難點(diǎn)與解題模型10平行線中的常見的四種“拐角”模型-2025年中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)梳理（試題含講義）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）
【中考母題學(xué)方法】
【典例1-1】（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，直線，將一個(gè)含角的直角三角尺按圖中方式放置，點(diǎn)E在上，邊、分別交于點(diǎn)H、K，若，則等于（）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得，問題隨之得解．
【詳解】∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和為，掌握四邊形內(nèi)角和為是解答本題的關(guān)鍵．
【典例1-2】（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．
【詳解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．
【典例1-3】（2024?茌平區(qū)一模）如圖，，，則，，的關(guān)系是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．分別過點(diǎn)C、D作的平行線，即，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，由，得，再由，即可得到．
【詳解】如圖，分別過點(diǎn)C、D作的平行線，即，
根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，
，
，
又，
，
即，
故選：A．
【典例1-4】（2024·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）傳統(tǒng)文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生感受中國傳統(tǒng)文化，某校將國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小紅同學(xué)把它抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖②，已知，，，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)求角度的方法是解題的關(guān)鍵．
如圖，作，可得，所以，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C ．
【典例1-5】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面是解答一道幾何題時(shí)兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
【答案】答案不唯一，見解析
【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)證明即可．
【詳解】方法一
證明：如圖，過點(diǎn)E作MN∥AB ，
∴∠A=∠AEM．
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠CEM．
∵∠AEC=∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC=∠A+∠C．
方法二證明：如圖，延長AE，交CD于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AFC．
∵∠AEC=∠AFC+∠C，
∴∠AEC=∠A+∠C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式1-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面(如圖)，明亮的光束是由位于拋物線反射鏡焦點(diǎn) F 上的光源產(chǎn)生的，此時(shí)光線沿著與拋物線的對(duì)稱軸平行的方向射出，若，則光線與形成的的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到，即可得到的度數(shù).
【詳解】解：由題意可知，，
∴，
∴
故選：C
【變式1-2】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．72°D．108°
【答案】B
【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，作得，進(jìn)一步可得，據(jù)此即可求解.
【詳解】解：作,如圖所示：
∴
∴
∴
∵，
∴
故選：B
【變式1-3】（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，是我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中為豎直方向的饋源（反射面），入射波經(jīng)過三次反射后沿水平射出，且，已知入射波與法線的夾角，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)作，可得，根據(jù)題意得到，再由平行線的性質(zhì)得到，得出答案，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點(diǎn)作，為法線，如圖：
∵，
∴，
∴，
∴為法線，
∴，
∵為法線，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
【變式1-4】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，若與的夾角為，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定，掌握平行線的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．
過點(diǎn)作，由可得，進(jìn)而可得出，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，
，
，
，，
，
，
．
故選：C
【變式1-5】（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線b上，，若，則．
【答案】46
【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
過點(diǎn)B作射線，再根據(jù)，得出，，再根據(jù)即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)B作射線，如圖所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：46．
【變式1-6】問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．
問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)， ∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．
(3)問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A1?B1?A2???Bn?1?An是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為．
【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析
(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β
(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1
【分析】（1）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；
（2）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如圖，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如圖，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如圖，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，
由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1．
故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問在解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．
題型二：“鉛筆”模型
【中考母題學(xué)方法】
【典例2-1】（崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，則∠C的度數(shù)是（）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【分析】過E作EF∥AB，求出AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，求出∠A+∠AEC+∠C＝360°，代入求出即可．
【解答】解：
過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
即∠A+∠AEC+∠C＝360°，
∵∠A＝140°，∠AEC＝120°，
∴∠C＝100°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
【典例2-2】（2024春?啟東市校級(jí)月考）如圖，直線a∥b，∠1＝28°，則∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝度．
【分析】過∠3的頂點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)：∠3＝∠1+∠2，∠3+∠4+∠5＝360°
【解答】解：如圖所示：過∠3的頂點(diǎn)作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，
又∠3＝∠6+∠7，
∴∠3＝∠1+∠2＝78°；
又∠4+∠6＝∠7+∠8＝180°
∴∠3+∠4+∠5＝360°．
【點(diǎn)評(píng)】注意此類題中常見的輔助線：構(gòu)造已知直線的平行線．根據(jù)平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明：∠3＝∠1+∠2；∠3+∠4+∠5＝360°．
【典例2-3】請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容．
（1）如圖（1）已知//，則．
解：過點(diǎn)作直線//．
∴（）．（）
∵//，//，
∴（）//（）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）
∴（）．（）．
∴．
∴．
（2）如圖②，如果//，則（）
【答案】（1）∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）360°
【分析】（1）過點(diǎn)E作直線EF∥AB，則∠FEB=∠B，繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；
（2）過點(diǎn)E作直線EF∥AB，則∠FEB+∠B=180°，繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．
【詳解】解：（1）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．
∴∠FED=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案為：∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）解：過點(diǎn)E作直線EF∥AB，如圖．
∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．
∴∠FED+∠D=180° （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．
∴∠B+∠BED+∠D=360°．
故答案為：360°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說理是關(guān)鍵．
【典例2-4】如圖，已知AB∥CD．
（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；
（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．
（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；
（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；
（2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；
（3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；
（4）由（2）（3）類比可得答案．
【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
故答案為：180°；
（2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如圖3，過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，
類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案為：540°；
（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案為：（n-1）×180°．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式2-1】（江蘇模擬）如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中AB∥DE，測(cè)得∠B=140°，∠D＝120°，則∠C的度數(shù)為（）
A．120°B．100°C．140°D．90°
【分析】先作輔助線CF∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：過點(diǎn)C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠B+∠1＝180°，∠D+∠2＝180°；
故∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，
故∠BCD＝360°﹣140°﹣120°＝100°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】注意此類題要作出輔助線，運(yùn)用平行線的性質(zhì)探求三個(gè)角的關(guān)系．
【變式2-2】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．
思路點(diǎn)撥：
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．
問題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為 °；
問題遷移：
（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠a?∠β，理由見解析
【分析】小明的思路是：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=110°．
（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【詳解】解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°?∠A=50°，∠CPE=180°?∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°，
故答案為：110；
（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；
（2）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；
理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE?∠DPE=∠β?∠α；
當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠a?∠β．
理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=∠α?∠β．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．
【變式2-3】（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）
（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）
（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）
（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；
（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，
∵l1∥l2，
∴A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，
故答案是：360°；
（2）過點(diǎn)A2作A2B∥l1，過點(diǎn)A3作A3C∥l1，
∵l1∥l2，
∴A3C∥A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °，
故答案是：（n-1）180 °．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題的關(guān)鍵．
題型三：“雞翅”模型
【中考母題學(xué)方法】
【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：，，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，延長交于點(diǎn)，先利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：延長交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵是的一個(gè)外角，
∴，
故選：．
【典例3-2】AB∥CD，點(diǎn)P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)．
（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，點(diǎn)E在射線BA上，過點(diǎn)E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點(diǎn)G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點(diǎn)H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見解析；（3）55°．
【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”進(jìn)一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”進(jìn)一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質(zhì)得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進(jìn)一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．
【詳解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：
如圖1所示，過點(diǎn)P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：
如圖2所示，過點(diǎn)P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，
∴∠APC＝∠A?∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH
＝∠FEG?∠BEG
＝∠BEF
＝55°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
【典例3-3】（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：
如圖，∠B=160°，當(dāng)∠A與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，BC∥DE?
小明認(rèn)為∠D?∠A=20°時(shí)BC∥DE，他解答這個(gè)問題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：
解：用直尺和圓規(guī)，在DA的右側(cè)找一點(diǎn)M，使∠DAM=∠D（只保留作圖痕跡）．
∵∠DAM=∠D，
∴①_____________
∵∠D?∠DAB=20°
∴∠BAM=②_________°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③__________°，
∴④_____________
∴BC∥DE．
所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)∠D?∠A=20°時(shí)，BC∥DE．
【答案】①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM
【分析】首先根據(jù)作一個(gè)角等于已知角進(jìn)行尺規(guī)作圖，然后再題目步驟的引導(dǎo)下，將空白處補(bǔ)充完整即可．
【詳解】解：如圖，通過尺規(guī)作圖得：∠DAM=∠D，
∵∠DAM=∠D，
∴①DE∥AM，
∵∠D?∠DAB=20°，
∴∠BAM=②20°，
∵∠B=160°，
∴∠B+∠BAM=③180°，
∴④BC∥AM，
∴BC∥DE．
所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)∠D?∠A=20°時(shí)，BC∥DE．
故答案為：①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定方法、尺規(guī)作圖（作一個(gè)角等于已知角）等知識(shí)點(diǎn)，平行線判定方法的熟練掌握是解題關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式3-1】如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為
【答案】180°
【分析】延長EA交CD于點(diǎn)F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解．
【詳解】解：延長EA交CD于點(diǎn)F，如圖所示：
，
∠1=∠EFD，
∠2+∠EFC=∠3，
，
，
；
故答案為180°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】問題探究：
如下面四個(gè)圖形中， ABCD．
（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．
（2）請(qǐng)你從中任選一個(gè)加以說明理由．
解決問題：
（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 圖1：∠1+∠2＝∠3；圖2：∠1+∠2+∠3＝；圖3：∠1＝∠2+∠3；圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)見解析；(3)
【分析】(1) 圖1：首先過點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案；
圖2：首先過點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得答案；
圖3：由ABCD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；
圖4：由ABCD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案．
（2）選圖1，過點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案；
（3）利用圖1結(jié)論進(jìn)行求解
【詳解】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；
圖2：∠1+∠2+∠3＝
圖3：∠1＝∠2+∠3；
圖4：∠1+∠3＝∠2；
(2)選擇圖1，
如圖所示：過點(diǎn)P作EP//AB
∵ABCD，EPAB
∴ABEPCD
∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC
∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由圖1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，
∴∠BOC=57°+44°＝101°
【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法．
【變式3-3】已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結(jié)論即可求解．
【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
過點(diǎn)P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如圖，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)設(shè)PD交AN于O，如圖，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
題型四：“骨折模型”
【中考母題學(xué)方法】
【典例4-1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，，，．則．
【答案】66
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【典例4-2】（2023·四川資陽·中考真題）如圖，，交于點(diǎn)F，則．

【答案】/度
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得到，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：
是的外角，
故答案為：
【典例4-3】①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
③過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先過點(diǎn)P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和同位角相等即可作出判斷．
【詳解】解：①過點(diǎn)E作直線，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；
②過點(diǎn)E作直線，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；
③過點(diǎn)E作直線，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；
④如圖，過點(diǎn)P作直線，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．
綜上所述，正確的小題有②③④．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
【中考模擬即學(xué)即練】
【變式4-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線．若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，平行的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．根據(jù)可得，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)結(jié)合可得，即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
．
又∵，，
，
．
故選：C．
【變式4-2】（2024·河南漯河·二模）如圖，直線，，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出，由三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．由平行線的性質(zhì)推出，由三角形外角的性質(zhì)得到．
【詳解】解：如圖，
，
，
，
．
故選：C
【變式4-3】 ①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線 EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】①過點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；
②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；
③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．
【詳解】解：
①如圖1，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①錯(cuò)誤；
②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正確；
③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③錯(cuò)誤；
④如圖4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正確；
綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）
題型二：“鉛筆”模型
題型三：“雞翅”模型
題型四：“骨折模型”
一、“豬蹄”模型
豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個(gè)點(diǎn)，分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”。
豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）
步驟總結(jié)
步驟一：過豬蹄（拐點(diǎn)）作平行線
步驟二：借助平行線的性質(zhì)找相等或互補(bǔ)的角
步驟三：推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系
模型結(jié)論：∠B＋∠D＝∠DEB．
二、鋸齒模型
已知
圖示
結(jié)論（性質(zhì)）
證明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和
已知：如圖，AB∥CD．
求證：∠AEC=∠A+∠C
方法一
證明：如圖，過點(diǎn)E作MN∥AB
方法二
證明：如圖，延長AE，交CD于點(diǎn)F．
從豬蹄模型可以看出，點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來，如下圖：
那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。
模型結(jié)論：∠B+∠E+∠D=360°
已知
圖示
結(jié)論（性質(zhì)）
AB∥DE
∠1=∠2+∠3
AB∥DE
∠1+∠3-∠2=180°
模型結(jié)論：∠E=∠B-∠D

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