新高考數(shù)學一輪復習題型歸納與強化測試專題62 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（2份，原卷版+解析版）

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【考綱要求】
1.了解兩個事件相互獨立的含義.
2.理解隨機事件的獨立性和條件概率的關系，會利用全概率公式計算概率.
【考點預測】
1.相互獨立事件
(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質：若事件A與B相互獨立，那么A與eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))也都相互獨立.
2.條件概率
(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
(2)兩個公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我們稱上面的公式為全概率公式.
【常用結論】
1.計算條件概率除了應用公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).
2.全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復雜事件A的概率的求解問題，轉化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.
【方法技巧】
1.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.
2.求條件概率的常用方法
(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）).
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）).
3.利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算.
二、【題型歸類】
【題型一】相互獨立事件與互斥事件
【典例1】（2023·全國·模擬預測）、為兩個事件，下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，，，則、為獨立事件
C．若，，，則、為互斥事件
D．，，則
【解析】【答案】BCD
【分析】利用條件概率公式可判斷A選項；利用利用獨立事件的概率公式可判斷B選項；利用互斥事件的定義可判斷C選項；利用條件概率公式可得，可設，則，再利用條件概率公式可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，由條件概率公式可得，則，A錯；
對于B選項，，
所以，、相互獨立，故、相互獨立，B對；
對于C選項，因為
則，故、為互斥事件，C對；
對于D選項，因為，則，
設，則，所以，．
又因為，所以，，D對，
故選：BCD．
【典例2】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知事件A，B滿足，，則下列選項正確的是（ ）
A．若，則B．若A與B互斥，則
C．若A與B相互獨立，則D．若，則A與B相互獨立
【解析】【答案】BD
【分析】對A根據(jù)，則；對B，根據(jù)互斥事件的性質得，對C，根據(jù)獨立事件的特點則可計算出，對D，根據(jù)條件概率公式計算出，再利用相互獨立事件的定義即可判斷.
【詳解】對于A,因為,所以；故A錯誤,
對于B,因為與互斥,所以,B正確,
對于C,因為與相互獨立,所以,故C錯誤;
對于D,因為,即,所以,
又因為,所以,所以與相互獨立，故D正確.
故選：BD.
【典例3】（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）以下說法正確的是（ ）
A．89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位數(shù)為95
B．具有相關關系的兩個變量x，y的一組觀測數(shù)據(jù)，，，，由此得到的線性回歸方程為，回歸直線至少經過點，，，中的一個點
C．相關系數(shù)r的絕對值越接近于1，兩個隨機變量的線性相關性越強
D．已知隨機事件A，B滿足，，且，則事件A與B不互斥
【解析】【答案】ACD
【分析】對于A選項：結合百分位數(shù)的定義即可求解；
對于B選項：結合經驗回歸方程的性質即可求解；
對于C選項：根據(jù)相關系數(shù)的性質即可判斷；
對于D選項：根據(jù)互斥事件的定義和事件的相互獨立性即可求解.
【詳解】對于A選項：從小到大排列共有9個數(shù)據(jù)，則不是整數(shù)，則第75百分位數(shù)為從小到大排列的第7個數(shù)據(jù)，即第75百分位數(shù)為95，所以A選項正確；
對于B選項：線性回歸方程不一定經過點，，，中的任何一個點，但一定經過樣本的中心點即，所以B選項錯誤；
對于C選項：若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數(shù)的絕對值越接近于，所以C選項正確；
對于D選項：因為，則，
則事件與相互獨立，所以事件A與B不互斥，所以D選項正確；
故選：ACD.
【題型二】獨立事件的乘法公式
【典例1】（2023·湖北·武漢市第三中學校聯(lián)考一模）下列說法正確的是（ ）
A．某射擊運動員在一次訓練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8
B．對于隨機事件與，若，，則事件與獨立
C．若隨機變量，，若最大，則
D．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則
【解析】【答案】BCD
【分析】對于A，利用百分位數(shù)的定義判斷即可；對于B，利用對立事件和條件概率的公式，結合獨立事件的定義判斷即可；對于C，根據(jù)隨機變量的均值與方差公式，結合二項分布的概率公式求解即可；對于D，利用正態(tài)曲線的特點判斷即可.
【詳解】對于A，把數(shù)據(jù)從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因為，
則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故A錯誤；
對于B，，又，所以，即事件與相互獨立，故B正確；
對于C，因為隨機變量，所以，故，又，當最大時，；又，
此時，故C正確；
對于D，因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關于直線對稱，又因為，所以，所以，故D正確.
故選：BCD.
【典例2】（2023·吉林·統(tǒng)考一模）口袋中裝有大小質地完全相同的白球和黑球各2個，從中不放回的依次取出2個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的兩球不同色”，則（ ）
A．B．與互斥
C．與相互獨立D．與互為對立
【解析】【答案】ACD
【分析】利用古典概型的概率公式求出所對應的事件的概率即可判斷A，根據(jù)互斥事件的概率即可判斷B，根據(jù)相互獨立事件的定義判斷C，根據(jù)對立事件的概率即可判斷D．
【詳解】設2個白球為，2個黑球為，
則樣本空間為：，共12個基本事件.
事件，共4個基本事件；
事件，共6個基本事件；
事件，共6個基本事件；
事件，共8個基本事件，
對于A，由，故A正確；
對于B，因為，所以事件B與C不互斥，故B錯誤；
對于C，因為，，，
則，故事件A與B相互獨立，故C正確；
對于D，因為，，所以事件A與D互為對立，故D正確．
故選：ACD．
【典例3】（2023·全國·模擬預測）為了響應國家出臺的節(jié)能減排號召，節(jié)能燈應運而生．現(xiàn)在有兩箱同種型號的節(jié)能燈用兩種裝箱包裝，第一箱有10個節(jié)能燈，其中有2個次品，第二箱有12個節(jié)能燈，其中有3個次品．下列說法正確的是（ ）
A．若從第一箱中任取1個節(jié)能燈，則該節(jié)能燈為次品的概率為
B．若從第一箱中任取2個節(jié)能燈，則至少有1個節(jié)能燈為次品的概率為
C．若從兩箱中各取出1個節(jié)能燈，則恰有一個是次品的概率為
D．若從兩箱中隨機取出1箱，再從該箱中隨機取出1個節(jié)能燈，則該節(jié)能燈為次品的概率為
【解析】【答案】BCD
【分析】利用獨立事件的概率公式和古典概率的公式逐項計算即可.
【詳解】對于A，若從第一箱中任取1個節(jié)能燈，則該節(jié)能燈為次品的概率為，故A錯誤；
對于B，若從第一箱中任取2個節(jié)能燈，則至少有1個節(jié)能燈為次品的概率為，故B正確；
對于，若從兩箱中各取出1個節(jié)能燈，則恰有一個是次品的概率為故C正確；
對于D，若從兩箱中隨機取出1箱，再從該箱中隨機取出1個節(jié)能燈，則該節(jié)能燈為次品的概率為，故正確．
故選：BCD．
【題型三】計算條件概率
【典例1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）某工廠生產了一批產品，需等待檢測后才能銷售.檢測人員從這批產品中隨機抽取了5件產品來檢測，現(xiàn)已知這5件產品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】利用條件概率的定義解題即可.
【詳解】設事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，
則，，故.
故選：C
【典例2】（2023·全國·模擬預測）連續(xù)拋擲一枚質地均勻的骰子3次，觀察向上的點數(shù)．在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，結合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】設第一次出現(xiàn)奇數(shù)為事件，3次出現(xiàn)的點數(shù)之積為偶數(shù)為事件，
則，，
所以.
故選：C.
【典例3】（2023·全國·模擬預測）某罐中裝有大小和質地相同的個紅球和個綠球，每次不放回地隨機摸出個球．記“第一次摸球時換到紅球”，“第一次摸球時摸到綠球”，“第二次摸球時摸到紅球”，“第二次摸球時摸到綠球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】C
【分析】根據(jù)題意得，可對A項判斷；由，可對B項判斷；
由，且可對C項判斷；由，可對D項判斷.
【詳解】對于A項：由題意知，故A錯誤．
對于B項：因為，，不相互獨立，所以，故B錯誤．
對于C項：因為，所以，故C正確．
對于D項：，，
則，故D錯誤．
故選：C.
【題型四】條件概率性質的應用
【典例1】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）下列有關事件的說法正確的是（ ）
A．若，則事件A，B為對立事件
B．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大
C．若A，B為互斥事件，則
D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則
【解析】【答案】C
【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義，條件概率的定義判斷．
【詳解】對于A，若在不同試驗下，雖然有，但事件和不對立．若在同一試驗下，說明事件和對立．所以A錯誤；
對于B，若事件和都為不可能事件，則B錯誤；
對于C，互斥，若對立，則，若不對立，則，C正確；
對于D，若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則，則D錯誤，
故選：C．
【典例2】（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）隨機化回答技術是為調查敏感性問題特別設計的問卷調查技術，其基本特征是被調查者對所調查的問題采取隨機回答的方式，避免在沒有任何保護的情況下直接回答敏感性問題，從而既對被調查者的隱私和秘密加以保護，又能獲得所需要的真實信息．某公司為提升員工的工作效率，規(guī)范管理，決定出臺新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，決定采取如下隨機化回答技術進行問卷調查：所有員工每人拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，約定“若結果為一次正面朝上一次反面朝上，則按①回答問卷，否則按②回答問卷”．
①：若第一次拋擲硬幣出現(xiàn)正面朝上，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”；
②：若你對新考勤管理方案滿意，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”．
當所有員工完成問卷調查后，統(tǒng)計畫√，畫×的比例為3∶2，用頻率估計概率，則該公司員工對考勤管理方案的滿意率為（ ）
A．50%B．60%C．70%D．80%
【解析】【答案】C
【分析】計算出回答①對于畫√號的貢獻率，進而得到回答②對于畫√號的貢獻率，由貝葉斯概率公式進行求解.
【詳解】拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，共出現(xiàn)以下情況，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種情況，
其中結果為一次正面朝上一次反面朝上為事件，則共有2種情況滿足要求，
則，，
設回答①且畫√號為事件，則，則，
設回答②且畫√號為事件，
則，
所以該公司員工對考勤管理方案的滿意率為.
故選：C
【典例3】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）目前，國際上常用身體質量指數(shù)BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調查結果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】D
【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計算即可.
【詳解】設公司男、女員工的人數(shù)分別為和，
則男員工中，肥胖者有人，
女員工中，肥胖者有人，
設任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，
則，，
則.
故選：D.
【題型五】利用全概率公式求概率
【典例1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預測）中國農業(yè)大學被網評為“京城高校第一食堂”，“食堂屆的天花板”僅東區(qū)食堂就有六個，大一新生每天在“公寓食堂”、“風味餐廳”、“清真食堂”三個方向艱難選擇，某同學決定從“公寓食堂”開始就餐，下一次就餐再等可能地隨機選擇另外2個食堂中的1個，如此不停地品嘗各個食堂的美食，記第次就餐去“公寓食堂”的概率為，第次就餐去“風味餐廳”的概率為，顯然，．下列判斷正確的是（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最大值為D．的最小值為
【解析】【答案】C
【分析】根據(jù)全概率公式列出關于和之間的關系式，再利用基本不等式求解即可.
【詳解】第次就餐去“公寓食堂”的概率為，第次就餐去“風味餐廳”的概率為，
第次就餐去“清真食堂”的概率為，
由全概率公式得，
，即，
當且僅當時等號成立.
故選：C．
【典例2】（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預測）“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】D
【分析】設出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進行求解.
【詳解】設事件表示“小孩誠實”，事件表示“小孩說謊”，
則，，，，
則，
，
故，
故.
故選：D
【典例3】（2023·廣東深圳·校考二模）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設事件為第一次取出的球為i號，事件為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】利用條件概率及全概率公式即可對每個選項進行分析
【詳解】由題意可得，故B正確；
對于A，表示在第一次取出的球為3號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以，故A正確；
對于C，表示在第一次取出的球為1號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以
表示在第一次取出的球為2號的前提下，第二次取出的球為3號的概率，所以，
應用全概率公式,有，故C錯誤；
對于D，利用條件概率可得，解得，故D正確
故選：C
【題型六】利用貝葉斯公式求概率
【典例1】（2023·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考模擬預測）甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（ ）
A．B．事件與事件B相互獨立
C．D．
【解析】【答案】D
【分析】A選項，根據(jù)題意求出，判斷A選項；
B選項，利用全概率公式求出，得到，判斷事件事件與事件B不相互獨立，得到D選項正確；
C選項，利用條件概率公式求解即可.
【詳解】由題意得，所以A錯誤；
因為，
，所以，即，
故事件事件與事件B不相互獨立，所以B錯誤，D正確；
，所以C錯誤；
故選：D
【典例2】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預測）一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺水果分選機進行篩選．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，利用全概率公式計算出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.
【詳解】記事件放入水果分選機的蘋果為大果，事件放入水果分選機的蘋果為小果，
記事件水果分選機篩選的蘋果為“大果”，
則，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.
故選：A.
【典例3】（2021·全國·校聯(lián)考三模）英國數(shù)學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻．根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關系：．若某地區(qū)一種疾病的患病率是，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結果呈現(xiàn)陽性的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】根據(jù)貝葉斯概率公式計算即可.
【詳解】設用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件，被檢測者患病為事件，未患病為事件，
則，，，，
故所求概率．
故選：A.
三、【培優(yōu)訓練】
【訓練一】（2023·山西臨汾·校考模擬預測）魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內復原．廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和復原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復原的世界紀錄，勇奪世界魔方運動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進入4秒的選手．
(1)小王和小吳同學比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進行了局比賽，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)小王和小吳同學比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？
【解析】【答案】(1)分布列見解析；
(2)小王應選擇“五局三勝制”
【分析】（1）依題意得到的可能取值，再利用獨立事件與互斥事件的概率公式求得其對應的概率，從而得解；
（2）分類討論小王不同選擇下對應的獲勝概率，從而得解.
【詳解】（1）因為采用三局兩勝制，所以的可能取值為，
表示小王或小吳連勝兩局；表示小王與小吳前兩局一勝一負；
所以，，
所以的分布列為：
則的數(shù)學期望為.
（2）若小王選擇“三局兩勝制”，
則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負勝；負勝勝；
則小王獲勝的概率為；
若小王選擇“五局三勝制”，
則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負勝；勝負勝勝；負勝勝勝；勝勝負負勝；勝負勝負勝；勝負負勝勝；負負勝勝勝；負勝負勝勝；負勝勝負勝；
則小王獲勝的概率為
，
因為，
所以小王應選擇“五局三勝制”.
【訓練二】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預測）某排球教練帶領甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有的概率再傳給該運動員，有的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第次傳球傳給甲運動員的概率為.
(1)求，；
(2)求的表達式；
(3)設，證明：.
【解析】【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，結合互斥事件和獨立事件概率公式進行求解即可；
（2）根據(jù)互斥事件和獨立事件概率公式，結合等比數(shù)列的定義和通項公式進行求解即可；
（3）利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系、等比數(shù)列的前項和公式進行證明即可.
【詳解】（1），，；
（2）由已知，∴，即，
∴是以為公比的等比數(shù)列，
∴，∴.
（3）.
設，，∴，∴在上單調遞增，
顯然，則，
∴，則，
即，
∴.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是根據(jù)題意利用獨立事件概率公式得到遞推關系式.
【訓練三】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓練.訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關系式，并求出.
【解析】【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為
(2)①，，；②，
【分析】1）由離散型隨機變量的分布列可解；
（2）記表示事件“經過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由數(shù)列知識，由遞推公式求得通項公式.
【詳解】（1）的所有可能取值為1，2，3.則
；；.
所以隨機變量的分布列為：
數(shù)學期望.
（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個人相互做傳球訓練，且次傳球后球在甲手中的概率為.
則有.
記表示事件“經過次傳球后，球在甲手中”.
所以
.
即.
所以，且.
所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列.
所以，.
即次傳球后球在甲手中的概率是.
【訓練四】（2023下·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）新高考數(shù)學試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2個以上選項是正確的，每一道題考生全部選對得5分. 對而不全得2分，選項中有錯誤得0分. 設一套數(shù)學試卷的多選題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為，沒有4個選項都正確的（在本問題中認為其概率為0）. 在一次模擬考試中：
(1)小明可以確認一道多選題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得5分的概率為，求；
(2)小明可以確認另一道多選題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇. 小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個，共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個. 若，以最后得分的數(shù)學期望為決策依據(jù)，小明應該選擇哪個方案？
【解析】【答案】(1)
(2)①
【分析】(1) 根據(jù)條件概率事件求解即可；
(2) 分別分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根據(jù)得分情況選擇方案；
【詳解】（1）記一道多選題“有2個選項正確”為事件，“有3個選項正確”為事件，“小明該題得5分”為事件B，
則，求得.
（2）若小明選擇方案①，則小強的得分為2分.
若小明選擇方案②，記小強該題得分為X，則，
且，
，
，
所以，，
若小明選擇方案③，記小強該題得分為Y，則，且
，
，
所以，,
因為，所以小明應選擇方案①.
【訓練五】（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.
(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；
(2)求第n題正確選項為兩個的概率；
(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設Y表示第n題得分，求證：.
【解析】【答案】(1)分布列見解析；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設事件表示正確選項為個，事件表示正確選項為個，表示第題正確選項為個的概率，表示第題正確選項為個的概率.由全概率公式可求出，繼而可求，再由全概率公式計算第二題得分分布列的各種情況，并根據(jù)公式計算期望；
（2）根據(jù)（1）中由第一題到第二題正確選項數(shù)概率的計算理解，由全概率公式可以得出一般性的結論化簡可得，可知為等比數(shù)列,求通項可得；
（3）根據(jù)（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，計算出,則結論可證.
【詳解】（1）設事件表示正確選項為個，事件表示正確選項為個，
表示第題正確選項為個的概率，表示第題正確選項為個的概率.
設事件表示選項“C”為第二題的一個正確選項，用隨機變量表示第二題得分.
依題得，可能取值為.
因為，，
所以
所以的分布列為:
所以.
（2）依題得，，
所以，
又因為，
所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.
所以，.
（3）由（2）可知，，.
依題得，可能取值為.
，
，
所以.
【點睛】方法點睛：高中階段的馬爾科夫鏈類型的概率問題解決關鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式，然后用數(shù)列手段去處理求解.
【訓練六】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）隨著春季學期開學，郴州市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學食堂每天都會提供A，B兩種套餐供學生選擇（學生只能選擇其中的一種），經過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復.記同學甲第天選擇套餐的概率為.
(1)求同學甲第二天選擇套餐的概率；
(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(3)從該校所有學生中隨機抽取100名學生統(tǒng)計第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學生中恰有名學生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時對應的的值.
【解析】【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)33
【分析】（1）根據(jù)題意結合全概率公式運算求解；
（2）根據(jù)題意結合全概率公式可得，結合等比數(shù)列的定義分析證明；
（3）根據(jù)題意分析可得，結合二項分布的概率公式列式求解.
【詳解】（1）設“第1天選擇B套餐”，“第2天選擇B套餐”，
則“第1天不選擇B套餐”.
根據(jù)題意可知：.
由全概率公式可得.
（2）設“第天選擇B套餐”，則，
根據(jù)題意.
由全概率公式可得
，
整理得，且，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（3）第二天選擇A類套餐的概率
由題意可得：同學甲第二天選擇A類套餐的概率為，則不選擇A類套餐的概率為，
所以，則，
當取最大值時，則，
即，解得，
且，所以.
四、【強化測試】
【單選題】
1. （2023·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習）一袋中有大小相同的個白球和個紅球，現(xiàn)從中任意取出個球，記事件“個球中至少有一個白球”，事件“個球中至少有一個紅球”，事件“個球中有紅球也有白球”，下列結論不正確的是（ ）
A．事件與事件不為互斥事件B．事件與事件不是相互獨立事件
C．D．
【解析】【答案】D
【分析】根據(jù)題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，進而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再討論各選項即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球.
故事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，且；
事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個紅球，且；
事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球，且.
所以，，，
因為，則事件與事件不為互斥事件，A選項正確；
，故事件與事件不是相互獨立事件，B正確；
，故D錯誤；
，故C正確；
故選：D.
2. （2023上·上海·高三?？计谥校啊笔恰笆录嗀與事件互相獨立”（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解析】【答案】C
【分析】根據(jù)事件互斥，對立，獨立的關系得出即可.
【詳解】因為對于任意兩個事件，如果，則事件與事件相互獨立，若事件與事件相互獨立，則事件A與事件也互相獨立，所以充分性成立；
若事件A與事件互相獨立，則事件與事件也相互獨立，則成立，所以必要性成立；
故選：C
3. （2021·山東泰安·校聯(lián)考模擬預測）在17世紀，有兩個賭徒向法國數(shù)學家布萊爾帕斯卡提出了這樣一個問題：他們二人賭博，采用五局三勝制，賭資為400法郎．賭了三局后，甲贏了2局，乙贏了1局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了，但是他們期望獲得部分賭資，數(shù)學期望這個詞由此而生．假設每局兩賭徒獲勝的概率相等，每局輸贏相互獨立，那么這400法郎比較合理的分配方案是（ ）
A．甲200法郎，乙200法郎B．甲300法郎，乙100法郎
C．甲250法郎，乙150法郎D．甲350法郎，乙50法郎
【解析】【答案】B
【分析】分別求甲、乙獲勝的概率，根據(jù)概率計算兩人賭資的分配方法.
【詳解】若繼續(xù)賭下去，甲贏的概率為，乙贏得概率為，所以甲300法郎，乙100法郎．
故選：B
4. （2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）湖南第二屆旅游發(fā)展大會于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學生知曉郴州，熱愛郴州，親身感受“走遍五大洲，最美有郴州”綠色生態(tài)研學，現(xiàn)有甲，乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地，王仙嶺旅游風景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學，記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇萬華巖中小學生研學實踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學線路不同”，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用條件概率公式計算即得.
【詳解】依題意，甲，乙隨機選擇一條線路去研學的試驗有個基本事件，
事件A含有的基本事件數(shù)是，則，
事件含有的基本事件數(shù)為，則,
所以.
故選：B
5. （2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】根據(jù)條件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【詳解】由題意，，由，是互斥事件知，，
所以，
故選：A．
6. （2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩位學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤5個項目中分別各自隨機選擇其中一項，記事件：甲和乙選擇的活動各不同，事件：甲和乙恰好一人選擇①，則等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】B
【分析】先利用排列組合及計數(shù)原理，求出和，再利用條件概率公式即可求出結果.
【詳解】由題意知，，，
所以，
故選：B.
7. （2023·河北秦皇島·統(tǒng)考模擬預測）已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機選取一箱，再從該箱中隨機取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【分析】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，，然后根據(jù)題意求出，,的值，再根據(jù)全概率公式和條件概率公式求解即可.
【詳解】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，,
則由題意知，，,
,
所以
故選：C
8. （2023·湖北武漢·湖北省武昌實驗中學?？寄M預測）設某公路上經過的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.3
【解析】【答案】A
【分析】設表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，即得，，設表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，則，，利用條件概率計算公式能求出今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率．
【詳解】設表示該汽車是貨車，表示該汽車是客車，則，，
設表示貨車中途停車修理，表示客車中途停車修理，則，，
表示一輛汽車中途停車修理，則，
今有一輛汽車中途停車修理，該汽車是貨車的概率為：
．
故選：A
【多選題】
9. （2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預測）先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，設事件“”，事件“”，事件“為奇數(shù)”，則（ ）
A．B．
C．與相互獨立D．與相互獨立
【解析】【答案】ACD
【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算概率判斷AB，根據(jù)相互獨立事件的定義結合概率的求法判斷CD.
【詳解】先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為x，y，
則基本事件總數(shù)為，，
，，
，，共36種情形，
滿足事件的有，共4種情形，其概率，故A正確；
滿足事件的有，共2種情形，其概率，B不正確；
滿足事件的有，
，，共18種情形，
其概率，
滿足事件的有共2種情形，所以，
則，所以與相互獨立，C正確；
滿足事件的只有一種情形，所以，
因為，所以與相互獨立，D正確.
故選：ACD.
10. （2023·全國·模擬預測）現(xiàn)有紅、黃、綠三個不透明盒子，其中紅色盒子內裝有兩個紅球、一個黃球和一個綠球；黃色盒子內裝有兩個紅球，一個綠球；綠色盒子內裝有三個紅球，兩個黃球．小明第一次先從紅色盒子內隨機抽取一個球，將取出的球放入與球同色的盒子中；第二次從該放入球的盒子中隨機抽取一個球．記抽到紅球獲得1塊月餅、黃球獲得2塊月餅、綠球獲得3塊月餅，小明所獲得月餅為兩次抽球所獲得月餅的總和，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到綠球的條件下，第二次抽到紅球的概率是
B．第二次抽到紅球的概率是
C．如果第二次抽到紅球，那么它來自紅色盒子的概率最大
D．小明獲得4塊月餅的概率是
【解析】【答案】AC
【分析】A選項，設出事件，根據(jù)題意求出概率；B選項，由全概率公式求出答案；C選項，由貝葉斯公式求出答案；D選項，小明獲得4塊月餅可能的情況有三種，求出對應的概率，相加后得到答案.
【詳解】A選項，記紅球為1，黃球為2，綠球為3，
設事件，分別表示第一次、第二次取到球，．
A選項，在第一次抽到綠球的條件下，第二次抽到紅球的概率，
故A正確．
對于B選項，依題意兩兩互斥，其和為，
并且，，
，，，
由全概率公式，得
，故B錯誤．
C選項，依題意，第二次的球來自與第一次取的球的顏色相同的盒子，
則，，
，
故在第二次抽到紅球的條件下，它來自紅色盒子的概率最大，故C正確．
對于D選項，小明獲得4塊月餅可能的情況有三種：
①第一次從紅色盒子內抽到紅球、第二次從紅色盒子內抽到綠球，其概率為；
②第一次從紅色盒子內抽到綠球、第二次從綠色盒子內抽到紅球，其概率為；
③第一次從紅色盒子內抽到黃球，第二次從黃色盒子內抽到黃球，其概率為，
故小明獲得4塊月餅的概率是，故D錯誤．
故選：AC．
11. （2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列結論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】AB
【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.
【詳解】因為，，所以，.
因為與為互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正確；
，故B正確；
，故C錯誤；
，，
所以，故D錯誤.
故選:AB.
12. （2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）某市場供應多種品牌的N95口罩，相應的市場占有率和優(yōu)質率的信息如下表：
在該市場中隨機買一種品牌的口罩，記表示買到的口罩分別為甲品牌、乙品牌、其他品牌，記表示買到的口罩是優(yōu)質品，則（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】AC
【分析】對于A，利用互斥事件的概率公式求解判斷，對于BD，由條件概率公式計算判斷，對于C，由全概率公式計算判斷.
【詳解】由題意得，
對于A，因為與互斥，所以，所以A正確，
對于B，，所以B錯誤，
對于C，
，所以C正確，
對于D，，所以D錯誤，
故選：AC
【填空題】
13. （2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）某產品的質量檢驗過程依次為進貨檢驗（IQC）、生產過程檢驗（IPQC）、出貨檢驗（OQC） 三個環(huán)節(jié)．已知某產品IQC的單獨通過率為，IPQC的單獨通過率為，規(guī)定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立，則一件該產品能進入OQC環(huán)節(jié)的概率為 ．
【解析】【答案】/0.9
【分析】利用獨立事件和互斥事件概率求解即可.
【詳解】設表示第i次通過進貨檢驗，表示第i次通過生產過程檢驗（），C表示該產品能進入出貨檢驗環(huán)節(jié)，由題意得
．
故答案為：.
14. （2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預測）1886年5月1日，芝加哥的二十一萬六千余名工人為爭取實行八小時工作制而舉行大罷工，經過艱苦的流血斗爭，終于獲得了勝利.為紀念這次偉大的工人運動，1889年7月由恩格斯領導的第二國際在巴黎舉行代表大會，會議上宣布將五月一日定為國際勞動節(jié).五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是
【解析】【答案】/
【分析】設“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，根據(jù)題目條件先分別求出，然后由條件概率公式即可求解.
【詳解】設“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，
因為已知甲在五一長假期間值班2天，
所以丙和乙分別值班一天、兩天或兩天、一天，
所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有種，
又因為甲在五一長假期間連續(xù)值班兩天，可以是第1，2兩天或第2，3兩天或第3，4兩天或第4，5兩天，
所以甲在五一長假期間值班2天且甲連續(xù)值班的方案共有種，
所以由條件概率公式得.
故答案為：.
15. （2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）已知，，，那么 ．
【解析】【答案】/
【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以.
故答案為：.
16. （2024·浙江臺州·統(tǒng)考一模）浙江省高考實行“七選三”選科模式，賦予了學生充分的自由選擇權．甲、乙、丙三所學校分別有75%，60%，50%的學生選了物理，這三所學校的學生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學校中隨機選取一個學生，則這個學生選了物理的概率為 ．
【解析】【答案】
【分析】先求得這個學生來自每個學校并且選擇了物理的概率，最后由分類加法算出總概率.
【詳解】設：事件：這個學生來自甲學校；事件：這個學生來自乙學校；事件：這個學生來自丙學校；
事件：甲學校學生選了物理；事件：乙學校學生選了物理；事件：丙學校學生選了物理；
由題意知：這個學生選擇是物理的概率：.
故答案為：.
【解答題】
17. （2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）某學校組織競賽，有A，B，C三類問題可供選擇，其中A問題答對可得5分，答錯0分，B問題答對只可得3分，但答錯只有2分，C問題答對得4分，答錯0分，現(xiàn)小明與小紅參加此競賽，小紅答對3種問題的概率均為0.5，小明答對A，B，C問題的概率分別為0.3，0.7，0.5.
(1)小紅一共參與回答了3題，且該題分為為、和這類題，記X為小紅的累計得分，求X的分布列；
(2)小明也參與回答了3道問題，3道問題可以是同一類，也可以不是同一類，記Y為小明的累計得分，求該如何分配問題，使得E[Y]最大.
【解析】【答案】(1)
(2)3道題均為類
【分析】（1）列出的所有可能取值，計算出各值的概率即可列出分布列；
（2）列出所有選擇情況，計算比較即可；
【詳解】（1）的可能取值為、、6、7、8、11、12、，
因為當有1種情況，所以，
因為當有種情況，所以，
因為當有種情況，所以，
因為當有2種情況，所以，
因為當有1種情況，所以，
因為當有1種情況，所以
因為當有種情況，所以，
所以X的分布列為：
（2）若3道題均為類，因為，
，
，
，
所以，
若3道題均為類，因為，
，
，
，
所以，
若3道題均為類，因為，
，
，
，
所以，
若3道題分別為、、，
因為，
，
，
，
，
，
所以,
若3道題分別為、、，
因為，
，
，
，
，
，
所以，
若3道題分別為、、，
因為
，
，
，
，
，
所以，
若3道題分別為、、，
因為，
，
，
，
，
，
所以，
若3道題分別為、、，
因為，
，
，
，
，
，
所以，
若3道題分別為、、，
因為，
，
，
，
，
，
所以，
若3道題分別為、、，
因為，
，
，
，
，
，
所以，
所以3道題均為類，可使得最大.
18. （2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知甲?乙?丙三人進行一個項目的比賽.在一輪比賽中，每兩人之間均進行一場比賽，且每場比賽均無平局出現(xiàn)，三場比賽結束后，若有人贏得兩場比賽，則該人獲勝，比賽結束：若三人各贏得一場比賽，則三人繼續(xù)進行下一輪比賽，以此類推，直至有人在其中一輪比賽中贏得兩場比賽，該人獲勝，比賽結束.已知甲勝乙?甲勝丙?乙勝丙的概率分別為
(1)求恰好在兩輪比賽后比賽結束的概率；
(2)設比賽結束時，共進行了輪比賽，且當進行了四輪比賽后仍無人贏得比賽則通過抽簽決出勝負，不再進行第五輪比賽，求的分布列及數(shù)學期望，
【解析】【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）求出在一輪比賽中，無人贏得兩場比賽的概率，進而求出恰好在兩輪比賽后比賽結束的概率；
（2）求出，并在（1）的基礎上得到相應的概率，得到分布列及數(shù)學期望.
【詳解】（1）設在一輪比賽中，無人贏得兩場比賽為事件A，恰好在兩輪比賽后比賽結束事件為，
事件A包含兩種情況，一是甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲，二是乙勝甲，甲勝丙，丙勝乙，
可知，
事件B則表示第一輪比賽無人贏得兩場比賽，第二輪比賽有人贏得兩場比賽，
所以.
（2）易知，由（1）可知，
，
，
所以的分布列為：
所以
19. （2023·廣東·統(tǒng)考二模）多巴胺是一種神經傳導物質，能夠傳遞興奮及開心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通過服裝搭配來營造愉悅感的著裝風格，通過色彩艷麗的時裝調動正面的情緒，是一種“積極化的聯(lián)想”.小李同學緊跟潮流，她選擇搭配的顏色規(guī)則如下：從紅色和藍色兩種顏色中選擇，用“抽小球”的方式決定衣物顏色，現(xiàn)有一個箱子，里面裝有質地、大小一樣的4個紅球和2個白球，從中任取4個小球，若取出的紅球比白球多，則當天穿紅色，否則穿藍色.每種顏色的衣物包括連衣裙和套裝，若小李同學選擇了紅色，再選連衣裙的可能性為0.6，而選擇了藍色后，再選連衣裙的可能性為0.5.
(1)寫出小李同學抽到紅球個數(shù)的分布列及期望；
(2)求小李同學當天穿連衣裙的概率.
【解析】【答案】(1)分布列見解析，
(2).
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求出的概率，列出分布列，求出數(shù)學期望即可；
（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.求出，結合條件概率和計算即可求解.
【詳解】（1）設抽到紅球的個數(shù)為X，則X的取值可能為4，3，2，
，，，
所以X的分布列為：
故.
（2）設A表示穿紅色衣物，則表示穿藍色衣物，B表示穿連衣裙，則表示穿套裝.
因為穿紅色衣物的概率為，
則穿藍色衣物的概率為，
穿紅色連衣裙的概率為，穿藍色連衣裙的概率為，
則當天穿連衣裙的概率為.
所以小李同學當天穿連衣裙的概率為.
20. （2023·全國·模擬預測）為了增強中學生的體質、豐富中學生的課余生活，某中學開設了籃球、足球、排球、羽毛球四種球類運動社團，要求每位學生每周必須選擇參加兩種運動社團．若該學期共有20周，現(xiàn)對甲、乙兩名同學每周選擇參加的運動社團組合情況及周數(shù)進行統(tǒng)計，結果如下表：
以樣本的頻率作為總體的概率，甲、乙選擇運動社團時互相獨立，則
(1)在甲選擇排球運動社團的前提下，求甲、乙選擇相同運動社團組合的概率；
(2)記甲、乙兩名同學在該學期第一周合計選擇的運動社團的種數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．
【解析】【答案】(1)
(2)分布列見解析，．
【分析】（1）利用條件概率公式求解；
（2）確定的所有可能取值分別計算對應的概率的分布列數(shù)學期望．
【詳解】（1）記事件為“甲選擇排球運動社團”，事件為“甲、乙選擇相同的運動社團組合”，
則
所以．
答：甲、乙選擇相同運動社團組合的概率為.
（2）的所有可能取值為，
則有，
，
，
所以的分布列為
所以數(shù)學期望．
21. （2023·全國·模擬預測）2023年FIBA世界杯屆時在印度尼西亞、日本以及菲律賓進行小組賽的角逐，而決賽階段的比賽將集中在菲律賓首都馬尼拉進行，這屆世界杯是首次在多個國家舉辦的世界杯，也為我們呈現(xiàn)了許多扣人心弦的比賽．
(1)球員甲每次投籃，選擇投兩分球的概率為，命中率為；投三分球的概率為，命中率為，求球員甲每次投籃命中的概率；
(2)“大心臟”通常形容籃球員在最后時刻有良好的心理素質，以高命中率進行得分．在比賽最后幾分鐘內，乙有三次投籃機會，第一投籃的命中率為，從第二次開始，每次投中的命中率會發(fā)生改變，若前一次投中，則該次投中的概率比前一次成功的概率增加；若前一次未投中，則該次投中的概率比前一次成功的概率增加，求乙在第三次投中的概率．
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)全概率公式求解所求概率即可；
（2）根據(jù)事件的獨立性，結合條件概率公式、全概率公式求解即可.
【詳解】（1）設事件A為“甲選擇投兩分球”，事件B為“甲選擇投三分球”，事件C為“甲投籃命中”，
則球員甲每次投籃命中的概率
．
（2）設事件為“乙在第次投籃命中”，其中，
則，，，
所以，
，
，
，
，
故乙在第三次投中的概率為．
22. （2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報告中，體育?健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設事件“種子選手第局上場”，事件“甲隊最終獲勝且種子選手上場”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）設事件“種子選手未上場”，事件“甲隊獲得勝利”，計算出、的值，利用貝葉斯公式可求得的值.
【詳解】（1）解：設事件“種子選手第局上場”，
事件“甲隊最終獲勝且種子選手上場”.
由全概率公式知，
因為每名隊員上場順序隨機，故，
，，.
所以，
所以甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率為.
（2）解：設事件“種子選手未上場”，事件“甲隊獲得勝利”，
，，，
，
因為.
由（1）知，所以.
所以，已知甲隊獲得最終勝利，種子選手上場的概率為.
專題62 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
知識梳理
考綱要求
考點預測
常用結論
方法技巧
題型歸類
題型一：相互獨立事件與互斥事件
題型二：獨立事件的乘法公式
題型三：計算條件概率
題型四：條件概率性質的應用
題型五：利用全概率公式求概率
題型六：利用貝葉斯公式求概率
培優(yōu)訓練
訓練一：
訓練二：
訓練三：
訓練四：
訓練五：
訓練六：
強化測試
單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
1
2
3
品牌
甲
乙
其他
市場占有率
優(yōu)質率
2
3
6
7
8
11
12
2
3
6
7
8
11
12
1
2
3
4
X
4
3
2
P
學生
周數(shù)
12周
6周
2周
甲
籃球、足球
排球、足球
羽毛球、排球
乙
排球、足球
籃球、羽毛球
籃球、足球
2
3
4