1 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合中元素范圍，再求交集即可.
【詳解】，
，
則.
故選：C.
2. 已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】依題意，，
故選：D.
3. 函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷單調(diào)性，應(yīng)用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間.
【詳解】由解析式知，在上是增函數(shù)，
且，，
所以的零點所在區(qū)間為．
故選：C
4. 函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用單調(diào)性、最值結(jié)合圖象可得答案.
【詳解】當時，，為減函數(shù)，排除AD；
當時，，
當且僅當時，取得最小值2，故排除C.
B選項的圖象符合題意.
故選：B.
5. “函數(shù)是偶函數(shù)”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 充要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)求出，再根據(jù)必要不充分條件判斷可得答案.
【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，則，故“函數(shù)是偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件，
故選：C.
6. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使函數(shù)是減函數(shù)，須滿足 求不等式組的解即可.
【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則
得，
故選：C.
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的性質(zhì).
7. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正弦的和差角公式展開可計算出，把轉(zhuǎn)化成齊次式再運用弦化切的思想即可求解.
【詳解】因為，所以，得，
顯然，所以，而，
故選：B
8. 已知函數(shù)若有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有3個交點，作出函數(shù)的大致圖象，觀察得到結(jié)果.
【詳解】令，解得，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示：

若有3個零點，
則與函數(shù)的圖象有3個交點，
觀察可知，，解得，
故選:C.
二、多選題（共20分）
9. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用兩角和差的正弦公式、正切公式的逆運用可以分別計算出A、D選項，利用二倍角正弦公式的逆運用可以計算出B選項，根據(jù)降冪公式可以化簡病求出C選項.
【詳解】對于A選項，，所以A正確；
對于B選項，，所以B不正確；
對于C選項，，所以C不正確；
對于D選項，，所以D正確；
故選：AD.
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增D. 函數(shù)的值域為
【答案】CD
【解析】
【分析】由逐項判斷可得答案.
【詳解】依題意，，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故A錯誤，B錯誤；
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；
因為，故函數(shù)的值域為，故D正確；
故選：CD.
11. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集為或
【答案】BD
【解析】
【分析】由題意可得1和5是方程的兩根，且，利用韋達定理可得與的關(guān)系，然后逐項判斷可得答案.
【詳解】由題意可得1和5是方程的兩根，且，
由韋達定理可得，得，
對于A，因為，故A錯誤；
對于B，不等式，即，即，得，
所以不等式的解集是，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，由不等式，得，即，
則，得或，即解集為或，故D正確.
故選：BD.
12. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的一個周期為B. 函數(shù)圖象不關(guān)于y軸對稱
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減D. 函數(shù)的值域為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，，然后畫出的草圖可判斷CD.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為，故函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，故B正確；
當時，，則，
當時，，則，
而，故函數(shù)的最小正周期為；作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示，
觀察可知，C，D均正確；
故選：BCD
三、填空題（共20分）
13. 已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，陰影部分所表示的集合為且，即可得解.
【詳解】由圖可知，陰影部分所表示的集合為且.
故答案為：.
14. 已知，且，則的最小值為________.
【答案】##
【解析】
【分析】構(gòu)造基本不等式“1”的代換，求出最小值.
【詳解】因為，，
所以
當且僅當，即時等號成立.
所以的最小值為 .
故答案為：
15. 已知函數(shù)其中．若，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由得，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得不等式，解該不等式即可得解.
【詳解】若，則，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，
由，又，故或，
所以當時，得；當時，得.
所以滿足題意的的取值范圍是.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)其中且.
①當時，則函數(shù)的零點為___________；
②若函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍為___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①當時，分兩段，令=0解出的值即可；
②先求出第一段的值域，函數(shù)的值域為，列出不等式組即可求出答案.
【詳解】①若，則可知，當時，；
當時，令，解得，故函數(shù)的零點為.
綜上所述，當時，則函數(shù)的零點為；
②當時，；故顯然有解得，
故實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：；
四、解答題（共70分）
17. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等變換化簡的解析式，再利用單調(diào)性質(zhì)求解；
（2）由圖象變換得解析式，再利用整體法求值域.
【小問1詳解】
因為，
令，得
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到，
再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變得到，
當，故，
所以的值域為．
18. 已知，其中，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦的倍角公式及條件得，，再利用余弦的差角公式即可求出結(jié)果；
（2）先根據(jù)條件求出，構(gòu)角，再利用正弦的差角公式即可求解出結(jié)果.
【小問1詳解】
依題意，，得到，
又，所以，，
故
【小問2詳解】
因為，所以，又，
所以，則，
故
.
19. 已知函數(shù)．
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，以及取最值時x的值．
【答案】（1）1，，
（2）時，有最大值；時，有最小值.
【解析】
【分析】（1）將化簡為，解不等式，，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由，得，從而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最值．
【小問1詳解】
解：因為，
，
令，，得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
【小問2詳解】
解：因為，所以，
所以，
所以，
當，即時，有最大值，
當，即時，有最小值．
20. 已知函數(shù).
（1）在下列坐標系中，作出函數(shù)在上的大致圖象；
（2）將函數(shù)圖象的橫坐標伸長為原來的倍后，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】（1）作圖見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，按照列表、描點、連線可作出函數(shù)在上的大致圖象；
（2）利用三角函數(shù)圖象變換可求得函數(shù)的解析式為，由可求得的取值范圍，再利用余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的解析式.
【小問1詳解】
解：依題意，，
列表如下：
作出函數(shù)在上的大致圖象如下所示：
【小問2詳解】
解：將函數(shù)圖象的橫坐標伸長為原來的3倍后，得到，
再向左平移個單位，得到
，
當時，，
而，
，
則，
故函數(shù)在上的值域為.
21. 已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）函數(shù)，若存在，使得成立，求實數(shù)取值范圍；
（3）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.試判斷是否恒成立，并說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）恒成立，理由見解析
【解析】
【分析】（1）先求出的定義域，判斷其奇偶性及單調(diào)性，從而將所求不等式化為，由此得解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為和在上的值域的交集不為空集；分類討論和兩種情況，分別求出兩函數(shù)的值域，從而得解；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為判斷，再利用的單調(diào)性即可得解.
【小問1詳解】
因為，
由，可得，即的定義域為；
又，所以為奇函數(shù)，
當時，易得單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，且的值域為，
不等式，可化為，
所以，即，
即，即，解得，
則原不等式的解為；
【小問2詳解】
函數(shù)，
若存在，使得成立，
則和在上的值域的交集不為空集；
由（1）可知：時，單調(diào)遞減，
所以的值域為；
若，則在上單調(diào)遞減，
所以的值域為，
此時只需，即，所以；
若，則在上單調(diào)遞增，
可得值域為，
此時與的交集顯然為空集，不滿足題意；
綜上，實數(shù)的范圍是；
【小問3詳解】
恒成立，理由如下：
因為，
所以
，
因為在區(qū)間單調(diào)遞減，
所以當時，，所以，
即，即，
所以，即.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解函數(shù)不等式，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).
22. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）若關(guān)于x的方程在上有兩個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)被開方數(shù)非負列出一個關(guān)于對數(shù)函數(shù)的不等式，然后解不等式即可求出其定義域；
（2）構(gòu)造一個新函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求新函數(shù)在上的值域，最后解不等式即可.
【小問1詳解】
依題意，，故，
則，則，
則，故，
即函數(shù)的定義域為；
【小問2詳解】
依題意，，故；
令；
令，因為，故，故，
因為，當且僅當，即時等號成立；
而，故，即，即，
即實數(shù)m的取值范圍為.

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