1. 已知向量，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)橄蛄浚?，且，則，
解得.
故選：C.
2. 設(shè)集合，，若，則（ ）
A. 2B. 1C. 0D. -1
【答案】D
【解析】由題意可得：，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，，不符合舍去，
當(dāng)時(shí)，，，符合，
故 ，
故選：D.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，，
故選：B.
4. 已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（ ）
A. -2B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，令有，又由，所以，
故選：B.
5. （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
.
故選：C.
6. 已知正三棱臺(tái)的高為4，的內(nèi)切圓和的外接圓的半徑均為1，則該正三棱臺(tái)的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】和均為等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為，
故，又，
故，解得，故，
在中，由正弦定理得，解得，
故，
故正三棱臺(tái)體積為.
故選：A.
7. 已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的漸近線(xiàn)上，與軸垂直，點(diǎn)在軸上，.若，則的離心率為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】如圖：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限.
因?yàn)榕c軸垂直，，且 ，
所以.
所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
所以.
所以.
故選：B.
8. 若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)，則對(duì)有，
對(duì)有.
所以在上遞增，在上遞減，
這表明，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
①當(dāng)時(shí)，對(duì)有，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件；
②當(dāng)時(shí)，取充分小的正數(shù)，使得，，；
再取充分大的正數(shù)，使得，，，則，且
，，，
從而根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知有個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；
③當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故在的范圍內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
而當(dāng)時(shí)，有，且若，則必有，即.
所以在的范圍內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
二者結(jié)合，可知至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件.
綜合①②③，可知的取值范圍是.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. 的最小正周期為
B.
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 在區(qū)間上的取值范圍為
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，由題得，
所以的最小正周期為，故A正確；
對(duì)于B，，
，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，則，則，
所以在區(qū)間上的取值范圍為，故D正確.
故選：AD.
10. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)積為.若，，則（ ）
A. 數(shù)列等差數(shù)列B.
C. D. 的最大值為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)公比為q，
因?yàn)?，所以?br>故，
由為常數(shù)，故選項(xiàng)A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B：，所以，
解得：或（舍），所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于選項(xiàng)D:
由于，其圖象對(duì)稱(chēng)軸為，
，故或時(shí)，的最大值為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在上，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，，則平面
B. 若，則
C. 若，則二面角的正弦值為
D. 若，則三棱錐的體積的最大值為
【答案】BCD
【解析】
如圖建立空間直角系，
則,
則，
則，
選項(xiàng)A：若，，，
設(shè)平面的法向量為，則由，，
可知，令，得，故，
由，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：，
，，故B正確；
選項(xiàng)C：若，，設(shè)，
，
由得，得，
故，又，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得，故，
平面的法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，則，
故，故C正確；
選項(xiàng)D：若，則，，
由得，得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
平面的法向量為，
點(diǎn)到平面的距離，
，
故D正確，
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)，則_____.
【答案】
【解析】，所以，
故答案為：.
13. 寫(xiě)出一個(gè)與直線(xiàn)和軸都相切且半徑為1的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程_____.
【答案】，或，或，或.（答 案 不 唯 一）
【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意有，
圓心到直線(xiàn)的距離為，
當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；
所以滿(mǎn)足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，或，
或，或.
14. 在平面四邊形中，，，，，則_____；若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，四邊形的面積為_(kāi)____.
【答案】 10 52
【解析】中，由余弦定理得，
即，整理得，而，解得，
取中點(diǎn)，連接，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，，
在中，,，
，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，
因此當(dāng)取得最大值時(shí)，，，，
所以四邊形的面積.
故答案為：10；52.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.
（1）求；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
解：（1）由得，
所以，又，
所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)榕c坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為且，
所以，所以.
（2）由（1）得，.
由得或.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>，，且，
所以在上的最大值為，最小值為.
16. 如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且.將四邊形沿翻折至四邊形，使得，如圖2所示.

圖1 圖2
（1）證明：平面；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
（1）證明：，，，
，.
，，，
.又，平面，
， 平面.
（2）解：連接.
，，
，
.
過(guò)點(diǎn)作，則.
又平面，則，，，
以為原點(diǎn)，，EF，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為，
則即
取，可得.
設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，
則.
故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.
17. 已知點(diǎn)A，B為橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)，，其中，且，直線(xiàn)與交于點(diǎn).
（1）證明：點(diǎn)在上；
（2）若直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，求.
（1）證明：法一：由題可知
（i）若，則，此時(shí)，經(jīng)檢查符合橢圓的方程，所以點(diǎn)在上.
（ii）若，則直線(xiàn)的方程為，
直線(xiàn)的方程為，
由可得
①②，消去，得，
即，所以點(diǎn)在上.
法二：由題可知
（i）若，則，經(jīng)檢查符合橢圓的方程，所以點(diǎn)在上.
（ii）若，則直線(xiàn)的方程為，
直線(xiàn)的方程為（*），
由消去，得，代入（*）式得，
所以.
因?yàn)椋?br>符合橢圓的方程，所以點(diǎn)在上.
（2）解：法一：因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率，
所以直線(xiàn)的方程為，即.
由方程組消去，得.
由得，解得.
設(shè)，，則，.
則，，
所以.
又，所以，解得，或者.
由，
又，
所以，或者.
法二：由于直線(xiàn)的斜率，
設(shè)直線(xiàn)的方程為（為參數(shù)），
代入橢圓方程，得，即，
由，，得，
解得，或者.
由，
又，
所以，
所以，或者.
18. 隨機(jī)數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)加密、安全通信、金融等領(lǐng)域.計(jì)算機(jī)中的隨機(jī)數(shù)是由算法產(chǎn)生的，其“隨機(jī)性”的優(yōu)劣取決于所采用的算法.某工廠(chǎng)計(jì)劃生產(chǎn)一種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，這種發(fā)生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個(gè)數(shù)字，每按一次數(shù)字更新按鈕后，顯示屏上的數(shù)字將等可能地更新為另三個(gè)數(shù)字中的一個(gè).在試生產(chǎn)階段，采用兩種不同算法，生產(chǎn)出相應(yīng)算法的甲、乙兩種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器.為評(píng)估兩種算法的優(yōu)劣，從這兩種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)餅圖如下：
（1）已知這150件發(fā)生器中，乙種發(fā)生器的三級(jí)品為2件.在答題卡中填寫(xiě)列聯(lián)表；依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲、乙兩種發(fā)生器的一級(jí)品率存在差異?
（2）若發(fā)生器顯示屏的初始顯示數(shù)字為1，記按次數(shù)字更新按鈕后得到的數(shù)字為，.
（i）求，；
（ii）檢測(cè)一個(gè)發(fā)生器是否為一級(jí)品的方案為：每件被測(cè)發(fā)生器需進(jìn)行100輪測(cè)試，每輪測(cè)試共按10次數(shù)字更新按鈕；表示100輪測(cè)試得到“”的頻率，規(guī)定滿(mǎn)足的被測(cè)發(fā)生器為一級(jí)品.若某件發(fā)生器經(jīng)100輪測(cè)試后得到，能否判斷該發(fā)生器為一級(jí)品?
附：，
解：（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
零假設(shè)為：甲、乙兩批發(fā)生器的一級(jí)品率沒(méi)有差異.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
所以可以認(rèn)為甲、乙兩批發(fā)生器的一級(jí)品率存在差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
（2）解法一：（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，
由全概率公式，得
.
（ii）由全概率公式，得
，
所以，
即，且，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即.
所以.
因?yàn)椋栽摪l(fā)生器為一級(jí)品.
解法二：（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為2”，
“按次按鈕后顯示的數(shù)字為3”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為4”，
則，且，，，兩兩互斥.
依據(jù)題意得，，
.
由全概率公式，得
.
（ii）
所以，
即，且，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以，即.
所以.
因?yàn)?，所以該發(fā)生器為一級(jí)品.
解法三：（i）依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，
由全概率公式，得
.
.
.
.
.
.
.
.
.
因?yàn)椋栽摪l(fā)生器為一級(jí)品.
19. 將數(shù)組的某一個(gè)全排列記為，若滿(mǎn)足：，能被3整除，則稱(chēng)為的一個(gè)“好排列”.例如：的“好排列”共有兩個(gè)：，.
（1）寫(xiě)出的所有“好排列”；
（2）若中“好排列”至少有4個(gè)，求的取值范圍；
（3）記的“好排列”個(gè)數(shù)為，證明：.
解：（1）的所有“好排列”為：.
（2）當(dāng)時(shí)，只有2個(gè)，不符合要求；
當(dāng)時(shí)，由（1）可知，只有3個(gè)“好排列”，不符合要求；
當(dāng)時(shí)，的“好排列”有，，，，至少有4個(gè)，符合要求；
當(dāng)時(shí)，的“好排列”至少有，
，，，至少4個(gè)，符合要求；
故當(dāng)時(shí)，中“好排列”至少有4個(gè).
（3）（i）考慮中“好排列”個(gè)數(shù)：
因?yàn)槭堑囊粋€(gè)排列，考慮除以3的余數(shù)，共有個(gè)1，n個(gè)2，n個(gè)0；
考慮由余數(shù)形成的排列，其中為個(gè)1，n個(gè)2，個(gè)0的全排列，為滿(mǎn)足“好排列”的條件要求，
排列中每個(gè)1的右邊必為2，故“好排列”的最后一個(gè)數(shù)為1，形如；
其中的排法數(shù)即為個(gè)0與個(gè)的排法數(shù)，即.
故中“好排列”的個(gè)數(shù).
（ii）考慮中“好排列”個(gè)數(shù)；
因?yàn)槭堑囊粋€(gè)排列，考慮除以3的余數(shù)，共有個(gè)1，個(gè)2，n個(gè)0；
考慮由余數(shù)形成的排列，其中為個(gè)1，個(gè)2，個(gè)0的全排列；
①情況1：中，個(gè)1與個(gè)2形成個(gè)，每個(gè)1的右邊均為2；
此時(shí)為“好排列”的排法數(shù)即為個(gè)0與個(gè)的排法數(shù)，
即.故“好排列”的個(gè)數(shù)有
；
②情況2：最后位置的數(shù)為1，則第一位的數(shù)必為2，即排列；
其中的排法數(shù)即為個(gè)0與個(gè)的排法數(shù)，即.
故“好排列”的個(gè)數(shù)有
.
由①，②可得.
所以
一級(jí)品
非一級(jí)品
合計(jì)
甲
乙
合計(jì)
0.1
0.05
001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
一級(jí)品
非一級(jí)品
合計(jì)
甲
26
24
50
乙
70
30
100
合計(jì)
96
54
150

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