甘肅省酒泉市2024-2025學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

考生注意：
1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的荅案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 在等差數(shù)列中，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值.
【詳解】在等差數(shù)列中，，故.
故選：C.
2. 拋物線的準線方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線方程求出準線即可.
【詳解】拋物線的準線方程是.
拋物線，則，所以準線方程是.
故選：D.
3. 過點且方向向量為的直線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)方向向量得到直線的斜率，從而得到直線的方程.
【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線的斜率為，
又直線過點，所以直線方程為.
故選：D
4. 為了解雙減政策的執(zhí)行情況，某地教育主管部門安排甲、乙、丙三個人到兩所學校進行調(diào)研，每個學校至少安排一人，則不同的安排方法有（）
A. 6種B. 8種C. 9種D. 12種
【答案】A
【解析】
【分析】先分組，再分配即可.
【詳解】由題意，將3人分成2組，其中一組2人，有種，
再分配到兩所學校，有種，
故共有種安排方法.
故選：A.
5. 若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D. [3，5]
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行線間距離公式根據(jù)圓上滿足題意的點的個數(shù)即可求得結(jié)果.
【詳解】如圖所示：

設與直線l行且與直線l之間的距離為1的直線方程為，
則，解得或，
圓心到直線的距離為，
圓到直線的距離為，
由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，
所以，即.
故選：C
6. 已知等比數(shù)列滿足，公比，則（）
A. 32B. 64C. 128D. 256
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為，公比，
所以.
故選：B
7. 已知橢圓與直線交于兩點，若點為線段的中點，則直線的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設點，利用題設條件得出利用點差法得到，代入結(jié)論整理得直線的斜率，即可求出直線的方程.
【詳解】設點，因點為線段中點，則（*）
又在橢圓（即）上，則 ①， ② ，
由，可得，
將（*）代入，化簡得，即，可知直線的斜率為，
故直線的方程為：，即.
故選：B.
8. 已知直線與軸和軸分別交于，兩點，且，動點滿足，則當，變化時，點到點的距離的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，兩點坐標，根據(jù)得到，再結(jié)合可得到軌跡為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.
【詳解】由，得，
由，得，
由，得，設，則，即，
因此點的軌跡為一動圓，
設該動圓圓心為，即有，
則代入，整理得：，
即軌跡的圓心在圓上（除此圓與坐標軸的交點外），
點與圓上點連線的距離加上圓C的半徑即為點到點的距離的最大值，
所以最大值為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若，則的值可以是（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BC
【解析】
【分析】利用組合數(shù)的計算即可求解
【詳解】因為，所以或，解得或.
故選：BC.
10. 已知數(shù)列的首項為，前項和為，且，則（）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列B. 是等比數(shù)列
C. D. 數(shù)列的前項和為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用遞推公式，結(jié)合，即可判斷選項AB，根據(jù)數(shù)列的通項公式即可判斷選項C，結(jié)合對數(shù)運算求出，利用等差數(shù)列前項和公式即可判斷選項D.
【詳解】因為，所以，
兩式相減得，，即，
令，則，
所以數(shù)列從第項起是等比數(shù)列，
則，A錯，
又，C正確；
又，
所以，且，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B正確；
且，
所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
則數(shù)列的前項和為，D正確.
故選：BCD
11. 將圓上任意一點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到橢圓，若該橢圓的兩個焦點分別為，長軸兩端點分別為，則（）
A. 橢圓的標準方程為
B. 橢圓上恰有四個點，使得
C. 若點是橢圓上任意一點（與不重合），則內(nèi)切圓半徑的最大值為
D. 若點是橢圓上任意一點（與不重合），在延長線上，是的角平分線，過作垂直MN，垂足為，則線段OQ（為坐標原點）的長為定值4
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項：根據(jù)圖象的變換即可求解；
B選項：根據(jù)焦點三角形在短軸端點處張角最大即可判斷；
C選項：根據(jù)內(nèi)切圓半徑與三角形面積的關系即可求解；
D選項：根據(jù)橢圓光學性質(zhì)判斷出外角平分線即為切線，根據(jù)幾何關系得到，從而得到直線和直線方程，聯(lián)立求得點坐標，即可求解.
【詳解】由題意得，橢圓的方程為，即，A錯誤；
當點為上下頂點時，最大，此時，，所以橢圓上恰有四個點，使得，B正確；
因為的周長為定值，設內(nèi)切圓半徑為，則
，
所以，C正確；
由橢圓的光學性質(zhì)可知，為橢圓在點處的切線，且.
設點，則直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立兩直線方程，得，所以
，
所以為定值，D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在的展開式中，的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】寫出展開式的通項，利用通項計算可得.
【詳解】展開式的通項為（其中且），
令，解得，所以，所以的系數(shù)為.
故答案為：
13. 圓與圓相交于A、B兩點，則兩圓公共弦AB所在直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】兩圓方程作差即可得到公共弦方程.
【詳解】圓，即，圓心為，半徑；
圓，即，圓心，半徑，
又，所以，所以兩圓相交，
則兩圓方程作差得到，即公共弦所在直線的方程為.
故答案為：
14. 定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_______________.
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解.
詳解】由題意可知：（公和），則，
可得，可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，
可得，，所以公和.
故答案：7.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 設數(shù)列的前項和.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求的最大值及對應的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)作差計算可得；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【小問1詳解】
因為，
當時，當時，，
所以，
經(jīng)檢驗時也符合上式，所以；
【小問2詳解】
因為，
所以當時，取最大值，，，
即，．
16. 已知直線過點.
（1）若直線與直線垂直，求的方程；
（2）若直線在兩坐標軸上的截距之和為零，求直線的方程；
（3）若直線與圓相切，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）設直線為，代入點的坐標，求出的值，即可得解；
（2）分直線的截距均為與均不為兩種情況討論，利用待定系數(shù)法計算可得；
（3）首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.
【小問1詳解】
設直線的方程為，則，解得，
所以直線的方程為；
【小問2詳解】
若直線的截距均為，則設直線的方程為，
所以，解得，所以直線的方程為，即；
若直線的截距均不為，則設直線的方程為，
所以，解得，所以直線的方程為，即；
綜上可得直線的方程為或；
【小問3詳解】
圓，即，則圓心為，半徑；
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
則，解得，所以直線的方程為，
綜上可得直線的方程為或.

17. （1）已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，求證：；
（2）若方程表示雙曲線，求的取值范圍，并說明該方程表示的雙曲線有共同的焦點；
（3）求到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡方程，并指出軌跡表示什么曲線.
【答案】（1）證明見詳解；
（2）；說明見詳解；
（3）答案見詳解；
【解析】
【分析】（1）設直線方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關系，即可得到，再結(jié)合拋物線的方程，即可證得.
（2）根據(jù)雙曲線的標準方程及其性質(zhì)即可求解.
（3）根據(jù)求軌跡方程的方法，設點列式化簡即可求解.
【詳解】（1）由拋物線，可得其焦點為，
由題意可設直線方程為，
聯(lián)立方程組，
因為在拋物線內(nèi)部，所以直線與拋物線必有兩交點，則是方程的兩個實數(shù)根，所以，
因為，所以，所以.
（2）若方程表示雙曲線，則，所以的取值范圍，
若該方程表示焦點在軸的雙曲線則雙曲線焦點為，
若該方程表示焦點在軸的雙曲線則雙曲線焦點為不存在，
所以該方程表示的雙曲線有共同的焦點，并且焦點在軸上.
（3）根據(jù)題意，設兩個定點的坐標分別為，
設Px,y 是平面上任意一點，則,
即①
方程①就是所求點的軌跡方程，接下來探討軌跡表示什么曲線，
當時，曲線方程為，即，這是線段的垂直平分線；
當時，①式可化為配方得，這是圓的標準方程，曲線表示圓.
18. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，且焦點到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若雙曲線的右頂點為，，過坐標原點的直線與交于E，F(xiàn)兩點，與直線AB交于點，且點E，M都在第一象限，的面積是面積的倍，求直線的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先表示出雙曲線的漸近線方程，依題意可得，由點到直線的距離公式求出，再由求出、，即可得到雙曲線方程；
（2）設，，，，由題意可知，，聯(lián)立直線與的方程求出，聯(lián)立直線與雙曲線的方程求出，依題意可得，即可求出.
【小問1詳解】
雙曲線的漸近線為，又一條漸近線方程為，
所以，
又焦點到漸近線的距離為1，即，所以，
又，所以，，則雙曲線的方程為；
【小問2詳解】
由（1）可得，，
則直線的方程為，
設，，，，由題意可知，，
由的面積是面積的倍，可得，即，
所以，
由，消去，可得，解得，
由，消去，可得，解得，
由，可得，解得或（舍去），
當時，，符合題意，
所以直線的斜率為.
19. 已知正實數(shù)，為常數(shù)，且，無窮數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且對任意正整數(shù)，恒成立.
（1）證明：無窮數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，，求的通項公式及數(shù)列的前項和；
（3）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推公式及等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）結(jié)合（1）及所給條件得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項公式，從而求出的通項公式，再由等差數(shù)列求和公式計算可得；
（3）結(jié)合（1）求出的通項公式，再利用分組求和法計算可得.
【小問1詳解】
因為，所以，
又，正實數(shù)，為常數(shù)，且，所以，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
【小問2詳解】
因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，
所以；
【小問3詳解】
若，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，
所以
.

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