上，且，
∴由圖可得，
∴可設(shè)二次函數(shù)，
把代入得：
∴二次函數(shù)的解析式：；
（2）解：①∵面積與面積相等，
∴點(diǎn)在過點(diǎn)且與平行的直線上或與平行且點(diǎn)到的距離與到的距離相等的直線上；
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時，過點(diǎn)C作，本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感

由（1）知，直線解析式為，故設(shè)直線的解析式為，
∵，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵拋物線的解析式：，
聯(lián)立①②得，（舍）或，
∴；
當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時，記與軸的交點(diǎn)為，
∴，
∵，
∴，
在軸上取點(diǎn)，且，
∴，
過點(diǎn)K作直線交拋物線于，
同理可得：直線解析式為，
聯(lián)立②③得，或，
∴或，
綜上所述：使面積與面積相等的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，；
②∵，
∴，
解得：，，
當(dāng)時，，
∴，
如圖，設(shè)，而，
∴，
，
，
當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，
∴，
∴，
解得：，
∴，
當(dāng)為直角頂點(diǎn)時，
∴，
∴，
解得：，
∴，
當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴方程無解，
∴此時不存在．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：和．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)面積問題、勾股定理的應(yīng)用，一元二次方根的判別式的應(yīng)用、求一次函數(shù)的解析式等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
2．（20-21九年級上·廣東·期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)A（﹣5，0），點(diǎn)B，與y軸相交于C（0，﹣5），點(diǎn)Q是拋物線在x軸下方的一動點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，AQ交線段BC于D，令t＝，當(dāng)t值最大時，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖2，直線AQ，BQ分別與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，S1＝S△QMN，S2＝2m2，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣5；（2）Q（，﹣）；（3）＝，理由見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）如圖1中，過點(diǎn)Q作QE∥AB交BC于E．設(shè)Q（m，m2﹣5），利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（3）是定值．如圖2中，設(shè)Q（m，m2﹣5），求出直線AQ，BQ的解析式，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求出S1即可解決問題．
【詳解】解：（1）把A（﹣5，0），C（0，﹣5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+c，
得到，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣5．本號資料全部來#源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
（2）如圖1中，過點(diǎn)Q作QE∥AB交BC于E．設(shè)Q（m，m2﹣5），本號*資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
由（1）可知，A（﹣5，0），B（5，0），C（0，﹣5），
直線BC的解析式為y＝kx+b，直線AQ的解析式為y＝
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣5，直線AQ的解析式為y＝x+m﹣5，
由，
解得，
∴D（，），
∴E（m2，m2﹣5），
∵QE∥AB，
∴△QED∽△ABD，
∴t＝＝＝＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)m＝﹣＝時，t的值最大，此時Q（，﹣）．
（3）是定值．
理由：如圖2中，設(shè)Q（m，m2﹣5），
由（2）可知，直線AQ的解析式為y＝x+m﹣5，
當(dāng)x＝0時，y＝m﹣5，
∴M（0，m﹣5），
∵直線BQ的解析式為y＝x﹣m﹣5，
當(dāng)x＝0時，y＝﹣m﹣5，
∴N（0，﹣m﹣5），
∴S1＝S△MNQ＝×m×（2m）＝m2，
∴＝＝，為定值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等等，利用數(shù)形結(jié)合思想解題，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（20-21九年級上·江蘇淮安·期末）如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c交y軸于點(diǎn)A（0，2），交x軸于點(diǎn)B（﹣1，0）及點(diǎn)C．
（1）填空：a＝ ，c＝ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；
（2）把△ABO逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′B′O'（其中點(diǎn)A與A′，B與B′分別是對應(yīng)點(diǎn)），當(dāng)△A′B'O'恰好有兩點(diǎn)落在拋物線上時，求點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P（m，n）是位于x軸上方拋物線上的一點(diǎn)，△PAB的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，△PBC的面積記為S3，若滿足S1＋S2＝S3，求m的值．
【答案】（1）-1，2，；（2）；（3）或本號資料全#部來源于微信公眾#號：數(shù)學(xué)第六感
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，，的解析式為，求出的解析式聯(lián)立方程求解即可；
（3）連接BP交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作軸，交AC于N，則，求出BP和AC的解析式，根據(jù)S1＋S2＝S3計(jì)算即可；
【詳解】（1）將，代入y＝ax2＋x＋c得，
，解得，
∴拋物線的解析式為，
當(dāng)時，即，
解得：，，
∵點(diǎn)C在正半軸，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
故答案是：-1，2，；
（2）如圖所示，
由（1）知，，，
∴，
設(shè)，，的解析式為，
則，整理得，
∴，，，
∴，
解得：，
∴的解析式為，
∴，
解得：，，
當(dāng)時，，
∴；
（3）連接BP交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作軸，交AC于N，則，
∴，
，
設(shè)直線BP為，將，代入得，
，
解得：，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
設(shè)直線AC為，
將，代入得，
，
解得，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
解得：或；
故m的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題七 二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合】
【例7】（24-25九年級上·湖南長沙·期中）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)，對于任意的函數(shù)值，都滿足，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界為3；函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．
(1)請判斷下列函數(shù)是否為有上界函數(shù)，在后面括號內(nèi)打“√”或“×”
①（ ）
②（ ）
③（ ）
(2)一次函數(shù)是有上界函數(shù)，上確界為4，求實(shí)數(shù)的值．
(3)如果函數(shù)是以為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)√；×；√
(2)或
(3)
【分析】（1）根據(jù)有上界函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得解；
（2）分兩種情況：當(dāng)，隨增大而增大；當(dāng)，隨增大而減?。环謩e得出方程，求解即可；
（3）分兩種情況：當(dāng)時，函數(shù)隨著增大而增大， 當(dāng)時，函數(shù)有上確界；當(dāng)時，時，函數(shù)有上確界，分別計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：①中，當(dāng)時，有最大值，故為有上界函數(shù)，√；
②，當(dāng)時，有最小值，故不為有上界函數(shù)，×；
③，當(dāng)時，有最大值，故為有上界函數(shù)，√；
（2）解：一次函數(shù)是有上界函數(shù)，上確界為，
分兩種情況：當(dāng)，隨增大而增大，
當(dāng)時，函數(shù)有最大值，
∴；
當(dāng)，隨增大而減小，
當(dāng)時，函數(shù)有最大值，
∴；
綜上可知：或；
（3）解：當(dāng)時，函數(shù)隨著增大而增大， 當(dāng)時，函數(shù)有上確界，
故，
，
，
解得：，
當(dāng)時，時，函數(shù)有上確界，
故，
解得：（舍），（舍），
綜上可知，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、有上界函數(shù)的定義，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
1．（24-25九年級上·安徽宣城·階段練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)，是常數(shù))的圖像與軸交于，兩點(diǎn)．
(1)若，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，求函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的對稱軸．
(2)若函數(shù)的表達(dá)式可以寫成(h是常數(shù))的形式，求的最大值．
(3)設(shè)一次函數(shù)(是常數(shù))，若函數(shù)的表達(dá)式還可以寫成的形式，當(dāng)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)時，求的值．本號資料全部來源于微信*公眾號：數(shù)學(xué)第六感
【答案】(1)，對稱軸為直線
(2)
(3)或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)問題；
（1）根據(jù)題意可得拋物線解析式為，化為一般形式，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而求得關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（3）依題意，，，則，根據(jù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)時，得出或，即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，
拋物線解析式為，即，
拋物線的對稱軸為直線；
（2），
，，
，
當(dāng)時，＋有最大值；
（3）
，，
，
當(dāng)時，或，
函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
時，，即或，
或．
2．（24-25九年級上·遼寧鞍山·期中）定義：已知一次函數(shù)和一次函數(shù)若函數(shù)，則稱函數(shù)是一次函數(shù)、的累積函數(shù)．已知函數(shù)是一次函數(shù)與一次函數(shù)的累積函數(shù)．
(1)若函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過，求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小時，求此時頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若一次函數(shù)，的圖象與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)有且只有三個時，求此時的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)交點(diǎn)問題；
（1）根據(jù)新定義列出函數(shù)關(guān)系式，將代入，即可求解；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)題意，直線，的交點(diǎn)在函數(shù)上，先求得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，函數(shù)解析式為，
∵函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴對稱軸為，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，
∴當(dāng)時，取得最小值，最小值為，則橫坐標(biāo)為，
∴當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小時，此時頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：依題意，直線，的交點(diǎn)在函數(shù)上，
聯(lián)立，
解得：，
代入，得，
，
解得：．
3．（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）如圖，直線與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；
(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)Px,y是直線所在第二象限部分上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接．當(dāng)時，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接把點(diǎn)A代入，可求出的值，然后再求出反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）聯(lián)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意得，求出直線與x軸的交點(diǎn)為，，得到，則有，再結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】（1）解：由題意，
把點(diǎn)代入，
∴，
∴．
由點(diǎn)A的坐標(biāo)為得．
∴．
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：根據(jù)題意，
，
解得：，，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（3）解：∵中，令，則，
∴，
∵點(diǎn)Px,y是直線在第二象限部分上點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
令，
當(dāng)時，，即，
解得：或，
∴函數(shù)與直線交于點(diǎn)，如圖所示，
根據(jù)函數(shù)圖象可得，當(dāng)時，，
時，則有，
時，．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．
【經(jīng)典例題八 二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合】本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
【例8】（23-24九年級下·上?！ぷ灾髡猩┤鐖D，已知一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)交于A和B點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，，
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)已知點(diǎn)A點(diǎn)橫坐標(biāo)是m，的面積是S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式；
(3)已知的面積是，判斷過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由見解析
【分析】（1過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，由，可得，可求得；設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，將代入即可求解；
（2）由題意得，可求出直線的解析式為：得出，根據(jù)即可求解；
（3）由題意得，設(shè)過A和B點(diǎn)的拋物線的解析式為：，可推出
；設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為，若過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長度等于3，則，即；結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，判斷此一元二次方程有無實(shí)數(shù)根即可求解；
【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，如圖所示：
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：
（2）解：∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)是m，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∴，
∴
（3）解：由解得：，
∴，
∴，
解得：，
∵，即：，
∴，
∴，
設(shè)過A和B點(diǎn)的拋物線的解析式為：，
則，
解得：，
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為，
若過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長度等于3，則，
∴，即，
由得：，
∴，
整理得：，
∵，
∴過A和B點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長度不能等于3
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)綜合問題，涉及了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式求解，一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，需要學(xué)生具備扎實(shí)的函數(shù)基礎(chǔ)．
1．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C．連接．已知，，．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)已知點(diǎn)D為線段上方拋物線上的一個動點(diǎn)，連接．連接AD，分別交y軸與于點(diǎn)E、F．當(dāng)四邊形的面積最大時，求直線AD的表達(dá)式及此時的面積；
(3)點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求出平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)．可求得，設(shè)拋物線的表達(dá)式的拋物線為：，將代入即可求解；
（2），為定值，故求出的最大值即可求解；根據(jù)即可求解；
（3）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而根據(jù)即可求解；
【詳解】（1）解：∵，．
∴
設(shè)拋物線的表達(dá)式的拋物線為：，
將代入可得：
解得：
∴
（2）解：設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，如圖所示：
設(shè)點(diǎn)，則
∴
∴當(dāng)，即點(diǎn)時，有最大值，且最大值為；
∵，為定值
∴此時也最大
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
令可得，即
聯(lián)立，解得：
∴
∴
（3）解：由，可知：拋物線的對稱軸為直線，
由（2）可得，
設(shè)
若四邊形為平行四邊形，則，
解得：
∴
設(shè)直線的解析式為：，
則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，如圖所示：
則，即
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及了一次函數(shù)的解析式求解，平行四邊形的存在性問題，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，掌握函數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
2．（2023·廣西南寧·三模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式及其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，過點(diǎn)D作軸，交拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左邊）.若，求的值；
(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)D的動直線與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，且點(diǎn)G在第一象限，點(diǎn)H在第三象限.在直線的運(yùn)動過程中，若點(diǎn)D恰好是線段的中點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【分析】
本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即函數(shù)與方程的關(guān)系，熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵，
（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接求解即可;
（2）先聯(lián)立解析式求出x的值，即表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再根據(jù)題意即可求解;
（3）由（2）可得聯(lián)立解析式求出兩根之和，即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，即可解答
點(diǎn)評
【詳解】（1）拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
，
解得：，
此拋物線的解析式，
，
，
，
頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
（2）點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，過點(diǎn)D作軸，
直線的解析式為,
點(diǎn)E，F(xiàn)在拋物線上，
，
解得：，或，
點(diǎn)E在點(diǎn)F左邊，
，，
， ，
，
，
解得：；
（3）由（2）得，
設(shè)直線l的解析式為，
把代入得：，
則直線l為，
點(diǎn)D的動直線與拋物線交于G、H，
，
解得：，
，
點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，
，，
，
，
把代入得，
解得：，
點(diǎn)G在第一象限，點(diǎn)H在第三象限，
把代入得
，
點(diǎn)G的坐標(biāo)為
在直線上
直線到x軸的距離的距離為，
則點(diǎn)G到的距離為，
過G作，交于點(diǎn)N，
即，
3．（2024·上海靜安·三模）已知直角坐標(biāo)平面中，為原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．
(1)當(dāng)時，求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)若點(diǎn)在直線上，且，求拋物線的解析式．
(3)聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，求的值．
【答案】(1)，頂點(diǎn)
(2)
(3)或
【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)，得到，則，則，求出，求出a、b的值，即可得到答案；
（3）分兩種情況分別進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解；當(dāng)時，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，把、代入得，
解得
∴，
∵
∴頂點(diǎn)
（2）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．
∴，
把代入得到，
把代入中
得到
即，
，
，
∴，
（3）由題意可知，
僅有和兩種情況，
由（2）可知，，
設(shè)直線的解析式為，把代入得到，，
∴，
∴，
當(dāng)時，，解得，
①時，，

，，
（負(fù)舍）
②，
，，
（負(fù)舍）
綜上所述，或
【經(jīng)典例題九 二次函數(shù)與相似綜合】
【例9】（24-25九年級上·上海寶山·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)C，拋物線M的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．
(1)直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)與相似時，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；本號資料全部來源于#微信#公眾號：數(shù)學(xué)第六感
（2）當(dāng)時，則，即，即可求解；當(dāng)時，同理可解．
【詳解】（1）解：由題意得：
，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：，
∵
∴頂點(diǎn)；
（2）解：由（1）知，，
又∵拋物線M的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，
∴點(diǎn)，
∵、，，，
∴、、、
，，
又∵與相似，
∴點(diǎn)O與點(diǎn)C對應(yīng)，
當(dāng)時，
則，即，
解得：，
即點(diǎn)；
當(dāng)時，
則，即，
解得：，
則點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)等知識，分類求解是解題的關(guān)鍵．
1．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0,2，，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)點(diǎn)為軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段（包含點(diǎn)）上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)或
【分析】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識定，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．
（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；然后令，求得x的值，即可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖：取的中點(diǎn)，可確定；如圖：過點(diǎn)作的平行線，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)．然后運(yùn)用待定系數(shù)法分別求得直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，然后將直線的表達(dá)式與拋物線聯(lián)立即可解得；
（3）先說明，即點(diǎn)與點(diǎn)不是對應(yīng)點(diǎn)．然后分和兩種情況分別運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及正切函數(shù)即可解答．
【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)，，
，
解得,
拋物線的解析式為．
令，得，
解得，，
．
（2）解：如圖：取的中點(diǎn)，則，
．
如圖：過點(diǎn)作的平行線，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將代入，得．
將代入，得，解得：，
直線的表達(dá)式為．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將代入，得．
直線的表達(dá)式為．
由，得．
（3）解：，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，
以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形也是直角三角形．
軸，直線交直線于點(diǎn)，
，即點(diǎn)與點(diǎn)不是對應(yīng)點(diǎn)．
①如圖：當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
則點(diǎn)的坐標(biāo)即點(diǎn)的坐標(biāo)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②如圖：當(dāng)時，
，，．
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
，
．
解得，（舍去），
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
2．（22-23九年級下·海南?？凇るA段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)E．
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（），
① 當(dāng)t為何值時，線段的長最大；
② 連接CD，證明：為直角三角形；
(3)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，頂點(diǎn)為
(2)①當(dāng)時，線段的長最大值為，②證明見詳解
(3)或
【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入求得函數(shù)解析式，再化為頂點(diǎn)式即可；
（2）① 利用待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)關(guān)系式為．設(shè)，則．那么，，結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可求得答案；② 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)之間的公式和勾股定理逆定理即可判定；
（3）由（2）知是直角三角形，且，，．分兩種情況(Ⅰ) ，則；(Ⅱ) ，則，分別求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，
經(jīng)配方，得，則拋物線的頂點(diǎn)為D1,4．
（2）解：① 拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+bk≠0，
則，解得，
直線的函數(shù)關(guān)系式為．
設(shè)，則．
∴，
∵，且，
∴ 當(dāng)時，線段的長最大值為．
② 證明：∵，，D1,4
則，，，
∵，
∴為直角三角形；
（3）解：存在．
由（2）知是直角三角形，且，，．
(Ⅰ) 如圖3.2，若，則，
即，
整理，得，解得，（舍去）．
∴．
(Ⅱ) 如圖3.3，若，
則，
即，
整理，得，解得，（舍去）．
∴ ．
故符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)、兩點(diǎn)之間距離公式和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．
3．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長為1的線段（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)動．
(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，當(dāng)和相似時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)，，；
(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或或．
【分析】（1）分別令和，求解即可得出答案；
（2）求出拋物線的對稱軸，設(shè)，則，，，再分兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：在中，令得，即，
令，得，解得或，即，B4,0；
（2）解：拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，則，，，
∵B4,0，，
∴，，，，
∵，
∴和相似只需或，
①當(dāng)時，，
解得或，
∴或；
②當(dāng)時，，
解得或（舍去），
∴，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題十 二次函數(shù)與圓綜合】
【例10】（23-24九年級下·江蘇南京·自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為0,3，P是半徑為2的圓C上的動點(diǎn)，Q為中點(diǎn)，求長的取值范圍．

【答案】
【分析】此題考查了三角形中位線定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，連接，取中點(diǎn)M，連接、、，求出，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，由三角形中位線定理得到，則Q在以M為圓心，1為半徑的圓上，則，即可得到答案．
【詳解】解：連接，取中點(diǎn)M，連接、、，

當(dāng)時，，解得，
∴ 點(diǎn)A坐標(biāo)，
∴，
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為0,3，
∴，
在中，，
∴
∵中點(diǎn)為M，
∴
∵Q為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)
∴
∴Q在以M為圓心，1為半徑的圓上，
∴
∴
∴
1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所有交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．
(1)已知點(diǎn)，以P為圓心，為半徑作圓，請判斷是不是二次函數(shù)的坐標(biāo)圓，并說明理由；
(2)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C，則該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心為 P在__________上；
(3)求 周長最小值．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)線段的垂直平分線
(3)6
【分析】（1）先求得該二次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和圓的定義判斷三個點(diǎn)是否在上，進(jìn)而根據(jù)題中定義作出判斷；
（2）根據(jù)題中定義和圓的定義，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，進(jìn)而可得到結(jié)論；
（3）連接，的周長為，當(dāng)點(diǎn)C、P、共線時取等號，進(jìn)而可求解．
【詳解】（1）解：是二次函數(shù)的坐標(biāo)圓，理由為：
當(dāng)時，，當(dāng)時，解方程得，，
∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，，，
∴，
故是二次函數(shù)的坐標(biāo)圓；
（2）解：∵已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C，
∴該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心P滿足，
∴該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心P在線段的垂直平分線上，
故答案為：線段的垂直平分線；
（3）解：連接，則，
∴的周長為，當(dāng)點(diǎn)C、P、共線時取等號，
∵，，
∴，，
∴周長最小值為6．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與圓的綜合，涉及二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圓的定義、最短路徑問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式等知識，理解題中定義，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
2．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．
(1)求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，求的半徑．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）令求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解答；
（）由題意可得拋物線的對稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點(diǎn)作軸，垂足為，可得；由題意可得，從而求解；
本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：令，則，解得，，
∴，B4,0；
（2）解：∵，
∴對稱軸為直線，
設(shè)，
∵，
∴，
如圖，連接，則，過點(diǎn)作軸，垂足為，
∴，
∴由勾股定理得：，
即以切線長為邊長的正方形的面積為，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在一堂數(shù)學(xué)探索課上，一名同學(xué)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心作一組同心圓，同心圓的半徑依次為1，2，3，…，n（n為正整數(shù)），又作一組平行于x軸的直線（n為正整數(shù)），如圖1所示，點(diǎn)A與點(diǎn)B為直線與半徑為5的圓的交點(diǎn)．
(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_________；
(2)如圖1，若經(jīng)過部分直線與圓交點(diǎn)的曲線為二次函數(shù)圖象，直接寫出該二次函數(shù)的解析式_________；
(3)如圖2，這名同學(xué)把這組平行線和其中一些圓都涂掉，保留半徑為5的圓，記為，此圓與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．把（2）得到的拋物線沿y軸向上平移m個單位，使之過點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)D．
①直接寫出m的值為_________；
②求的度數(shù)；
③直接寫出的面積為_________．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②；③5
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）參考（1）的方法求出另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；
（3）①設(shè)平移后得到的拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求解即可得；
②先利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再連接，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求出的長，證出是等腰直角三角形，由此即可得；
③過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再利用兩點(diǎn)之間距離公式求出的長，利用三角形的面積公式求解即可得．
【詳解】（1）解：由題意可知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為3,?4，
故答案為：3,?4．
（2）解：由題意，設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，它經(jīng)過點(diǎn)和直線與半徑為4的圓的交點(diǎn)，即，
將點(diǎn)3,?4和代入得：，
解得，
則這個二次函數(shù)的解析式為．
（3）解：①設(shè)平移后得到的拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
故答案為：；
②由題意可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由對稱性可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖，連接，
則，
，
，
所以，，
所以是等腰直角三角形，，
所以；
③如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以的面積為，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
1．（24-25九年級上·河北秦皇島·階段練習(xí)）綜合與探究
如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，與軸正半軸相交于點(diǎn)，負(fù)半軸相交于點(diǎn)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)如圖1，是第一象限拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足是點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，設(shè)．
①用含m的式子表示：_______，_______；
直接用①的結(jié)論求解②③；
②若，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【答案】(1)
(2)①，；②；③
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．本號資料全部來*源于微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感
（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①由拋物線解析式可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得直線的解析式為；設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，從而得的解析式；
②由①可得；由，得關(guān)于m的方程，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③由建立方程，可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：由于拋物線過點(diǎn)與點(diǎn)，
把這兩點(diǎn)代入拋物線解析式中，得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：①令，解得：，
∴；
設(shè)直線的表達(dá)式為，
把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入，得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，；
故答案為：，；
②由①知，；
若，則，
解得：（舍去）或，
即點(diǎn)；
③若，則，
解得：（舍去）或，
即點(diǎn)；
2．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與軸交于原點(diǎn)及另一點(diǎn)，它的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象的對稱軸上．
(1)求點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)四邊形為菱形時，求函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)；
（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱，即可得出的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴頂點(diǎn)．
∵二次函數(shù)的圖象與軸交于原點(diǎn)及另一點(diǎn)，它的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象的對稱軸上．
∴二次函數(shù)的對稱軸為：直線x=1，
∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱，
∴點(diǎn)．
（2）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
因此，點(diǎn)．
因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，
所以
解得，
∴
3．（24-25九年級上·陜西西安·期中）已知，二次函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)該二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，使得，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）設(shè)的縱坐標(biāo)為，根據(jù)，可得，進(jìn)而代入解析式求解即可．
【詳解】（1）解：由二次函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)，
把代入得，
解得，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解∶∵點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
∴，，
∴
設(shè)的縱坐標(biāo)為，
∵，
∴，
解得或，
中，當(dāng)時，，
解得或
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
中，當(dāng)時，，
解得解得x=0（舍去）或
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
4．（24-25九年級上·重慶·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接、．點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，連接、．
(1)求直線的解析式；
(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）令，代入，求出與軸交于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，令求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可得出一次函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，令，，
先求，根據(jù)三角形面積公式求，求出m，然后根據(jù)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，得出結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)，
解得：，，
，，
當(dāng)，，
，
設(shè)直線的解析式：，
將，代入得：
，，
；
（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，
，，
，，
，
，
，
令，，
，
，
，
，
即
當(dāng)時，
，
解得，，
當(dāng)時，
，
解得（不在直線上方拋物線上，舍去），
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，．
5．（24-25九年級上·安徽宣城·階段練習(xí)）圖1，在中，，．點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿勻速運(yùn)動到B；同時，點(diǎn)Q以vcm/s（）的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿勻速運(yùn)動到C．兩點(diǎn)同時開始運(yùn)動，到達(dá)各自終點(diǎn)后停止，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），的面積為S（）．當(dāng)點(diǎn)Q在上運(yùn)動時，S與t的函數(shù)圖象如圖2所示．本號資料全部*來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感
(1)AB＝______cm，v＝______cm/s，補(bǔ)全函數(shù)圖象；
(2)求出當(dāng)時間t在什么范圍內(nèi)變化時，的面積為S（）的值不小于．
【答案】(1)3；2；補(bǔ)全圖象見解析；
(2)當(dāng)時，的面積為S（）的值不小于．
【分析】本題考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，學(xué)會圖象法解不等式，學(xué)會用函數(shù)思想解決圖形運(yùn)動問題是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)時，Q從B點(diǎn)正好運(yùn)動到C點(diǎn)，即可求出點(diǎn)Q運(yùn)動的速度，根據(jù)時，求出的長，然后利用求出的長，最后根據(jù)時，，補(bǔ)全圖象即可；
（2）分2種情況①；②討論，利用圖象法求解t的范圍即可解答．
【詳解】（1）解：圖2是點(diǎn)Q在上運(yùn)動時，S與t的函數(shù)圖象，
當(dāng)時，Q從B點(diǎn)正好運(yùn)動到C點(diǎn)，
，
點(diǎn)Q運(yùn)動的速度（cm/s），
當(dāng)時，，即，
（cm），
（cm），
（cm），
當(dāng)時，，
當(dāng)時，P從A運(yùn)動到B點(diǎn)，停止，
，補(bǔ)全圖象如圖所示：
故答案為：3；2；補(bǔ)全圖象見解析．
（2）①當(dāng)時，（cm），（cm），
，
，即，
令，解得，，
由圖象可知，解得：，
又，
；
②當(dāng)時，，
，即，
解得：，
；
綜上所述，當(dāng)時，的面積為S（）的值不小于．
6．（24-25九年級上·福建廈門·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．
(1)求a，c的值；
(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．
①求該二次函數(shù)的解析式
②在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②或或
【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值問題，二次函數(shù)與值交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）將兩點(diǎn)代入求出函數(shù)解析式即可；
（2）①將代入，配成頂點(diǎn)式，得到含的最小值，再根據(jù)題中條件建立方程即可求出的值，即可得到函數(shù)解析式；
②分兩種情況討論，點(diǎn)在點(diǎn)的左右兩側(cè)，再利用和都是以為底的三角形，求出的長度，從而得到解析式，聯(lián)立求解即可．
【詳解】（1）解：圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：①由（1）可得函數(shù)解析式為，
，
當(dāng)時，函數(shù)最小值為，
該二次函數(shù)的最小值是，
，
解得，
，
，
故二次函數(shù)解析式為：；
②令，則，
解得，
，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
和都是以為底的三角形，
，
，
過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，
，
，
，
，
，
點(diǎn)坐標(biāo)，
直線的解析式為，
聯(lián)立方程組得：，
解得，，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，
直線的解析式為，
聯(lián)立方程組得：，
解得，，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
7．（24-25九年級上·安徽亳州·期中）已知：如圖，拋物線過點(diǎn)，且其對稱軸為直線，點(diǎn)為拋物線上第二象限內(nèi)一點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，求面積的最大值；
(3)如圖2，若拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)12
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，正確求得函數(shù)表達(dá)式是解答的關(guān)鍵．
（1）先求得拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得直線的解析式為，過點(diǎn)做軸的垂線分別交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，由，結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）先求得點(diǎn)D坐標(biāo)，連接，則軸．過點(diǎn)做交軸于點(diǎn)．根據(jù)等底等高的三角形面積相等得到，進(jìn)而求得點(diǎn)N坐標(biāo)和直線的解析式為．聯(lián)立方程組求解即可．
【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)，且其對稱軸為直線
拋物線過點(diǎn)B4,0
設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
把C0,6代入，得：．
二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：設(shè)的解析式為，把點(diǎn)代入，得．
的解析式為．
如圖，過點(diǎn)做軸的垂線分別交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)，
則點(diǎn)
，
∵，
面積的最大值為12．
（3）解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，直線的解析式為．
連接，則軸．過點(diǎn)做交軸于點(diǎn)．則
．
，
，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，直線的解析式為，
直線的解析式為．
點(diǎn)為拋物線與直線的在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，
解方程組，解得或（舍去）
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
8．（24-25九年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，
①如圖1，點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②如圖2，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)①或?1,1；②
【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入拋物線解析式求解；
（2）①先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線的對稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，由勾股定理來求解；
②設(shè)交軸于，延長到，根據(jù)題意得到，即可得，設(shè)，利用勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，再與拋物線聯(lián)立組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入中得
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：①在中，令得，
∴．
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線．
∵過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，
∴與關(guān)于直線對稱，
∴．
設(shè)，
∵，
∴．
，
，，
，
∴，
解得或，
∴的坐標(biāo)為或?1,1；
②設(shè)交軸于，延長到．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
設(shè)，
，，
，
解得，
點(diǎn)．
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)和代入得
，
解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得（舍去）或，
∴的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，勾股定理及應(yīng)用，等腰三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
9．（24-25九年級上·湖北黃岡·期中）如圖，已知二次函數(shù)過點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)點(diǎn)為拋物線與軸的另一個交點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積為6，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或
【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與面積綜合等知識．熟練掌握二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與面積綜合是解題的關(guān)鍵．
（1）將點(diǎn)代入得，，計(jì)算求解的值，進(jìn)而可求二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時，，可求，即，，設(shè)，則，計(jì)算求解然后作答即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，，
解得，，
∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：當(dāng)時，，
解得，，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
整理得，，
當(dāng)時，解得，或；
∴或；
當(dāng)時，解得，或；
∴或
綜上所述，存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
10．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)利用圖象回答：當(dāng)時，請直接寫出的取值范圍．
(2)將該拋物線向右平移個單位長度，該函數(shù)圖象恰好經(jīng)過原點(diǎn)，請直接寫出的值．
(3)將線段繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好是拋物線與軸的交點(diǎn)，求該拋物線的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程，平移變換等知識，
（1）根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍即可；
（2）設(shè)拋物線，再寫出拋物線向右平移個單位長度后的解析式，再由函數(shù)圖象恰好經(jīng)過原點(diǎn)，列關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可；
（3）由題意得，進(jìn)而可得，設(shè)拋物線，將代入得出a的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式．
【詳解】（1）解：由圖象可得，當(dāng)時，；
（2）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線，
將拋物線向右平移個單位長度后得，，
∵平移后的函數(shù)圖象恰好經(jīng)過原點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴；
（3）解：由題意得，，
∵，
∴，
設(shè)拋物線，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
11．（24-25九年級上·福建龍巖·期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于和B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接，D為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)C點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)D點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題等知識．
（1）把代入拋物線解析可得．即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，由得到，則，求出，則，在中，，求出，得到，求出直線的解析式為，聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式求出，即可得到答案．
【詳解】（1）解：將代入拋物線解析可得：
解得：．
∴，
當(dāng)時，，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為0,3；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，令，則，
解得：，，
∴，
∴，
在中，，解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
將代入可得，
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，
解得：（不合題意，舍去）或，
當(dāng)時，，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：
12．（24-25九年級上·江西宜春·期中）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知，．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E是線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，四邊形的面積最大，最大面積為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）將、點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得，然后解方程組求出、即可得到拋物線解析式；
（2）由題意知，二次函數(shù)的對稱軸為直線，則，如圖，設(shè)，則，，由題意知，，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解作答即可．
【詳解】（1）解：將，代入得，
，
解得，，
∴拋物線的關(guān)系式為；
（2）當(dāng)時，，
解得，或，則，
由題意知，二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴，如圖，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為
將、點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)，則，，
由題意知，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，即點(diǎn)為的中點(diǎn)時，四邊形的面積最大，最大面積為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．
13．（24-25九年級上·山東濱州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為和，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)求出拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P為該拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，使得是以BD為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)M坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，，進(jìn)而解方程即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，如圖所示，以為圓心為半徑作圓，交軸于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：將和代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：由，令，解得：，
∴，
∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
點(diǎn)為該拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，
設(shè)，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,1；
（3）解：∵，，
∴，
設(shè)點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形，
設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
如圖所示，以為圓心為半徑作圓，交軸于點(diǎn)，
∴，
即，
解得：或．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,1或0,3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，線段問題，特殊三角形問題，直徑所對的圓周角是直角，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
14．（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
(1)求b、c的值；
(2)如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在第一象限的拋物線上有一點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）把點(diǎn)、代入中，解方程即可得到結(jié)論；
（2）在中，當(dāng)時，，得到，設(shè)直線的解析式為，求得直線的解析式為，于是得到結(jié)論；本*號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)第六感
（3）設(shè)，的面積為S，連接，，，根據(jù)圖形的面積即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)、代入中，
，
解得，
∴，；
（2）解：在中，
令，則，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為：，
∴二次函數(shù)的對稱軸為，
∴當(dāng)時，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
∴當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，四邊形的面積最大，
設(shè)，的面積為S，
連接，，，

則
，
又∵，
∴，
當(dāng)時，，
此時，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題意，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）【背景】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，與y軸相交于點(diǎn)已知位于點(diǎn)B右側(cè)圖象上有一動點(diǎn)P，并且射線分別交y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)
（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；
【特例】
（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時，線段有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
【思考】
（3）當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)B右側(cè)圖象上任意一點(diǎn)，（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．
【答案】（1）（2），理由見解析（3）成立，理由見解析
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）分別求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)P，分別求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵，
∴當(dāng)時，，
∴，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴設(shè)，把，代入，得：，
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為：；
（2）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時，，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：
∴直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時，，
則點(diǎn)；
同理可得，點(diǎn)，
則，，
故；
（3）成立，理由如下：
設(shè)點(diǎn)P，
同（2）可得：直線的表達(dá)式為：，
則點(diǎn)，
同理可得，點(diǎn)，
則，，
故

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