1．（3分）《周易》被譽為中華文化的瑰寶，其中包含了豐富的哲學(xué)思想和智慧．如圖為易經(jīng)中部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一個根，則方程的另一個根是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
3．（3分）截至2024年，長垣市建筑防腐企業(yè)1335家，全行業(yè)從業(yè)人員突破10萬大關(guān)，長垣市防腐產(chǎn)業(yè)不僅占據(jù)了國內(nèi)70%以上的市場份額，年產(chǎn)值達468.79億元億元，是長垣市名副其實的支柱型產(chǎn)業(yè)．數(shù)據(jù)“468.79億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．468.79×108B．46.879×109
C．4.6879×1010D．0.46879×1011
4．（3分）如圖為天氣預(yù)報網(wǎng)站顯示的“長垣市2025年1月30日的降水概率為73%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（ ）
A．1月30日長垣市將有73%的時間下雨
B．1月30日長垣市將有73%的地區(qū)下雨
C．1月30日長垣市下雨的可能性較大
D．1月30日長垣市最高氣溫一定為8℃
5．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，則BD的長為（ ）
A．3B．5C．5.5D．6
6．（3分）在4×4網(wǎng)格中，∠α的位置如圖所示，則sinα的值為（ ）
A．255B．55C．2D．12
7．（3分）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．設(shè)道路的寬為x m，則下面所列方程正確的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．（3分）如圖，⊙O的半徑為15，弦AB＝18，點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，若OM的長為整數(shù)，則這樣的點M有幾個？（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）某同學(xué)在用函數(shù)模型研究問題時觀察到x與y的幾組對應(yīng)值：
由此作出以下判斷
①可能是一次函數(shù)關(guān)系；
②可能是反比例函數(shù)關(guān)系；
③可能是二次函數(shù)關(guān)系．
你認為正確描述的序號應(yīng)該是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．（3分）如圖①，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點P是對角線AC上一動點，設(shè)PC＝x，PE+PB＝y(tǒng)，圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，且圖象上最低點Q的縱坐標可能是（ ）
A．5B．2C．3D．35
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）已知：點A（2024，﹣2025）與點B（a，b）關(guān)于原點O成中心對稱，則a+b＝ ．
12．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y=kx（k＜0）的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為5，則k的值是 ．
13．（3分）元旦前夕許多人相聚鄭州二七紀念塔迎接新年，在莊重的鐘聲中，牢記歷史，傳承紅色基因，共同奮進，創(chuàng)造美好的明天．如圖是二七塔周邊部分通行路線示意圖，小明從入口A進入，行至每個岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則小明從F口走出的概率是 ．
14．（3分）長垣自古有三善之地，君子之鄉(xiāng)的美譽．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“善”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?12，若MN＝4cm，則BC的長為 cm（結(jié)果保留根號）．
15．（3分）如圖所示在矩形ABCD中，AB長為5，AC長為10，以C為圓心，AC長為半徑作弧，交BD于點E，則圖中扇形ACE的面積為 ．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0．
（2）x2﹣4x+3＝0．
17．（9分）【問題情境】我們美麗的校園中植物千姿百態(tài)，某小組小張，小娟，小東三位同學(xué)觀察中發(fā)現(xiàn)：植物葉子通常有著不同的特征．如果用數(shù)學(xué)的眼光來觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)呢？于是三位同學(xué)共同開展了“利用樹葉特征對樹木進行分類”的項目化學(xué)習(xí)活動．
【實踐發(fā)現(xiàn)】該小組的同學(xué)從收集的楊樹葉、杏樹葉中各隨機選取了10片，通過測量它們長和寬（單位：cm）的數(shù)據(jù)后，再計算了它們的長寬比，整理數(shù)據(jù)如下：
【實踐探究】分析數(shù)據(jù)如下：
【問題解決】填空：
（1）上述表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）這兩種樹葉從長寬比的角度看， 樹葉的形狀差別比較??；一片長為11.5cm，寬為5cm的樹葉，這片樹葉來自于 樹的可能性比較大．
（3）三名同學(xué)決定由兩名同學(xué)作代表展示以上發(fā)現(xiàn)，若每位同學(xué)選中機會均等，請你用列表法或樹狀圖求出恰好小娟小東被選中的概率為多少？
18．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝k1x+b與函數(shù)y=k2x(x＞0)的圖象的兩個交點分別為A（2，8）和B（8，2）．
（1）求直線l：y＝k1x+b與函數(shù)y=k2x(x＞0)的解析式；
（2）過點P（n，0）作x軸的垂線，與直線l：y＝k1x+b和函數(shù)y=k2x(x＞0)的圖象的交點分別為點M，N，當點M在點N上方時，直接寫出n的取值范圍．
19．（9分）下面是小李設(shè)計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規(guī)作圖的過程．
已知：如圖1，⊙O及圓外一點P．
求作：過點P作⊙O的一條切線．
作法：①連接OP；
②作OP的垂直平分線，交OP于點A；
③以A為圓心，OA的長為半徑作弧，交⊙O于點B；
④作直線PB．
即直線PB為所求作的一條切線．
根據(jù)上述尺規(guī)作圖的過程，回答以下問題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）該作圖中．可以得到∠OBP＝ °；
依據(jù)： ．
20．（9分）如圖是我市某小區(qū)地下停車庫入口的設(shè)計示意圖，為保證社區(qū)居民安全，物業(yè)按規(guī)定執(zhí)行人車分流，機動車不允許在小區(qū)地面行駛，如圖為某裝滿家具的小型貨車，車載滿家具最高處為2.5m，需要從地下車庫進入小區(qū)．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的鉛直高度BD與水平寬度AB的比），AB＝7.2m，點C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)耄埜鶕?jù)以上數(shù)據(jù)，求出該地下停車庫限高CE的長，并通過計算分析該貨車能否安全通過地下車庫？
21．（9分）學(xué)校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為20米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設(shè)矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應(yīng)為多少米？
22．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），點D是拋物線的頂點，過D作x軸的垂線交直線BC于點E．
（1）求點D坐標；
（2）求△CDE面積．
23．（11分）綜合與探究：如圖，∠AOB＝90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A．
（1）【操作判斷】
如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數(shù)為 度；
（2）【問題探究】
如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，判斷線段OM、ON、PA數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）【拓展延伸】
點M在射線AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，射線NM與射線PO相交于點F，若ON＝2OM，請直接寫出OPOF的值．
2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市長垣一中九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．
1．（3分）《周易》被譽為中華文化的瑰寶，其中包含了豐富的哲學(xué)思想和智慧．如圖為易經(jīng)中部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是中心對稱圖形，符合題意；
B、不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選：A．
2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一個根，則方程的另一個根是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【解答】解：設(shè)方程另一個根為x＝t，根據(jù)題意得t+1＝﹣1，
解得t＝﹣2，
則方程的另一個根是﹣2．
故選：B．
3．（3分）截至2024年，長垣市建筑防腐企業(yè)1335家，全行業(yè)從業(yè)人員突破10萬大關(guān)，長垣市防腐產(chǎn)業(yè)不僅占據(jù)了國內(nèi)70%以上的市場份額，年產(chǎn)值達468.79億元億元，是長垣市名副其實的支柱型產(chǎn)業(yè)．數(shù)據(jù)“468.79億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．468.79×108B．46.879×109
C．4.6879×1010D．0.46879×1011
【解答】解：468.79億＝46879000000＝4.6879×1010．
故選：C．
4．（3分）如圖為天氣預(yù)報網(wǎng)站顯示的“長垣市2025年1月30日的降水概率為73%”，對這條信息的下列說法中，正確的是（ ）
A．1月30日長垣市將有73%的時間下雨
B．1月30日長垣市將有73%的地區(qū)下雨
C．1月30日長垣市下雨的可能性較大
D．1月30日長垣市最高氣溫一定為8℃
【解答】解：降水概率指的是下雨的可能性情況．
故選：C．
5．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，則BD的長為（ ）
A．3B．5C．5.5D．6
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BDDF=ACCE，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴BD2.5=63，
∴BD＝5．
故選：B．
6．（3分）在4×4網(wǎng)格中，∠α的位置如圖所示，則sinα的值為（ ）
A．255B．55C．2D．12
【解答】解：如圖：
由網(wǎng)格的特征可知，△ABC是直角三角形，
∴AB=AC2+BC2=22+12=5，
∴sinα=ACAB=25=255，
故選：A．
7．（3分）如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2．設(shè)道路的寬為x m，則下面所列方程正確的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【解答】解：∵道路的寬為x m，
∴種植草坪的部分可合成長為（32﹣2x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．
根據(jù)題意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故選：C．
8．（3分）如圖，⊙O的半徑為15，弦AB＝18，點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，若OM的長為整數(shù)，則這樣的點M有幾個？（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：如圖，過點O作OP⊥AB于點P，連接OA，
∵弦AB＝18，
∴AP=12AB＝9，
∵OA＝15，
∴OP=OA2?AP2=12，
∴OM的最短距離為OP，最長距離為OA，
∵點M是弦AB上的動點且點M不與點A、B重合，
∴12≤OM＜15，
∵OM的長為整數(shù)，
∴OM可取12，13，14，
即這樣的點M有5個，
故選：C．
9．（3分）某同學(xué)在用函數(shù)模型研究問題時觀察到x與y的幾組對應(yīng)值：
由此作出以下判斷
①可能是一次函數(shù)關(guān)系；
②可能是反比例函數(shù)關(guān)系；
③可能是二次函數(shù)關(guān)系．
你認為正確描述的序號應(yīng)該是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可知，三個點不在同一直線上，故①錯誤；
設(shè)y與x的關(guān)系為二次函數(shù)，設(shè)y＝ax2+bx+c，
則a+b+c=44a+2b+c=216a+4b+c=1，
解得：a=12b=?72c=7，
∴y=12x2?72x+7，故③正確；
三個點的橫坐標和縱坐標的積都為4，故都在反比例函數(shù)y=4x圖象上，故②正確；
故選：C．
10．（3分）如圖①，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點P是對角線AC上一動點，設(shè)PC＝x，PE+PB＝y(tǒng)，圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，且圖象上最低點Q的縱坐標可能是（ ）
A．5B．2C．3D．35
【解答】解：如圖，連接PD，
∵B、D關(guān)于AC對稱，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴當D、P、E共線時，PE+PB的值最小，
觀察圖象可知，當點P與A重合時，PE+PB＝9，
∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，
在Rt△AED中，DE=62+32=35，
∴PB+PE的最小值為35，
∴點Q的縱坐標為35，
∵AE∥CD，
∴PCAP=CDAE=2，
∵AC＝62，
∴CP＝62×23=42，
∴點Q的橫坐標為42，
∴點Q的坐標為（42，35）．
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）已知：點A（2024，﹣2025）與點B（a，b）關(guān)于原點O成中心對稱，則a+b＝ 1 ．
【解答】解：∵點A（2024，﹣2025）與點B（a，b）關(guān)于原點O成中心對稱，
∴a＝﹣2024，b＝﹣（﹣2025）＝2025，
∴a+b＝﹣2024+2025＝1．
故答案為：1．
12．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y=kx（k＜0）的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為5，則k的值是 ﹣10 ．
【解答】解：連接AO，
∵AB⊥x軸，
∴AB∥y軸，
∴S△ABO＝S△ABC＝5．
又∵點A在反比例函數(shù)的圖象上，
∴|k|2=5．
又∵k＜0，
∴k＝﹣10．
故答案為：﹣10．
13．（3分）元旦前夕許多人相聚鄭州二七紀念塔迎接新年，在莊重的鐘聲中，牢記歷史，傳承紅色基因，共同奮進，創(chuàng)造美好的明天．如圖是二七塔周邊部分通行路線示意圖，小明從入口A進入，行至每個岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同，則小明從F口走出的概率是 14 ．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中小明從F口走出的結(jié)果有1種，
∴小明從F口走出的概率為14．
故答案為：14．
14．（3分）長垣自古有三善之地，君子之鄉(xiāng)的美譽．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“善”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?12，若MN＝4cm，則BC的長為 25?2 cm（結(jié)果保留根號）．
【解答】解：∵分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MP，NQ上，且AB∥MN，四邊形NMPQ為正方形，
∴AB＝MN，
∵MN＝4cm，
∴AB＝4cm，
∵BCAB=5?12，
∴BC=5?12×4=25?2（cm）．
故答案為：25?2．
15．（3分）如圖所示在矩形ABCD中，AB長為5，AC長為10，以C為圓心，AC長為半徑作弧，交BD于點E，則圖中扇形ACE的面積為 25π ．
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴BD∥AC，CD＝AB＝5，
在Rt△CDE中，∵CE＝AC＝10，CD＝5，
∴sin∠CED=CDCE=510=12，
∴∠CED＝30°，
∵BD∥AC，
∴∠ACE＝∠CED＝30°，
∴圖中扇形ACE的面積=90×π×102360=25π．
故答案為：25π．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0．
（2）x2﹣4x+3＝0．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴x=3±132×1=3±132，
∴x1=3+132，x2=3?132；
（2）x2﹣4x+3＝0．
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
17．（9分）【問題情境】我們美麗的校園中植物千姿百態(tài)，某小組小張，小娟，小東三位同學(xué)觀察中發(fā)現(xiàn)：植物葉子通常有著不同的特征．如果用數(shù)學(xué)的眼光來觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)呢？于是三位同學(xué)共同開展了“利用樹葉特征對樹木進行分類”的項目化學(xué)習(xí)活動．
【實踐發(fā)現(xiàn)】該小組的同學(xué)從收集的楊樹葉、杏樹葉中各隨機選取了10片，通過測量它們長和寬（單位：cm）的數(shù)據(jù)后，再計算了它們的長寬比，整理數(shù)據(jù)如下：
【實踐探究】分析數(shù)據(jù)如下：
【問題解決】填空：
（1）上述表格中：a＝ 2.15 ，b＝ 1.5 ；
（2）這兩種樹葉從長寬比的角度看， 杏 樹葉的形狀差別比較?。灰黄L為11.5cm，寬為5cm的樹葉，這片樹葉來自于 楊 樹的可能性比較大．
（3）三名同學(xué)決定由兩名同學(xué)作代表展示以上發(fā)現(xiàn)，若每位同學(xué)選中機會均等，請你用列表法或樹狀圖求出恰好小娟小東被選中的概率為多少？
【解答】解：（1）將楊樹葉的長寬比重新排列為1.7、1.8、2、2.1、2.1、2.2、2.4、2.4、2.4、2.8，
所以其中位數(shù)a=2.1+2.22=2.15，
杏樹葉的長寬比的眾數(shù)b＝1.5，
故答案為：2.15，1.5；
（2）由表知，杏樹葉的長寬比的方差小于楊樹葉長寬比的方差，
所以這兩種樹葉從長寬比的角度看，杏樹葉的形狀差別比較小；
11.5÷5＝2.3，
所以這片樹葉來自于楊樹的可能性比較大，
故答案為：杏，楊；
（3）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
∵由圖可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好小娟小東被選中的結(jié)果有2種．
∴恰好小娟小東被選中的概率為26=13．
18．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝k1x+b與函數(shù)y=k2x(x＞0)的圖象的兩個交點分別為A（2，8）和B（8，2）．
（1）求直線l：y＝k1x+b與函數(shù)y=k2x(x＞0)的解析式；
（2）過點P（n，0）作x軸的垂線，與直線l：y＝k1x+b和函數(shù)y=k2x(x＞0)的圖象的交點分別為點M，N，當點M在點N上方時，直接寫出n的取值范圍．
【解答】解：（1）∵直線l：y＝k1x+b與函數(shù)y=k2x(x＞0)的圖象的兩個交點分別為A（2，8）和B（8，2），
∴把A（2，8）和B（8，2）代入l：y＝k1x+b，得：2k1+b=88k1+b=2，
解得：k1=?1b=10，
∴直線l：y＝k1x+b的解析式為y＝﹣x+10；
∵函數(shù)y=k2x(x＞0)的圖象經(jīng)過點A（2，8），
∴8=k22，
∴k2＝16，
∴函數(shù)y=k2x(x＞0)的解析式為y=16x；
（2）∵直線l：y＝k1x+b與函數(shù)的圖象的兩個交點分別為A（2，8）和B（8，2），
如圖所示：
觀察圖象可知，滿足條件的n的值為：2＜n＜8．
19．（9分）下面是小李設(shè)計的“過圓外一點作圓的一條切線”的尺規(guī)作圖的過程．
已知：如圖1，⊙O及圓外一點P．
求作：過點P作⊙O的一條切線．
作法：①連接OP；
②作OP的垂直平分線，交OP于點A；
③以A為圓心，OA的長為半徑作弧，交⊙O于點B；
④作直線PB．
即直線PB為所求作的一條切線．
根據(jù)上述尺規(guī)作圖的過程，回答以下問題：
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）該作圖中．可以得到∠OBP＝ 90 °；
依據(jù)： 直徑所對的圓周角等于90° ．
【解答】解：（1）如圖，補全圖形.
理由：連接OB，∵OA＝PA，且OA為⊙A的半徑，
∴OP為⊙A的直徑，
∴∠OBP＝90°，
∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，
∴直線PB為⊙O的切線．
（2）∵直徑所對的圓周角等于90°，OP為⊙A的直徑，
∴∠OBP＝90°，
故答案為：90，直徑所對的圓周角等于90°．
20．（9分）如圖是我市某小區(qū)地下停車庫入口的設(shè)計示意圖，為保證社區(qū)居民安全，物業(yè)按規(guī)定執(zhí)行人車分流，機動車不允許在小區(qū)地面行駛，如圖為某裝滿家具的小型貨車，車載滿家具最高處為2.5m，需要從地下車庫進入小區(qū)．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的鉛直高度BD與水平寬度AB的比），AB＝7.2m，點C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按規(guī)定，地下停車庫坡道口上方要張貼限高標志，以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?，請根?jù)以上數(shù)據(jù)，求出該地下停車庫限高CE的長，并通過計算分析該貨車能否安全通過地下車庫？
【解答】解：∵i＝1：2.4，
∴tan∠BAD＝1：2.4=512，
∴BDAB=512，
∵AB＝7.2m，
∴BD=512×7.2＝3（m），
∵BC＝0.4m，
∴DC＝BD﹣BC＝2.6m，
∵CE⊥AD，AB⊥DB，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵tan∠BAD=512，
∴cs∠DCE＝cs∠BAD=1213，
∴CE＝CD?cs∠DCE＝2.6×1213=2.4m．
即地下車庫入口的限高CE的長為2.4m，
∵2.4＜2.5，
∴該貨車不能安全通過地下車庫．
21．（9分）學(xué)校要圍一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為20米的籬笆恰好圍成（如圖所示）．設(shè)矩形的一邊AB的長為x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）要想使花圃的面積最大，AB邊的長應(yīng)為多少米？
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，AB的長為x米，∴CD＝AB＝x（米）．
∵矩形除AD邊外的三邊總長為20米，
∴BC＝（20﹣2x）米．
∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x．
∵0＜x＜20﹣2x，
∴0＜x＜203．
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝﹣2x2+20x（0＜x＜203）．
（2）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，0＜x＜203，
∴當x＝5時，S取最大值，最大值＝50（平方米），
∴AB邊的長為5米時，花圃的面積最大，最大值為50平方米．
22．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），點D是拋物線的頂點，過D作x軸的垂線交直線BC于點E．
（1）求點D坐標；
（2）求△CDE面積．
【解答】解：（1）由題意，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0+1）×（0﹣3），
解得a＝1，
∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）分別代入得3m+n=0n=?3，
解得m=1n=?3，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
當x＝1時，y＝x﹣3＝﹣2，
∴E（1，﹣2），
∴三角形CDE的面積=12×（﹣2+4）×1＝1．
23．（11分）綜合與探究：如圖，∠AOB＝90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A．
（1）【操作判斷】
如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數(shù)為 90 度；
（2）【問題探究】
如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，判斷線段OM、ON、PA數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）【拓展延伸】
點M在射線AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，射線NM與射線PO相交于點F，若ON＝2OM，請直接寫出OPOF的值．
【解答】解：（1）如圖，PC即為所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四邊形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°，
故答案為：90；
（2）OM+ON＝2PA．
證明：如圖，過P作PC⊥OB于點C．
由（1）知四邊形OAPC是矩形，
∵點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC，
又∠MAP＝∠CNP＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN（ASA），
∴AM＝CN，
∴OM+ON＝OM+OC+CN＝OM+AM+OC＝OA+OC＝2AP，
∴OM+ON＝2PA；
（3）①當M在線段AO上時，如圖，延長NM、PA交于點G．
由（2）知OM+ON＝2AP，
設(shè)OM＝x，則ON＝2x，OA＝AP=32x．
∴AM＝AO﹣OM=12x，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON∽△MAG（ASA），
∴AGON=AMOM，
∴AG2x=12xx，
∴AG＝x，
∵AP∥OB，
∴△ONF∽△PGF，
∴OFPF=ONPG=2x52x=45，
∴PFOF=54，
∴OPOF=94；
②當M在AO的延長線上時，如圖，過P作PC⊥OB于C，并延長交MN于G．
由（2）知，四邊形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO，
∵PN⊥PM，
∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC，
又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON﹣OM＝OC+CN﹣OM＝AO+AM﹣OM＝2AO，
∵ON＝2OM＝2x，
∴AO=12x，CN＝AM=32x，
∵PC∥AO，
∴△CGN∽△OMN，
∴CGOM=CNON，
即CGx=32x2x，
∴CG=34x，
∵PC∥AO，
∴△OMF∽△PGF，
∴OFPF=OMPG=x32x+34x，
∴PFOF=94，
∴OPOF=134；
綜上，OPOF的值為94或134．
x
…
1
2
4
…
y
…
4
2
1
…
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
楊樹葉的長寬比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
杏樹葉的長寬比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
楊樹葉的長寬比
2.19
a
2.4
0.0949
杏樹葉的長寬比
1.51
1.5
b
0.0089
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C．
C
B
A
C
C
C
D
x
…
1
2
4
…
y
…
4
2
1
…
序號
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
楊樹葉的長寬比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
杏樹葉的長寬比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
楊樹葉的長寬比
2.19
a
2.4
0.0949
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1.51
1.5
b
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