模型：同種帶電粒子從磁場(chǎng)中或磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn)，以方向相同、大小
不同的速度在磁場(chǎng)中開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，做軌道半徑不同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖。
特征：速度越大，軌道半徑越大，不同的軌跡圓相內(nèi)切于開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的那個(gè)
公共點(diǎn)，軌跡圓的圓心共一條直線，這條直線與開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的速度方向垂直。
技法：以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)（切點(diǎn)），不同的軌跡圓圓心位于直線PP′上，將
半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界或極值條件。
a
b
c
d
e
O1
O2
O3
1．（放縮圓）如圖所示，等邊三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（包括邊界處），三個(gè)完全相同的重力不計(jì)的帶電粒子1、2、3以不同的速度由頂點(diǎn)a垂直bc方向射入磁場(chǎng)，結(jié)果粒子1、2、3分別從d、e、c點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，d、e為ac邊的三等分點(diǎn)，不考慮三個(gè)粒子間的相互作用。
則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．粒子3的軌道半徑大于三角形的邊長(zhǎng)
B．粒子1、2、3進(jìn)入磁場(chǎng)的速度之比為1:2:3
C．離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，粒子3的偏轉(zhuǎn)角最大、粒子1的偏轉(zhuǎn)角最小
D．若僅將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的1/3，粒子2從點(diǎn)c離開(kāi)磁場(chǎng)
【解析】
AC：粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示：粒子由頂點(diǎn)a沿垂直于bc
邊的方向射入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間粒子速度與ac邊的夾角為
30°，在同一直線邊界，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知粒子射出磁場(chǎng)是的
速度與ac邊的夾角也為30°，因而運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為
60°，圓心，入射點(diǎn)以及出射點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，可判
斷出三個(gè)粒子的速度偏轉(zhuǎn)角相等，粒子3的軌跡半徑等于三角
形abc的邊長(zhǎng)，故AC錯(cuò)；
B：假設(shè)三角形abc的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則粒子1，2，3的軌跡半
徑r分別為L(zhǎng)/3，2L/3，L，據(jù)洛倫茲力提供向心力，得r∝v，則速度之比為1:2:3，故B對(duì)；
D：由，解得，若僅將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的1/3，則粒子的軌跡半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，可知粒子2的軌跡半徑變?yōu)?L，粒子2將從bc之間的某點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，故D錯(cuò)。
【答案】B
2．（放縮圓）如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓形區(qū)域，其圓心為O，最高點(diǎn)為P，該區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。在圓形區(qū)域右側(cè)豎直放置一粒子收集器，M、N為收集器上、下邊緣的兩點(diǎn)，MN與圓形區(qū)域在同一平面內(nèi)，O與N在同一水平線上，MN＝R，ON＝R。從P點(diǎn)沿PO方向射入大量速率不等的同種粒子，粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m。忽略粒子間的相互作用力和粒子重力，關(guān)于打在收集器MN上的粒子，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．粒子帶負(fù)電
B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為
C．打在收集器上的粒子的最小速率為
D．從P點(diǎn)到N點(diǎn)的粒子比從P點(diǎn)到M點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間短
【解釋】
A：根據(jù)題意可知，粒子在磁場(chǎng)中向右偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知，粒子帶正電，A錯(cuò)
B：打到M、N兩點(diǎn)的粒子軌跡如圖所示，由圖可知，粒子打到N點(diǎn)時(shí)，在磁場(chǎng)中的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最小，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小，則有，B錯(cuò)
C：由圖可知粒子打到M點(diǎn)時(shí)，在磁場(chǎng)中的軌道半徑最小，粒子
的速度最小，據(jù)幾何關(guān)系得，則
最小半徑，C錯(cuò)
D：由圖可知，從P點(diǎn)到N點(diǎn)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從P
點(diǎn)到M點(diǎn)的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；離開(kāi)磁場(chǎng)到打到收集器，從P點(diǎn)到N點(diǎn)的粒子通過(guò)的位移小于從P點(diǎn)到M點(diǎn)的粒子通過(guò)的位移，從P點(diǎn)到N點(diǎn)的粒子的速度大于從P點(diǎn)到M點(diǎn)的粒子的速度，則從P點(diǎn)到N點(diǎn)的粒子從離開(kāi)磁場(chǎng)到打到收集器所用時(shí)間小于從P點(diǎn)到M點(diǎn)的粒子從離開(kāi)磁場(chǎng)到打到收集器所用時(shí)間，故從P點(diǎn)到N點(diǎn)的粒子比從P點(diǎn)到M點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間短，D對(duì)
【答案】D
（二）旋轉(zhuǎn)圓
模型：同種帶電粒子從磁場(chǎng)中或磁場(chǎng)邊界上的
同一點(diǎn)，以大小相同、方向不同的速度在磁場(chǎng)中開(kāi)
始運(yùn)動(dòng)，做軌道半徑相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖。
特征：軌跡圓的圓心共圓，運(yùn)動(dòng)軌跡隨著開(kāi)始
運(yùn)動(dòng)的速度方向不同而在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)，這些軌跡共
點(diǎn)（開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的那個(gè)點(diǎn)為各軌跡的公共點(diǎn)），如圖。
不同的軌跡圓的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq \f(mv0,qB)的圓上。
技法：以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)（交點(diǎn)），不同的軌跡圓圓心位于同一個(gè)圓（圖中虛線）上，這個(gè)圓的半徑和軌跡圓（圖中實(shí)線）的半徑相同，將軌跡圓的半徑（直徑）旋轉(zhuǎn)，根據(jù)軌跡圓的圓心位置作軌跡圓，從而探索出臨界或極值條件。
a
b
3．（旋轉(zhuǎn)圓）如圖，真空室內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)
強(qiáng)度B＝0.30T。磁場(chǎng)內(nèi)有一足夠大的感光板ab，在離ab的距離l＝32cm
處有一個(gè)點(diǎn)狀的α粒子放射源S，它在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，發(fā)射
速度大小都是v＝3.0×106m/s。已知α粒子的比荷＝5.0×107C/kg，不計(jì)粒
子的重力，則感光板ab上被α粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度是 cm。
【解釋】
α粒子帶正電，在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑
由于R＜l＜2R，朝不同方向發(fā)射的α粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡都過(guò)S點(diǎn)
某一軌跡圓在圖中N點(diǎn)左側(cè)與ab相切時(shí)，切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)
某一軌跡圓的直徑SP2的端點(diǎn)P2處在ab上時(shí)，P2就是α粒子能打中的右側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)
a
b
N
P1
P2
Q
M
根據(jù)幾何關(guān)系可得
所求長(zhǎng)度為P1P2＝NP1＋NP2＝16cm＋24cm＝40cm
【答案】40cm
4．（旋轉(zhuǎn)圓）如圖所示，擋板MN位于水平面x軸上，在第一、
二象限y≤L區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直
于紙面向外。在MN上O點(diǎn)放置了粒子發(fā)射源，能向第二象限發(fā)射
各個(gè)方向的速度的帶正電同種粒子，已知粒子質(zhì)量為m、
電荷量為q，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，粒子打到擋板
上時(shí)均被擋板吸收，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．所有粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為
C．所有粒子運(yùn)動(dòng)的區(qū)域面積為D．所有粒子運(yùn)動(dòng)的區(qū)域面積為
【解釋】
由洛倫茲力提供向心力解得，所以A對(duì)；
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為，所以B錯(cuò)；
所有粒子運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，
其面積（中間
樹(shù)葉形面積，可用半圓面積減去一個(gè)等腰三角形面積），所以C錯(cuò)D對(duì)。
【答案】AD
（三）平移圓
模型：同種帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小、方向相同，但入射點(diǎn)
在同一直線上的不同位置，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，在
磁場(chǎng)中的軌跡向一邊平移，如圖。
特征：帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，軌跡
圓心在同一直線上沿該直線平移。
技法：保證軌跡圓圓弧的半徑大小、朝向、圓心所在直線不變，將整個(gè)軌跡向一邊平移作軌跡，但在磁場(chǎng)中最終的軌跡長(zhǎng)短（或所對(duì)圓心角）可能受磁場(chǎng)邊界的影響，根據(jù)切點(diǎn)、直徑或半徑的端點(diǎn)，或出磁場(chǎng)邊界的頂點(diǎn)等等探究臨界或極值條件。
5．（平移圓）如圖所示為邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)ABCD，帶電
粒子從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場(chǎng)，恰好從C點(diǎn)飛出磁場(chǎng)；若帶電粒子以相同
的速度從AD的中點(diǎn)P垂直AD射入磁場(chǎng)，從DC邊的M點(diǎn)飛出磁場(chǎng)（M點(diǎn)
未畫(huà)出）。設(shè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為t1，由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)所
用時(shí)間為t2（帶電粒子重力不計(jì)），則t1∶t2為（ ）
A．2∶1B．2∶3C．3∶2D.eq \r(3)∶eq \r(2)
【解釋】
畫(huà)出粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)到從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)的軌跡，并將該軌跡向下平移，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝L，從C點(diǎn)射出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝T/4；由P點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，可求得軌跡圓心角θ＝60°，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝T/6。所以
，C正確。
【答案】C
6．（平移圓）如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)
磁場(chǎng)，AC＝d，∠B＝30°，現(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、
速度大小均為v的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)
間為t，而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為4t/3（不計(jì)重力和粒子間的相互作用）。
下列判斷正確的是（ ）
A．粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為tB．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
C．粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為D．粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為
【解釋】
A：垂直于AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是T/4，則T＝4t，A錯(cuò)
B：，故B對(duì)
C：運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，軌跡圓與BC邊相切
r
r
2r
r/2
30°
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則軌跡圓心角為120°
設(shè)軌道半徑為r，易得，C錯(cuò)
D．運(yùn)動(dòng)T/4時(shí)間為t，則運(yùn)動(dòng)速度，D對(duì)
【答案】BD
甲
乙
7．（放縮圓+旋轉(zhuǎn)圓）如圖中虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)
磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，
在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場(chǎng)，若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界
的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在
三分之一圓周上．不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2∶v1為（ ）
A．eq \r(3)∶2B．eq \r(2)∶1C．eq \r(3)∶1D．3∶eq \r(2)
【解釋】
根據(jù)作圖分析可知，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周時(shí)，打到圓形磁場(chǎng)邊界的
位置距P點(diǎn)最遠(yuǎn)，則當(dāng)粒子射入的速率為v1，軌跡如圖甲所示，設(shè)圓形磁場(chǎng)半徑
為R，由幾何知識(shí)可知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為；
若粒子射入的速率為v2，軌跡如圖乙所示，由幾何知識(shí)可知，粒子運(yùn)動(dòng)的軌
道半徑為；
據(jù)軌道半徑公式，則v2∶v1＝r2∶r1＝eq \r(3)∶1，故C正確。
【答案】C

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