1. 若復數(shù)，則的共軛復數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為，所以.
故選：A.
2. 已知集合且，則的元素個數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】在集合中且，有三個元素，
所以，則的元素個數(shù)為3.
故選：C.
3. 若向量,，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為向量,，且，則，
即，解得.
故選：A.
4. 若甲、乙、丙、丁、戊隨機站成一排，則甲、乙不同時站兩端的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為甲，乙同時站兩端的概率為，所以甲，乙不同時站兩端的概率為.
故選：B.
5. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析∵，∴，
由題意得，對恒成立，則對恒成立．
∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，
∴，即的取值范圍為．
故選：D.
6. 已知為定義在上的奇函數(shù)，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，又，
所以，根據(jù)題意作出的大致圖象，如下圖所示，
等價于，或，
由圖可得.
故選：D.
7. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，為的右支上一點，，則的離心率為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
依題意得，的離心率為，
在中，由正弦定理可得
，
故選：B.
8. 設表示中最大的數(shù).已知均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】設.因為為正數(shù)，所以，
當且僅當，即時，等號成立，則.
因為為正數(shù)，所以，當且僅當，即時，等號成立，
則.所以，則的最小值為3.
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選耤的得0分.
9. 已知曲線，則（ ）
A. 曲線不可能是一個圓
B. 曲線可能為一條直線
C. 當且時，曲線的準線方程為
D. 當時，曲線關于直線對稱
【答案】BC
【解析】取，得，即，A錯誤.
取時，該方程為，B正確.
當且時，，曲線的準線方程是，C正確.
當時，該方程為，即，曲線關于直線對稱，D錯誤.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 與的最小正周期相等
B. 當時，
C. 與的圖象在上有2個交點
D. 與在上的單調(diào)性相同
【答案】ABD
【解析】與的最小正周期均為，A正確；
若，則，B正確；
作出與在上的大致圖象，如圖所示.
由圖可知，與的圖象在上只有1個交點，與在上均為增函數(shù).C錯誤，D正確.
故選：ABD.
11. 已知正棱錐的體積為，則其側棱長可能為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】CD
【解析】設正棱錐的側棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，
則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，
所以正棱錐的體積，其中，
令，可得.
設函數(shù)，則.
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.可知，則，解得.
故選：CD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若為銳角三角形的三條邊，則直線與圓的位置關系是__________.
【答案】相交
【解析】由題意可知，則，
圓的圓心到直線的距離.
所以直線與圓相交.
故答案為：相交.
13. 已知一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為2，其中，則這組數(shù)據(jù)的極差為__________.
【答案】2或3
【解析】因為，故第60百分位數(shù)為第5位數(shù)，
當時，將數(shù)據(jù)從小到大排列為，第5位數(shù)為2，滿足題意，此時極差為，
當時，將數(shù)據(jù)從小到大排列為，第5位數(shù)為2，滿足題意，此時極差為，
當時，將數(shù)據(jù)從小到大排列為，第5位數(shù)為，不滿足題意，
故這組數(shù)據(jù)的極差為2或3.
故答案為：2或3.
14. 如圖，現(xiàn)有一個半球形容器（有蓋），其表面積為平方分米，忽路容器的厚度，若在該容器內(nèi)放入兩個半徑均為分米的球，則的最大值為__________ .（結果精確到0.1）.

【答案】或
【解析】設半球形容器對應的半球的半徑為分米，
則該容器表面積為平方分米，
得.根據(jù)對稱性可知，
當兩個球外切且均與半球相切（與球面相切，且與容器蓋所在平面相切）時，
取得最大值，這也相當于求半徑為10分米的四分之一個球的內(nèi)切球，
如圖，由，得.

故答案：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在四棱錐中，底面為矩形，且．
（1）證明：平面底面．
（2）若，，，，求直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：因為底面為矩形，所以，
又，，平面，
所以平面．
因為底面，
所以平面底面．
（2）解：由（1）得，，又，
以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，
則，，， ，
則，，
設，因為，則，
解得，所以，則．
設平面的一個法向量為，則由，
得，令，得．
因為，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
16. 設函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調(diào)性.
解：（1）當時，，則，
則曲線在點處的切線斜率為，
因為，所以曲線在點處的切線方程為；
（2）的定義域為，
當時，，
令，則，
當時，，上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
且，
當時，，則，此時，在上單調(diào)遞增.
當時，令，得.
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增.
綜上，當時，在上單調(diào)遞增，
當時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
17. 甲、乙、丙人進行跳棋比賽，人兩兩各進行局，共進行局，贏的局數(shù)多者獲勝，且這人只有人可獲勝，若沒有獲勝者，則這人兩兩再各進行局，若還沒有獲勝者，則比賽結束.假設甲、乙、丙每人每局贏的概率均為，每局是平局的概率均為，每人每局的結果相互獨立.設每贏局得分，平局得分，輸局得分.
（1）求該跳棋比賽前局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率；
（2）已知前局中甲、乙、丙各贏局，這人兩兩再各進行局，記甲在這局中獲得的總分為，求的分布列與數(shù)學期望.
解：（1）依題意可得乙和丙不可能都得分或分，
則乙和丙可能都得分或分，
當乙和丙都得分時，這局均為平局或這局每人各贏局；
當乙和丙都得分時，乙與丙都贏了甲且乙與丙的對局結果為平局.
所以該跳棋比賽前局沒有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率為.
（2）依題意可得的可能取值為，
則，，
，，
，
則的分布列為：
故.
18. 若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱與互為和等差數(shù)列.已知為數(shù)列的前項和.
（1）若，試問與是否互為和等差數(shù)列？說明你的理由.
（2）設為等比數(shù)列，，且與互為和等差數(shù)列.
①求的通項公式；
②設，求數(shù)列的前項和.
解：（1）當時，
，滿足上式，
因此，而，則，
，所以與互為和等差數(shù)列.
（2）①數(shù)列中，，由，得，
當時，，即，則，
又，因此數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，，即，
由與互為和等差數(shù)列，得數(shù)列為等差數(shù)列，又為等比數(shù)列，
所以的通項公式為.
②，
所以.
19. 已知橢圓的離心率為，過定點的直線與交于兩點，直線的斜率不為0.
（1）求的長軸長.
（2）若，證明：直線的斜率之和為定值.
（3）若，設直線分別交于都異于兩點，且的斜率存在，證明直線過定點，并求出定點坐標.
（1）解：因為橢圓的離心率為，所以，
可得，
因為，故，
所以的長軸長為.
（2）證明：設直線.
聯(lián)立得，
則，得，
，
設直線的斜率分別為，
則，
所以直線的斜率之和為定值0.
（3）解：設且且，
則且
得，
將代入得，與聯(lián)立，
解得，同理可得，
又直線過點，則，
代入并化簡可得.
設直線過定點，則，
代入數(shù)據(jù)并化簡可得，
對比系數(shù)可得，解得，
則直線過定點.6
5
4
3
2

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