一、選擇題
1. 圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史，2017年5月，世界圍棋冠軍柯潔與人工智能機(jī)器人AlphaG進(jìn)行圍棋人機(jī)大戰(zhàn)．截取首局對(duì)戰(zhàn)棋譜中的四個(gè)部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
B、不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
C、不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D、不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；
故選：A．
2. 下列實(shí)例中，沒有應(yīng)用到“三角形穩(wěn)定性”的是（ ）
A. 三角支架 B. 鋼架橋 C. 起重機(jī) D. 活動(dòng)掛架
【答案】D
【解析】A、三角支架應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；
B、鋼架橋應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；
C、起重機(jī)應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，不符合題意；
D、活動(dòng)掛架沒有應(yīng)用到三角形的穩(wěn)定性，符合題意；故選：D．
3. 下列整式乘法能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、第一個(gè)因式是兩數(shù)的和，第二個(gè)因式不是這兩個(gè)數(shù)的差，故不能用平方差公式計(jì)算；
B、第一個(gè)因式是兩數(shù)的和，第二個(gè)因式是這兩個(gè)數(shù)的差，故能用平方差公式計(jì)算；
C、第一個(gè)因式是兩數(shù)的差，第二個(gè)因式不是的和，而是這兩個(gè)數(shù)的差，故不能用平方差公式計(jì)算；
D、第一個(gè)因式是兩數(shù)的差，第二個(gè)因式是的差，不是這兩個(gè)數(shù)的和，故不能用平方差公式計(jì)算；
故選：B．
4. 由于木質(zhì)衣架沒有柔性，所以在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作．嘉嘉設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，套進(jìn)衣服后松開即可，如圖1，衣架桿，若衣架收攏時(shí)，（如圖2），則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接，如圖，

∵衣架收攏時(shí)，，且，
∴是等邊三角形，
∴；
故選：C．
5. 已知，則“★”所表示的單項(xiàng)式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得：；
故選：C．
6. 如圖，直角三角形被擋住了一部分，小明根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就另外畫出了一個(gè)與原來完全一樣的三角形，這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)圖形，小明所畫的三角形與原來三角形全等，
∴這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)，
故選：B．
7. 如果是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】D
【解析】是一個(gè)完全平方式，
，
即：，
故選：．
8. 下面是小麗同學(xué)計(jì)算的過程：
解：…①
…②
…③，則步驟①②③依據(jù)的運(yùn)算性質(zhì)分別是（ ）
A. 積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法
B. 冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法
C. 同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方
D. 冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方
【答案】A
【解析】…①
…②
…③，
則步驟①②③依據(jù)的運(yùn)算性質(zhì)分別是積的乘方，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法．
故選：A．
9. 為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，某城市大力推廣新能源汽車，并計(jì)劃在市區(qū)內(nèi)新建一批新能源汽車充電站，小王需要在一條城市主干道附近選一個(gè)地點(diǎn)建一個(gè)充電站C，為附近的兩個(gè)居民小區(qū)A和B的新能源汽車用戶提供充電服務(wù)，要使兩個(gè)居民小區(qū)的車主到充電站C的行駛距離之和最小，則充電站C的選址正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】選項(xiàng)C中：，
∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，滿足題意；
故選：C．
10. 在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取當(dāng)，時(shí)，則各個(gè)因式的值是，，，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式取，時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（ ）
A. 113212B. 111232C. 123211D. 123011
【答案】D
【解析】，且，，
各個(gè)因式的值是，，，
組成的密碼應(yīng)包含11，12，32，
組成密碼共有6種：111232，113212，121132，123211，321112，321211，
不能組成的密碼為123011．
故選：D．
二、填空題
11. 計(jì)算：______．
【答案】1
【解析】；
故答案為：1．
12. 因式分解：=______．
【答案】
【解析】，
故答案為：．
13. 《紅樓夢》是我國四大名著之一，文學(xué)社團(tuán)的同學(xué)在搜集相關(guān)資料時(shí)發(fā)現(xiàn)一張如圖所示的《紅樓夢》紀(jì)念幣圖案（將紀(jì)念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個(gè)圖案可以抽象成有公共邊的兩個(gè)正八邊形，如圖，則的度數(shù)是_____．
【答案】
【解析】∵正八邊形的外角和是，共八個(gè)外角且每個(gè)外角都相等，
∴每個(gè)外角都是，
∴正八邊形的兩個(gè)外角的和，
故答案為：．
14. 如圖，在一個(gè)長為，寬為的長方形木板的四個(gè)角上各裁去一個(gè)邊長為n的正方形木板，則剩下部分的木板（即陰影部分）的面積為______．（化簡）
【答案】
【解析】∵，
剩下部分的木板（即陰影部分）的面積為．
故答案為：．
15. 如圖，為等邊三角形，D，G為邊上兩點(diǎn)，，連接，，，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為延長線上一點(diǎn)，連接，且，若，，則______．
【答案】13
【解析】為等邊三角形，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
，，
，，
，
，
如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，則，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案為：13．
三、解答題
16. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 先化簡，再求值：，其中，．
解：
，
當(dāng)，時(shí)，
原式．
18. 已知a，b，c是的三邊長，且，試判斷的形狀．
解：∵，
∴，
∴．
∵，，，
∴，，．
∴，，，
∴，，，
∴為等邊三角形．
19. 在信息傳遞的過程中，信息的發(fā)送方甲方，為了保護(hù)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)信息不被第三方竊取，采用一個(gè)密鑰將要發(fā)送的信息進(jìn)行加密并形成密文發(fā)送給乙方，信息的接收方乙方用另一把密鑰對(duì)密文進(jìn)行解密，得到明文信息，這種完成信息通信目的的方法稱為密鑰加密．若某種加密規(guī)則如圖所示，當(dāng)發(fā)送方發(fā)出，，求解密后m，n的值．
解：由題意可知，，
；
將，代入，得，
；
∴，．
20. 將冪的運(yùn)算逆向思維可以得到，，，，在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算法則，?？苫睘楹?，化難為易，使問題巧妙獲解．
（1）已知，，求：①的值；②的值；
（2）已知，求x的值．
解：（1）①，，
；
②，，
；
（2），
，解得：．
21. 下面是小芳同學(xué)的部分?jǐn)?shù)學(xué)日記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
2024年10月11日星期五，今天參加課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了一個(gè)問題：如圖1，在中，若，，則BC邊上的中線AD的取值范圍是多少？
小組內(nèi)的同學(xué)們經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)，如果在條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求的結(jié)果轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，這樣就可以找到解題方法：如圖1，延長AD至點(diǎn)E，使，連接BE，可證得，進(jìn)而可求得中線AD的取值范圍．該小組在求解下面的拓展題時(shí)，發(fā)現(xiàn)也可以用這種方法解決．
拓展題：如圖2，以的邊AB，AC為邊分別向外作等腰和等腰，其中，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求的長．
任務(wù)：
（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）圖1中，的取值范圍是______；
（3）求圖2中的長．
解：（1）如圖1，延長至點(diǎn)E，使，連接，
∵為中線，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）如圖，延長至點(diǎn)E，使，連接．
∵，，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
故答案為；
（3）如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴
∴．
∵，
∴．
和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
22. 綜合與實(shí)踐
主題：制作“回形”正方形．
素材：一張長方形紙板（長為，寬為b）．
步驟1：如圖1，將長方形紙板的長四等分，畫出相同的小長方形，并按虛線剪開；
步驟2：如圖2，把剪好的四塊小長方形紙板拼成一個(gè)“回形”大正方形紙板．
（1）圖2中小正方形（陰影部分）的邊長為______；（用含a，b的式子表示）
（2）根據(jù)圖2，請(qǐng)直接寫出，，ab之間的等量關(guān)系；
（3）若，，求的值．
拓展與應(yīng)用：
（4）若，求的值．
解：（1）由題意可得，圖2中小正方形（陰影部分）的邊長為；
故答案為：
（2）根據(jù)圖2，大正方形的面積可以表示為，還可以表示為，
∴；
（3）∵，，
∴；
（4）∵，，
∴，
∴，
解得．
23. 綜合與探究
如圖，在中，以， 為邊分別作等邊和等邊，連接和．
（1）如圖1，寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）如圖2，若與相交于點(diǎn)M，求證：．
（3）如圖3，取，的中點(diǎn)Q，P，連接，，，得到，試猜想的形狀，并證明你的猜想．
證明：（1），
∵和都是等邊三角形，
∴， ，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）是等邊三角形．理由如下：
∵，
∴，，
∵，的中點(diǎn)為Q，P．
∴，．
∵，
∴．
∵．
∴，
∴， ，
∴，
∴是等邊三角形．

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