安徽省天一大聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份安徽省天一大聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（含答案），共10頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.若集合A={x∈N|x0)上，圓C在點(diǎn)N處的切線與E只有一個(gè)公共點(diǎn)，動直線l:y= 3x+t，則下列說法正確的是( )
A. R=1，p=83
B. 與E和圓C各恰有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有6條
C. 若圓C上僅有一個(gè)點(diǎn)到l的距離為2，則滿足條件的t的值有4個(gè)
D. 若t=0，E上一點(diǎn)Q到l的距離為d，則|QF|+d的最小值為23
11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在棱A1A，A1B1，A1D1上(與端點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)A1作A1H⊥平面EFG，垂足為H，則下列說法正確的是( )
A. △EFG可能為直角三角形
B. 若H為△EFG的外接圓的圓心，則三棱錐A1?EFG為正三棱錐
C. 若A1E=A1F=A1G，則四面體A1EFG的棱與面所成角的正弦值的集合是{0, 33, 22,1}
D. 1A1E2+1A1F2+1A1G2=1A1H2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.甲同學(xué)自進(jìn)入高三以來，前四次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)逐次遞增，第一次的分?jǐn)?shù)為116，第四次的分?jǐn)?shù)為132，且中位數(shù)為120，則甲同學(xué)這四次數(shù)學(xué)考試的平均分為 ．
13.過雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線y=bax的垂線l，垂足為A，l與E的右支交于點(diǎn)B，若FB=BA，則E的離心率e= ．
14.記tanπ32=m，若12tanπ8+14tanπ16+18tanπ32=1am?1，則實(shí)數(shù)a= ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若D為AC的中點(diǎn)，且BD的長為2，求bc的最大值，并求此時(shí)a的值．
16.(本小題12分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=π3，△BPC是正三角形，PA= 6，E為BC的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：PE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D?PA?B的正弦值．
17.(本小題12分)
口袋中有編號分別為1，2，3，?，10的10個(gè)小球，所有小球除了編號外無其他差別．
(Ⅰ)從口袋中任取3個(gè)小球，求取到的小球編號既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率;
(Ⅱ)從口袋中任取5個(gè)小球，設(shè)其中編號的最小值為X，求X的分布列及期望．
18.(本小題12分)
已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點(diǎn)P(1,32)在E上，直線y=12x+m與E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)證明：△BOC的面積為定值;
(Ⅲ)若點(diǎn)B在直線AC的右側(cè)，求直線BC在y軸上的截距的最小值．
19.(本小題12分)
若函數(shù)f(x)的圖象上存在三點(diǎn)A(a,f(a))，B(b,f(b))，M(m,f(m))，且a0，使得g(a)=g(b)．
(ⅰ)求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(ⅱ)當(dāng)t=k(k∈N?)時(shí)，記g(x)在區(qū)間[a,b]上所有可能的中值點(diǎn)之和為Sk，證明：S1+S2+?+Sn>14n2+94n.
參考答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.A
6.C
7.D
8.D
9.AD
10.ABC
11.BCD
12.122
13. 2
14.8
15.【解答】解：(Ⅰ)由正弦定理得a2+bc=b2+c2，
又根據(jù)余弦定理得a2=b2+c2?2bccsA，
所以csA=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3．
(Ⅱ)在△ABD中，由余弦定理得4=c2+b24?2c?b2csA，
整理得16=4c2+b2?2bc．
由基本不等式得16≥4bc?2bc，
所以bc≤8，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時(shí)等號成立，
所以bc的最大值為8，
此時(shí)c=2，b=4，
代入a2=b2+c2?bc，
得a=2 3．
16.解：(Ⅰ)連接AC，AE．
因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長為2，∠ABC=π3，
所以△ABC是正三角形，
又因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，
所以BC⊥AE，且AE= 3，
因?yàn)椤鱌BC為正三角形，E為BC的中點(diǎn)，
所以PE= 3，PE⊥BC．
在△PAE中，PA= 6= AE2+PE2，
所以PE⊥AE，
又因?yàn)锽C∩AE=E，BC,AE?平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EA，EC，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC，EA，EP所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
由已知可得B(?1,0,0)，A(0, 3,0)，D(2, 3,0)，P(0,0, 3)，
所以PA=(0, 3,? 3)，PD=(2, 3,? 3)，PB=(?1,0,? 3).
設(shè)平面PAD的法向量為m=(x,y,z)，
則m?PA= 3y? 3z=0,m?PD=2x+ 3y? 3z=0,,
取m=(0,1,1)．
設(shè)平面PAB的法向量為n=(a,b,c)，
則n?PA= 3b? 3c=0,n?PB=?a? 3c=0,,
取n=(? 3,1,1)．
所以cs=m?n|m|n= 105，
所以二面角D?PA?B的正弦值為 155．
17.解：(Ⅰ)總共有10個(gè)小球，任取3個(gè)的組合數(shù)為：C103=120，
要求取到的小球編號既有奇數(shù)又有偶數(shù)，可以通過補(bǔ)集法計(jì)算：
全為奇數(shù)的組合數(shù)：C53=10，全為偶數(shù)的組合數(shù)：C53=10，
不滿足條件的總組合數(shù)：10+10=20，
所以滿足條件的組合數(shù)：120?20=100，
因此取到的小球編號既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率P=100120=56；
(Ⅱ)從10個(gè)小球中任取5個(gè)，最小編號X的可能取值為1，2，3，4，5，6，
則P(X=1)=C94C105=12，
P(X=2)=C84C105==518，
P(X=3)=C74C105=536，
P(X=4)=C64C105=584，
P(X=5)=C54C105=5252，
P(X=6)=C44C105=1252，
故X的分布列為
所以E(X)=1?12+2?518+3?536+4?584+5?5252+6?1252=116．
18.解：(Ⅰ)因?yàn)镋的離心率為12，
所以 a2?b2a=12， ①
又點(diǎn)P在E上，所以1a2+94b2=1． ②
由 ① ②，解得a=2，b= 3，
所以E的方程為x24+y23=1．
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由題意有C(x1,?y1).
由3x2+4y2?12=0y=12x+m，得x2+mx+m2?3=0，
Δ>0?m2x1，
設(shè)直線BC與y軸的交點(diǎn)為T(0,t)，
當(dāng)x1x2=0時(shí)，B，C中有一個(gè)點(diǎn)與E的上頂點(diǎn)重合，
此時(shí)T就是E的上頂點(diǎn)，t= 3，
當(dāng)x1x2≠0時(shí)，由kBT=kCT，
即y2?tx2=?y1?tx1，可得12x2+m?tx2=?12x1?m?tx1，
整理得t=?x1x2?m(x1+x2)x2?x1=3x2?x1>0，
要求t的最小值，求出x2?x1的最大值即可．
x2?x1= (x1+x2)2?4x1x2
= m2?4(m2?3)= 12?3m2，
當(dāng)m=0時(shí)，x2?x1取得最大值2 3，t取得最小值 32．
綜上可知：直線BC在y軸上的截距的最小值為 32．
19.解：(I)由題意知f(b)?f(a)b?a=f′(m)，
因?yàn)閒(b)?f(a)b?a=b2?a2+3(b?a)b?a=a+b+3，
又f′(m)=2m+3，
所以a+b+3=2m+3，即a+b=2m，
所以a，m，b成等差數(shù)列;
(Ⅱ)(i)g′(x)=2lnx?2x+2+t，
設(shè)?(x)=g′(x)，則?′(x)=2x?2=2(1?x)x，x>0，
當(dāng)01時(shí)，?′(x)0，則?(x)在(0,1)和(1,+∞)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，記為x1，x2，
當(dāng)02+t2?x1=1?lnx1，
設(shè)φ(x)=12[?(1?lnx)??(x)]=ln(1?lnx)+x?1，
則φ′(x)=1?1x(1?lnx)，
設(shè)u(x)=x(1?lnx)，當(dāng)0