TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21847" 【題型1 雙曲線的定義及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc21847 \h 4
\l "_Tc14868" 【題型2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 PAGEREF _Tc14868 \h 5
\l "_Tc19483" 【題型3 曲線方程與雙曲線】 PAGEREF _Tc19483 \h 5
\l "_Tc6399" 【題型4 求雙曲線的軌跡方程】 PAGEREF _Tc6399 \h 6
\l "_Tc7771" 【題型5 雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題】 PAGEREF _Tc7771 \h 7
\l "_Tc11106" 【題型6 雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及最值問題】 PAGEREF _Tc11106 \h 7
\l "_Tc18792" 【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】 PAGEREF _Tc18792 \h 8
\l "_Tc2740" 【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】 PAGEREF _Tc2740 \h 8
\l "_Tc29859" 【題型9 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題】 PAGEREF _Tc29859 \h 9
\l "_Tc28048" 【題型10 雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題】 PAGEREF _Tc28048 \h 10
\l "_Tc24078" 【題型11 橢圓與雙曲線綜合】 PAGEREF _Tc24078 \h 11
1、雙曲線
【知識(shí)點(diǎn)1 雙曲線及其性質(zhì)】
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫
作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
3．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
4．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因?yàn)?，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
【知識(shí)點(diǎn)2 雙曲線方程的求解方法】
1．雙曲線方程的求解
(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.
(3)與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為.
【知識(shí)點(diǎn)3 雙曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論】
1．雙曲線的焦點(diǎn)三角形
(1)焦點(diǎn)三角形的概念
設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，,為雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦
點(diǎn)三角形，如圖所示.
(2)焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論
若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中為.
【知識(shí)點(diǎn)4 雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】
1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
(1)直接求出a, c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)
求解.
【知識(shí)點(diǎn)5 雙曲線中的最值問題的解題策略】
1．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.
【方法技巧與總結(jié)】
1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.
3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為.
4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).
【題型1 雙曲線的定義及其應(yīng)用】
【例1】（2024·河北邢臺(tái)·二模）若點(diǎn)P是雙曲線C：x216?y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，則“PF1=8”是“PF2=16”的（ ）
A．既不充分也不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．充分不必要條件
【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2=2c，點(diǎn)P在C的右支上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為6c，則PF1=（ ）
A．3c?aB．3c+aC．2c?aD．2c+a
【變式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知雙曲線C:x2a2?y216=1的左右焦點(diǎn)依次為F1，F(xiàn)2，且F1F2=10，若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1?PF2=（ ）
A．?6B．6C．8D．10
【變式1-3】（2024·四川達(dá)州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則F1P+F1Q?|PQ|=（ ）
A．5B．6C．8D．12
【題型2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)0,1， 離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x2?y23=1B．x23?y2=1
C．y2?x23=1D．y23?x2=1
【變式2-1】（2024·北京海淀·一模）若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)(?5,0)的距離比到焦點(diǎn)(5,0)的距離大b，則該雙曲線的方程為（ ）
A．x24?y2=1B．x22?y2=1C．x2?y22=1D．x2?y24=1
【變式2-2】（2024·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分，若C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=2，且點(diǎn)P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x2?y23=1B．x22?y26=1
C．x23?y29=1D．x24?y212=1
【變式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，若F1A=2F2A，∠AF1F2=30°,△AF1F2的面積為63，則C的方程為（ ）
A．x29?y26=1B．x23?y26=1
C．x26?y29=1D．x26?y23=1
【題型3 曲線方程與雙曲線】
【例3】（2024·四川南充·二模）已知m，n是實(shí)數(shù)，則“mn0)B．x26402?y24802=1(x>0)
C．x2435600+y2564400=1D．x26402+y24802=1
【變式4-3】（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知?jiǎng)訄AP與圓M：x+32+y2=1，圓N：x?32+y2=9均外切，記圓心P的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線C，則C的方程為（ ）
A．x2?y28=1B．x2?y28=1x≤?1
C．x2?y28=1x≥1D．y2?x28=1
【題型5 雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題】
【例5】（2024·四川成都·三模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y23=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)PF1=6時(shí)，△PF1F2面積為（ ）
A．43B．37C．4552D．67
【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A?2,0，A′2,0，動(dòng)點(diǎn)P滿足4kAP?kA′P=1，圓E：x2+y2=5與點(diǎn)P的軌跡的一個(gè)交點(diǎn)為M，圓E與x軸的交點(diǎn)為B，C，則△MBC的周長(zhǎng)為（ ）
A．5+6B．25+6
C．5+26D．25+26
【變式5-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y28=1的左，右焦點(diǎn)，過F1的直線與y軸和C的右支分別交于點(diǎn)P，Q，若△PQF2是正三角形，則QF1=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【變式5-3】（2024·廣西南寧·一模）設(shè)F1、F2是雙曲線C:x28?y210=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且OP=12PF1?PF2，則△PF1O的面積為（ ）
A．5B．8C．10D．12
【題型6 雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及最值問題】
【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x23?y2=1的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M在直線l:x=32上，線段FM交C于P點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為R，則PRPF的值為（ ）
A．62B．33C．63D．32
【變式6-1】（2024·青海玉樹·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24?y22=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則PF12PF2的最小值為（ ）
A．16B．18C．8+42D．9+1522
【變式6-2】（2024·河南鄭州·一模）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23?y2=1的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)QF1+PQ取最小值時(shí)，QF2的值為（ ）
A．3?2B．3+2C．6?2D．6+2
【變式6-3】（2024·山東日照·一模）過雙曲線x24?y212=1的右支上一點(diǎn)P，分別向⊙C1:(x+4)2+y2=3和⊙C2:(x?4)2+y2=1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則PM+PN?NM的最小值為（ ）
A．28B．29C．30D．32
【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】
【例7】（2024·河南鄭州·一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為y=±13x，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓E:x2+y+62=1上一點(diǎn)，則MN+MF2的最小值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【變式7-1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C：x2?y224=1的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則AF1+4AF2的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式7-2】（23-24高二上·全國·單元測(cè)試）已知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為F1，焦距為4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則PF1?PA的最大值為（ ）
A．22B．17C．22+1D．22+5
【變式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知點(diǎn)M1,2，點(diǎn)P是雙曲線C：x24?y212=1左支上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓D：x+42+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則PM?PN的最小值為（ ）
A．5?10B．10?5C．13?3D．3?13
【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】
【例8】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線過點(diǎn)?1,2，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3B．2C．23D．22
【變式8-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,A分別為E的右焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)，點(diǎn)M?2,3是雙曲線E上的點(diǎn)，若△AMF的面積為92，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．3B．2C．62D．6
【變式8-2】（2024·四川雅安·三模）設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，且F2為線段MN的中點(diǎn)，并滿足F1M⊥F1N，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．3+12B．3+1C．2D．5+1
【變式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，以及雙曲線上的另一點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D(zhuǎn)．233,+∞
【題型9 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題】
【例9】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）以y=±3x為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A．x23?y2=1B．x2?y29=1
C．y23?x2=1D．y2?x29=1
【變式9-1】（2024·湖南·三模）雙曲線C:y2a2?x2=1(a>0)的上焦點(diǎn)F2到雙曲線一條漸近線的距離為a2，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（ ）
A．?4B．4C．?2D．2
【變式9-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線方程為2x2?y2=λ（λ≠0），則不因λ的值變化而變化的是（ ）
A．頂點(diǎn)坐標(biāo)B．焦距C．離心率D．漸近線方程
【變式9-3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線Γ:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2的直線與其一支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第四象限.以F1為圓心，Γ的實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與線段AF1,BF1分別交于M，N兩點(diǎn)，且|AM|=3|BN|,F1B⊥F2B，則Γ的漸近線方程是（ ）
A．y=±6xB．y=±62x
C．y=±63xD．y=±64x
【題型10 雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題】
【例10】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)），cs∠F1F2P=7?14，則該雙曲線的離心率為（ ）

A．2B．2C．72D．7
【變式10-1】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=205米，若水面上升5米，則水面寬為（ ）
A．102米B．152米C．123米D．30米
【變式10-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚2s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（ ）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離3403mB．東偏南45°方向，距離3403m
C．西偏北45°方向，距離1703mD．東偏南45°方向，距離1703m
【變式10-3】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）單葉雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細(xì)處的直徑為100 m，樓底的直徑為5022 m，樓頂直徑為506 m，最細(xì)處距樓底300 m，則該地標(biāo)建筑的高為（ ）
A．350 mB．375 mC．400 mD．450 m
【題型11 橢圓與雙曲線綜合】
【例11】（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線C1:x2a2?y2=1(a>0)，橢圓C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2，若e1=23e2，則a=（ ）
A．28B．24C．22D．63
【變式11-1】（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1（a、b均為正值）的漸近線的傾斜角為α，且該雙曲線與橢圓x24+y23=1的離心率之積為1，且有相同的焦距，則sinα=（ ）
A．37B．713C．32D．213
【變式11-2】（2024·山東菏澤·二模）已知e1,e2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)和雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過255，則e2e1的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式11-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)與雙曲線C2:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦點(diǎn)F1,F2，點(diǎn)P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，那么e12+e22最小為（ ）
A．2+34B．2+32C．3+224D．3+222
一、單選題
1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，則“m∈(0,8)”是“曲線C的焦點(diǎn)在x軸上的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C: x24?y28=1的左，右焦點(diǎn)，過F1的直線與y軸和C的右支分別交于點(diǎn)P，Q，若△PQF2是正三角形，則|PF1|=（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為2,0，以線段FP為直徑的圓與圓O:x2+y2=3相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A．x24?y23=1B．x23?y2=1C．x212?y29=1D．x216?y33=1
4．（2024·天津南開·二模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且斜率為247的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若F1F2=AF2，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（ ）
A．x23?y24=1B．x24?y3=1
C．x29?y216=1D．x216?y29=1
5．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，滿足OM=OF.若點(diǎn)P在雙曲線C上，且NP=4NF，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．52B．102C．22D．5
6．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)M在C上且MF⊥x軸，直線MA1，MA2與y軸分別交于點(diǎn)P，Q，若3OQ=4OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的漸近線方程為（ ）
A．y=±26xB．y=±210xC．y=±43xD．y=±215x
7．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為0,?6，若動(dòng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且到兩定點(diǎn)F1?3,0，F(xiàn)23,0的距離之差為定值4，則△APF1周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．3+45B．3+65C．4+45D．4+65
8．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x22?y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，C在點(diǎn)P處的切線與C的漸近線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①直線F1P的斜率的取值范圍是?1,1；
②點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為12；
③|PO|2=PF1?PF2；
④PM=PN．
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
9．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C的方程為x2a+y23=1，則（ ）
A．當(dāng)a0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，若∠F1PF2的內(nèi)角平分線與x軸的交點(diǎn)M平分線段OF2，則雙曲線C的離心率為 ．
14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：x24?y25=1的左，右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是E的右支上一點(diǎn)，則5PF1?1PF2的最大值為 .
四、解答題
15．（23-24高二上·全國·單元測(cè)試）分別求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過A?7,?62,B27,3兩點(diǎn)；
(2)與雙曲線x22?y2=1有公共的漸近線,且過點(diǎn)2,2．
16．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）與雙曲線y24?x22=1有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)M2,?2．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率．
17．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到定直線l:x=95的距離的比是53，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若動(dòng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)，定點(diǎn)A5,2,求|MA|+35|MF|的最小值．
18．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知雙曲線C:x22?y2=1,P是C上的任意一點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，求PA的最小值；
(2)若F1,F2分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面積.
19．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線E：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）過P13,0，P23,4，P33,2，P4?3,2四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線m，n，其中m與E的右支交于A，B兩點(diǎn)，與直線x=32交于點(diǎn)M，n與E的右支相交于C，D兩點(diǎn)，與直線x=32交于點(diǎn)N，求1MA+1MB+1NC+1ND的最大值．
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率)
(3)了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用
2023年新高考I卷：第16題，5分
2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分
2023年北京卷：第12題，5分
2023年天津卷：第9題，5分
2024年新高考I卷：第12題，5分
2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分
雙曲線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn).從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與性質(zhì)等知識(shí)，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，選擇、填空題中難度中等偏易，解答題中難度偏大，有時(shí)會(huì)與向量等知識(shí)結(jié)合考查，需要學(xué)會(huì)靈活求解.
雙曲線在坐標(biāo)系中的位置
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關(guān)系
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
范圍
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
頂點(diǎn)
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長(zhǎng)
實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b
離心率
漸近線方程
專題8.6 雙曲線【十一大題型】
【新高考專用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21847" 【題型1 雙曲線的定義及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc21847 \h 4
\l "_Tc14868" 【題型2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 PAGEREF _Tc14868 \h 6
\l "_Tc19483" 【題型3 曲線方程與雙曲線】 PAGEREF _Tc19483 \h 8
\l "_Tc6399" 【題型4 求雙曲線的軌跡方程】 PAGEREF _Tc6399 \h 9
\l "_Tc7771" 【題型5 雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題】 PAGEREF _Tc7771 \h 11
\l "_Tc11106" 【題型6 雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離及最值問題】 PAGEREF _Tc11106 \h 14
\l "_Tc18792" 【題型7 雙曲線中線段和、差的最值問題】 PAGEREF _Tc18792 \h 16
\l "_Tc2740" 【題型8 求雙曲線的離心率或其取值范圍】 PAGEREF _Tc2740 \h 19
\l "_Tc29859" 【題型9 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題】 PAGEREF _Tc29859 \h 21
\l "_Tc28048" 【題型10 雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題】 PAGEREF _Tc28048 \h 24
\l "_Tc24078" 【題型11 橢圓與雙曲線綜合】 PAGEREF _Tc24078 \h 27
1、雙曲線
【知識(shí)點(diǎn)1 雙曲線及其性質(zhì)】
1．雙曲線的定義
雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫
作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
3．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線的一些幾何性質(zhì)：
4．雙曲線的離心率
(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫作雙曲線的離心率.
(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.
(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.
因?yàn)?，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.
(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.
【知識(shí)點(diǎn)2 雙曲線方程的求解方法】
1．雙曲線方程的求解
(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.
(3)與雙曲線有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為.
【知識(shí)點(diǎn)3 雙曲線的焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論】
1．雙曲線的焦點(diǎn)三角形
(1)焦點(diǎn)三角形的概念
設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，,為雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦
點(diǎn)三角形，如圖所示.
(2)焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論
若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，,分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中為.
【知識(shí)點(diǎn)4 雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】
1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
(1)直接求出a, c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)
求解.
【知識(shí)點(diǎn)5 雙曲線中的最值問題的解題策略】
1．雙曲線中的最值問題
求解此類問題一般有以下兩種思路：
(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.
(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.
【方法技巧與總結(jié)】
1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.
3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為.
4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).
【題型1 雙曲線的定義及其應(yīng)用】
【例1】（2024·河北邢臺(tái)·二模）若點(diǎn)P是雙曲線C：x216?y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，則“PF1=8”是“PF2=16”的（ ）
A．既不充分也不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．充分不必要條件
【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.
【解答過程】a=4,b=3,c=42+32=5，
當(dāng)點(diǎn)P在左支時(shí)，PF1的最小值為c?a=1，
當(dāng)點(diǎn)P在右支時(shí)，PF1的最小值為a+c=9，
因?yàn)镻F1=8，則點(diǎn)P在雙曲線的左支上，
由雙曲線的定義PF2?PF1=PF2?8=2a=8，解得PF2=16；
當(dāng)PF2=16，點(diǎn)P在左支時(shí)，PF1=8；在右支時(shí)，PF1=24；推不出PF1=8；
故為充分不必要條件，
故選：D.
【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2=2c，點(diǎn)P在C的右支上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為6c，則PF1=（ ）
A．3c?aB．3c+aC．2c?aD．2c+a
【解題思路】借助雙曲線定義計(jì)算即可得.
【解答過程】由雙曲線定義可知：PF1?PF2=2a，
則三角形△PF1F2的周長(zhǎng)為F1F2+PF1+PF2=2c+PF1+PF1?2a=6c，
故PF1=2c+a.
故選：D.
【變式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知雙曲線C:x2a2?y216=1的左右焦點(diǎn)依次為F1，F(xiàn)2，且F1F2=10，若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF1?PF2=（ ）
A．?6B．6C．8D．10
【解題思路】根據(jù)題意，得b=4，c=5，求出a2=9，根據(jù)雙曲線的定義即可求出PF1?PF2的值.
【解答過程】
由題意知，b=4，2c=10，
∴a2=c2?b2=52?42=9，
∴雙曲線C:x29?y216=1，
∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
∴由雙曲線的定義得，PF1?PF2=6，
故選：B.
【變式1-3】（2024·四川達(dá)州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則F1P+F1Q?|PQ|=（ ）
A．5B．6C．8D．12
【解題思路】
由雙曲線的定義知F1P?PF2=2a=4，F(xiàn)1Q?QF2=2a=4，則F1P+F1Q?|PQ|= F1P?PF2+F1Q?QF2，即可得出答案.
【解答過程】雙曲線C：x24?y23=1，則a2=4，a=2，
由雙曲線的定義知：F1P?PF2=2a=4，F(xiàn)1Q?QF2=2a=4，
PQ=PF2+QF2，
所以F1P+F1Q?|PQ|=F1P+F1Q?PF2+QF2
=F1P?PF2+F1Q?QF2=8.
故選：C.
【題型2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
【例2】（2024·北京門頭溝·一模）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)0,1， 離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x2?y23=1B．x23?y2=1
C．y2?x23=1D．y23?x2=1
【解題思路】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，在根據(jù)離心率公式，即可求出。
【解答過程】由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b2=1 a>0,b>0，
因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，所以a=1，
因?yàn)閑=ca=2，所以c=2，
所以b2=c2?a2=4?1=3，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2?x23=1.
故選：C.
【變式2-1】（2024·北京海淀·一模）若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)(?5,0)的距離比到焦點(diǎn)(5,0)的距離大b，則該雙曲線的方程為（ ）
A．x24?y2=1B．x22?y2=1C．x2?y22=1D．x2?y24=1
【解題思路】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知2a=b，c=5，再結(jié)合a2+b2=c2，求出a,b，即可求出結(jié)果.
【解答過程】由題知c=5，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知2a=b，又a2+b2=c2，
所以5a2=5，得到a2=1,b2=4，所以雙曲線的方程為x2?y24=1，
故選：D.
【變式2-2】（2024·湖南岳陽·一模）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分，若C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=2，且點(diǎn)P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x2?y23=1B．x22?y26=1
C．x23?y29=1D．x24?y212=1
【解題思路】利用待定系數(shù)法可求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解答過程】設(shè)雙曲線的方程為：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，
因?yàn)殡x心率e=2，故半焦距c=2a，故b=3a，
而雙曲線過P(6,3)，故6a2?9b2=1，解得a=3,b=3，
故雙曲線的方程為：x23?y29=1，
故選：C.
【變式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，若F1A=2F2A，∠AF1F2=30°,△AF1F2的面積為63，則C的方程為（ ）
A．x29?y26=1B．x23?y26=1
C．x26?y29=1D．x26?y23=1
【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出F2A,F1A，在△AF1F2中，利用正弦定理求出AF2F1，再根據(jù)三角形的面積公式求出a2，利用勾股定理可求得c2，進(jìn)而可求出答案.
【解答過程】因?yàn)镕1A=2F2A，所以F1A>F2A，
又因?yàn)辄c(diǎn)A在C上，所以F1A?F2A=2a，
即2F2A?F2A=2a，所以F2A=2a,F1A=4a，
在△AF1F2中，由正弦定理得AF2sin∠AF1F2=AF1sin∠AF2F1，
所以sin∠AF2F1=AF1sin30°AF2=1，
又0°0的漸近線方程為bx±ay=0，
將點(diǎn)?1,2代入bx+ay=0中，得ba=2，
故離心率e=ca=1+ba2=3，
故選：A．
【變式8-1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,A分別為E的右焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)，點(diǎn)M?2,3是雙曲線E上的點(diǎn)，若△AMF的面積為92，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．3B．2C．62D．6
【解題思路】根據(jù)S△AMF=92、點(diǎn)M?2,3在E上，求出a,c可得答案．
【解答過程】由題設(shè)知，AF=a+c，則S△AMF=12yMAF=32AF=92，
所以a+c=3，且c>a，易知00)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，且F2為線段MN的中點(diǎn)，并滿足F1M⊥F1N，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．3+12B．3+1C．2D．5+1
【解題思路】設(shè)M(x,y)，根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系得M(2c,y)，從而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式列式求得y2=3c2，根據(jù)點(diǎn)M在雙曲線上列方程求解即可a、c的關(guān)系式，利用離心率的定義轉(zhuǎn)化為e的方程求解即可.
【解答過程】由題意，F(xiàn)1?c,0,F2c,0，設(shè)M(x,y)，則N(0,?y)，
因?yàn)镕2為線段MN的中點(diǎn)，所以x=2c，即M(2c,y)，則F1M=(3c,y),F1N=(c,?y)，
因?yàn)镕1M⊥F1N，所以F1M?F1N=3c2?y2=0，即y2=3c2，
又M在C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)雙曲線上，所以4c2a2?3c2b2=1，
結(jié)合b2=c2?a2整理得4c4?8c2a2+a4=0，所以4e4?8e2+1=0，
解得e2=1+32或e2=1?32（舍去），由e>1，解得e=3+12.
故選：A.
【變式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A，B，以及雙曲線上的另一點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D(zhuǎn)．233,+∞
【解題思路】設(shè)點(diǎn)Ax,y，則可取C?3y,3x，代入雙曲線方程整理可得y2x2=3a2+b2a2+3b2，結(jié)合漸近線列式求解即可.
【解答過程】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為y=±bax，
設(shè)點(diǎn)Ax,y，則可取C?3y,3x，
則x2a2?y2b2=13y2a2?3x2b2=1，整理得y2x2=3a2+b2a2+3b2a2，即c2?a2>a2，可得c2a2>2，則e=ca=c2a2>2，
所以該雙曲線離心率的取值范圍是2,+∞．
故選：A.
【題型9 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題】
【例9】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）以y=±3x為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A．x23?y2=1B．x2?y29=1
C．y23?x2=1D．y2?x29=1
【解題思路】利用漸近線的求法，直接求出各個(gè)選項(xiàng)的漸近線方程，即可求解.
【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，由x23?y2=1得漸近線方程為y=±33x，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，由x2?y29=1得漸近線方程為y=±3x，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，由y23?x2=1得漸近線方程為y=±3x，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，由y2?x29=1得漸近線方程為y=±13x，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：B.
【變式9-1】（2024·湖南·三模）雙曲線C:y2a2?x2=1(a>0)的上焦點(diǎn)F2到雙曲線一條漸近線的距離為a2，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（ ）
A．?4B．4C．?2D．2
【解題思路】由點(diǎn)到直線的距離公式、焦點(diǎn)、漸近線以及c2=a2+1的關(guān)系即可求解.
【解答過程】由對(duì)稱性，不妨設(shè)F20,c，雙曲線的漸近線是y=±ax，
則由題意ca2+1=cc=1=a2，解得a=2，故所求為?a2=?4.
故選：A.
【變式9-2】（2024·甘肅張掖·三模）已知雙曲線方程為2x2?y2=λ（λ≠0），則不因λ的值變化而變化的是（ ）
A．頂點(diǎn)坐標(biāo)B．焦距C．離心率D．漸近線方程
【解題思路】分λ>0和λ0，雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2λ2,0，焦距為6λ，
離心率為6λ22λ2=3，顯然頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦距是隨λ變化的，則AB錯(cuò)誤；
當(dāng)λ0,b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2的直線與其一支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在第四象限.以F1為圓心，Γ的實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓與線段AF1,BF1分別交于M，N兩點(diǎn)，且|AM|=3|BN|,F1B⊥F2B，則Γ的漸近線方程是（ ）
A．y=±6xB．y=±62x
C．y=±63xD．y=±64x
【解題思路】設(shè)|BN|=t(t>0)，則|AM|=3|BN|=3t，由已知結(jié)合雙曲線定義，在△AF1B中由勾股定理求得t=a，在△BF1F2中，利用勾股定理得a2=25c2，進(jìn)而可求答案．
【解答過程】解：如圖，由題意得：|F1M|=|F1N|=2a，
設(shè)|BN|=t(t>0)，則|AM|=3|BN|=3t，
所以|AF1|=2a+3t，|BF1|=2a+t，
由雙曲線的定義得：|AF1|?|AF2|=|BF1|?|BF2|=2a，
所以|AF2|=3t，|BF2|=t，則|AB|=|AF2|+|BF2|=4t，
因?yàn)镕1B⊥F2B，在Rt△AF1B中，|BF1|2+|AB|2=|AF1|2，
即(2a+t)2+(4t)2=(2a+3t)2，解得t=a，
所以|BF1|=3a，|BF2|=a，
在Rt△BF1F2中，|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，
即(3a)2+a2=(2c)2，
可得a2=25c2，
所以b2=a2?c2=35c2，
所以a2b2=23，即ab=63，
故雙曲線Γ的漸近線方程為y=±63x．
故選：C．
【題型10 雙曲線的實(shí)際應(yīng)用問題】
【例10】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)），cs∠F1F2P=7?14，則該雙曲線的離心率為（ ）

A．2B．2C．72D．7
【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出F2P，利用勾股定理表示出F1P，根據(jù)雙曲線的定義得到2a=c，即得離心率.
【解答過程】設(shè)雙曲線C的焦距為2c，因?yàn)閏s∠F1F2P=7?14，F(xiàn)1P⊥F2P，
所以F2P=F1F2cs∠F1F2P=7?12c，F(xiàn)1P=F1F22?F2P2=7+12c，
所以2a=F1P?F2P=c，故該雙曲線的離心率為ca=2．
故選：B.
【變式10-1】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=205米，若水面上升5米，則水面寬為（ ）
A．102米B．152米C．123米D．30米
【解題思路】設(shè)雙曲線方程為y2a2?x2a2=1a>0,y0,y0.
又由題可得B105,?a?10，代入雙曲線方程可得：
a+102a2?500a2=1?a+102?500=a2?a=20 ，則Dx,?25.
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得：625400?x2400=1?x=15，則D15,?25.
又由對(duì)稱性可得C?15,?25，則水面上升5米，則水面寬為30米.
故選：D.
【變式10-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚2s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（ ）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距離3403mB．東偏南45°方向，距離3403m
C．西偏北45°方向，距離1703mD．東偏南45°方向，距離1703m
【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.
【解答過程】如圖，

以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（?680，0），B（680，0），C（0，680）.
設(shè)P（x，y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C 同時(shí)聽到巨響聲，得PA=PC，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=?x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚2s聽到爆炸聲，故，PB?PA=340×2=680
由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線左支x2a2?y2b2＝1(x0，
由已知可得a ，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解得b 的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程
解得B 的坐標(biāo)即可求得地標(biāo)建筑的高.
【解答過程】解：以地標(biāo)建筑的最細(xì)處所在直線為x 軸，雙曲線的虛軸為y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.
由題意可得：A50,0，C2522,?300，
設(shè)B256,y0 y0>0，雙曲線的方程是x2a2?y2b2=1a>0,b>0，
則a=5025222502??3002b2=1，解得a=50b=1002 ，
所以雙曲線的方程是：x22500?y220000=1，
將點(diǎn)B256,y0代入得252×62500?y0220000=1，
解得y0=100，
所以該地標(biāo)建筑的高為：300+100=400 m .
故選：C.
【題型11 橢圓與雙曲線綜合】
【例11】（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線C1:x2a2?y2=1(a>0)，橢圓C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2，若e1=23e2，則a=（ ）
A．28B．24C．22D．63
【解題思路】先求得橢圓的離心率，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率，可求a的值.
【解答過程】由橢圓C2:x24+y2=1，可得a2=2,b2=1，
所以c2=4?1=3，所以橢圓的離心率e2=32，
又e1=23e2，所以雙曲線的離心率為e1=3，
又雙曲線C1:x2a2?y2=1(a>0)，所以c=a2+1，
所以a2+1a=3，解得a=24.
故選：B.
【變式11-1】（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1（a、b均為正值）的漸近線的傾斜角為α，且該雙曲線與橢圓x24+y23=1的離心率之積為1，且有相同的焦距，則sinα=（ ）
A．37B．713C．32D．213
【解題思路】運(yùn)用共焦點(diǎn)條件得到雙曲線中c=1，由兩曲線的離心率之積為1得ca=2，再用a2+b2=c2轉(zhuǎn)化得到ba=3，進(jìn)而得到sinα.
【解答過程】由題意易得，在雙曲線中c=1，即a2+b2=1，
由于橢圓離心率為e=12，且由兩曲線的離心率之積為1得ca=2.
∴c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=4，∴b2a2=3，∴ba=3，∴tanα=±3，又00)和雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過255，則e2e1的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解題思路】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，求出e2e1=a2+b2a2?b2，令k=ba，結(jié)合ba≤255，即可求解.
【解答過程】由橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e1=ca=1?b2a2，
雙曲線x2a2?y2b2=1的離心率e2=ca=1+b2a2，可得e2e1=a2+b2a2?b2=1+(ba)21?(ba)2，
令k=ba，因?yàn)殡p曲線的漸近線的斜率不超過255，即ba≤255，
則0n>0)與雙曲線C2:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦點(diǎn)F1,F2，點(diǎn)P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，那么e12+e22最小為（ ）
A．2+34B．2+32C．3+224D．3+222
【解題思路】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點(diǎn)三角形中的余弦定理建立等量關(guān)系，再構(gòu)造1e12+3e22=4，利用基本不等式，即可求解.
【解答過程】設(shè)兩曲線的半焦距為c，由余弦定理得F1F22=PF12+PF22?2PF1?PF2cs60°．
在橢圓中，F(xiàn)1F22=PF1+PF22?2PF1?PF21+cs60°，
得PF1?PF2= 2n21+cs60°=43n2．
在雙曲線中，F(xiàn)1F22=PF1?PF22+2PF1?PF21?cs60°，
得PF1?PF2=2b21?cs60°=4b2．從而4n23=4b2，得n2=3b2，
則m2=n2+c2=3b2+c2,a2=c2?b2，即m2+3a2=4c2,m2c2+3a2c2=4，
即1e12+3e22=4．
所以e12+e22=14e12+e221e12+3e22=144+e22e12+3e12e22≥14×(4+23)=2+32，
當(dāng)且僅當(dāng)e22=3e12=3+34時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
一、單選題
1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，則“m∈(0,8)”是“曲線C的焦點(diǎn)在x軸上的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】易得充分性成立，當(dāng)m0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且斜率為247的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若F1F2=AF2，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（ ）
A．x23?y24=1B．x24?y3=1
C．x29?y216=1D．x216?y29=1
【解題思路】|AF2|=|F2F1|=2c，由雙曲線的定義可得|AF1|=2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c=5a，4c=5b，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．
【解答過程】因?yàn)閨AF2|=|F2F1|=2c，
由雙曲線的定義可知AF1?AF2=2a，
可得|AF1|=2a+2c，
由于過F2的直線斜率為247，
所以在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1=?247，則cs∠AF2F1=?725，
由余弦定理得：cs∠AF2F1=?725=4c2+4c2?(2a+2c)22?2c?2c，
化簡(jiǎn)得39c2?50ac?25a2=0，可得3c=5a，即a=35c，b=45c，
可得a:b=3:4，a2:b2=9:16，
所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：x29?y216=1.
故選：C.
5．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在第一象限，滿足OM=OF.若點(diǎn)P在雙曲線C上，且NP=4NF，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．52B．102C．22D．5
【解題思路】利用三角形一邊中線等于這一邊的一半，則這是一個(gè)直角三角形，可得∠FNF2是直角，再利用雙曲線的定義，及已知的兩焦半徑關(guān)系，結(jié)合勾股定理，可得長(zhǎng)度關(guān)系，即可求得離心率.
【解答過程】
設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F2，連接MF,MF2,NF2,PF2，
由題意可知M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以O(shè)M=ON=OF=OF2，
所以∠FNF2是直角，由NP=4NF，可設(shè)NF=m，則NP=4m，即FP=3m
由雙曲線的定義可知：PF2?PF=2a，NF2?NF=2a，
則PF2=2a+3m，NF2=2a+m，
由∠FNF2是直角得：PF22=PN2+NF22，
則2a+3m2=16m2+2a+m2，解得：m=a，
又由∠FNF2是直角得：FF22=FN2+NF22，
則FF22=a2+9a2=10a2=4c2，解得：ca=52=102，所以離心率e=102
故選：B.
6．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)M在C上且MF⊥x軸，直線MA1，MA2與y軸分別交于點(diǎn)P，Q，若3OQ=4OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的漸近線方程為（ ）
A．y=±26xB．y=±210xC．y=±43xD．y=±215x
【解題思路】由題意求出直線MA1和直線MA2的方程，分別令x=0，可求出OQ,OP，結(jié)合3OQ=4OP代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
【解答過程】由題意知Fc,0,A1?a,0,A2a,0，因?yàn)镸F⊥x軸，
所以令x=c，可得c2a2?yM2b2=1，解得：yM=±b2a，設(shè)Mc,b2a，
直線MA1的斜率為：kMA1=b2a?0c+a=b2ac+a，
所以直線MA1的方程為：y=b2aa+cx+a，
令x=0可得y=b2a+c，所以O(shè)P=b2a+c，
直線MA2的斜率為：kMA2=b2a?0c?a=b2ac?a
所以直線MA2的方程為：y=b2ac?ax?a，
令x=0可得y=?b2c?a，所以O(shè)Q=b2c?a，
由3OQ=4OP可得4b2a+c=3b2c?a，解得：c=7a,
所以c2=a2+b2=49a2，解得：b2a2=48，即ba=±43
所以C的漸近線方程為y=±43x，
故選：C.
7．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為0,?6，若動(dòng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且到兩定點(diǎn)F1?3,0，F(xiàn)23,0的距離之差為定值4，則△APF1周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．3+45B．3+65C．4+45D．4+65
【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義，判斷P點(diǎn)軌跡為雙曲線的右支，并求出方程；再根據(jù)PF1?PF2=2a和AF1=AF2把△PF1A的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為PA+ PF2的范圍問題，利用三角形兩邊之和大于第三邊求解.
【解答過程】由動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1?3,0，F(xiàn)23,0的距離之差為定值4，
結(jié)合雙曲線定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F1?3,0，F(xiàn)23,0為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
易得c=3，2a=4，由c2=a2+b2得b2=5，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x24?y25=1x>0，
如圖：
又PF1?PF2=4，則PF1=PF2+4，且AF1=AF2=32+62=35
故△APF1的周長(zhǎng)為:PA+AF1+PF1=PA+PF2+4+AF1=PA+PF2+4+35≥AF2+4+35=4+65，
當(dāng)且僅當(dāng)P，A，F(xiàn)2三點(diǎn)共線且P點(diǎn)位于A、F2之間時(shí)等號(hào)成立，故△APF1周長(zhǎng)的最小值為4+65．
故選：D.
8．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x22?y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，C在點(diǎn)P處的切線與C的漸近線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①直線F1P的斜率的取值范圍是?1,1；
②點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為12；
③|PO|2=PF1?PF2；
④PM=PN．
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】利用解析幾何中的坐標(biāo)思想來研究，結(jié)合雙曲線方程及聯(lián)解方程組，通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行分析求解即可.
【解答過程】由題意知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)Px0,y0x0≥2，又點(diǎn)P在C上，所以x022?y022=1，
所以y02=x02?2，所以直線F1P的斜率kF1P=y0x0+2，
所以kF1P2=y0x0+22=x02?2x0+22，令t=x0+2，t≥2+2，
所以kF1P2=x02?2x0+22=(t?2)2?2t2=21t?12?1∈[0,1)
所以kF1P∈(?1,1)，即直線F1P的斜率的取值范圍是(?1,1)，故①正確；
C的漸近線方程為y=±x，所以點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為x0?y012+(?1)2?x0+y012+12=x02?y022=1．故②錯(cuò)誤；
PF1?PF2=x0+22+y02?x0?22+y02 =x02+y02+4+4x0x02+y02+4?4x0
=x02+y02+42?16x02 =2x02+22?16x02 =4x04?8x02+4
=2x02?2=2x02?2=x02+y02=|OP|2，故③正確；
當(dāng)y0≠0時(shí)，顯然C在點(diǎn)P處的切線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)P處的切線方程為y=kx?x0+y0，
由x22?y22=1y=kx?x0+y0得1?k2x2?2ky0?kx0x?y0?kx02?2=0，
所以Δ=?2ky0?kx02?41?k2?y0?kx02?2=0得，y0k?x02=0，
解得k=x0y0，
所以C在點(diǎn)P處的切線方程為y=x0y0x?x0+y0，即x0x?y0y=2．
當(dāng)y0=0時(shí)，C在點(diǎn)P處的切線方程為x=x0，所以點(diǎn)P處的切線方程為x0x?y0y=2．
由x0x?y0y=2y=x，解得M2x0?y0,2x0?y0，
由x0x?y0y=2y=?x解得N2x0+y0,?2x0+y0
又2x0?y0+2x0+y02=x0，2x0?y0+?2x0+y02=y0，
所以點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)，所以PM=PN，故④正確．
故選：C．
二、多選題
9．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C的方程為x2a+y23=1，則（ ）
A．當(dāng)a1，m=5+5時(shí)取等號(hào)，
所以5PF1?1PF2的最大值為3?52．
故答案為：3?52．
四、解答題
15．（23-24高二上·全國·單元測(cè)試）分別求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)經(jīng)過A?7,?62,B27,3兩點(diǎn)；
(2)與雙曲線x22?y2=1有公共的漸近線,且過點(diǎn)2,2．
【解題思路】（1）設(shè)雙曲線的方程,代入點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立解參數(shù)即可.
（2）設(shè)雙曲線的方程,代入點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立解參數(shù)即可.
【解答過程】（1）可設(shè)雙曲線的方程為mx2?ny2=1，
則有49m?72n=1,28m?9n=1,解得m=125,n=175,
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225?y275=1.
（2）設(shè)所求雙曲線的方程為x22?y2=t(t≠0).
將點(diǎn)2,2代入雙曲線方程得222?22=t,解得t=?1，
因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2?x22=1.
16．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）與雙曲線y24?x22=1有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)M2,?2．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率．
【解題思路】（1）先求出雙曲線y24?x22=1的漸近線方程y=±2x，從而由題意可得ba=2，所以雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的方程可化為x2a2?y22a2=1，再把M(2,?2)坐標(biāo)代入方程中求出a的值，從而可得雙曲線C的方程；
（2）由雙曲線方程可得a=1，b=2，c=3，從而可得C的實(shí)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率．
【解答過程】（1）在雙曲線y24?x22=1中，a′=2，b′=2，
則漸近線方程為y=±a′b′x=±2x，
∵雙曲線C:x2a2?y2b2=1與雙曲線y24?x22=1有相同的漸近線，
∴ba=2，
∴方程可化為x2a2?y22a2=1，
又雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)M(2,?2)，代入方程，
∴2a2?22a2=1，解得a=1，b=2，
∴雙曲線C的方程為x2?y22=1.
（2）由（1）知雙曲線C:x2?y22=1中，
∵a=1，b=2，c=3，
∴實(shí)軸長(zhǎng)2a=2，離心率為e=ca=3，
雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0).
17．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到定直線l:x=95的距離的比是53，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若動(dòng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)，定點(diǎn)A5,2,求|MA|+35|MF|的最小值．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，由(x?5)2+y2|x?95|=53化簡(jiǎn)求解；
（2）過點(diǎn)M作MN垂直于直線l: x=95，垂足為N，設(shè)MN=d，得到MF=53d，然后由MA+35MF=MA+d求解.
【解答過程】（1）解：由題意得：(x?5)2+y2|x?95|=53，
化簡(jiǎn)得：x29?y216=1.
（2）如圖所示：
過點(diǎn)M作MN垂直于直線l: x=95，垂足為N，
設(shè)MN=d，則MFd=53，即MF=53d，
所以MA+35MF=MA+d，
顯然，當(dāng)M,N,A三點(diǎn)共線時(shí)，MA+35MF取得最小值，
為xA?a2c=5?95=165.
18．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知雙曲線C:x22?y2=1,P是C上的任意一點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，求PA的最小值；
(2)若F1,F2分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面積.
【解題思路】（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0，表示出PA，利用點(diǎn)P再雙曲線上，借助二次函數(shù)知識(shí)計(jì)算即可;
（2）由雙曲線的定義及余弦定理表示出PF1PF2=4，結(jié)合面積公式計(jì)算即可.
【解答過程】（1）

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0，
則|PA|2=x0?42+y02=x0?42+x022?1=32x02?8x0+15=32x0?832+133，
因?yàn)閤0≥2，所以當(dāng)x0=83時(shí)，PA取得最小值393.
（2）由雙曲線的定義知PF1?PF2=22①,
由余弦定理得(23)2=PF12+PF22?2PF1PF2cs60°②,
根據(jù)①②可得PF1PF2=4，所以S△PF1F2=12?PF1PF2sin60°=12×4×32=3.
19．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線E：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）過P13,0，P23,4，P33,2，P4?3,2四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線m，n，其中m與E的右支交于A，B兩點(diǎn)，與直線x=32交于點(diǎn)M，n與E的右支相交于C，D兩點(diǎn)，與直線x=32交于點(diǎn)N，求1MA+1MB+1NC+1ND的最大值．
【解題思路】（1）由題意可得雙曲線不過點(diǎn)P2，將其余點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程計(jì)算即可得；
（2）借助韋達(dá)定理與兩點(diǎn)間距離公式表示出1MA+1MB并化簡(jiǎn)后，可得1NC+1ND，結(jié)合基本不等式即可得解.
【解答過程】（1）由P23,4，P33,2，P4?3,2，P3與P2不能同過，P3與P4對(duì)稱，
故該雙曲線不過點(diǎn)P2，
則有3a2?0b2=19a2?2b2=1，解得a2=3b2=1，即雙曲線方程為x23?y2=1；
（2）由雙曲線方程為x23?y2=1，故F2,0，
由題意可知，m，n的斜率均存在，
設(shè)m的斜率為k，則n的斜率為?1k，
即lm:y=kx?2，設(shè)Ax1,y1、Bx2,y2，
令x=32，則y=k32?2=?k2，即M32,?k2，
聯(lián)立雙曲線x23?y2=1y=kx?2，有3k2?1x2?12k2x+12k2+3=0，
由雙曲線性質(zhì)可知k∈?∞,?ba∪ba,+∞，即k∈?∞,?33∪33,+∞，
此時(shí)Δ>0恒成立，
有x1+x2=12k23k2?1，x1x2=12k2+33k2?1，
則MA=1+k2?x1?32，MB=1+k2?x2?32，
故1MA+1MB=11+k2?x1?32+11+k2?x2?32=11+k2?x1?32+x2?32x1?32x2?32
=11+k2?x1+x2?3x1x2?32x1+x2+94=11+k2?12k23k2?1?312k2+33k2?1?32?12k23k2?1+94
=11+k2?12k2?33k2?112k2+3?18k2+943k2?1=11+k2?3k2+33k2+34=41+k2，
同理可得1NC+1ND=41+?1k2=4k1+k2，
則1MA+1MB+1NC+1ND=41+k2+4k1+k2=4k2+2k+11+k2=41+2k1+k2
=41+21k+k≤41+221k?k=42，當(dāng)且僅當(dāng)k=1，即k=±1時(shí)，等號(hào)成立，
即1MA+1MB+1NC+1ND的最大值為42.
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率)
(3)了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用
2023年新高考I卷：第16題，5分
2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分
2023年北京卷：第12題，5分
2023年天津卷：第9題，5分
2024年新高考I卷：第12題，5分
2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分
雙曲線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn).從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與性質(zhì)等知識(shí)，題型比較豐富，選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，選擇、填空題中難度中等偏易，解答題中難度偏大，有時(shí)會(huì)與向量等知識(shí)結(jié)合考查，需要學(xué)會(huì)靈活求解.
雙曲線在坐標(biāo)系中的位置
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的關(guān)系
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
范圍
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
頂點(diǎn)
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半軸長(zhǎng)
實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b
離心率
漸近線方程

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