1．（4分）如果x：y＝2：3，則（x+y）：y等于（ ）
A．2：5B．5：2C．3：5D．5：3
2．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．sinA=35B．csA=35C．tanA=35D．ctA=35
3．（4分）拋物線y＝x2+2x的對稱軸是（ ）
A．直線x＝1B．直線x＝﹣1C．直線x＝2D．直線x＝﹣2
4．（4分）如圖，點P是航拍飛機在某一高度時的位置，BH是地平線，PH⊥BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．從點P觀測點B的俯角是（ ）
A．∠HPBB．∠CPBC．∠APBD．∠PBA
5．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分線.ABBC是（ ）
A．3?52B．3+52C．5?12D．5+12
6．（4分）如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，且∠CBD＝∠A，過點C的射線與BD的延長線相交于點E，如果CE∥AB，那么下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．EDCE=CEEBB．CDCB=CBCAC．ABAC=BDBCD．ADAB=ABAC
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]
7．（4分）線段a＝2厘米，c＝3厘米，線段a和c的比例中項b＝ 厘米．
8．（4分）如果兩個相似三角形面積的比為1：3，那么它們周長的比為 ．
9．（4分）二次函數(shù)y＝x2+3x﹣1的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是 ．
10．（4分）二次函數(shù)y＝x2﹣1的圖象在其對稱軸右側(cè)的部分是 的（填“上升”或“下降”）．
11．（4分）某公司10月份產(chǎn)值是120萬元，設(shè)第四季度每個月產(chǎn)值的增長率相同，均為x（x＞0），如果12月份的產(chǎn)值為y萬元，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 ．
12．（4分）如圖，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝ ．
13．（4分）如圖，梯形ABCD是某水庫大壩的橫截面．已知壩高AE＝8m，如果將坡度為1：2的斜坡AB改為坡度為1：2的斜坡AP，那么大壩底部應(yīng)加寬 m．（結(jié)果保留根號）
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，正方形CEDF的邊CE在邊BC上，頂點D、F分別在邊AB、AC上．如果BC＝3，AC＝6，那么正方形CEDF的邊長是 ．
15．（4分）已知點G是△ABC的重心，點D在邊AC上，如果GD∥BC，那么GDBC= ．
16．（4分）如圖，點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊DC、BC的中點，聯(lián)結(jié)DB，如果EF→=a→，BC→=b→，那么向量AB→關(guān)于a→、b→的分解式為 ．
17．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE垂直平分AB．聯(lián)結(jié)BE，如果tan∠A=13，那么cs∠CBE＝ ．
18．（4分）梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，AD＜BC，AD：DC＝2：3．將梯形沿過點D的直線折疊，點C落在AB上，記作點E，折痕與底邊BC的交點記作點F．如果DF∥AB，那么AE：EB＝ ．
三、（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：2(1?cs30°)+2sin60°2tan45°?ct30°．
20．（10分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表．
（1）寫出該拋物線的開口方向、對稱軸及頂點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線與x軸相交于點A（點A在對稱軸的右側(cè)），與y軸相交于點B，頂點為C，求證：△ABC是直角三角形．
21．（10分）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，tan∠CBD=12．
（1）求對角線BD的長；
（2）求sin∠ABC的值．
22．（10分）圖1是某商場地下車庫的出入口，車輛出入時，通常情況下只需升起“出口”或“入口”的道閘．特殊情況，兩個道閘也可以同時升起．圖2是其示意圖，道閘升起過程中對邊始終保持平行（如圖中升起的道閘EPQ1R1），升起的最高點不超過頂部CD．矩形門的高AD＝3.6米，寬AB＝6.6米．矩形閘機的寬AH＝BW＝0.3米，矩形道閘的寬FG＝EP＝1米，道閘底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．頂點G、M、Q、P在同一條直線上，邊MG＝PQ，邊MN與QR之間的縫隙可以忽略不計．
（1）求道閘升起的最大角的正切值；
（2）一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車想進入這個地下車庫，是否需要同時升起兩個道閘？請說明理由．
23．（12分）已知：如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，AE＝EC，AE2=12AD?AB，聯(lián)結(jié)DE．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）取AD的中點F，聯(lián)結(jié)EF、BE，求證：∠DEF＝∠CBE．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2（a＜0）經(jīng)過直線y＝﹣x上的點A，已知OA=22．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）將拋物線y＝ax2（a＜0）先向右平移1個單位，再向上平移k（k＞0）個單位后，所得新拋物線與y軸相交于點C，如果tan∠OCA=49，
①求k的值；
②設(shè)新拋物線的頂點為點D，新拋物線上的點B是點A的對應(yīng)點．聯(lián)結(jié)OD、CD，在新拋物線的對稱軸上存在點P，使得∠OPB＝∠ODC，求點P的坐標(biāo)．
25．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，點E在邊AB上，AE＝1，BE＝2，聯(lián)結(jié)DE．
（1）如圖1，聯(lián)結(jié)EC，求△EAD與△EBC的面積之比；
（2）如圖2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值；
（3）如圖3，聯(lián)結(jié)AC交DE于點F，如果DA2＝DF?DE，且DEAC=csB，求邊BC的長．
2025年上海市青浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每小題4分，滿分24分）[每題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆正確填涂]
1．（4分）如果x：y＝2：3，則（x+y）：y等于（ ）
A．2：5B．5：2C．3：5D．5：3
【分析】由x：y＝2：3，得x=23y，再代入所求的式子化簡即可．
【解答】解：x：y＝2：3，得x=23y，
把x=23y代入（x+y）：y＝（23y+y）：y＝5：3．
故選：D．
【點評】考查了比例的性質(zhì)，找出x、y的關(guān)系，代入所求式進行約分．
2．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．sinA=35B．csA=35C．tanA=35D．ctA=35
【分析】由題意可得AC＝4，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC=52?32=4，
∴sinA=BCAB=35，csA=ACAB=45，tanA=BCAC=34，ctA=ACBC=43，
故選：A．
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．
3．（4分）拋物線y＝x2+2x的對稱軸是（ ）
A．直線x＝1B．直線x＝﹣1C．直線x＝2D．直線x＝﹣2
【分析】將解析式化為頂點式即可得解．
【解答】解：將解析式轉(zhuǎn)化為頂點式得：y＝（x+1）2﹣1，
∴拋物線y＝x2+2x的對稱軸是是直線x＝﹣1，
故選：B．
【點評】本題考查將二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握解析式化為頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是直線x＝h是關(guān)鍵．
4．（4分）如圖，點P是航拍飛機在某一高度時的位置，BH是地平線，PH⊥BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．從點P觀測點B的俯角是（ ）
A．∠HPBB．∠CPBC．∠APBD．∠PBA
【分析】根據(jù)俯角的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵PC∥BH，BH是地平線，
∴從點P觀測點B的俯角是∠CPB，
故選：B．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握俯角的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分線.ABBC是（ ）
A．3?52B．3+52C．5?12D．5+12
【分析】根據(jù)AC＝BC，∠C＝36°，求出∠B＝∠BAC＝72°，根據(jù)AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD＝36°，進而證得△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得結(jié)論．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴∠B＝∠BAC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∠BAD＝∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠C＝∠CAD＝36°，
∴AD＝CD，∠ADB＝72°，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴BDAB=ADAC，
設(shè)BC＝AC＝a，BD＝x，
則AD＝CD＝AB＝a﹣x，
∴xa?x=a?xa，
解得x=3+52a（不符合題意，舍去）或x=3?52a，
∴AB＝a﹣x=5?12a，
∴ABBC=5?12aa=5?12．
故選：C．
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定方法．
6．（4分）如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，且∠CBD＝∠A，過點C的射線與BD的延長線相交于點E，如果CE∥AB，那么下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．EDCE=CEEBB．CDCB=CBCAC．ABAC=BDBCD．ADAB=ABAC
【分析】根據(jù)題意證明△CDE∽△BCE，△BCD∽△ACB，對應(yīng)邊成比例，逐一進行判斷即可．
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠ECD＝∠CBD，
∵∠E＝∠E，
∴△CDE∽△BCE，
∴EDCE=CEBE，故A選項正確，不符合題意；
∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴CDCB=CBCA，故B選項正確，不符合題意；
∵△BCD∽△ACB，
∴BDAB=CBCA，
∴ABAC=BDBC，故C選項正確，不符合題意；
∵△ABD與△ACB不能證明相似，
∴ADAB≠ABAC，故D選項錯誤，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△CDE∽△BCE．△BCD∽△ACB．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]
7．（4分）線段a＝2厘米，c＝3厘米，線段a和c的比例中項b＝ 6 厘米．
【分析】根據(jù)線段比例中項的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝6，故b的值可求．
【解答】解：∵線段b是a、c的比例中項，
∴b2＝ac＝2×3＝6（厘米），
解得b＝±6，
又∵線段是正數(shù)，
∴b=6．
故答案為：6
【點評】本題考查了比例線段，注意：求兩個數(shù)的比例中項的時候，應(yīng)開平方．求兩條線段的比例中項的時候，負(fù)數(shù)應(yīng)舍去．
8．（4分）如果兩個相似三角形面積的比為1：3，那么它們周長的比為 1：3 ．
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比＝相似比的平方解決問題即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形面積的比為1：3，
∴兩個相似三角形周長的比為1：3．
故答案為：1：3．
【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．
9．（4分）二次函數(shù)y＝x2+3x﹣1的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是 （0，﹣1） ．
【分析】代入x＝0，求出y值，進而可得出二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)．
【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝x2+3x﹣1＝﹣1，
∴二次函數(shù)y＝x2+3x﹣1的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0，﹣1）．
故答案為：（0，﹣1）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，代入x＝0，求出y值是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）二次函數(shù)y＝x2﹣1的圖象在其對稱軸右側(cè)的部分是 上升 的（填“上升”或“下降”）．
【分析】二次函數(shù)y＝x2﹣1的圖象開口向上，對稱軸為y軸，則二次函數(shù)y＝x2﹣1的圖象在其對稱軸右側(cè)的部分是上升的．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣1，a＝1＞0，
∴該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線x＝0，
∴在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，
即二次函數(shù)y＝x2﹣1的圖象在其對稱軸右側(cè)的部分是上升的．
故答案為：上升．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
11．（4分）某公司10月份產(chǎn)值是120萬元，設(shè)第四季度每個月產(chǎn)值的增長率相同，均為x（x＞0），如果12月份的產(chǎn)值為y萬元，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 y＝120（1+x）2 ．
【分析】根據(jù)某公司10月份的產(chǎn)值是120萬元，如果該公司第四季度每個月產(chǎn)值的增長率相同，都為x（x＞0），12月份的產(chǎn)值為y萬元，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，從而可以解答本題．
【解答】解：由題意可得，
y＝120（1+x）2，
故答案為：y＝120（1+x）2．
【點評】本題考查根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，這是一道典型的增長率問題．
12．（4分）如圖，AB∥CD∥EF，如果AD：DF＝3：2，那么BE：CE＝ 5：2 ．
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=32，
∴BECE=52．
故答案為：5：2．
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．
13．（4分）如圖，梯形ABCD是某水庫大壩的橫截面．已知壩高AE＝8m，如果將坡度為1：2的斜坡AB改為坡度為1：2的斜坡AP，那么大壩底部應(yīng)加寬 （16﹣82） m．（結(jié)果保留根號）
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AEB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BE＝82，PE＝16，于是得到PB＝PE﹣BE＝（16﹣82）m．
【解答】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝8m，
∴tan∠ABE=AEBE=12，
∴BE=AE12=812=82，
∵tanP=AEPE=12，
∴8PE=12，
∴PE＝16，
∴PB＝PE﹣BE＝（16﹣82）m，
答：大壩底部應(yīng)加寬（16﹣82）m．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，正方形CEDF的邊CE在邊BC上，頂點D、F分別在邊AB、AC上．如果BC＝3，AC＝6，那么正方形CEDF的邊長是 2 ．
【分析】由∠C＝90°，四邊形CEDF是正方形，頂點F在AC上，得DF＝CF，∠AFD＝∠C＝90°，可證明△ADF∽△ABC，得DFBC=AFAC，而BC＝3，AC＝6，所以DFAF=BCAC=12，則AF＝2DF＝2CF，所以2CF+CF＝6，求得CF＝2，則正方形CEDF的邊長是2，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，四邊形CEDF是正方形，頂點F在AC上，
∴DF＝CF，∠AFD＝∠CFD＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△ABC，
∴DFBC=AFAC，
∵BC＝3，AC＝6，
∴DFAF=BCAC=36=12，
∴AF＝2DF＝2CF，
∵AF+CF＝AC，
∴2CF+CF＝6，
解得CF＝2，
∴正方形CEDF的邊長是2，
故答案為：2．
【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ADF∽△ABC是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）已知點G是△ABC的重心，點D在邊AC上，如果GD∥BC，那么GDBC= 13 ．
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，再結(jié)合三角形重心的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：如圖所示，
連接AG并延長，交BC于點M，
∵點G是△ABC的重心，
∴AG＝2GM，BM＝CM．
∵GD∥BC，
∴△AGD∽△AMC，
∴GDMC=AGAM．
∵AGAM=23，
∴GDMC=23，
∴GDBC=26=13．
故答案為：13．
【點評】本題主要考查了三角形的重心及相似三角形的判定與性質(zhì)，能根據(jù)題意畫出示意圖及熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊DC、BC的中點，聯(lián)結(jié)DB，如果EF→=a→，BC→=b→，那么向量AB→關(guān)于a→、b→的分解式為 為b→+2a→ ．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平面向量的三角形運算法則即可求解．
【解答】解：∵點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊DC、BC的中點，
∴DB→=2EF→=2a→，AD→=BC→=b→，
∴AB→=AD→+DB→=b→+2a→，
即向量AB→關(guān)于a→、b→的分解式為b→+2a→，
故答案為：b→+2a→．
【點評】本題考查了平面向量，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，熟記平面向量的三角形運算法則是解題的關(guān)鍵．
17．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE垂直平分AB．聯(lián)結(jié)BE，如果tan∠A=13，那么cs∠CBE＝ 35 ．
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，再結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)及余弦和正切的定義即可解決問題．
【解答】解：如圖所示，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE．
由tanA=13得，
令BC＝a，則AC＝3a，
∴CE＝3a﹣AE＝3a﹣BE．
在Rt△BCE中，
CE2+BC2＝BE2，
∴（3a﹣BE）2+a2＝BE2，
∴BE=53a．
在Rt△BCE中，
cs∠CBE=BCBE=a53a=35．
故答案為：35．
【點評】本題主要考查了解直角三角形及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)及正切和余弦的定義是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，AD＜BC，AD：DC＝2：3．將梯形沿過點D的直線折疊，點C落在AB上，記作點E，折痕與底邊BC的交點記作點F．如果DF∥AB，那么AE：EB＝ 5：4 ．
【分析】延長FE，DA交于G，設(shè)AD＝2m，則CD＝AB＝3m，由AD∥BC，DF∥AB，知四邊形ABFD是平行四邊形，有DF＝AB＝3m，BF＝AD＝2m，∠B＝∠ADF，根據(jù)將梯形沿過點D的直線折疊，點C落在AB上，記作點E，可得∠CFD＝∠EFD，EF＝CF，DE＝CD＝3m，故∠DEF＝∠EFD，求出EF＝BF＝2m，證明△EFD∽△DFG，可得2m3m=3mGF，GF＝4.5m，從而GE＝GF﹣EF＝4.5m﹣2m＝2.5m，即可得AEBE=GEEF=2.5m2m=54．
【解答】解：延長FE，DA交于G，如圖：
設(shè)AD＝2m，則CD＝AB＝3m，
∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴DF＝AB＝3m，BF＝AD＝2m，∠B＝∠ADF，
∵將梯形沿過點D的直線折疊，點C落在AB上，記作點E，
∴∠CFD＝∠EFD，EF＝CF，DE＝CD＝3m，
∴DE＝DF＝3m，
∴∠DEF＝∠EFD，
∵DF∥AB，
∴∠CFD＝∠B，∠EFD＝∠BEF，
∴∠B＝∠BEF，
∴EF＝BF＝2m，
∵∠B＝∠CFD＝∠EFD＝∠DEF，∠B＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠DEF，
∵∠EFD＝∠DFG，
∴△EFD∽△DFG，
∴EFDF=DFGF，即2m3m=3mGF，
∴GF＝4.5m，
∴GE＝GF﹣EF＝4.5m﹣2m＝2.5m，
∵GA∥BF，
∴AEBE=GEEF=2.5m2m=54；
∴AE：EB＝5：4．
故答案為：5：4．
【點評】本題考查梯形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．
三、（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：2(1?cs30°)+2sin60°2tan45°?ct30°．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算，即可解答．
【解答】解：2(1?cs30°)+2sin60°2tan45°?ct30°
＝2（1?32）+2×322×1?3
＝2?3+32?3
＝2?3+3（2+3）
＝2?3+23+3
＝5+3．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表．
（1）寫出該拋物線的開口方向、對稱軸及頂點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線與x軸相交于點A（點A在對稱軸的右側(cè)），與y軸相交于點B，頂點為C，求證：△ABC是直角三角形．
【分析】（1）由表格找出y值相等的兩個點，再根據(jù)對稱關(guān)系求出對稱軸和頂點坐標(biāo)，進而在觀察開口方向；
（2）利用兩點距離公式求出AB、AC、BC的長度，再根據(jù)勾股定理逆定理證明即可．
【解答】（1）解：由表格可知，拋物線經(jīng)過點（1，0），（3，0），
∴對稱軸為x=1+32=2，
根據(jù)表格可知，頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），
∵頂點縱坐標(biāo)比兩側(cè)小，
∴開口向上；
（2）證明：由題易知A（3，0），B（0，3），C（2，﹣1），
∴AB2＝32+32＝18，
AC2＝（3﹣2）2+（0+1）2＝2，
BC2＝（0﹣2）2+（3+1）2＝20，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC為直角三角形．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點距離公式、勾股定理逆定理等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，tan∠CBD=12．
（1）求對角線BD的長；
（2）求sin∠ABC的值．
【分析】（1）連接AC，交BD于O，在Rt△CBO中，解直角三角形求出BO即可；
（2）過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)菱形的面積公式求出AE，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解答】解：（1）連接AC，交BD于O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝DO，BC＝AB=5，
在Rt△CBO中，
∵tan∠CBD=COBO=12，BO2+CO2＝BC2，
∴BO＝2CO，
∴（2CO）2+CO2＝（5）2，
∴CO＝1，
∴BO＝2，
∴BD＝4；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，BD＝4，AC＝2CO＝2，
∴菱形ABCD的面積=12×2×4＝4，
過點A作AE⊥BC于E，
則AE?BC＝4，
∴AE=45，
∴sin∠ABC=AEAB=455=45．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．
22．（10分）圖1是某商場地下車庫的出入口，車輛出入時，通常情況下只需升起“出口”或“入口”的道閘．特殊情況，兩個道閘也可以同時升起．圖2是其示意圖，道閘升起過程中對邊始終保持平行（如圖中升起的道閘EPQ1R1），升起的最高點不超過頂部CD．矩形門的高AD＝3.6米，寬AB＝6.6米．矩形閘機的寬AH＝BW＝0.3米，矩形道閘的寬FG＝EP＝1米，道閘底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．頂點G、M、Q、P在同一條直線上，邊MG＝PQ，邊MN與QR之間的縫隙可以忽略不計．
（1）求道閘升起的最大角的正切值；
（2）一輛高為1.8米、寬為1.9米的小貨車想進入這個地下車庫，是否需要同時升起兩個道閘？請說明理由．
【分析】（1）道閘升起，最大角為∠R1EN，最高點Q1應(yīng)在CD上，延長Q1R1交EF于點X，分別計算出ER1和R1X的值，利用勾股定理求得EX的值，即可求得最大角∠R1EN的正切值；
（2）設(shè)汽車為矩形A′B′NC′，一個道閘升起時，畫出相關(guān)圖形，求得EB′的長，利用∠R1EN的正切值可得R1X的值，加上0.2即為可通過的汽車的最高高度，與1.8比較即可判斷一個道閘升起能否通過．
【解答】解：（1）如圖：道閘升起，最大角為∠R1EN，最高點Q1應(yīng)在CD上，
延長Q1R1交EF于點X，則∠R1XE＝90°，
∵FG＝EP＝1米，道閘升起過程中對邊始終保持平行，
∴Q1R1＝1米，
∵AD＝3.6米，F(xiàn)H＝EW＝0.2米，
∴R1X＝3.6﹣1﹣0.2＝2.4米，
∵AB＝6.6米，AH＝BW＝0.3米，
∴ER1=6.6?2×0.32=3米，
∴EX=32?2.42=1.8米，
∴tan∠R1EN=．
答：道閘升起的最大角的正切值為43；
（2）需要同時升起兩個道閘．理由如下：
設(shè)汽車為矩形A′B′NC′，一個道閘升起時，汽車應(yīng)從如圖位置進入．
∴B′N＝1.9米，
由（1）得：ER＝3米，
∴EB′＝3﹣1.9＝1.1米，
∵tan∠R1EN=43，
∴A′B′＝1.1×43=2215米，
∴點A′到地面的距離為：2215+0.2=53米，
∵53＜1.8，
∴需要同時升起兩個道閘．
【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．畫出相關(guān)圖形，得到一個道閘升到最高點時點Q1的位置是解決本題的關(guān)鍵．
23．（12分）已知：如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，AE＝EC，AE2=12AD?AB，聯(lián)結(jié)DE．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）取AD的中點F，聯(lián)結(jié)EF、BE，求證：∠DEF＝∠CBE．
【分析】（1）由AE＝EC，得AC＝2AE，因為AE2=12AD?AB，所以AEAB=AD2AE，則AEAB=ADAC，而∠A＝∠A，即可證明△ADE∽△ACB；
（2）取AD的中點F，聯(lián)結(jié)EF、BE，則AF＝DF=12AD，由AE2=12AD?AB，得AE2＝AF?AB，則AEAB=AFAE，而∠A＝∠A，所以△AFE∽△AEB，則∠AEF＝∠ABE，由△ADE∽△ACB，得∠AED＝∠ABC，所以∠AED﹣∠AEF＝∠ABC﹣∠ABE，則∠DEF＝∠CBE．
【解答】證明：（1）∵AE＝EC，
∴AC＝2AE，
∵AE2=12AD?AB，
∴AEAB=AD2AE，
∴AEAB=ADAC，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
（2）取AD的中點F，聯(lián)結(jié)EF、BE，則AF＝DF=12AD，
∵AE2=12AD?AB，
∴AE2＝AF?AB，
∴AEAB=AFAE，
∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△AEB，
∴∠AEF＝∠ABE，
∵△ADE∽△ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AED﹣∠AEF＝∠ABC﹣∠ABE，
∴∠DEF＝∠CBE．
【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，推導(dǎo)出AEAB=ADAC，進而證明△ADE∽△ACB是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2（a＜0）經(jīng)過直線y＝﹣x上的點A，已知OA=22．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）將拋物線y＝ax2（a＜0）先向右平移1個單位，再向上平移k（k＞0）個單位后，所得新拋物線與y軸相交于點C，如果tan∠OCA=49，
①求k的值；
②設(shè)新拋物線的頂點為點D，新拋物線上的點B是點A的對應(yīng)點．聯(lián)結(jié)OD、CD，在新拋物線的對稱軸上存在點P，使得∠OPB＝∠ODC，求點P的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求出點A（2，﹣2），再將點A（2，﹣2）代入y＝ax2（a＜0），得﹣2＝4a，解得a=?12，可得答案；
（2）①先求出新拋物線表達式為y=?12(x?1)2+k，過點A作AH⊥y軸，垂足為H，得出tan∠OCA=AHCH=49，可求得CH=92，OC=52從而得出C（0，52），再將點C（0，52）代入y=?12(x?1)2+k，即可求解；
②分兩種情況：Ⅰ．當(dāng)點P在線段DE的延長線上時，Ⅱ．當(dāng)點P在射線DE上時，分別進行求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2（a＜0）經(jīng)過直線y＝﹣x上的點A，
∴點A在第四象限，
設(shè)點A（x，﹣x），由OA=22得點A（2，﹣2），
將點A（2，﹣2）代入y＝ax2（a＜0），得﹣2＝4a，解得a=?12，
∴該拋物線的表達式為y=?12x2；
（2）①∵拋物線y=?12x2先向右平移1個單位，再向上平移k（k＞0）個單位后，所得新拋物線，
∴新拋物線表達式為y=?12(x?1)2+k，
如圖，過點A作AH⊥y軸，垂足為H，
在Rt△ACH中，tan∠OCA=AHCH=49，
∴CH=92，
∴OC=52，
∴點C(0，52)，
將點C(0，52)代入y=?12(x?1)2+k，
解得k＝3；
②設(shè)直線y＝﹣x與新拋物線的對稱軸x＝1交于點E，則點E的坐標(biāo)為（﹣1，1），
∵點B的坐標(biāo)為（3，1），
∴∠OED＝∠DEB＝45°，
∵直線x＝1平行于y軸，
∴∠COD＝∠ODE，
∵OCOD=5210=104，ODDE=104，
∴OCOD=ODDE，
∴△OCD∽△OED，
∴∠ODC＝∠OED＝45°，
∵∠OPB＝∠ODC＝45°，
∴∠OPE＜45°，
分兩種情況：
Ⅰ．當(dāng)點P在線段DE的延長線上時，
∵∠OED＝∠DEB＝45°，
∴∠OEP＝∠PEB＝135°，
∴∠OPE+∠POE＝∠OPE+∠PBE＝45°，
∴∠POE＝∠EPB，
∴△OPE∽△PBE，
∴PEOE=BEPE，
∴PE2=OE?BE=2×22=4，
∴PE＝2，
∴點P的坐標(biāo)為（1，﹣3）；
Ⅱ．當(dāng)點P在射線DE上時，
∵∠BDE＝45°，
∴∠OPD＜45°，
∴點P在ED的延長線上，
在直線x＝1上取點F（1，1），同理可得△OPF∽△PBD，
∴PFOF=BDPD，
∴PF?PD＝OF?BD，
∴(2+PD)?PD=2?22=4，
∴PD=5?1，
∴點P的坐標(biāo)為(1，2+5)；
綜上所述：點P的坐標(biāo)為（1，﹣3）或(1，2+5)．
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
25．（14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD，點E在邊AB上，AE＝1，BE＝2，聯(lián)結(jié)DE．
（1）如圖1，聯(lián)結(jié)EC，求△EAD與△EBC的面積之比；
（2）如圖2，如果∠EDC＝90°，∠DEC＝∠DCB，求∠B的正切值；
（3）如圖3，聯(lián)結(jié)AC交DE于點F，如果DA2＝DF?DE，且DEAC=csB，求邊BC的長．
【分析】（1）延長DE，交CB的延長線于點F，可證得△ADE∽△FBE，從而ADBF=AEBE=12，S△ADES△BEF=(AEBE)2=14，進而得出S△EBFS△EBC=12，進一步得出結(jié)果；
（2）延長DE，交CB的延長線于點F，設(shè)CD＝3a作EG⊥CF于G，可證得EF＝2DE，△CDE∽△FDC，從而CD2＝DE?DF，進而得出CDDE=3，從而得出∠DCB＝60°，∠F＝30°，從而得出CF＝6a，DF＝33a，進而得出BF＝2a，EF＝23a，EG=12EF=3a，F(xiàn)G=32EF=32×23a=3a，BG＝a，進一步得出結(jié)果；
（3）設(shè)AD＝a，AT＝b，以D為圓心，AD長為半徑畫弧，交BA的延長線于點H，作DT⊥AH于T，從而DH＝AD＝a，AH＝2AT＝2TH＝2b，∠H＝∠HAD＝∠B，可證得△ADF∽△EDA，從而∠DAC＝∠AED，從而得出△HED∽△BCA，從而得出DEAC=DHAB=EHBC，根據(jù)cs∠DAH＝csB，根據(jù)DEAC=ATAD，從而得出ATAD=DHAB=EHBC，從而ba=a3=b+14a，進一步得出結(jié)果．
【解答】解：（1）如圖1，延長DE，交CB的延長線于點F，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴ADBF=AEBE=12，S△ADES△BEF=(AEBE)2=14，
∵BC＝4AD，
∴BC＝2BF，
∴S△EBFS△EBC=12，
∴S△EADS△EBC=18；
（2）如圖2，
延長DE，交CB的延長線于點F，作EG⊥CF于G，
∵∠DEC＝∠DCB，
∴∠F+∠ECF＝∠DCE+∠ECF，
∴∠DCE＝∠F，
∵∠CDE＝∠CDF，
∴△CDE∽△FDC，
∴CDDE=DFCD，
∴CD2＝DE?DF，
由（1）知，
△ADE∽△FBE，
∴DEEF=AEBE=12，BFBC=12，
∴EF＝2DE，
∴DF＝3DE，
∴CD2＝3DE2，
∴CDDE=3，
∵∠EDC＝90°，
∴∠CED＝60°，
∴∠DCB＝60°，∠F＝30°，
在Rt△CDF中，設(shè)CD＝3a，則CF＝6a，DF＝33a，
∴BF＝2a，EF＝23a，
在Rt△EFG中，
EG=12EF=3a，F(xiàn)G=32EF=32×23a=3a，
∴BG＝FG﹣BF＝3a﹣2a＝a，
∴tanB=EGBG=3，
（3）如圖3，
設(shè)AD＝a，AT＝b，
以D為圓心，AD長為半徑畫弧，交BA的延長線于點H，作DT⊥AH于T，
∴DH＝AD＝a，
∴AH＝2AT＝2TH＝2b，∠H＝∠HAD，
∵AD∥BC，
∴∠B＝HAD，∠DAC＝∠ACB，
∴∠H＝∠B，
∵DA2＝DF?DE，∠ADF＝∠ADE，
∴△ADF∽△EDA，
∴∠DAC＝∠AED，
∴∠AED＝∠ACB，
∴△HED∽△BCA，
∴DEAC=DHAB=EHBC，
∵cs∠DAH＝csB，
∴DEAC=ATAD，
∴ATAD=DHAB=EHBC，
∴ba=a3=b+14a，
∴a=62，
∴BC＝4a＝26．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
題號
1
2
3
4
5
6
答案
D
A
B
B
C
D
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…

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