一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，，則.
故選：C.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，故原命題的否定為，.
故選：D
3. 已知函數(shù)則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題設，則.
故選：B
4. 設，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由可得或，又或，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選:
5. 已知偶函數(shù)，當時，，則當時，（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】當，則，，又為偶函數(shù)，
所以，當時，．
故選：D.
6. 若多項式有一個因式是，則（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】A
【解析】由題意可得，
則，解得.
故選：A.
7. 若，都是正數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】C
【解析】因為，又，都是正數(shù)，且，
所以，
當且僅當，即時等號成立．
故選：C．
8. 已知二次函數(shù)．甲同學：的解集為；乙同學：的解集為，丙同學：的對稱軸在y軸右側(cè)．在這三個同學的論述中，只有一個假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若的解集為，則；
若的解集為，則；
若對稱軸在y軸右側(cè)，則；
又這三個同學的論述中，只有一個假命題，故乙同學為假，
綜上，.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BC
【解析】A項，=所以A選項是錯誤的；
B項，若，可得：，故，故B正確；
C項，若可得，由可得：，故C正確；
D項，舉當時，則不成立，故D不正確；
故選：BC．
10. 已知函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞減，，且是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】因為函數(shù)是由函數(shù)向左平移個單位得到的，
而是奇函數(shù)，所以函數(shù)關于對稱，
且，故B正確；
所以，故A錯誤；
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上是減函數(shù)，
則不等式，即為，所以，
所以不等式的解集是，故C正確；
又，則當時，，當時，，
因為，
所以或，解得或，
所以不等式解集是，故D正確.
故選：BCD.
11. 設，，為實數(shù)，，記集合，，若、分別表示集合、的元素的個數(shù)，則下列結(jié)論能成立的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】A：當時，方程無實根，所以，或；
當時，，由得，此時；
當，時，，由得，此時；故存在A成立；
B：當時，方程有三個根，所以，，，設為的一個根，即，則，且，故為方程的根，故有三個根，即時，必有，故不可能是，；故B錯；
C：當時，由得或；
由得或；只需，即可滿足，；故存在C成立；
D：當時，由得，即；由得；即；故存在D成立；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求__________.
【答案】
【解析】設，為常數(shù)，
因為，所以，即，所以.
故答案為：.
13. 已知，則的值是_____
【答案】32
【解析】因為，所以.
故答案為：32.
14. 已知函數(shù).記，則（1）_______；（2）若函數(shù)（t為常數(shù)）在上有8個零點，則的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】當時，；假設當時，；
當時，.
根據(jù)數(shù)學歸納法，可得，在上恒成立.
，
由題意可得（），
則可得（）為函數(shù)的圖象與直線在上交點的橫坐標，如下圖：
由圖可得，
當時，顯然當時，可得，
，
結(jié)合圖象，函數(shù)的圖象在上關于直線對稱，
由題意同理可得，函數(shù)的圖象在上關于直線對稱，
函數(shù)的圖象在上關于直線對稱，
函數(shù)的圖象在上關于直線對稱，
不妨設，
則，，，，
所以.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)的定義域為，且對任意，都有，且當時，恒成立.
（1）證明函數(shù)是上的減函數(shù)；
（2）若，求的取值范圍.
（1）證明：設，則，
當時，恒成立，則，
，即
函數(shù)是上的減函數(shù)．
（2）解：易知，則．
，所以，解得或
故x的取值范圍是.
16. 已知定義在上的奇函數(shù)，其中.
（1）求函數(shù)的值域；
（2）解不等式：.
解：（1）為定義在上的奇函數(shù)，
，，
當時，，符合題意，
，
，，
，
的值域為；
（2）由（1）有，
原不等式可化為，
令，則，
，即，
，，
不等式的解集為.
17. 大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵、研究鮭魚的科學家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）滿足方程，其中表示鮭魚耗氧量的單位數(shù)，表示測量過程中鮭魚的耗氧量偏差.
（1）當一條鮭魚的耗氧量為2700個單位時，它的游速為，求此時的值；
（2）當甲、乙兩條鮭魚游速相同時，甲鮭魚耗氧量偏差是乙鮭魚耗氧量偏差的10倍，試問甲鮭魚的耗氧量是乙鮭魚耗氧量的多少倍？
解：（1）由題意可得：，解得，所以.
（2）設乙鮭魚耗氧量偏差為，乙鮭魚的耗氧量為，
則甲鮭魚耗氧量偏差為，甲鮭魚的耗氧量為，
因為甲、乙兩條鮭魚游速相同，則，
化簡得，
則，即，可得，
所以甲鮭魚的耗氧量是乙鮭魚耗氧量的9倍.
18. 已知函數(shù)，其中.
（1）判斷的奇偶性（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）；
（2）證明：當時，；
（3）若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍.
（1）解：當時，，其定義域為，且，
所以函數(shù)為偶函數(shù)；
當時，函數(shù)，可得且，
所以函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).
（2）證明：由函數(shù)，可得，
當時，因為，，所以；
當時，；
當時，，
綜上可得，當時，.
（3）解：設，
因為是關于的單調(diào)增函數(shù)，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個大于0的零點，
當時，，所以只有一個零點為0，不符合題意；
當時，，所以無零點，不符合題意；
當時，，
因為的圖象的對稱軸為，所以在上遞增，
所以在上至多有1個零點；
又因為的圖象對稱軸為，所以在上至多有2個零點，
問題等價于在有且僅有1個零點，在上有且僅有2個零點，
則滿足，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
19. 對于函數(shù)，記所有滿足，都有的函數(shù)構成集合；所有滿足，都有的函數(shù)構成集合.
（1）分別判斷下列函數(shù)是否為集合中的元素，并說明理由，
①；②；
（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；
（3）若，求證：是的充分不必要條件.
解：（1）①不是.
當時，，
，
所以不是集合中的元素；
②是.
，，
所以是集合中的元素.
（2）當時，，，
，
因為，在上單調(diào)遞減，
故成立，即；
若，令，，
，
因為，在上單調(diào)遞減，
所以，因此，
綜上所述，的最小值為1.
（3）充分性：因為，所以，，，進而，
同理，相加得，即，所以充分性滿足；
必要性：設，，，
所以，此時，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，因此，所以必要性不滿足；
綜上所述，是的充分不必要條件.

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