高考對函數(shù)性質(zhì)的考查往往是綜合性的，如將奇偶性、周期性、單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)綜合考查，因此，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)注意在掌握常見函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，注重函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用的演練.
【重點(diǎn)知識回眸】
函數(shù)的奇偶性
1.定義
2.提醒：
(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．
(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：
①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0? ＝－1.
②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0? ＝1.
3．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論
（1）如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．
（3）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
（4）若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．
（5）奇函數(shù)的最值性質(zhì)：已知函數(shù)f (x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f (x)在D上有最值，則，且若0∈D，則f (0)＝0.
二．函數(shù)的周期性
1.周期函數(shù)
對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．
2.最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．
3.周期性的幾個(gè)常用結(jié)論
對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T，則
（1）：可得為周期函數(shù)，其周期
（2）的周期
分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構(gòu)造一個(gè)等式：
所以有：，即周期
注：遇到此類問題，如果一個(gè)等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個(gè)等式，進(jìn)而通過兩個(gè)等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（為常數(shù)）的周期
分析：，兩式相減可得：
（5）（為常數(shù)）的周期
（6）雙對稱出周期：若一個(gè)函數(shù)存在兩個(gè)對稱關(guān)系，則是一個(gè)周期函數(shù)，具體情況如下：（假設(shè)）
① 若的圖象關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期
分析：關(guān)于軸對稱
關(guān)于軸對稱
的周期為
② 若的圖象關(guān)于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期
③ 若的圖象關(guān)于軸對稱，且關(guān)于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期
4.函數(shù)周期性的作用：
（1）函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而利用已知條件求值
（2）圖象：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖象可利用周期性進(jìn)行“復(fù)制+粘貼”
（3）單調(diào)區(qū)間：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若在上單調(diào)增（減），則在上單調(diào)增（減）
（4）對稱性：如果一個(gè)周期為的函數(shù)存在一條對稱軸 （或?qū)ΨQ中心），則 存在無數(shù)條對稱軸，其通式為
證明：關(guān)于軸對稱
函數(shù)的周期為
關(guān)于軸對稱
三．函數(shù)的對稱性
1.對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸（或?qū)ΨQ中心）對稱
2.軸對稱的等價(jià)描述：
（1）關(guān)于軸對稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是偶函數(shù)）
（2）關(guān)于軸對稱
在已知對稱軸的情況下，構(gòu)造形如的等式只需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)前面的符號相同，且括號內(nèi)前面的符號相反；二是的取值保證為所給對稱軸即可.例如：關(guān)于軸對稱，或得到均可，只是在求函數(shù)值方面，一側(cè)是更為方便
（3）是偶函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于軸對稱.
① 要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在中，僅是括號中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等，即，要與以下的命題區(qū)分：
若是偶函數(shù)，則：是偶函數(shù)中的占據(jù)整個(gè)括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有
② 本結(jié)論也可通過圖象變換來理解，是偶函數(shù)，則關(guān)于軸對稱，而可視為平移了個(gè)單位（方向由的符號決定），所以關(guān)于對稱.
3.中心對稱的等價(jià)描述：
（1）關(guān)于中心對稱（當(dāng)時(shí)，恰好就是奇函數(shù)）
（2）關(guān)于中心對稱
在已知對稱中心的情況下，構(gòu)造形如的等式同樣需注意兩點(diǎn)，一是等式兩側(cè)和前面的符號均相反；二是的取值保證為所給對稱中心即可.例如：關(guān)于中心對稱，或得到均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側(cè)是更為方便
（3）是奇函數(shù)，則，進(jìn)而可得到：關(guān)于中心對稱.
① 要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在中，僅是括號中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相反，即，要與以下的命題區(qū)分：
若是奇函數(shù)，則：是奇函數(shù)中的占據(jù)整個(gè)括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有
② 本結(jié)論也可通過圖象變換來理解，是奇函數(shù)，則關(guān)于中心對稱，而可視為平移了個(gè)單位（方向由的符號決定），所以關(guān)于對稱.
4.對稱性的作用：
（1）可利用對稱性求得某些點(diǎn)的函數(shù)值
（2）在作圖時(shí)可作出一側(cè)圖象，再利用對稱性得到另一半圖象
（3）極值點(diǎn)關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱
（4）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同
5.函數(shù)圖象的對稱性相關(guān)結(jié)論
(1)函數(shù)y＝f(x)，若其圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a＝0時(shí)，f(x)為偶函數(shù))，則
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函數(shù)y＝f(x)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對稱(a＝0時(shí)，f(x)為奇函數(shù))，則
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函數(shù)y＝f(x)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對稱，則
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則g(x)＝f(2a－x)．
(5)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝a對稱，則g(x)＝2a－f(x)．
【典型考題解析】
熱點(diǎn)一 函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷.
【詳解】
，則，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，故為偶函數(shù).
故選：A
【典例2】（2021·全國·高考真題（文））設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.
【詳解】
由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【典例3】（2022·全國·高考真題（理））函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】
令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
【典例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f（x）＝xln（x）為偶函數(shù)，則a的值為（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
由f（x）＝xln（x）為偶函數(shù)，則設(shè)g（x）＝ln（x）是奇函數(shù)，由g（0）＝0，可求出答案.
【詳解】
解：∵函數(shù)f（x）＝xln（x）為偶函數(shù)，x∈R，
∴設(shè)g（x）＝ln（x）是奇函數(shù)，
則g（0）＝0，
即ln0，則1，則a＝1．
故選：B．
【典例5】（2019·全國·高考真題（文））設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x

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