一、仿射變換問題
仿射變換有如下性質(zhì)：
1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；
2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；
3、其它不變關(guān)系．
我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．
橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：
（1）點(diǎn)變?yōu)椋?br>（2）直線斜率變?yōu)?，對?yīng)直線的斜率比不變；
（3）圖形面積變?yōu)?，對?yīng)圖形面積比不變；
（4）點(diǎn)、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）；
（5）弦長關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比不變
總結(jié)可得下表：
二、非對稱韋達(dá)問題
在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)”．
三、光學(xué)性質(zhì)問題
1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)
從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）．
【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．
【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．
【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓外，則．
2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)
從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．
【引理4】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．
【引理5】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．
【引理6】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．
3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)
從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點(diǎn)．
【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點(diǎn)，是過拋物線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）
【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)，求證：反射光線平行于軸．
四、三點(diǎn)共線問題
證明三點(diǎn)共線問題常用方法是斜率法和向量法
必考題型全歸納
題型一：仿射變換問題
例1．（2024·全國·模擬預(yù)測）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系．最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于、兩點(diǎn)且，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線、且，切點(diǎn)分別為、．
(1)求證：點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)若原點(diǎn)到、的距離分別為、，延長表示距離、的兩條直線，與橢圓交于、兩點(diǎn)，試求：原點(diǎn)在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．
例2．（2024·河北邯鄲·高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)且，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，且，切點(diǎn)分別為．
(1)求證：點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)若原點(diǎn)到，的距離分別為，，延長表示距離，的兩條直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，過作交于，試求：點(diǎn)所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）MN是橢圓上一條不過原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點(diǎn)，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點(diǎn)，Q是橢圓上不與A，B重合的點(diǎn)，則_________．CD是該橢圓過原點(diǎn)O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）Р是橢圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，并且，則面積為______________．
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)______，面積最大，并且最大值為______.記，當(dāng)面積最大時(shí)，_____﹐_______.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，______.
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實(shí)數(shù)），求______________.
題型二：非對稱韋達(dá)問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長是，
直線與交于點(diǎn)M.
(1)求橢圓的方程；
(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；
(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．
例5．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，P為橢圓上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的周長為12．
(1)求橢圓E的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線PM與橢圓另外一個(gè)公共點(diǎn)為Q，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，求證：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)N恒在一條定直線上．
例6．（2024·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率，為上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)若過且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線，分別與直線：交于，兩點(diǎn)，證明：四邊形為菱形.
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．
變式6．（2024·吉林四平·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，短軸長為，點(diǎn)上的點(diǎn)滿足直線、的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，記直線、交于點(diǎn)．探究：點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的長軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn)，其中為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線過的右焦點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．
變式8．（2024·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎獧E圓：的離心率為，是上一點(diǎn).
(1)求的方程.
(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上.
變式9．（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若面積的最大值為，且離心率．
(1)求C的方程；
(2)A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上．
變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學(xué)校考期中）已知橢圓：的左?右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程.
(2)若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由.
題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)
例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點(diǎn)，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：，為其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6.動(dòng)直線l為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
例9．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于點(diǎn)、，直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線.若，，則 .
變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
變式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)現(xiàn)有一橢圓，長軸長為，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，且滿足．
①證明：直線過定點(diǎn)；
②若，求的值．
變式13．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：上、下頂點(diǎn)分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點(diǎn)，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號(hào)．在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)．（提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線）
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與交于點(diǎn)，.直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，三點(diǎn)共線.若，，則（ ）
A．B．C．D．
變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會(huì)衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程可能為（ ）
A．2B．8C．10D．12
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡?系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，若由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.對于橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線為，在上的射影為，其中.
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，過作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）.點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.
變式17．（2024·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn)．現(xiàn)有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.
變式18．（2024·四川成都·川大附中?？级＃E圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓，長軸長為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)Q為直線上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.
變式19．（2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點(diǎn)Q，則（ ）

A．B．C．D．
題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)
例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于 ．
例11．（2024·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.
例12．（2024·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，從雙曲線的右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為 ．
變式20．（2024·江蘇南京·高二?？计谀﹫A錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）

A．B．C．D．
變式21．（多選題）（2024·高二單元測試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（ ）

A．B．C．D．
變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（ ）
A．的漸近線方程為B．
C．過點(diǎn)作，垂足為，則D．四邊形面積的最小值為
變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且在第一象限，，的內(nèi)心分別為，，其內(nèi)切圓半徑分別為，，的內(nèi)心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（ ）
A．點(diǎn)、均在直線上B．直線的方程為
C．D．
變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學(xué)校考三模）已知雙曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．雙曲線C的方程為
B．若，則
C．若射線n所在直線的斜率為k，則
D．當(dāng)n過點(diǎn)M（8，5）時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為10
變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為5
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)處的切線l交x軸于點(diǎn)Q，則（ ）
A．雙曲線C的離心率為B．雙曲線C的方程為
C．過點(diǎn)作，垂足為K，則D．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)
例13．（2024·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則 ， ．

例14．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則 ．
例15．（2024·全國·高二專題練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則 .
變式28．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線：，一條光線從點(diǎn)沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后與交于另一點(diǎn)，則的面積為 .
變式29．（2024·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校佄锞€有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線（），一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：上的點(diǎn)N，再反射后又射回點(diǎn)M，設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，．
(1)證明：；
(2)求拋物線方程．
變式30．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點(diǎn)沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)M，經(jīng)點(diǎn)M反射后與C交于另一點(diǎn)N．若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式31．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．16
變式32．（2024·全國·高二專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（ ）
A．4B．C．D．
變式33．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點(diǎn)．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再從上的另一點(diǎn)射出，則（ ）

A．6B．8C．D．29
變式34．（多選題）（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考一模）如圖，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點(diǎn)反射，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．C．D．與之間的距離為5
變式35．（多選題）（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點(diǎn).已知平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）

A．若的方程為，則
B．若的方程為，且，則
C．分別延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)在的準(zhǔn)線上
D．拋物線在點(diǎn)處的切線分別與直線，所成角相等
變式36．（多選題）（2024·湖南長沙·長沙一中校考模擬預(yù)測）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線上
C．直線與直線相交于點(diǎn)D，則A，O，D三點(diǎn)共線
D．直線與間的距離最小值為4
變式37．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)，，下列說法正確的是（ ）

A．的方程為B．的方程為
C．的最小值為D．的最小值為
題型六：三點(diǎn)共線問題
例16．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.
例17．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，直線AP與直線BP的斜率之積為，且橢圓C過點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線AP，BP分別與直線相交于M，N兩點(diǎn)，且直線BM與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，證明：A，N，Q三點(diǎn)共線．
例18．（2024·廣東肇慶·高三德慶縣香山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知為的中點(diǎn)，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線.
變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.過點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線.
變式39．（2024·重慶·校聯(lián)考三模）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率為，A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)．P，Q為橢圓C上異于A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP，AQ與直線l：分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程：
(2)設(shè)直線l與x軸交于R，若P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，求證：與相似．
變式40．（2024·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn).
變式41．（2024·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，不與頂點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)，再過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)．求證：三點(diǎn)共線．
變式42．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓A：，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于C，D兩點(diǎn)，過作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)E的軌跡的方程；
(2)設(shè)軌跡的上、下頂點(diǎn)分別為G、H，過點(diǎn)的直線交軌跡于M、N兩點(diǎn)（不與G、H重合），直線GM與直線交于點(diǎn)，求證：P、H、N三點(diǎn)共線
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變換前
變換后
方程
橫坐標(biāo)
縱坐標(biāo)
斜率
面積
弦長
不變量
平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比
第82講 圓錐曲線題型拓展（二）
知識(shí)梳理
一、仿射變換問題
仿射變換有如下性質(zhì)：
1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；
2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；
3、其它不變關(guān)系．
我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．
橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：
（1）點(diǎn)變?yōu)椋?br>（2）直線斜率變?yōu)?，對?yīng)直線的斜率比不變；
（3）圖形面積變?yōu)椋瑢?yīng)圖形面積比不變；
（4）點(diǎn)、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）；
（5）弦長關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比不變
總結(jié)可得下表：
二、非對稱韋達(dá)問題
在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求或之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了．特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去或，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如或之類中的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)”．
三、光學(xué)性質(zhì)問題
1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)
從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）．
【引理1】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．
【引理2】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．
【引理3】設(shè)橢圓方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓外，則．
2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)
從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）．
【引理4】若點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線和直線的交點(diǎn)．
【引理5】若點(diǎn)在直線的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)是直線上到點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn)，即最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)與點(diǎn)連線的延長線和直線的交點(diǎn)．
【引理6】設(shè)雙曲線方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則．
3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)
從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重合）．反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點(diǎn)．
【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線，為其焦點(diǎn)，是過拋物線上一點(diǎn)的切線，是直線上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線平行于軸．求證：．（入射角等于反射角）
【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線，是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)，求證：反射光線平行于軸．
四、三點(diǎn)共線問題
證明三點(diǎn)共線問題常用方法是斜率法和向量法
必考題型全歸納
題型一：仿射變換問題
例1．（2024·全國·模擬預(yù)測）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系．最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于、兩點(diǎn)且，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線、且，切點(diǎn)分別為、．
(1)求證：點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)若原點(diǎn)到、的距離分別為、，延長表示距離、的兩條直線，與橢圓交于、兩點(diǎn)，試求：原點(diǎn)在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．
【解析】（1）證明：在橢圓中，因?yàn)?，則，，
橢圓的方程為，
過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于、兩點(diǎn)且，
則點(diǎn)在橢圓上，則，解得，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
①當(dāng)直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線、的斜率分別為、，
作變換，，則橢圓方程變?yōu)椋?br>記，，則，設(shè)點(diǎn)，
①當(dāng)直線、的斜率都存在時(shí)，
設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的斜率為，
則切線的方程為，即，
由題意可得，整理可得，
由韋達(dá)定理可得，整理可得，
即，即；
②作放射變換前，若直線、與兩坐標(biāo)軸分別垂直，則點(diǎn)，
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.
綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）邊上的垂足所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差為，
則，
所以，，
所以，，下面來求的值：
①若、分別與兩坐標(biāo)軸重合，則；
②若、的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，
則直線的方程為，
聯(lián)立可得，，
所以，，同理可得，
所以，，
綜上所述，，所以，，
所以，點(diǎn)的軌跡方程為.
所以，原點(diǎn)在邊上的射影所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差為.
例2．（2024·河北邯鄲·高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可．已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)且，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，且，切點(diǎn)分別為．
(1)求證：點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)若原點(diǎn)到，的距離分別為，，延長表示距離，的兩條直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，過作交于，試求：點(diǎn)所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請求出變化函數(shù)．
【解析】（1）由仿射變換得：，，則橢圓變?yōu)?br>設(shè)原斜率存在分別為，，，變換后為，，所以，
設(shè)變換后的坐標(biāo)系動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線為
到原點(diǎn)距離為，
即，
由韋達(dá)定理得：，化簡得：
由于原坐標(biāo)系中，，
所以在原坐標(biāo)系中軌跡方程為：，
由解得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，由橢圓方程易得點(diǎn)在上.
（2）如圖所示延長交于，延長交于，
由題意可知，所以四邊形為矩形，，
所以，且，
分子分母同乘得，
因?yàn)?，?dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，
由解得，，所以，
由解得，，所以，
所以，
當(dāng)斜率不存在時(shí)仍成立，
所以，，
所以所形成的軌跡與所形成的軌跡的面積之差是定值.
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）MN是橢圓上一條不過原點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點(diǎn)，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點(diǎn)，Q是橢圓上不與A，B重合的點(diǎn)，則_________．CD是該橢圓過原點(diǎn)O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．
【答案】
【解析】作變換，那么橢圓變?yōu)閳A，方程為：，
是中點(diǎn)，那么，
∴，
是圓的左右頂點(diǎn)即直徑，那么，∴，
是過圓心O的一條弦即直徑，那么，
∴．
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)，且在直線的上方，則△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為__________________________．
【答案】
【解析】如圖，作仿射變換：，橢圓變?yōu)椋本€的斜率變?yōu)橹本€的斜率，變?yōu)?br>，
由垂徑定理平分，其方程為，
平分，
△內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為．
故答案為：
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）Р是橢圓上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過點(diǎn)Q的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，并且，則面積為______________．
【答案】
【解析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
是的重心，又O是的外心
′是等邊三角形，
∴．
故答案為：
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)______，面積最大，并且最大值為______.記，當(dāng)面積最大時(shí)，_____﹐_______.Р是橢圓上一點(diǎn)，，當(dāng)面積最大時(shí)，______.
【答案】 4 2 1
【解析】作變換此時(shí)橢圓變?yōu)閳A，方程為，
當(dāng)時(shí)，最大，并且最大為，
此時(shí)，.
由于，，
∴，
，
因?yàn)?，所?
.
故答案為：；；4；2；1.
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且， （是非零實(shí)數(shù)），求______________.
【答案】1
【解析】解法1：可得點(diǎn)，設(shè)，則，
由可得，即有，
，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；
故答案為：．
解法2：作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
，
設(shè)，則，
，
∴，
，
∴.
故答案為：．
題型二：非對稱韋達(dá)問題
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長是，
直線與交于點(diǎn)M.
(1)求橢圓的方程；
(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上；
(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．
【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距是2c，
據(jù)題意有：，，，則，
所以橢圓的方程是.
(2) (ⅰ)由(1)知，，，
設(shè)直線PQ的方程是，
代入橢圓方程得：，
易知，
設(shè)，，，
則
，
直線的方程是： ①，
直線的方程是： ②，
設(shè)，既滿足①也滿足②，
則
，
故直線與交點(diǎn)M在一條定直線l：x＝2上.
(ⅱ)設(shè)，，，則，
∴.
例5．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，P為橢圓上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的周長為12．
(1)求橢圓E的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線PM與橢圓另外一個(gè)公共點(diǎn)為Q，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，求證：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)N恒在一條定直線上．
【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，則，，，
，，
由得，即
由的周長為12，得，所以，，
，
故橢圓E的方程為：
（2）設(shè)直線PQ的方程：，，
（此處若設(shè)點(diǎn)斜式方程，需要討論斜率是否存在，無討論的扣1分，只討論斜率不存在的情況給1分）
聯(lián)立方程組得，
恒成立．
，即①
直線AP的方程：，直線的方程：，
聯(lián)立方程組消去y，得②
由①②得
所以，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N恒在定直線上．
方法二
設(shè)，，
設(shè)直線AP的方程：，直線BQ的方程：
聯(lián)立得①
又∵P，Q兩點(diǎn)在橢圓E上，
因此，，②，
故P，M，Q三點(diǎn)共線，所以，
即③
由②，③得
將其代入①得
所以，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N恒在定直線上
例6．（2024·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率，為上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)若過且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線，分別與直線：交于，兩點(diǎn)，證明：四邊形為菱形.
【解析】（1）由題意知，，（其中為半焦距），
所以，，，
故的方程為；
（2）由（1）知，，，
因?yàn)榈男甭什粸?，故設(shè)的方程為，，，
聯(lián)立得，消去并化簡得，
，
，，
直線的斜率，故直線的方程為，
與聯(lián)立可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可求點(diǎn)的坐標(biāo)為，
.
，
即，所以，
又，且，
所以四邊形為菱形.
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，
又，．
因?yàn)?，所以，?br>所以橢圓C的方程為．
（2）解法一：設(shè)直線，，，
，可得，
所以．
直線AM的方程：①
直線BN的方程：②
由對稱性可知：點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線上，
聯(lián)立①②可得．
因?yàn)椋?br>所以
所以點(diǎn)Q在直線上．
解法二：設(shè)，，，兩兩不等，
因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，
所以，
整理得：．
又A，M，Q三點(diǎn)共線，有：①
又B，N，Q三點(diǎn)共線，有②將①與②兩式相除得：
即，
將即
代入得：解得（舍去）或，（因?yàn)橹本€與橢圓相交故）
所以Q在定直線上．
【點(diǎn)晴】求解直線與圓錐曲線定點(diǎn)定值問題：關(guān)鍵在于運(yùn)用設(shè)而不求思想、聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，構(gòu)造坐標(biāo)點(diǎn)方程從而解決相關(guān)問題.
變式6．（2024·吉林四平·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，短軸長為，點(diǎn)上的點(diǎn)滿足直線、的斜率之積為．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于、兩點(diǎn)，記直線、交于點(diǎn)．探究：點(diǎn)是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．
【解析】（1）設(shè)，則，且，所以，，
則，
故①，又②，
聯(lián)立①②，解得，，故橢圓的方程為．
（2）結(jié)論：點(diǎn)在定直線上．
由（1）得，、，設(shè)，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，整理得，
，
，
直線的方程為，直線的方程為，
所以，，
可得
，解得，
因此，點(diǎn)在直線上.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的長軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn)，其中為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線過的右焦點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．
【解析】（1）因?yàn)殚L軸長，所以，
因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，
又，所以.
整理得，解得或 (舍).
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，，，.
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)為，若在軸上方，則，，
所以，，聯(lián)立得，同理，若在軸下方得，
與均在直線上.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)為，，.
由，得，
顯然，則，.
又，，消去，
可得
，
所以點(diǎn)在直線上 .
綜上，點(diǎn)在定直線上.
變式8．（2024·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎獧E圓：的離心率為，是上一點(diǎn).
(1)求的方程.
(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上.
【解析】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，
所以，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）①因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設(shè)，，則
，.
兩式相除得
，．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．
從而；
②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.
變式9．（2024·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若面積的最大值為，且離心率．
(1)求C的方程；
(2)A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上．
【解析】（1）由題意可得：，解得：,所以C的方程為.
（2）由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.
設(shè),由，消去y得：，
所以.所以.
因?yàn)橹本€AM的方程為，直線BN的方程為，二者聯(lián)立，有，所以，解得：，
直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.
變式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓：的左?右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程.
(2)若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由.
【解析】（1）依題意可得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，，直線的方程為：，
聯(lián)立方程組可得，得到，
，則或，
由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，
因?yàn)橹本€：，
直線：，
聯(lián)立兩直線方程得到：，
即
，
即，整理得：，
所以點(diǎn)在定直線上.
題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)
例7．（2024·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點(diǎn)，這束光線的總長度為4，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段的長度的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記直線l，的斜率分別為，若，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意可知，
則，
所以，所以
（2）由（1）得橢圓C的方程為，則，設(shè)，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，
所以，
則，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
所以；
（3）證明：，
設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立，消y得，
則，
則
因?yàn)椋?br>則，
即，
即，
即，
即，
化簡得，
解得或，
時(shí)過點(diǎn)A，舍去
所以，
所以直線l得方程為，
所以直線l過定點(diǎn)．
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．已知橢圓C：，為其左、右焦點(diǎn)．M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6.動(dòng)直線l為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為 ；S的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】根據(jù)橢圓定義得：，
所以，
因?yàn)榈淖畲笾禐?，，所以，即，
解得，所以離心率為；
右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)為A，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：三點(diǎn)共線，
所以，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為4的圓，
圓心到直線的距離為，
則圓上的點(diǎn)到直線3x＋4y－24＝0的距離最小值為，最大值為，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以表示點(diǎn)到直線的距離的5倍，
則，即.
故答案為：①#；②.
例9．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與交于點(diǎn)、，直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，、、三點(diǎn)共線.若，，則 .
【答案】/
【解析】如下圖所示：
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，且?br>所以，，所以，，
可得，則，
所以，，故.
故答案為：.
變式11．（2024·安徽六安·高三六安一中校考階段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為,設(shè),
則
，
故，，
，
由于點(diǎn)在第二象限，，所以
，故，
，因此，
，
當(dāng)代入得（負(fù)值舍去），
故答案為：
變式12．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)現(xiàn)有一橢圓，長軸長為，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，且滿足．
①證明：直線過定點(diǎn)；
②若，求的值．
【解析】（1）不妨設(shè)、是橢圓的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，
則軸，又因?yàn)?，?br>所以，
即，所以，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）①證明：設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得：，
則，，
因?yàn)椋裕?br>即，
即，
即，
則，
即，即，
則或，
當(dāng)時(shí)，直線可化為，
即直線過定點(diǎn)（與左焦點(diǎn)重合，舍）；
當(dāng)時(shí)，直線可化為，
即直線過定點(diǎn)；
綜上所述，直線過定點(diǎn)；
②由①得，則，，
且，
解得；
因?yàn)椋裕?br>即，
即，即，
即，
即，即，
則或，
所以或.
變式13．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：上、下頂點(diǎn)分別為，且短軸長為，T為橢圓上（除外）任意一點(diǎn)，直線的斜率之積為，，分別為左、右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收到百億光年外的電磁信號(hào)．在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請以上面的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)．（提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切線）
【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，直線的斜率分別為，，由題意知，，由得，整理得，故橢圓C的方程為．
（2）
當(dāng)M為橢圓頂點(diǎn)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)M不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，要證明結(jié)論成立，
只需證明法線平分．
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，則．
設(shè)與橢圓切于M點(diǎn)的切線方程為，
與橢圓方程聯(lián)立得消去y得：，，
得．
所以切線斜率為，所以法線斜率為，法線方程為，
令，可得法線與x軸交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，
易知，，所以，，，
所以，，
所以，
則或（舍去），
所以法線MN平分，所以原結(jié)論成立．
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與交于點(diǎn)，.直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，三點(diǎn)共線.若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下圖所示：
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，且?br>所以，，所以，，
可得，則，
所以，，故.
故選：C
變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會(huì)衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程可能為（ ）
A．2B．8C．10D．12
【答案】ACD
【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.
由已知可得，，，所以.
①當(dāng)光線從出發(fā)，沿方向傳播，到達(dá)后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，第一次經(jīng)過，此時(shí)所經(jīng)過的路程為，故A項(xiàng)正確；
②當(dāng)光線從出發(fā)，沿方向傳播，到達(dá)后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，過點(diǎn)后，繼續(xù)傳播第一次經(jīng)過，此時(shí)所經(jīng)過的路程為，故C項(xiàng)正確；
③當(dāng)光線從出發(fā)后，不沿軸傳播，如圖2
光線開始沿傳播，到達(dá)點(diǎn)后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，過點(diǎn)后，繼續(xù)傳播到達(dá)點(diǎn)后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，第一次經(jīng)過，此時(shí)所經(jīng)過的路程為.
根據(jù)橢圓的定義可知，，，
所以，故D項(xiàng)正確.
故選：ACD.
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡?系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，若由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.對于橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)處的切線為，在上的射影為，其中.
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，過作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）.點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，，分別平分和，若外接圓的面積為，求直線的方程.
【解析】（1）
延長交于點(diǎn)，
則在中，，
又因?yàn)橛砂l(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，
所以，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）令則且設(shè)
則，代入橢圓方程可得，
，得
即①，
又因?yàn)椋謩e平分和，
所以
所以在以為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓上，
設(shè)圓的半徑為，因?yàn)椋裕?br>根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知，直線過外接圓的圓心，
則直線與外接圓的一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為，
則根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)可知，
得則，
而
得
所以由點(diǎn)斜式可得，
即直線的方程為.
變式17．（2024·貴州黔西·高二統(tǒng)考期末）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn)．現(xiàn)有橢圓，長軸長為4，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線經(jīng)該橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)反射之后恰好與軸垂直，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，且滿足，且，求的值.
【解析】（1）不妨設(shè)、是橢圓的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，
則軸，又因?yàn)?，?br>所以，所以點(diǎn)，代入得，
又，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得：，
則，，
因?yàn)?，所以?br>即，
即，
即，
則，
即，即，則或，
當(dāng)時(shí)，直線可化為，即直線過定點(diǎn)（與左焦點(diǎn)重合，舍去），
所以，則，，
且，
解得；因?yàn)?，所以?br>即，即，即，
即，
即，即，
則或，所以或
變式18．（2024·四川成都·川大附中?？级＃E圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓，長軸長為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)Q為直線上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.
【解析】（1）不妨設(shè)、是橢圓的左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，
則軸，又因?yàn)?，?br>所以，即，所以，
所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，，
則：，：
聯(lián)立，消去x得，解得，
同理，聯(lián)立，消去x得，解得，
所以
.
令，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取得最大值.
變式19．（2024·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點(diǎn)Q，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】橢圓對應(yīng)的，
所以，
依題意可知是的角平分線，
根據(jù)角平分線定理得.
故選：D
題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)
例10．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)B，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于 ．
【答案】/
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，
反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，
由，，可得，，
在直角三角形中，，，
由雙曲線的定義可得，所以，即，
所以，
故答案為：．
例11．（2024·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.
【解析】（1）如圖所示：
延長與交于，
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則，即，
，
故方程為；
（2）設(shè)，
則，
，
兩漸近線所在直線方程為：，
設(shè)直線方程為，將漸近線兩側(cè)平方與直線聯(lián)立，
則可得，則，
則，
故.
例12．（2024·山東煙臺(tái)·?？寄M預(yù)測）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，從雙曲線的右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知入射光線的斜率為，且和反射光線互相垂直（其中為入射點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】和
【解析】設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，，
故，由此
所以,將其代入雙曲線方程中得，結(jié)合，，
所以，解得或（舍去），因此，
所以漸近線方程為：和.
故答案為：和
變式20．（2024·江蘇南京·高二?？计谀﹫A錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，
反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，
由，，可得，.
記雙曲線的焦距為2c，長軸長為2a，
在直角三角形中，，，
由雙曲線的定義，可得，所以，即，
所以離心率.
故選：C
變式21．（多選題）（2024·高二單元測試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
【答案】ABD
【解析】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；
選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，
若，則，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，即B正確；
選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒?，由角分線定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正確.
故選：ABD.
變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知延長則必過點(diǎn),如圖：
由雙曲線的定義知，
又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，因此，
從而由得，所以，
則，，，
又因?yàn)椋裕?br>即，即，
故選：B.
變式23．（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（ ）
A．的漸近線方程為B．
C．過點(diǎn)作，垂足為，則D．四邊形面積的最小值為
【答案】ABD
【解析】對于A選項(xiàng)，由已知可得，，∴C的漸近線方程為，故A正確；
對于B選項(xiàng)，由題意得，AM的直線方程為，所以，∴為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，AM平分，故B正確；
對于C選項(xiàng)，延長，與的延長線交于點(diǎn)，則AH垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，
∴，故C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．∴四邊形面積的最小值為，故D正確.
故選：ABD．
變式24．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且在第一象限，，的內(nèi)心分別為，，其內(nèi)切圓半徑分別為，，的內(nèi)心為.雙曲線在處的切線方程為，則下列說法正確的有（ ）
A．點(diǎn)、均在直線上B．直線的方程為
C．D．
【答案】ABD
【解析】由雙曲線得，
設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點(diǎn)，
則,
所以，
又,所以,即圓與軸的切點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，即在直線上，
同理可得圓與軸的切點(diǎn)也是雙曲線的右頂點(diǎn)，即也在直線上，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
點(diǎn)到直線的距離，
點(diǎn)到直線的距離
所以，
又，
所以，即，
又因?yàn)闉榈钠椒志€，
所以直線的方程為，故選項(xiàng)B正確；
設(shè)圓與切于點(diǎn)，連接，設(shè)，
因?yàn)?所以,所以，即，所以，
又，所以，即，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由B知的方程為，①
設(shè)，同理得的方程為，②
由①②得，③
因?yàn)椋栽O(shè)的方程為，
因?yàn)樵谏?，所以，代入③?br>，所以在直線上，
所以到的距離為，
又到的距離為，
所以,故選項(xiàng)D正確；
故選：ABD.
變式25．（多選題）（2024·海南·海南中學(xué)?？既＃┮阎p曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點(diǎn)，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．雙曲線C的方程為
B．若，則
C．若射線n所在直線的斜率為k，則
D．當(dāng)n過點(diǎn)M（8，5）時(shí)，光由所經(jīng)過的路程為10
【答案】AC
【解析】對于A ，由題意可知，因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線的方程為，
所以，即，所以雙曲線的方程為故A正確；
對于B，由，得，解得，
在中，，由勾股定理及雙曲線的定義知，，
即，解得，故B錯(cuò)誤；
對于C，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，
由雙曲線的性質(zhì)可得射線所在直線的斜率范圍為，故C正確；
對于D，由題意可知，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，
由雙曲線定義可得光由所經(jīng)過的路程為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
變式26．（多選題）（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過的路程為5
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
【答案】ACD
【解析】在雙曲線中，，，則，故、，
設(shè)，，
對于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，
此時(shí)，
同理可知當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，，
綜上所述，，A對；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
，
所以，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，，
故過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為
，C對；
對于D選項(xiàng)，若，，
因?yàn)椋?br>且，
所以，
即，解得，D對.
故選：ACD.
變式27．（多選題）（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知、分別是以為漸近線且過點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)處的切線l交x軸于點(diǎn)Q，則（ ）
A．雙曲線C的離心率為B．雙曲線C的方程為
C．過點(diǎn)作，垂足為K，則D．點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
【答案】BD
【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，
代入點(diǎn)，可得，
所以雙曲線方程為，可得，
所以離心率為，故A錯(cuò)誤，B正確；
因?yàn)椋?br>設(shè)，
因?yàn)?，且為的角平分線，
所以，且，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，整理得，
則，可得，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
則切線方程為，
令，整理得，
又因?yàn)?，可得?br>所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，故D正確；
故選：BD.
題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)
例13．（2024·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的反射），過拋物線上一點(diǎn)作其切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，垂足為，拋物線的焦點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，若．則 ， ．

【答案】 /
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知平分，又，所以，所以，
由得，
設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，且，且，所以
，所以．
故答案為：；.
例14．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則 ．
【答案】
【解析】如圖，由題意可知軸，，
將代入中得，即,
又，則，故的方程為，聯(lián)立，
可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對稱，不合題意），
則，故，
故答案為：.
例15．（2024·全國·高二專題練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于B點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，所以 方程為，
整理得，聯(lián)立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
故答案為：.
變式28．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線：，一條光線從點(diǎn)沿平行于軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后與交于另一點(diǎn)，則的面積為 .
【答案】/0.625
【解析】如圖，
依題意，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知直線過焦點(diǎn).而，，
則：，設(shè)，.
由，得.
所以，.則.
故答案為：.
變式29．（2024·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校佄锞€有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線（），一光源在點(diǎn)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：上的點(diǎn)N，再反射后又射回點(diǎn)M，設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，．
(1)證明：；
(2)求拋物線方程．
【解析】（1）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與軸不平行，
設(shè)直線的方程為，
由消去并化簡得，
設(shè)，，
則.
（2）依題意，，所以，則.
設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即.
則，，則，
三點(diǎn)共線，，
所以，解得，
所以拋物線的方程為.
變式30．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，一條光線從點(diǎn)沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)M，經(jīng)點(diǎn)M反射后與C交于另一點(diǎn)N．若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，由拋物線性質(zhì)知直線過焦點(diǎn)，
設(shè)，，直線的方程為，
由，得：，
所以，，
則，又，所以，
而，故，
所以.
故選：A.
變式31．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于地物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則直線與間的距離最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，將直線的方程代入中，
得，所以，，
直線與間的距離，
當(dāng)時(shí)，取最小值4，
故選：B.
變式32．（2024·全國·高二專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因?yàn)椋?br>點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積.
故選：.
變式33．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點(diǎn)．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再從上的另一點(diǎn)射出，則（ ）

A．6B．8C．D．29
【答案】C
【解析】由，可得的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則，解得，
由題意反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，
所以直線的方程為，整理可得，
由消去整理得，解得，，
則，所以，所以.
故選：C
變式34．（多選題）（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點(diǎn)反射，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．C．D．與之間的距離為5
【答案】ABD
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，
又是水平的，所以可得，因此，即選項(xiàng)B正確；
易知直線的方程為，
聯(lián)立直線和拋物線，消去可得，
由韋達(dá)定理可知，故A正確；
由可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
利用拋物線定義可知，即C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c兩直線平行，所以與之間的距離為，即D正確.
故選：ABD
變式35．（多選題）（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點(diǎn).已知平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）

A．若的方程為，則
B．若的方程為，且，則
C．分別延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)在的準(zhǔn)線上
D．拋物線在點(diǎn)處的切線分別與直線，所成角相等
【答案】BCD
【解析】對于選項(xiàng)A、B：
若的方程為，則，又，
直線的斜率，直線的方程為：，
聯(lián)立，得，
，，，
，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，，得直線的方程為，直線的方程為，
若，則點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)到直線和到直線的距離相等，設(shè)，
則有，由，解得，所以，B選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)C：拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，
設(shè)，，由，得， 即，由，得，
又直線的斜率，直線的方程為：，直線的方程為：，
分別延長交于點(diǎn)，由得，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2，所以點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，C選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)D：設(shè)拋物線在處的切線方程為：，
聯(lián)立，得，
由，解得．
該切線與直線所成角的正切值為．
設(shè)該切線與直線所成角為，
則，
該切線與直線所成角的正切值與該切線與直線所成角的正切值相同，
即拋物線在點(diǎn)處的切線分別與直線、所成角相等，D選項(xiàng)正確．
故選：BCD.
變式36．（多選題）（2024·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線上
C．直線與直線相交于點(diǎn)D，則A，O，D三點(diǎn)共線
D．直線與間的距離最小值為4
【答案】ACD
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)直線AB的方程為，
將直線AB的方程代入中，得，
所以由韋達(dá)定理得，，所以，故選項(xiàng)A正確；
若點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線上，則，
所以，即，不一定成立，故不合題意，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
直線與相交于點(diǎn)，所以直線OD的斜率為，
又直線OA的斜率為，所以，所以A，O，D三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)C正確；
直線與間的距離，
當(dāng)時(shí)，d取最小值4，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD.
變式37．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)，，下列說法正確的是（ ）

A．的方程為B．的方程為
C．的最小值為D．的最小值為
【答案】BD
【解析】由題可得，即的方程為，
設(shè)準(zhǔn)線為，過作交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
將代入可得，
所以，
于是，
當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值.
故選：BD.
題型六：三點(diǎn)共線問題
例16．（2024·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)平行于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線與拋物線的另一交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
，解得，
所以，拋物線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，，
又因?yàn)橹本€的方程為，
將代入直線的方程可得，可得，即點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)?，則，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立可得，則，
故，則，
由的中點(diǎn)為，可得，
故、、三點(diǎn)共線．
例17．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，直線AP與直線BP的斜率之積為，且橢圓C過點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線AP，BP分別與直線相交于M，N兩點(diǎn)，且直線BM與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，證明：A，N，Q三點(diǎn)共線．
【解析】（1）令，則，又，則，
所以，即，，
由在橢圓上，則，
聯(lián)立以上兩式，可得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題設(shè)，直線、斜率存在且不為0，，
令，則，故，，
所以，聯(lián)立，整理得，
顯然，則，則，
由，，即，
所以A，N，Q三點(diǎn)共線.
例18．（2024·廣東肇慶·高三德慶縣香山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知為的中點(diǎn)，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
所以雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.
故雙曲線的方程為.
（2）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.
設(shè)直線的方程為，
所以，
直線的方程為，
直線的方程為.
聯(lián)立,
可得，
所以
又因?yàn)?，所以?br>則.
同理可得.
,
，
所以.
故三點(diǎn)共線.
變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.過點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線.
【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在，易知，，或，，
當(dāng)，時(shí)，直線PA的方程為：，所以點(diǎn)，
此時(shí)，，，顯然B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
同理，時(shí)，B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，顯然斜率，設(shè)直線的方程：，
設(shè)，，
由整理可得：，
，，
由（1）可得左右頂點(diǎn)分別為，，
直線PA的方程為，又因?yàn)橹本€與交于F，所以，
所以，，
因?yàn)?br>，
又
，
所以，所以，所以B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
變式39．（2024·重慶·校聯(lián)考三模）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率為，A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)．P，Q為橢圓C上異于A的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP，AQ與直線l：分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程：
(2)設(shè)直線l與x軸交于R，若P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，求證：與相似．
【解析】（1）依題意，，離心率，解得，，
所以橢圓C的方程為.
（2）由（1）知，，
設(shè)，若，則為橢圓的右頂點(diǎn)，由三點(diǎn)共線知，為橢圓的左頂點(diǎn)，不符合題意，
則，同理，直線的方程為，
由消去，整理得，顯然是方程組的解，
必有，由，解得，，得，
當(dāng)時(shí)，，即直線軸，由橢圓的對稱性知，
又，于是，
當(dāng)時(shí)，，直線的斜率，同理直線的斜率，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，于是，整理得，
在Rt和Rt中，，
因此，又均為銳角，則，
所以與相似.
變式40．（2024·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.
(1)求的值；
(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn).
【解析】（1）雙曲線：的漸近線方程為，
不妨設(shè)，
因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，
所以，又，所以.
（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
依題意，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，
設(shè)，，則，
聯(lián)立，得，
且，
化簡得且，
所以，，
因?yàn)橹本€的斜率存在，所以直線的斜率也存在，
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，
即，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
化簡得，所以經(jīng)過軸上的定點(diǎn).
變式41．（2024·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，不與頂點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)，再過作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)．求證：三點(diǎn)共線．
【解析】（1）可得，
因此．
（2）設(shè)．聯(lián)立方程可得：，
解得，代入得，于是．
的方程為，代入，得：．
再代入得：，即．
所以，，
而，
總之三點(diǎn)共線．
變式42．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓A：，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于C，D兩點(diǎn)，過作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)E的軌跡的方程；
(2)設(shè)軌跡的上、下頂點(diǎn)分別為G、H，過點(diǎn)的直線交軌跡于M、N兩點(diǎn)（不與G、H重合），直線GM與直線交于點(diǎn)，求證：P、H、N三點(diǎn)共線.
【解析】（1）
如圖：因?yàn)?，平行于?br>所以，所以，
故，
又由于圓A：，可得，
從而，所以.
又，，所以,
所以，
有橢圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，
所以點(diǎn)E的軌跡的方程為：.
（2）證明：如圖：
由題意可知：,，
因?yàn)檫^點(diǎn)的直線交軌跡于M、N兩點(diǎn)（不與G、H重合），
所以直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：，設(shè)，.
聯(lián)立與可得：
恒成立，
所以，.
直線的斜率為，所以方程為：與直線交于點(diǎn)，
所以，所以，，
所以P、H、N三點(diǎn)共線
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