1 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，則（ ）
A. 2B. 3C. D.
4. 已知平面向量滿足，且，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知且，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. D.
6. 若的展開式中含的項滿足，則這些項的系數(shù)和為（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
7. 已知為函數(shù)（，）的一個零點，直線為曲線的一條對稱軸，設(shè)的最小正周期，則（ ）
A. B. C. D.
8. 函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 記為正項數(shù)列的前項和，已知，則（ ）
A. B. 數(shù)列單調(diào)遞增
C. 數(shù)列的單調(diào)遞增D.
10. 已知正三棱柱的側(cè)面為正方形，其各個頂點均在球的表面上，點分別為的中點，三棱錐的體積為，則（ ）
A. 平面
B. 球的表面積為
C. 異面直線與夾角的余弦值為
D. 點到直線的距離為
11. 設(shè)計一個實用的門把手，其造型可以看作圖中的曲線的一部分，則（ ）

A. 點在上
B. 將在軸上方部分看作函數(shù)的圖象，則1是的極小值點
C. 在點處切線與的另一個交點的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)
D. 時，曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離均大于
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 過拋物線的焦點的直線與交于兩點，且點在點的上方，已知，若點在線段的垂直平分線上，則直線的斜率為__________.
13. 已知定義域為的函數(shù)滿足對，都有，則__________.
14. 已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，現(xiàn)從的前（，且）項中任取3項，若這3個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為，則__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.
（1）證明：；
（2）若邊上的中線的長為，求.
16. 習(xí)近平總書記指出：做好工作要“完整，準(zhǔn)確，全面貫徹新發(fā)展理念，加快構(gòu)建新發(fā)展格局，著力推動高質(zhì)量發(fā)展”.某部門在對新發(fā)展理念組織了全面學(xué)習(xí)后，對同一工作小組中的5名員工采取如下考核制度：
①在本季度末，從部門中另抽120人，每人1票，對這5名員工進(jìn)行投票；
②在本季度末，統(tǒng)計這5名員工本季度創(chuàng)造營銷收入.
記本季度創(chuàng)造的營銷收入為（單位：千元），所得票數(shù)為，現(xiàn)將5人的情況用數(shù)對表示：關(guān)于的相關(guān)系數(shù)為，部門規(guī)定：若，則認(rèn)為本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常.
（1）證明：本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常；
（2）經(jīng)查驗，本季度創(chuàng)造的營銷收入最少的員工的數(shù)據(jù)存在異常，將其剔除后，求該工作小組關(guān)于的線性回歸方程.（系數(shù)精確到個位數(shù)）
附：對于一組數(shù)據(jù)，回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：；相關(guān)系數(shù).
參考數(shù)據(jù)：，.
17. 如圖，四棱錐的底面是矩形，為的中點，.

（1）證明：平面；
（2）在棱上是否存在異于端點的點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.
18. 已知橢圓的離心率為，菱形的四個頂點都在上．當(dāng)菱形的四個頂點恰為的四個頂點時，菱形的面積是．
（1）求的方程；
（2）證明：與的交點為坐標(biāo)原點；
（3）求菱形周長的取值范圍．
19. 若數(shù)列滿足恰好存在個不同值使得，則稱數(shù)列為“階逆序數(shù)列”.
（1）判斷以下數(shù)列是否為“2階逆序數(shù)列”；（無須說明理由）
①；
②；
③；
（2）已知數(shù)列的前6項大小關(guān)系為，從這6項中任取3項，記取到滿足且的數(shù)對的個數(shù)為，求的分布列及期望；
（3）把正整數(shù)任意排列，記其中“1階逆序數(shù)列”的個數(shù)為，求.
廣東省“領(lǐng)航高中聯(lián)盟”2025屆高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，則（ ）
A. 2B. 3C. D.
4. 已知平面向量滿足，且，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知且，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. D.
6. 若的展開式中含的項滿足，則這些項的系數(shù)和為（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
7. 已知為函數(shù)（，）的一個零點，直線為曲線的一條對稱軸，設(shè)的最小正周期，則（ ）
A. B. C. D.
8. 函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 記為正項數(shù)列的前項和，已知，則（ ）
A. B. 數(shù)列單調(diào)遞增
C. 數(shù)列的單調(diào)遞增D.
10. 已知正三棱柱的側(cè)面為正方形，其各個頂點均在球的表面上，點分別為的中點，三棱錐的體積為，則（ ）
A. 平面
B. 球的表面積為
C. 異面直線與夾角的余弦值為
D. 點到直線的距離為
11. 設(shè)計一個實用的門把手，其造型可以看作圖中的曲線的一部分，則（ ）

A. 點在上
B. 將在軸上方部分看作函數(shù)的圖象，則1是的極小值點
C. 在點處切線與的另一個交點的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)
D. 時，曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離均大于
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 過拋物線的焦點的直線與交于兩點，且點在點的上方，已知，若點在線段的垂直平分線上，則直線的斜率為__________.
13. 已知定義域為的函數(shù)滿足對，都有，則__________.
14. 已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，現(xiàn)從的前（，且）項中任取3項，若這3個數(shù)能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為，則__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.
（1）證明：；
（2）若邊上的中線的長為，求.
16. 習(xí)近平總書記指出：做好工作要“完整，準(zhǔn)確，全面貫徹新發(fā)展理念，加快構(gòu)建新發(fā)展格局，著力推動高質(zhì)量發(fā)展”.某部門在對新發(fā)展理念組織了全面學(xué)習(xí)后，對同一工作小組中的5名員工采取如下考核制度：
①在本季度末，從部門中另抽120人，每人1票，對這5名員工進(jìn)行投票；
②在本季度末，統(tǒng)計這5名員工本季度創(chuàng)造營銷收入.
記本季度創(chuàng)造的營銷收入為（單位：千元），所得票數(shù)為，現(xiàn)將5人的情況用數(shù)對表示：關(guān)于的相關(guān)系數(shù)為，部門規(guī)定：若，則認(rèn)為本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常.
（1）證明：本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常；
（2）經(jīng)查驗，本季度創(chuàng)造的營銷收入最少的員工的數(shù)據(jù)存在異常，將其剔除后，求該工作小組關(guān)于的線性回歸方程.（系數(shù)精確到個位數(shù)）
附：對于一組數(shù)據(jù)，回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：；相關(guān)系數(shù).
參考數(shù)據(jù)：，.
17. 如圖，四棱錐的底面是矩形，為的中點，.

（1）證明：平面；
（2）在棱上是否存在異于端點的點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.
18. 已知橢圓的離心率為，菱形的四個頂點都在上．當(dāng)菱形的四個頂點恰為的四個頂點時，菱形的面積是．
（1）求的方程；
（2）證明：與的交點為坐標(biāo)原點；
（3）求菱形周長的取值范圍．
19. 若數(shù)列滿足恰好存在個不同值使得，則稱數(shù)列為“階逆序數(shù)列”.
（1）判斷以下數(shù)列是否為“2階逆序數(shù)列”；（無須說明理由）
①；
②；
③；
（2）已知數(shù)列的前6項大小關(guān)系為，從這6項中任取3項，記取到滿足且的數(shù)對的個數(shù)為，求的分布列及期望；
（3）把正整數(shù)任意排列，記其中“1階逆序數(shù)列”的個數(shù)為，求.

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