一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題得，
所以.
故選：C
2. 數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（ ）
A. 3.5和2B. 3和4C. 4和2D. 3.5和4
【答案】D
【解析】將數(shù)據(jù)2，3，8，5，4，2按照從小到大的順序排列為：2，2，3，4，5，8，
所以中位數(shù)為；
平均數(shù)為.
故選：D.
3. 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題得，
所以.
故選：C
4. 從集合中隨機(jī)取出4個(gè)不同的數(shù)，并將其從大到小依次排列，則第二個(gè)數(shù)是7的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】任取4個(gè)不同的數(shù)，且從大到小排列可得所有的情況有種，
第2個(gè)數(shù)為7的情況有，
故概率為，
故選：D
5. 設(shè)為鈍角，若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)闉殁g角，所以，
聯(lián)立，
當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)解，
所以直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)即時(shí)，
因?yàn)橹本€與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，所以，解得或，都不符合，舍去?br>所以，所以曲線，所以曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
所以，，所以的離心率為.
故選：B
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若的一個(gè)方向?yàn)椋?，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題，所以直線的方程為，代入得，
設(shè)，則，
所以，
所以.
故選：C
7. 已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①；②；③.則（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】由①可得，
由②可得，
因此，所以的周期為8，
，
由于，
故選:A
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)分別是外心和垂心，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故在軸上，
，則中點(diǎn)為，易知,
因此直線的垂直平分線方程為，
令，則，故,
邊上的高所在的直線方程為，故，
故，
，
故，且，
由可得，
由于，因此，解得，
故，解得，
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】ACD
【解析】由題函數(shù)，
所以函數(shù)定義域?yàn)殛P(guān)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)于，且，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
設(shè)直線與相切于點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)，
對(duì)求導(dǎo)得，對(duì)求導(dǎo)得，
所以由導(dǎo)數(shù)幾何意義有，且，，
所以，此時(shí)，
，此時(shí)，
綜上，如圖，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且均與該直線相交于公共兩點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且均與直線相切于一點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且兩圖象分布在該直線兩側(cè)，無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
所以，綜上可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為0個(gè)或2個(gè)或4個(gè).
故選：ACD
10. 已知球O的表面積為，點(diǎn)P，A，B，C均在球面上，且，，，則（ ）
A. 球O的半徑為2
B. 平面截球面所得小圓的面積為
C. 點(diǎn)到平面的距離為
D. 球體挖去四面體后余下部分的體積為
【答案】AB
【解析】由已知條件，且，，所以三棱錐為正三棱錐.
點(diǎn)P，A，B，C均在球面上，所以球?yàn)檎忮F的外接球，球心為，
設(shè)底面三角形的中心為，頂點(diǎn)在底面中的射影為底面正三角形的中心，外接球的球心位于射線上，如圖所示：

選項(xiàng)A：設(shè)球的半徑為，
球的表面積公式為，解得半徑，故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：平面是一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)為3.
等邊三角形的外接圓半徑為：，
這就是平面截球面所得小圓的半徑，
此小圓面積為：，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：球心到平面的距離，
點(diǎn)到平面的距離為(當(dāng)球心在線段上時(shí))，
或（當(dāng)球心位于的延長(zhǎng)線上時(shí)).
當(dāng)球心位于的延長(zhǎng)線上時(shí)，，
于矛盾，舍去.
當(dāng)球心在線段上時(shí)，，符合題意，
所以點(diǎn)到平面的距離為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：四面體的體積為：，
其中底面積為等邊三角形的面積：，
高為點(diǎn)到平面的距離，
因此：，
球體挖去四面體后余下部分的體積為：
，
但根據(jù)選項(xiàng) D 的描述，余下部分的體積為，因此選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線為伯努利雙紐線，其中，為焦點(diǎn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，曲線的方程為.則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 曲線為中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形
B. 若直線與曲線恰有3個(gè)交點(diǎn)，則
C. 曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)
D. 當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，曲線上的最高點(diǎn)均在曲線上
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程，
把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)代入軌跡方程，把關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)代入軌跡方程，原方程不變，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，由題意得直線與曲線一定有公共點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，得到，
若直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，則方程除外無(wú)解，
而，，則即可，解得，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，故?br>又，所以，
即，故；
在中，令，可得，
解得或，所以，
所以曲線在直線與所圍成的矩形區(qū)域內(nèi)，C選項(xiàng)正確；
在中，令時(shí)，可得，
化簡(jiǎn)得，解得，
所以，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，曲線上的最高點(diǎn)均在曲線上，
故D項(xiàng)正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則__________.
【答案】
【解析】由題得
，
當(dāng)時(shí)，符合題意，
所以，
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】，
由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，由于，故等號(hào)取不到，
故答案為：
14. 我國(guó)歷史文化悠久，中國(guó)象棋就是國(guó)人喜聞樂(lè)見(jiàn)的一種娛樂(lè)方式.不同棋子行的規(guī)則各不相同：馬走日字象走田，車(chē)走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的頂點(diǎn)沿“日”字的斜線走到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)，，…，，如圖1.請(qǐng)據(jù)此完成填空：如圖2，假設(shè)一匹馬從給定的初始位置出發(fā)，且規(guī)定其只能向“右前方走”，則其運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需的步數(shù)為_(kāi)_________；該馬運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所有可能落點(diǎn)（包括點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.
【答案】①. 5 ②. 10
【解析】以“馬”的初始位置為原點(diǎn)，棋盤(pán)的橫豎兩邊為軸建立坐標(biāo)系，
以題意可得：“馬”每次只能按向量或行走，
設(shè)落點(diǎn)為（），按上述兩個(gè)向量前進(jìn)的此時(shí)分別為，
則
所以，即
第一空：由于，所以，
第二空：由于所以
又為3的倍數(shù)，且只能往右前方前進(jìn)，所以
當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有，,
當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有
綜上可得，共有10種情況，
故答案為：5，10
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 如圖，已知三棱錐中，，，平面平面ABC，，，.

（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）若為AC的中點(diǎn)，求PQ與平面所成角的正弦值.
解：（1）過(guò)作，
平面平面ABC，平面平面，平面，平面，
因?yàn)?，，，所以?br>在直角三角形中，，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
（2）因?yàn)?，過(guò)作的平行線為軸，以為軸建立直角坐標(biāo)系，
在中，，，，所以，
在直角三角形中，因?yàn)椋?，，所以?br>所以，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，所以，
設(shè)PQ與平面所成角為，
所以.
16. 已知，.
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若，使，求的取值范圍.
解：（1）時(shí)，，
所以，所以切線斜率，
所以曲線在處的切線方程為即.
（2）因?yàn)椋沟眉矗?br>所以，令，則，
所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以.
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.
（1）若，求；
（2）當(dāng)BC邊上中線最小時(shí)，求的面積.
解：（1）因?yàn)椋裕剩?br>又，即，
所以由正弦定理，
若，則，
則，
所以；
（2）由（1）得，取中點(diǎn)，
則為BC邊上的中線，
則
又由余弦定理得，故，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以BC邊上的中線最小值為，此時(shí).
18. 已知，分別為橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，是直角三角形.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若直線恰好與橢圓相切，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線不過(guò)點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，，若，求的最大值.
解：（1）設(shè)短軸的端點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，
由于是直角三角形，所以，結(jié)合，
解得，故，
（2）由可得橢圓方程為，
與直線聯(lián)立可得，
由于直線恰好與橢圓相切，故，解得，
所以橢圓方程為
（3）由于在橢圓上，設(shè),
由可得，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
代入橢圓方程中，消去可得，
則，
由可得
即，
化簡(jiǎn)得，
由于不在直線上，所以，故，，
故直線的方程為，故過(guò)定點(diǎn)，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，
代入可得，
結(jié)合可得或（舍去），
此時(shí)直線也經(jīng)過(guò)，
綜上可得直線恒經(jīng)過(guò).
因?yàn)?，結(jié)合，故為直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)，
又直線恒經(jīng)過(guò)，所以,
19. 某研究機(jī)構(gòu)開(kāi)發(fā)了一款智能機(jī)器人，該機(jī)器人通過(guò)交替學(xué)習(xí)不同技能Y，S，W來(lái)提升綜合能力.初始時(shí)，機(jī)器人選擇學(xué)習(xí)技能Y，且每次學(xué)習(xí)Y后會(huì)等可能地選擇學(xué)習(xí)S或W；每次學(xué)習(xí)S后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)Y，0.75的概率學(xué)習(xí)W；每次學(xué)習(xí)W后，有0.25的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)Y，0.75的概率學(xué)習(xí)S.設(shè)，，分別表示第n次學(xué)習(xí)后接著學(xué)習(xí)技能Y，S，W的概率.
（1）若機(jī)器人僅進(jìn)行三次學(xué)習(xí)，求學(xué)習(xí)技能Y次數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（2）求及其最大值；
（3）已知，，
若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
解：（1）設(shè)三次學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)技能Y次數(shù)為,則的取值可以為1，2，
第一次學(xué)，第二次學(xué),第三次學(xué)，則,
第一次學(xué)，第二次學(xué),第三次學(xué)，則,
故,
第一次學(xué)，第二次學(xué),第三次學(xué)，則,
第一次學(xué)，第二次學(xué),第三次學(xué)，則,
故,
故的分布列為：
故
（2）已知，
設(shè)，又，
所以
因此為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，
故，故，
要使得最大，則為偶數(shù)，此時(shí)，
此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取到最大值
（3），
，
當(dāng)，
，
，
所以
由于，
所以
1
2

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