2025屆云南三校高考備考實(shí)用性高三下學(xué)期2月聯(lián)考卷（六）數(shù)學(xué)試題

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一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
【解析】
1．因?yàn)?，所以中?個(gè)元素，故選B．
2．因?yàn)?，所以的虛部?3，故選A．
3．由題意可知，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為2，所以，故選D．
4．因?yàn)椋?，所以，，，故選C．
5．∵第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，∴，則，則展開式通項(xiàng)公式是，令，得，∴的系數(shù)為，故選A．
6．由題意，，由，則函數(shù)為奇函數(shù)，即因，易知其為增函數(shù)，則，解得或，故選C．
7．令，得由于，所以. 又因?yàn)樵谏嫌星抑挥?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得故選B．
8．由，，可轉(zhuǎn)化為設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，可解得即，即令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即，即則故選D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】
9．由題意得，則新的平均數(shù)，A正確；舉例：1，1，1，2，2，5滿足平均數(shù)為2，中位數(shù)為，增加數(shù)據(jù)2后中位數(shù)變成了2，B錯(cuò)誤；舉例：1，2，2，2，2，3，其方差為，增加數(shù)據(jù)2后方差變?yōu)?，C錯(cuò)誤；根據(jù)平均數(shù)的概念知，當(dāng)所有數(shù)據(jù)均相等時(shí)，取等；則增加一個(gè)數(shù)據(jù)2，極差不變，D正確，故選AD．
10．當(dāng)P為BD中點(diǎn)時(shí)，，所以平面，A正確；因?yàn)?，所以截面為梯形，B正確；因?yàn)?，所以體積為定值，C錯(cuò)誤；三棱錐的外接球可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體外接球，半徑，所以表面積D正確，故選ABD．
11．設(shè)直線的方程為令由得 得即的斜率為，A正確；設(shè)由 則直線PQ方程： 則 點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，而 ，B正確； ，C正確；設(shè)，由為正三角形，則， ，得的周長(zhǎng)為，D錯(cuò)誤，故選ABC．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
【解析】
12．由垂徑定理知O到直線AB的距離為2，所以．
13．由得，由得．設(shè)為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則，即．而雙曲線C的漸近線為，所以點(diǎn)M到兩條漸近線的距離之積為．
14．，，則，當(dāng)時(shí)，易得，且，則，所以，而，故，所以，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，， ，所以． ，當(dāng)時(shí)，遞增，且，因此對(duì)于集合中的元素有：當(dāng)時(shí)，可取共97種情況，當(dāng)時(shí)，可取共98種情況，當(dāng)時(shí)，可取共97種情況，當(dāng)時(shí)，可取共96種情況，，當(dāng)時(shí)，可取共2種情況，當(dāng)時(shí)，可取共1種情況，綜上，可取的情況共有．
四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分13分）
解：（1）
．…………………（5分）
（2）
，


……………………………………………（8分）
………………………………（11分）
………………………（13分）
16．（本小題滿分15分）
（1）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接，連接，交于. ………………………………………………（1分）
圖1
在中，，，
．……………………………………………………………（2分）
平面平面，
平面底面，………………………………………（3分）
底面，底面，……………………………（4分）
在正方體中，
………………（5分）
又
即……………………………………………（6分）
又平面，
…………………………………………………………………（7分）
平面． ……………………………（8分）
（2）解：過點(diǎn)作的平行線，交于，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖2所示空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則
圖2
∵平面平面，平面平面，平面
平面，，則，
………………………………………………………（9分）
………………………………………………………（10分）
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則即 令，
…………………………………………………………………（11分）
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則即 令，
………………………………………………………（12分）
設(shè)所成二面角為，
…………………………（13分）
………………………………（14分）

所成二面角的正切值為． ……………………………………（15分）
17．（本小題滿分15分）
解：（1），，……………………………（2分）
同時(shí)取到雅丹黑外觀和月影灰內(nèi)飾的模型有2個(gè)，即，
．……………………………………………（4分）
因?yàn)椋?br>所以，即事件和事件不獨(dú)立．
……………………………………………………………（6分）
（2）由題意知760，380，190，
則外觀和內(nèi)飾均同色的概率
外觀和內(nèi)飾都異色的概率
僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，…………………（9分）
因?yàn)椋?br>所以，，，
………………………………………………………………（12分）
則X的分布列為：
(元)．…………………………（15分）
18．（本小題滿分17分）
解：（1）由題意得 ………………………（2分）
整理得 解得 …………………………………………（4分）
所以得橢圓方程為．………………………………………（5分）
（2）（i）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)則有
因?yàn)樵c(diǎn)是△的重心，所以
即，. ……………………………………………（6分）
將代入解得，．
所以到直線的距離為3．…………………………………………（9分）
（ii）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，
由得
即，
且．……………………（11分）
因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以
所以，故
將點(diǎn)代入橢圓方程并整理可得， …………………………（14分）
所以點(diǎn)到直線的距離為
．
綜上所述，得點(diǎn)到直線的距離的最大值為．
……………………………………………………………（17分）
19．（本小題滿分17分）
（1）證明：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，
兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，即，
所以為偶函數(shù)；
當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，即，所以為奇函數(shù)． …………………………………（4分）
（2）解： （注：可為任意一個(gè)常數(shù)）
……………………………………………（9分）
（3）解：且對(duì)恒成立，
所以必存在，使在遞增，
對(duì)應(yīng)，即對(duì)恒成立．
又，所以必有
.
………………………（13分）
當(dāng)時(shí)，
在遞增，有 進(jìn)而得在遞增，
所以，不等式恒成立．
綜上可知，的取值范圍為 ……………………………………（17分） 題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
A
C
B
D
題號(hào)
9
10
11
答案
AD
ABD
ABC
題號(hào)
12
13
14
答案
4
；4948