（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量a，b滿足，且，，則向量a，b的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱錐底面邊長為2，且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，則（ ）
A．3B．C．D．
6．若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．4
8．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
B．若，且，則函數(shù)的最小正周期為
C．若的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為3
D．若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
11．如圖，曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的動(dòng)點(diǎn)滿足到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積為9，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
C．周長的最小值為12
D．面積的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．在等比數(shù)列中，，，則____________．
13．已知函數(shù)，若與的圖象相切于A、B兩點(diǎn)，則直線的方程為____________．
14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平面將空間分成____________部分（用數(shù)字作答）．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為2且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線焦點(diǎn)的距離為．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于B、D兩點(diǎn)（異于O點(diǎn)），連接、，若，求的長．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在直四棱柱中，，，，，．
（1）設(shè)過點(diǎn)G、B、D的平面交直線于點(diǎn)M，求線段的長；
（2）若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求直四棱柱的體積．
17．（本小題滿分15分）
在中，，，點(diǎn)D在邊上，且．
（1）若，求的長；
（2）若，點(diǎn)E在邊上，且，與交于點(diǎn)M，求．
18．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（2）設(shè)方程的所有根之和為T，且，求整數(shù)n的值；
（3）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（本小題滿分17分）
母函數(shù)（又稱生成函數(shù)）就是一列用來展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架．這是數(shù)學(xué)家赫伯特·維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的一個(gè)形象且精妙的比喻．
對(duì)于任意數(shù)列，即用如下方法與一個(gè)函數(shù)聯(lián)系起來：
，則稱是數(shù)列的生成函數(shù)．
例如：求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)．
設(shè)此方程的生成函數(shù)為，其中x的指數(shù)代表的值．
，則非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為．
若，則，可得，于是可得函數(shù)的收縮表達(dá)式為：．
故
（廣義的二項(xiàng)式定理：兩個(gè)數(shù)之和的任意實(shí)數(shù)次冪可以展開為類似項(xiàng)之和的恒等式）
則
根據(jù)以上材料，解決下述問題：
定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意，，不同的“規(guī)范01數(shù)列”個(gè)數(shù)記為．
（1）判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列”；
①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．
（2）規(guī)定，計(jì)算，，，的值，歸納數(shù)列的遞推公式；
（3）設(shè)數(shù)列對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)為
①結(jié)合與之間的關(guān)系，推導(dǎo)的收縮表達(dá)式；
②求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測
數(shù)學(xué)答案
一、單選題：
1-5CABCD6-8BAD
二、多選題：
9．BCD10．ABD11．AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．1613．14．23
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．解：（1）由題意得（2分）
解得，（3分）
故拋物線方程為．（5分）
（2）由題意得直線l的斜率不為0，設(shè)直線，與
聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得，①（7分）
設(shè)，，過O點(diǎn)做l垂線，垂足為G．
由，得，即
由得②（9分）
由①②聯(lián)立上式得，，（11分）
．（13分）
16．證明：（1）連接，由題意可得，（2分）
又因?yàn)槠矫?，平面平面?br>平面，所以，由平行傳遞性可知（4分）
所以M為靠近的三等分點(diǎn)，（6分）
（2）如圖，設(shè)，連接，，
由題意得，，，故面，
同理可證面，故，，
所以為二面角的平面角（8分）
設(shè)，由二面角為直二面角可知，
由（1）可得，故，，
在中，由勾股定理可得（10分）
即整理得，解得（12分）
題設(shè)可知，則（14分）
所以（15分）
方法二：向量法：
設(shè)直線與直線交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：．
在中，∵．由射影定理得：
，，，設(shè)，則：
，，，（8分）
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則：，即：，∴
令，則，……
∴，（10分）
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則：，即：，∴
令，則，
∴，（12分）
當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，，即：，得：．（13分）
∴（15分）
17．解：（1）設(shè)
在中，①（2分）
在中，由余弦定理
②（4分）
所以，
所以，，（6分）
（2）（7分）
（9分）
（11分）
（13分）
（15分）
18．解：（1），（2分）
，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，（3分）
；（4分）
（2）方程可化簡為
方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，
易知在，上單調(diào)遞增（5分）
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，且（7分）
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，且（9分）
則，因此，．（10分）
（3）設(shè)，則當(dāng)時(shí)恒成立，
（12分）
①由（1）得，
當(dāng)時(shí)，
，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
∴（14分）
②當(dāng)時(shí)，，這與矛盾，（16分）
綜上，．（17分）
19．解析：
（1）由題意得①，③是“規(guī)范01數(shù)列”，（2分）
對(duì)于②，由于時(shí)，，故②不是“規(guī)范01數(shù)列”；（3分）
（2），，，；（每個(gè)1分）（7分）
“規(guī)范01數(shù)列”中，首項(xiàng)，若同時(shí)滿足：
①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)可將劃分為兩部分，即和，由于且，則可構(gòu)成一個(gè)“規(guī)范01數(shù)列”，所以數(shù)列的遞推公式為：
（9分）
（注：學(xué)生由得出也可給到10分）
（3）①
∴（10分）
即
由于
當(dāng)時(shí)，（舍去）
當(dāng)時(shí)，，滿足題意
故的收縮表達(dá)式為；（12分）
②
（14分）
（15分）
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（17分）
（注：其余方法得出均可給到17分）

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