專題12 數(shù)列-【好題匯編】五年（2020-2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01 等差等比數(shù)列應(yīng)用
一選擇題
1．(2020北京高考·第8題)在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列( )．
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
2．(2023年天津卷·第6題)已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為( )
A．3B．18C．54D．152
3．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第8題)記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則( )．
A．120B．85C．D．
4．(2023年全國甲卷理科·第5題)設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則( )
A．B．C．15D．40
5．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第8題)已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則( )
A．14B．12C．6D．3
二、填空題
3．(2023年全國乙卷理科·第15題) 已知為等比數(shù)列，，，則______．
考點(diǎn)02 數(shù)列求和
一選擇題
1．（2024·全國·高考甲卷文）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A．B．C．1D．
2．（2024·全國·甲卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（）
A．B．C．D．
3．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題)數(shù)列中，，，若，則( )
A．2B．3C．4D．5
二、填空題
4．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第11題) 已知數(shù)列{an}滿足，則S3=________．
5．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第15題) 將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．
三解答題：
6．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第18題) 已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時，．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第17題) 已知數(shù)列滿足，
(1)記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的前20項(xiàng)和．
8．(2021年高考全國乙卷理科·第19題) 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求的通項(xiàng)公式．
9．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第20題) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)若，求的通項(xiàng)公式；
(2)若為等差數(shù)列，且，求．
10．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）·第17題) 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
11．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第17題) 記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的n的最小值．
12（2023年全國乙卷）1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
13．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第18題) 已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
14．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)（海南）·第18題) 已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)求．
15 ．(2023年全國甲卷理科·第17題) 設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16 .(2020天津高考·第19題) 已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)記的前項(xiàng)和為，求證：；
(Ⅲ)對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
17（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．
(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，．
（ⅰ）當(dāng)時，求證：；
（ⅱ）求．
考點(diǎn)03 數(shù)列情景類題目
一、選擇題
1．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
( )
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
2．(2022新高考全國II卷·第3題)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0．1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0．725，則( )
( )
A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9
3．(2021高考北京·第6題)《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
二、填空題
4．(2023年北京卷·第14題) 我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項(xiàng)的和為____________．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______．
6（2024·北京·高考真題）設(shè)與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結(jié)論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結(jié)論的序號是 .
考點(diǎn)04 數(shù)列新定義問題
1（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．
2（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．
3 (2023年北京卷·第21題) 已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù)．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足使得．
考點(diǎn)05 數(shù)列與其他知識點(diǎn)交匯及綜合問題
一、選擇題
1．(2023年北京卷·第10題)已知數(shù)列滿足，則( )
A．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
2．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第7題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
3．(2022高考北京卷·第6題)設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的( )
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第11題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是( )
A．B．C．D．
5．(2023年全國乙卷理科·第10題)已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則( )
A．－1B．C．0D．
二解答題
6（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.
7．(2023年天津卷·第19題) 已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式和．
(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，
(Ⅰ)當(dāng)時，求證：；
(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．
8．(2022新高考全國I卷·第17題) 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．

9．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第20題) 已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
(Ⅰ)若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與an的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
10（2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
11．(2022高考北京卷·第21題) 已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
12．(2021年高考浙江卷·第20題) 已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，且．
(1)求數(shù)列通項(xiàng)；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求的范圍．
13．(2022新高考全國II卷·第17題) 已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個數(shù)．
14．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第20題) 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
15．(2021年高考全國甲卷理科·第18題) 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分．
考點(diǎn)
五年考情（2020-2024）
命題趨勢
考點(diǎn)01 等差等比數(shù)列應(yīng)用
2023 天津甲乙 Ⅱ卷
2022 乙卷
2020 北京卷
等差等比數(shù)列及求和在高考中主要考查基本量的基本運(yùn)算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本應(yīng)用。包括：錯位相減求和，奇偶性求和，列項(xiàng)求和等。
考點(diǎn)02 數(shù)列求和
2024 甲天津卷
2023ⅠⅡ 甲乙卷
2022 甲卷
2021 ⅠⅡ乙卷
2020 浙江 Ⅰ Ⅱ卷
考點(diǎn)03 數(shù)列情景類問題
2024北京
2023北京
2021北京 Ⅰ卷
2020Ⅱ 卷
情景化與新定義是高考的一個新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過的知識去解決新定義問題，因加以重視，是高考的一個方向，并且作為壓軸題的可能性比較大，難度大。
考點(diǎn)04 數(shù)列新定義問題
2024 Ⅰ 北京卷
2023 北京卷
考點(diǎn)05 數(shù)列與其他知識點(diǎn)交匯及綜合問題
2024 Ⅱ卷
2023 北京天津乙Ⅱ卷
2022 北京浙江 ⅠⅡ卷
2021 甲浙江
2020 浙江 Ⅱ卷
知識的綜合是未來高考的一個重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合等，屬于中等難度。

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