2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末真題數(shù)學(xué)匯編：數(shù)列章節(jié)綜合（人教B版）（解答題）

這是一份2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末真題數(shù)學(xué)匯編：數(shù)列章節(jié)綜合（人教B版）（解答題），共22頁(yè)。試卷主要包含了解答題，三問(wèn)，根據(jù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、解答題
1．（2024北京海淀高二下期末）已知數(shù)列滿足，集合．設(shè)中有個(gè)元素，從小到大排列依次為
(1)若，請(qǐng)直接寫(xiě)出；
(2)若，求；
(3)若，求的最小值
2．（2024北京房山高二下期末）若數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，則稱(chēng)是“數(shù)列”．
(1)若，，判斷，是否是“數(shù)列”；
(2)已知是等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和記為，若是“數(shù)列”，且恒成立，求公差的取值范圍；
(3)已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，，記，若是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”，是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
3．（2024北京石景山高二下期末）若數(shù)列對(duì)任意的，均滿足，則稱(chēng)為“速增數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3 的等比數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)k的最大值.
4．（2024北京石景山高二下期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和．
條件①，條件②，條件③.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
5．（2024北京順義高二下期末）若數(shù)列 滿足，則稱(chēng)為數(shù)列．記.
(1)若數(shù)列滿足，直接寫(xiě)出所能取到的最大值和最小值；
(2)若數(shù)列滿足，求證：存在，使得；
(3)若數(shù)列滿足，求所能取到的最大值（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）.
6．（2024北京西城高二下期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對(duì)于任意都有成立．
(1)寫(xiě)出，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值．
7．（2024北京順義高二下期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足=8，，設(shè).
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值．
8．（2024北京懷柔高二下期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列其前項(xiàng)和為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和.
條件①：；
條件②：；
條件③：且都有成立，.
9．（2024北京懷柔高二下期末）已知數(shù)集（），若對(duì)任意的（），與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱(chēng)數(shù)集A具有性質(zhì)P．
(1)分別判斷數(shù)集B=與數(shù)集C=是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)集A具有性質(zhì)P．
①當(dāng)時(shí)，證明，且成等比數(shù)列；
②證明：．
10．（2024北京西城高二下期末）設(shè)和均為各項(xiàng)互不相等的N項(xiàng)數(shù)列，其中，．記數(shù)列C：，，…，，其中，．
(1)寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列和，使得數(shù)列；
(2)若，C是公差不為0的等差數(shù)列，求證：為定值；
(3)若C為各項(xiàng)互不相等的數(shù)列，記C中最大的數(shù)為P，最小的數(shù)為Q，求的最小值．
11．（2024北京昌平高二下期末）已知無(wú)窮數(shù)列，給出以下定義：對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；
(2)證明：數(shù)列為“數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，有”；
(3)已知數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對(duì)任意的，，，.求數(shù)列的最小項(xiàng)的最大值.
12．（2024北京昌平高二下期末）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.
13．（2024北京東城高二下期末）已知項(xiàng)數(shù)列，滿足對(duì)任意的有. 變換滿足對(duì)任意，有，且對(duì)有，稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的一個(gè)排列. 對(duì)任意，記，，如果是滿足的最小正整數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列存在階逆序排列，稱(chēng)是的階逆序變換.
(1)已知數(shù)列，數(shù)列，求，；
(2)證明：對(duì)于項(xiàng)數(shù)列，不存在階逆序變換；
(3)若項(xiàng)數(shù)列存在階逆序變換，求的最小值.
14．（2024北京海淀高二下期末）設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于集合中的任意元素和，定義，，以及．
(1)若，，，，求；
(2)若，均為中的元素，且，，求的最大值；
(3)若均為中的元素，其中，，且滿足，求的最小值．
15．（2024北京第十二中學(xué)高二下期末）已知在等差數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16．（2024北京房山高二下期末）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
17．（2024北京延慶高二下期末）有窮數(shù)列{}共m項(xiàng)()．其各項(xiàng)均為整數(shù)，任意兩項(xiàng)均不相等．，．
(1)若{}：0，1，．求的取值范圍；
(2)若，當(dāng)取最小值時(shí)，求的最大值；
(3)若，，求m的所有可能取值．
參考答案
1．(1)；
(2)160；
(3)．
【分析】（1）由題意可求得，從而可求出；
（2）由題意可得，然后可依次求出，從而可求出；
（3）先證明：，方法一：考慮從這個(gè)數(shù)中任取2個(gè)求和，這些和都不小于，方法二：利用反證法，假設(shè)，則，然后推理證明；然后，證明存在符合要求的數(shù)列，構(gòu)造，分析判斷即可.
【詳解】（1）由題意可知，
所以可知，
所以，
所以．
（2）因?yàn)閷?duì)任意，都有，
所以依次為
，
，
，
，
，…
所以．
（3）．
先證明：．
方法1：考慮從這個(gè)數(shù)中任取2個(gè)求和，這些和都不小于，
因?yàn)椋?，從而?br>因?yàn)椋?，即?br>方法2：假設(shè)，則．
則，
因?yàn)闈M足的必要條件是（因?yàn)槿?，則，不等式不成立），
所以小于的和式至多有以下情況：
；
；
……
；
共，不合題意．
其次，證明存在符合要求的數(shù)列．
構(gòu)造：令．
顯然滿足，
且．
此時(shí)，，故．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.
2．(1)數(shù)列是“數(shù)列”；數(shù)列不是“數(shù)列”；
(2)
(3)或
【分析】（1）直接根據(jù)“數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）由是等差數(shù)列結(jié)合是“數(shù)列”可知公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式用含的式子表示，進(jìn)一步結(jié)合恒成立即可求解；
（3）由“數(shù)列”的每一項(xiàng)（）均為正整數(shù)，可得且，進(jìn)一步可得單調(diào)遞增，故將任意性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為與1比較大小關(guān)系可得的范圍，結(jié)合，或，注意此時(shí)我們還要分情況驗(yàn)證是否是“數(shù)列”，從而即可得解.
【詳解】（1）對(duì)于數(shù)列而言，若，則,
所以數(shù)列是“數(shù)列”；
對(duì)于數(shù)列而言，若，則，則數(shù)列不是“數(shù)列”；
（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“數(shù)列”，所以其公差．
因?yàn)?，所以?br>由題意，得對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立．
當(dāng)時(shí)，恒成立，故；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，即
對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)椋裕?br>所以的取值范圍是.
（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椤皵?shù)列”的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，由得，
所以且，
因?yàn)椋?br>所以，所以單調(diào)遞增，
所以在數(shù)列中，“”為最小項(xiàng)，
而，從而在數(shù)列中，“”為最小項(xiàng)．
因?yàn)槭恰皵?shù)列”，則只需，所以，
因?yàn)閿?shù)列不是“數(shù)列”，則，所以，
因?yàn)閿?shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，即，所以或，
（1）當(dāng)時(shí)，，則，
令，
又，
所以為遞增數(shù)列，
又，
所以對(duì)于任意的，都有，即，
所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．
（2）同理可知，當(dāng)時(shí)，，則，
令，
又，
所以為遞增數(shù)列，
又，
所以對(duì)于任意的，都有，即，
所以數(shù)列為“數(shù)列”，符合題意．
綜上，或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是首先將恒成立任意性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為與1比較大小得出的值，回過(guò)頭去檢驗(yàn)是否滿足題意即可順利得解.
3．(1)數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由見(jiàn)解析
(2)63
【分析】（1）根據(jù)“速增數(shù)列”的定義判斷即可；
（2）根據(jù)數(shù)列為“速增數(shù)列”，得可得的答案
【詳解】（1）數(shù)列是“速增數(shù)列”，理由如下：
由，則，
，
因?yàn)?，故?br>所以數(shù)列是“速增數(shù)列”；
（2）數(shù)列為“速增數(shù)列”，，，，
任意項(xiàng)，
時(shí)，
，
即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故正整數(shù)k的最大值為63.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“速增數(shù)列”的定義，緊緊圍繞不等式進(jìn)行，當(dāng)時(shí)，利用累加法的思想確定是解題的關(guān)鍵．
4．(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）選①②或②③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；選①③時(shí)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（2），利用裂項(xiàng)相消法即可證明.
【詳解】（1）（1）由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
當(dāng)選①②時(shí)：，解得，
所以的通項(xiàng)公式，．
選①③時(shí)，解得，
所以的通項(xiàng)公式，．
選②③時(shí)，解得，
所以的通項(xiàng)公式，．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
因?yàn)?，所?
5．(1)最大值是3，最小值是-3
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義即可求解；
（2）用反證法證明，假設(shè)任意，. 設(shè)是中最后一個(gè)小于零的項(xiàng)（由可知這樣的項(xiàng)存在），并且由，從而推出，推出矛盾即可證明；
（3）令，則.從而可得，進(jìn)而推出，由可得中1與的個(gè)數(shù)相等. 不妨令 ，從而，進(jìn)而，進(jìn)而可得，從而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】（1）所能取到的最大值是3，所能取到的最小值是-3；
（2）用反證法，假設(shè)任意，.
設(shè)是中最后一個(gè)小于零的項(xiàng)（由可知這樣的項(xiàng)存在），并且由，可知.
由，可知是整數(shù)列，
從而，所以，與矛盾.
所以假設(shè)不成立，從而存在，使得；
（3）令，則.
因?yàn)椋? ,，
所以，
根據(jù)可知，注意到，并且中1與的個(gè)數(shù)相等.
不妨令 ，
，
等號(hào)取到當(dāng)且僅當(dāng).
故所能取到的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
第三問(wèn)中，關(guān)鍵是令，則.從而可得，進(jìn)而推出，由可得中1與的個(gè)數(shù)相等.
6．(1)
(2)
【分析】（1）應(yīng)用計(jì)算求解后可表示通項(xiàng)公式；
（2）先求出通項(xiàng)公式再根據(jù)通項(xiàng)判斷正負(fù)，最后應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和求解確定最值即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，又，
所以，所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以的最小值為.
7．(1)證明見(jiàn)解析
(2)6
【分析】（1）由等比數(shù)列的基本量法，求出基本量，從而求得通項(xiàng)公式，再求得通項(xiàng)公式，從而得證.
（2）從二次函數(shù)的角度理解，求得的最大值.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,
∵數(shù)列是等比數(shù)列，且，則，
∴ , ∴ , ∴==2
又∵=8,∴ , ∴
∴
∴
∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差.
（2）由(1)知，
∵ ,
∴對(duì)稱(chēng)軸,又，所以取
∴時(shí)，最大，最大值為6.
8．(1)
(2)，
【分析】（1）設(shè)出首項(xiàng)和公差，建立方程求解基本量，求出通項(xiàng)公式即可.
（2）條件①利用數(shù)列前項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系求出，再利用分組求和法求和即可，條件②利用等比數(shù)列的定義求出，再利用分組求和法求和即可，條件③設(shè)出首項(xiàng)和公比，求出，再利用分組求和法求和即可.
【詳解】（1）已知等差數(shù)列中，滿足.
設(shè)首項(xiàng)為，公差為，
得到，解得，
（2）選條件①
.當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
設(shè)的前項(xiàng)和為，
.
選條件②
，是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
，設(shè)的前項(xiàng)和為，
.
選條件③
且都有成立，是等比數(shù)列，且設(shè)公比為，
，，
(負(fù)根舍去)，
是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
，設(shè)的前項(xiàng)和為，
.
9．(1)數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析
(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)P的定義帶入數(shù)值判斷即可；
（2）①根據(jù)題意分析可得，即可得結(jié)果；②采用構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方法構(gòu)造一個(gè)新的相等的集合，對(duì)其元素進(jìn)行排序后對(duì)應(yīng)相等可解.
【詳解】（1）數(shù)集具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)，理由如下：
因?yàn)?，，，，，都屬于?shù)集，所以具有性質(zhì)；
因?yàn)?，都不屬于?shù)集，所以不具有性質(zhì)．
（2）①當(dāng)時(shí)，，．
因?yàn)?，所以，，所以與都不屬于A，
因此，，所以．
因?yàn)?，且，所以?br>且，所以，所以成等比數(shù)列．
②因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以，至少有一個(gè)屬于A，
因?yàn)椋?，，因此，?br>因?yàn)?，所以（）?br>故當(dāng)時(shí)，，，（），
又因?yàn)椋?br>則，，，，，
可得，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義題目，必須先看清楚題目是如何定義的，然后依據(jù)定義小心驗(yàn)證自己的理解是否有偏差.題目了解之后再考慮提煉第二問(wèn)的解決方法，本題采用了構(gòu)造一個(gè)新的集合與原集合相等，得到答案.
10．(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最小值為.
【分析】（1）根據(jù)定義分析出，再寫(xiě)出所有情況即可；
（2）記等差數(shù)列的公差為，分析出，則，以分析即可；
（3）分為偶數(shù)和為奇數(shù)討論，當(dāng)為偶數(shù)利用反證法得，再討論等號(hào)成立的情況，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)舉例即可.
【詳解】（1）顯然，因?yàn)椋?br>根據(jù)，，則，，，
從而滿足條件的答案有4組，分別為：
；；
；.
（2）記等差數(shù)列的公差為，
由，
得，則.
由，得.
因?yàn)椋液途鶠楦黜?xiàng)互不相等的2024項(xiàng)數(shù)列，
所以，
所以，即.
所以公差.
不妨設(shè)公差，則，
而只能由1和2024得到，去除兩端的數(shù)后只能由2和2023得到
以此類(lèi)推，于是總為定值2025.
（3）由題意，數(shù)列中有個(gè)不同的整數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為個(gè)連續(xù)整數(shù)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若存在數(shù)列，使得，則.
由為偶數(shù)，知為奇數(shù)，則不可能為0.
這與矛盾，
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果數(shù)列；
數(shù)列；
那么數(shù)列，此時(shí)滿足.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，如果數(shù)列；
數(shù)列；
那么數(shù)列，此時(shí).
綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行分偶數(shù)和奇數(shù)討論，其中當(dāng)為偶數(shù)時(shí)需利用反證法，再討論出等號(hào)成立的情況.
11．(1)是為“數(shù)列”， 不是為“數(shù)列”；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3).
【分析】（1）根據(jù)等差等比的求和公式可得，，即可利用定義以及作差法求解，
（2）利用累加法，結(jié)合放縮法可得，，即可求證必要性，取即可求證充分性，
（3）根據(jù)定義可得為單調(diào)遞增數(shù)列，且，進(jìn)而得，即可根據(jù)單調(diào)性得最小值為，結(jié)合放縮法和等差求和公式可得，即可求解.
【詳解】（1）由于為等差數(shù)列，所以，為等比數(shù)列，，
任意的，都有，
故，所以數(shù)列是為“數(shù)列”，
任意的，都有，
故，所以數(shù)列不是為“數(shù)列”，
（2）先證明必要性：
因?yàn)闉椤皵?shù)列”，所以對(duì)任意的，都有，即，
所以對(duì)任意的，，，當(dāng)時(shí)，有
，
所以，
又，
所以，
又，
故，即，故，
再證明充分性：
對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，有，
即，
對(duì)于任意的,，則有，
即可，所以為“數(shù)列”，
（3）數(shù)列為“嚴(yán)格數(shù)列”，且對(duì)任意的，有，即，
設(shè)，則為單調(diào)遞增數(shù)列，且，
所以
因?yàn)椋?所以，
所以存在時(shí)，，
所以，當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
當(dāng)
因此存在最小值，且最小值為，
由于，所以，且
所以，即，
，即
所以
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，
此時(shí)，因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的最小項(xiàng)的最大值為
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得，利用累加法和放縮法得是證明第（2）問(wèn)的關(guān)鍵.
由，設(shè)，則為單調(diào)遞增數(shù)列，且，由，得存在時(shí)，，
所以，當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)是第（3）問(wèn)的求解關(guān)鍵.
12．(1)
(2)，
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）依題意可得，利用分組求和法計(jì)算可得.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
根據(jù)題意可得，解得或，
因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
所以
.
13．(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）直接根據(jù)定義求解對(duì)應(yīng)的數(shù)列即可；
（2）先證明若項(xiàng)數(shù)列存在階逆序變換，則和中必有一個(gè)是的倍數(shù)，再由不滿足該條件，即得結(jié)論；
（3）由上面的結(jié)果可知，然后對(duì)構(gòu)造符合條件的階逆序變換即可.
【詳解】（1）由于，，故，，，.
所以，即.
所以，即.
所以，即.
故，.
（2）對(duì)，設(shè)有個(gè)不同的點(diǎn)，若，則在之間畫(huà)一個(gè)箭頭.
則每個(gè)點(diǎn)恰好發(fā)出一個(gè)箭頭，也恰被一個(gè)箭頭指向，這些箭頭將形成若干互不相交的圈.
若各項(xiàng)互不相同的數(shù)列存在階逆序變換，則對(duì)，經(jīng)過(guò)三次變換后得到.
這意味著和必然位于一個(gè)長(zhǎng)度為的圈中.
從而，如果是偶數(shù)，則必定有，故每個(gè)點(diǎn)都位于一個(gè)長(zhǎng)度為的圈中，所以是的倍數(shù)；
如果是奇數(shù)，則除以外的點(diǎn)都位于一個(gè)長(zhǎng)度為的圈中，若單獨(dú)作為一個(gè)圈，則是的倍數(shù)，若位于包含其它點(diǎn)的圈中，則是的倍數(shù).
但是奇數(shù)，故只可能是：?jiǎn)为?dú)作為一個(gè)圈，是的倍數(shù).
綜上，若各項(xiàng)互不相同的數(shù)列存在階逆序變換，則和中必有一個(gè)是的倍數(shù).
由于不滿足該條件，故對(duì)于項(xiàng)數(shù)列，不存在階逆序變換；
（3）若項(xiàng)數(shù)列存在階逆序變換，根據(jù)（2）的結(jié)果，和中必有一個(gè)是的倍數(shù).
而，故.
而當(dāng)時(shí)，對(duì)各項(xiàng)互不相同的數(shù)列，構(gòu)造變換，滿足
，，，，，.
則，，.
所以是數(shù)列的階逆序變換.
綜上，的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于從階逆序變換的存在性推出和中必有一個(gè)是的倍數(shù)，進(jìn)而可以迅速由條件確定的大致范圍，最后得到結(jié)果.
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)，然后直接根據(jù)定義解得的值即可；
（2）根據(jù)已知條件考慮中所有等于的分量的個(gè)數(shù)，得到，再對(duì)構(gòu)造符合條件的例子；
（3）直接通過(guò)反證法說(shuō)明不可能成立，然后對(duì)構(gòu)造符合條件的例子.
【詳解】（1）設(shè)，則由，，知.
所以，得.
而，故，從而.
所以.
（2）由已知有，，
這些條件的含義是，都恰有個(gè)分量等于，且任意兩個(gè)不同向量沒(méi)有同時(shí)為的分量.
由于，故一共只有個(gè)分量，這表明全體的所有分量中，至多有個(gè).
而顯然一共有個(gè)，故，得.
顯然，，滿足條件，此時(shí).
這就說(shuō)明的最大值是.
（3）由，，知，.
而條件的含義是，在序列中，任意一對(duì)相鄰的向量都恰有個(gè)分量不相等.
根據(jù)題目?jī)?nèi)容，已有.
若，則，，且恰有個(gè)分量不相等，恰有個(gè)分量不相等.
換言之，恰有個(gè)分量相等，恰有個(gè)分量相等.
而，故一定存在，使得的第個(gè)分量不相等，的第個(gè)分量也不相等.
這就表明的第個(gè)分量相等，但，，它們沒(méi)有相等的分量，矛盾；
這就表明.
注意到，，，滿足全部條件，此時(shí).
所以的最小值是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及構(gòu)造性地給出符合條件的例子.
15．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組求得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求得，，得出數(shù)列是等比數(shù)列的公比，求得，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，解得，
所以．
（2）解：由（1）可知，，則，，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為，
所以，所以．
所以．
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由是等差數(shù)列求出，即可求出；
（2）找出，由分組求和得解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，
所以
因?yàn)椋?br>所以，即等比數(shù)列的公比.
所以，.
所以.
（2）由（Ⅰ）知，，，
因此
從而數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
17．(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)定義有，即可求范圍；
（2）首先確定中的前5項(xiàng)為，再根據(jù)定義及絕對(duì)值的幾何意義求最大值；
（3）根據(jù)分析的元素分布，討論m研究數(shù)列，進(jìn)而確定數(shù)列元素，結(jié)合題設(shè)判斷數(shù)列存在性，即可得結(jié)果．
【詳解】（1）由題設(shè)，則，即或，
所以或，任意兩項(xiàng)均不相等，故、，
故的取值范圍且；
（2）由{}各項(xiàng)均為整數(shù)，任意兩項(xiàng)均不相等，要使最小，即盡量小，
則，故中的前5項(xiàng)為，
要使最大，即最大，
而，則
不妨令，只需依次使取到最大，
要使最大，則；
要使最大，則；
要使最大，則，故；
此時(shí)，
綜上，.
（3）對(duì)于，則的最小值為，而，
由，且，
所以有如下情況：①最后一項(xiàng)為3，前面各項(xiàng)都為1；②最后兩項(xiàng)為2，前面各項(xiàng)都為1；
，數(shù)列不可能出現(xiàn)3，或同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)2，排除；
，數(shù)列為，對(duì)應(yīng)數(shù)列為，故存在滿足題設(shè)的情況；
，以下過(guò)程中，
若存在滿足①的數(shù)列元素依次為，
令數(shù)列前4項(xiàng)為，則第5項(xiàng)為（存在重復(fù)項(xiàng)，舍）或，
而第5項(xiàng)為，不滿足題設(shè)；
若存在滿足②的數(shù)列元素依次為，
令數(shù)列前3項(xiàng)為，則第4項(xiàng)為（存在重復(fù)項(xiàng)，舍）或，
第4項(xiàng)為，則第5項(xiàng)為（存在重復(fù)項(xiàng)，舍）或，而不滿足題設(shè)；
同上討論，時(shí)不可能存在滿足題設(shè)的數(shù)列；
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二、三問(wèn)，根據(jù)、約束條件及定義，結(jié)合絕對(duì)值的幾何意義確定的最值、元素分布.