2023真題展現(xiàn)
考向一 概率
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
真題考查解讀
近年真題對(duì)比
考向一 概率
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
考向三 正太分布
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記
考向一 概率
1．（多選）（2023?新高考Ⅱ?第12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（ ）
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【答案】ABD
解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正確；
采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正確；
采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，
則譯碼為1包含收到的信號(hào)為包含兩個(gè)1或3個(gè)1，
故所求概率為：，故C錯(cuò)誤；
三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率P1，
單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率P2＝1﹣α，
（1﹣α）3
＝（1﹣α）（2α2﹣α）
＝（1﹣α）α（2α﹣1），
當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，P2﹣P1＜0，
故P2＜P1，故D正確．
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
2．（2023?新高考Ⅰ?第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（）．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．
【解答】解：（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為P，
由題意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；
（2）由題意設(shè)Pn為第n次投籃的是甲，
則Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，∴Pn+10.4（Pn），
又P10，則{Pn}是首項(xiàng)為，公比為0.4的等比數(shù)列，
∴Pn（）n﹣1，即Pn（）n﹣1，
∴第i次投籃的人是甲的概率為Pi（）i﹣1；
（3）由（2）得Pi（）i﹣1，
由題意得甲第i次投籃次數(shù)Yi服從兩點(diǎn)分布，且P（Yi＝1）＝1﹣P（Yi＝0）＝Pi，
∴E（）＝E（Y），
∴當(dāng)n≥1時(shí)，E（Y）[1﹣（）n]；
當(dāng)n＝0時(shí)，E（Y）＝0[1﹣（）0]，
綜上所述，E（Y）[1﹣（）n]，n∈N．
【命題意圖】
概率、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【考查要點(diǎn)】
概率多為小題。隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望是高考熱點(diǎn)之一。?？疾槎?xiàng)分布、正態(tài)分布、超幾何分布等常見的分布，多為解答題．
【得分要點(diǎn)】
1．古典概率的計(jì)算公式
如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）．
2．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率P（A?B）＝P（A）?P（B）．
3．條件概率
（1）條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．
（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．
（3）條件概率的求法：
①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）．
4．離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望、方差
（1）離散型隨機(jī)變量X的概率分布列
（2）數(shù)學(xué)期望：稱EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
（3）方差、標(biāo)準(zhǔn)差：D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根eq \r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
（4）期望方差的性質(zhì)：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b為常數(shù))．
5．常見隨機(jī)變量的分布列
（1）兩點(diǎn)分布：
若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為
（2）超幾何分布:
在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.
（3）二項(xiàng)分布
如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)Pkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：
由于Ceq \\al(k,n)Pkqn－k恰好是二項(xiàng)展開式(P＋q)n＝Ceq \\al(0,n)P0qn＋Ceq \\al(1,n)P1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)Pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)Pnq0中的第k＋1項(xiàng)(k＝0，1，2，…，n)中的值，故稱隨機(jī)變量X為二項(xiàng)分布，記作X～B(n，P)．
6．常見隨機(jī)變量的均值與方差
（1）若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．
（2）若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝p(p為成功概率)，DX＝p(1－p)．
考向一 概率
3．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有種方式，
其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，
故所求概率為．
故選：D．
4．（2021?新高考Ⅰ）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立
【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲?。剑絇（甲）P（丁），
C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），
D：P（丙?。?≠P（丙）P（丁），
故選：B．
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
5．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；
（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，
則P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列為：
（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計(jì)得分的期望為E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，
若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計(jì)得分，
則Y的所有可能取值為0，80，100，
P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
則Y的期望為E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，
因?yàn)镋（Y）＞E（X），
所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．
6．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．
（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；
（Ⅱ）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E（X）＞1時(shí)，p＜1；
（Ⅲ）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．
【解答】（Ⅰ）解：由題意，p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，
故E（X）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1；
（Ⅱ）證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3＝1，則E（X）＝p1+2p2+3p3，
所以p0+p1x+p2x2+p3x3＝x，變形為p0﹣（1﹣p1）x+p2x2+p3x3＝0，
所以p0+p2x2+p3x3﹣（p0+p2+p3）x＝0，
即p0（1﹣x）+p2x（x﹣1）+p3x（x﹣1）（x+1）＝0，
即（x﹣1）[p3x2+（p2+p3）x﹣p0]＝0，
令f（x）＝p3x2+（p2+p3）x﹣p0，
若p3≠0時(shí)，則f（x）的對(duì)稱軸為，
注意到f（0）＝﹣p0≤0，f（1）＝2p3+p2﹣p0＝p1+2p2+3p3﹣1＝E（X）﹣1，
若p3＝0時(shí)，f（1）＝E（X）﹣1，
當(dāng)E（X）≤1時(shí)，f（1）≤0，f（x）＝0的正實(shí)根x0≥1，原方程的最小正實(shí)根p＝1，
當(dāng)E（X）＞1時(shí)，f（1）＝p1+2p2+3p3﹣1＞0，f（x）＝0的正實(shí)根x0＜1，原方程的最小正實(shí)根p＜1，
（Ⅲ）解：當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；
當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．
考向三 正太分布
7．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大
B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等
【解答】解：因?yàn)槟澄锢砹康臏y(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），
所以測(cè)量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對(duì)稱，且方差σ2越小，則分布越集中，
對(duì)于A，σ越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，由于概率分布關(guān)于10對(duì)稱，所以測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的區(qū)域大于（10，10.3）分布在10附近的區(qū)域，
故測(cè)量結(jié)果落在（9.9，10.2）內(nèi)的概率大于落在（10，10.3）內(nèi)的概率，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：D．
8．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝ ．
【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），
∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，
∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，
故答案為：0.14．
?？疾楣诺涓判驼植嫉取６?xiàng)分布、正態(tài)分布、超幾何分布等常見的分布多為解答題．
一．互斥事件與對(duì)立事件（共2小題）
1．（2023?宛城區(qū)校級(jí)三模）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，事件B＝“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件C＝“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則（ ）
A．A與B互斥B．B與C相互獨(dú)立
C．D．A與C互斥
【解答】解：對(duì)于A，互斥事件指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，事件A可以有以下情況：
第一次擲出1，第二次擲出5或第一次擲出3，第二次擲出3等，如此與事件B有同時(shí)發(fā)生的可能，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，
所以B與C相互獨(dú)立，故B正確；
對(duì)于C，先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，共有36個(gè)基本事件，
其中事件A包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5個(gè)，
所以P（A）＝，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，，P（AC）≠P（A）?P（C），
所以A與C不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
2．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）有5張獎(jiǎng)券，其中3張可以中獎(jiǎng)，現(xiàn)有5個(gè)人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相同，記事件Ai＝“第i個(gè)人抽中中獎(jiǎng)券”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件A1與A2互斥B．
C．D．
【解答】解：事件A1，A2可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
由全概率公式得P（A2）＝P（A1）?P（A2|A1）+P（）（P（A2|）＝，故B錯(cuò)誤；
由概率乘法公式得P（A1A2）＝P（A1）P（A2|A1）＝＝，故C正確；
根據(jù)題意P（A2A3）＝＝，
∴P（A3|A2）＝＝＝，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
二．概率及其性質(zhì)（共1小題）
3．（2023?咸陽(yáng)一模）某家族有X，Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為，出現(xiàn)Y性狀的概率為，X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員X，Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A，出現(xiàn)Y性狀為事件B，
則X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)為事件，兩種性狀都出現(xiàn)為事件A∩B，
所以，，，
所以，
又因?yàn)镻（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），
所以．
故選：B．
三．互斥事件的概率加法公式（共2小題）
4．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)一模）某產(chǎn)品長(zhǎng)度合格的概率為，重量合格的概率為，長(zhǎng)度、重量合格的概率為，任取一件產(chǎn)品，已知其重量合格，則它的長(zhǎng)度也合格的概率為 ．
【解答】解：記“長(zhǎng)度合格”為事件A，“重量合格”為事件B，
由題意可得：，
則，
所以已知其重量合格，則它的長(zhǎng)度也合格的概率為．
故答案為：．
5．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)球．假設(shè)事件A＝“從乙箱中取出的兩球都是白球”，B＝“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，C＝“從乙箱中取出的兩球一個(gè)是白球一個(gè)是黑球”，其對(duì)應(yīng)的概率分別為P（A），P（B），P（C），則（ ）
A．P（A）＝P（B）B．P（A）＝P（C）C．P（B）＜P（C）D．P（C）＜P（A）
【解答】解：當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)白球，可得，
當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)白球，
可得，所以；
當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)黑球，可得，
當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)黑球，
可得，所以；
當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)榘浊驎r(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆话滓缓谇?，可得?br>當(dāng)從甲箱子中取出2球?yàn)?個(gè)白球和一個(gè)黑球時(shí)，再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鲆话滓缓谇颍?br>可得，所以，
綜上可得，P（B）＜P（C）．
故選：C．
四．等可能事件和等可能事件的概率（共2小題）
6．（2023?昌江縣二模）擺地?cái)偟哪硵偅ㄙ€）主拿了8個(gè)白的，8個(gè)黑的圍棋子放在一個(gè)口袋里，并規(guī)定凡愿意摸彩者每人交一元錢作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出5個(gè)棋子，中彩情況如下：
（1）某人交一元錢作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出5個(gè)棋子，求獲得彩金20元的概率；
（2）某人交一元錢作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出5個(gè)棋子，求無(wú)任何獎(jiǎng)品的概率；
（3）按每天摸彩1000次統(tǒng)計(jì)，賭主可望凈賺約多少錢？
【解答】解：（1）獲得彩金20元的概率為；
（2）無(wú)任何獎(jiǎng)品的概率為；
（3）中2元的概率，中5角的概率，
按摸彩1000次統(tǒng)計(jì)，賭主可望凈賺的錢數(shù)．
7．（2023?揚(yáng)中市校級(jí)模擬）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）．
【解答】解：把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課排列，有種方法，這三門課中間存在兩個(gè)空，在兩個(gè)空中，
①若每個(gè)空各插入1節(jié)藝術(shù)課，則排法種數(shù)為 ＝72，
②若兩個(gè)空中只插入1節(jié)藝術(shù)課，則排法種數(shù)為 ?（?）?＝216，
③若語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課相鄰排列，把三門文化課捆綁為一個(gè)整體，
然后和三門藝術(shù)課進(jìn)行排列，則排法種數(shù)為＝144，
而所有的排法共有＝720種，
故在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 ＝，
故答案為 ．
五．古典概型及其概率計(jì)算公式（共11小題）
8．（2023?江蘇模擬）某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測(cè)驗(yàn)中的得分（單位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96，這八人成績(jī)的第60百分位數(shù)是n．若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比n低的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：8×60%＝4.8，故這8人成績(jī)的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即n＝88，
在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生共有種情況，
其中得分都比n低的有種，
所以所求概率．
故選：C．
9．（2023?廣東模擬）一堆蘋果中大果與小果的比例為9：1，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，記事件A1＝放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件A2＝放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，
記事件B＝水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，
P（A1）＝，P（A2）＝，P（B|A1）＝1﹣5%＝，P（B|A2）＝2%＝，
則P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝×+×＝，
則P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）＝×＝，
故P（A1|B）＝＝＝．
故選：A．
10．（2023?揚(yáng)州三模）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)事件Ai＝“第一步走的i級(jí)臺(tái)階“，事件Bi＝“第二步走的i級(jí)臺(tái)階”，
10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，即走了四次1級(jí)，三次2級(jí)，
P（B2）＝P（A1）P（B2|A1）+P（A2）P（B2|A2）＝＝．
故選：C．
11．（2023?重慶模擬）現(xiàn)從2個(gè)男生2個(gè)女生共4人中任意選出2人參加巴蜀中學(xué)高三年級(jí)的百日誓師大會(huì)，已知選出的2人中有一個(gè)是男生，則另一個(gè)是女生的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：假設(shè)兩名男生為A1，A2，兩名女生為B1，B2，
從中任選兩人有男生的所有情況有：A1A2，A1B1，A2B1，A1B2，A2B2共5種情況，
其中選出的2人中有一個(gè)是男生，則另一個(gè)是女生的概率為，
故選：C．
12．（2023?青島一模）某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對(duì)的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為（ ）
A．0.34B．0.37C．0.42D．0.43
【解答】解：設(shè)事件A表示“兩道題全做對(duì)”，
若兩個(gè)題目都有思路，則，
若兩個(gè)題目中一個(gè)有思路一個(gè)沒有思路，則，
故P（A）＝P1+P2＝0.32+0.1＝0.42．
故選：C．
13．（2023?臺(tái)州二模）袋子中有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，已知3個(gè)球中有白球，則恰好拿到2個(gè)紅球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)槿〉降?個(gè)球中有白球，所以共有種方法，
3個(gè)球中恰好有兩個(gè)紅球的取法共有種，
設(shè)事件A＝“取到的3個(gè)球中有白球，且恰好有2個(gè)紅球”，
則．
故選：A．
14．（2023?保定二模）三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目分別為a，b，c，d，
則每位同學(xué)都有六種選擇：ab，ac，ad，bc，bd，cd，
故三位同學(xué)共有6×6×6＝216種選法，
其中，有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的選法有×＝90種選法，
表示3個(gè)同學(xué)中選2個(gè)同學(xué)，使他們所選項(xiàng)目相同，表示6種組合中選一個(gè)，
表示剩下1個(gè)同學(xué)還有5種選擇，
則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是．
故選：C．
15．（2023?湖北模擬）在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，所有情況有：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（2，17），（2，19），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（3，17），（3，19），（5，7），（5，11），（5，13），（5，17），（5，19），（7，11），（7，13），（7，17），（7，19），（11，13），（11，17），（11，19），（13，17），（13，19），（17，19），共28個(gè)，
這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的基本事件有：（2，3），（2，5），（2，11），（2，17），共4個(gè)，
所以所求概率為，
故選：C．
16．（2023?杭州一模）四位爸爸A、B、C、D相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個(gè)別人家的小孩進(jìn)行交談，則A的小孩與D交談的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，
則交談組合有9種情況，分別為：
（Ab，Ba，Cd，Dc），（Ab，Bd，Ca，Dc），（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Ba，Cd，Db），（Ac，Bd，Ca，Db），（Ac，Bd，Cd，Da），（Ad，Ba，Cb，Dc），（Ad，Bc，Ca，Db），（Ad，Bc，Cd，Da），
A的小孩與D交談包含的不同組合有3種，分別為：（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Bd，Cd，Da），（Ad，Bc，Cd，Da），
∴A的小孩與D交談的概率是P＝＝．
故選：A．
17．（2023?寧波模擬）已知甲盒中有2個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，乙盒中有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，記事件A＝“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則P（A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)白球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)紅球或黑球的概率為P1＝×＝，
從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)紅球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)白球或黑球的概率為P2＝×＝，
從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)黑球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)白球或紅球的概率為P3＝×＝，
則P（A）＝P1+P2+P3＝++＝，
故選：D．
18．（2023?安徽模擬）老師排練節(jié)目需要4個(gè)男生和2個(gè)女生，將這六名學(xué)生隨機(jī)排成一排，2個(gè)女生不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：4個(gè)男生和2個(gè)女生隨機(jī)排成一行，則6名學(xué)生共有種排法，
若2個(gè)女生不相鄰，先排4個(gè)男生有種排法，4個(gè)男生產(chǎn)生5個(gè)空，
將2個(gè)女生插入5個(gè)空中有種排法，故有種排法，
所以2個(gè)女生不相鄰的概率．
故選：A．
六．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共3小題）
19．（2023?貴陽(yáng)模擬）從，這五個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和大于的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從，，，，這五個(gè)分?jǐn)?shù)中任選兩個(gè)數(shù)，則有：
{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，共10種情況，
其中這兩個(gè)數(shù)的和大于的有{，}，{，}，{，}，{，}，共4種情況，
故這兩個(gè)數(shù)的和大于的概率為．
故選：B．
20．（2023?廣東模擬）某公司在某地區(qū)進(jìn)行商品A的調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位購(gòu)買商品A的顧客的性別，其中男性顧客18位，已知該地區(qū)商品A的購(gòu)買率為10%，該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人是男性，求此人購(gòu)買商品A的概率 ．
【解答】解：設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人是男性為事件B，此人購(gòu)買商品A為事件C，
則該地區(qū)男性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?﹣46%＝54%，
則P（B）＝54%，，
由條件概率公式可得．
故答案為：．
21．（2023?廣州模擬）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時(shí)的中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)．已知A社區(qū)有56%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，B社區(qū)有65%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，C社區(qū)有70%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，且A，B，C三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為5：6：9．
（1）從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的概率；
（2）假設(shè)這三個(gè)社區(qū)每名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X（單位：小時(shí)），且X～N（5.5，σ2）．現(xiàn)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率．
【解答】解：（1）設(shè)這3個(gè)社區(qū)的人數(shù)分別為5x，6x，9x，
則A，B，C社區(qū)超過5h的人數(shù)分別為5x×56%＝2.8x，6x×65%＝3.9x，9x×70%＝6.3x，
故從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的概率P＝＝；
（2）因?yàn)閄～N（5.5，σ2），
所以P（X＞5.5）＝，
由（1）P（X＞5）＝0.65，
故P（5＜X＜5.5）＝0.15，
所以P（5＜X＜6）＝0.3，P（X≥6或X≤5）＝0.7，
故從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率P＝+0.33＝0.216．
七．幾何概型（共3小題）
22．（2023?涼山州模擬）在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則2a+b＞2的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：依題意，點(diǎn)（a，b）在約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)，
不等式組表示的平面區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，其中OA＝1，如圖，
滿足2a+b＞2的事件M是正方形OABC內(nèi)，直線2x+y＝2右側(cè)的△ABD內(nèi)部的點(diǎn)形成的陰影區(qū)域，
由得，即，則△ABD的面積，而，
所以2a+b＞2的概率．
故選：A．
23．（2023?興慶區(qū)校級(jí)四模）已知A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）是平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)，在四邊形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和小于5的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖所示：
四邊形ABCD構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳（x，y）|1＜x＜5，1＜y＜5}，其面積為S＝4×4＝16，
設(shè)事件M表示取的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和小于5，
則構(gòu)成圖中的陰影部分，其面積為，
所以P（M）＝＝．
故選：A．
24．（2023?河西區(qū)二模）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為 2 ；設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，則事件M發(fā)生的概率為 ．
【解答】解：（1）X的可能取值為：0，1，2，3．
P（X＝0）＝（）3（）0＝，P（X＝1）＝（）2（）1＝，
P（X＝2）＝（）（）2＝，P（X＝3）＝（）0（）3＝，
∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝2；
（2）M＝“甲3天到校且乙1天到?！被颉凹?天到校且乙0天到校”，
∴P（M）＝（）3?（）2（）+（）（）2?（）3＝．
故答案為：2，．
八．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共2小題）
25．（2023?湖北模擬）某同學(xué)喜愛球類和游泳運(yùn)動(dòng)．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)A＝“上午打球”，B＝“下午游泳”，
則P（AB）＝，P（B）＝，
故P（B）＝×1+×＝，
故P（A|B）＝＝＝．
故選：C．
26．（2023?浙江模擬）班級(jí)舉行知識(shí)競(jìng)猜闖關(guān)活動(dòng)，設(shè)置了A，B，C三個(gè)問題．答題者可自行決定答三題順序．甲有60%的可能答對(duì)問題A，80%的可能答對(duì)問題B，50%的可能答對(duì)問題C．記答題者連續(xù)答對(duì)兩題的概率為p，要使得p最大，他應(yīng)該先回答（ ）
A．問題AB．問題B
C．問題A，B和C都可以D．問題C
【解答】解：①若先回答問題A，則答題順序可能為A，B，C和A，C，B，
當(dāng)答題順序?yàn)锳，B，C且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.6×0.8×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.8×0.5＝0.4；
當(dāng)答題順序?yàn)锳，C，B且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.6×0.5×（1﹣0.8）+（1﹣0.6）×0.5×0.8＝0.22；
所以先回答問題A，連對(duì)兩題的概率為0.4+0.22＝0.62；
②若先回答問題B，則答題順序可能為B，A，C和B，C，A，
當(dāng)答題順序?yàn)锽，A，C且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.8×0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.8）×0.6×0.5＝0.3；
當(dāng)答題順序?yàn)锽，C，A且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.8×0.5×（1﹣0.6）+（1﹣0.8）×0.5×0.6＝0.22；
所以先回答問題B，連對(duì)兩題的概率為0.3+0.22＝0.52；
③若先回答問題C，則答題順序可能為C，A，B和C，B，A，
當(dāng)答題順序?yàn)镃，A，B且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.5×0.6×（1﹣0.8）+（1﹣0.5）×0.6×0.8＝0.3；
當(dāng)答題順序?yàn)镃，B，A且連對(duì)兩題時(shí)，p＝0.5×0.8×（1﹣0.6）+（1﹣0.5）×0.8×0.6＝0.4；
所以先回答問題C，連對(duì)兩題的概率為0.3+0.4＝0.7；
因?yàn)?.7＞0.62＞0.52，所以要使p最大，應(yīng)先回答問題C．
故選：D．
九．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率（共2小題）
27．（2023?郴州模擬）籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意可知每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率都為，
由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
則概率為．
故選：D．
28．（多選）（2023?天河區(qū)三模）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n（n∈N*）局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為．若某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P（n），則（ ）
A．
B．
C．
D．P（n）的最小值為
【解答】解：由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏n+1局，
P（n）＝（）2n（+???+），
∵+＝22n，
∴P（n）＝，故C正確；
P（2）＝＝，故A正確；
P（3）＝＝，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)n＝1時(shí)，P（1）＝＝，
由A知P（2）＞P（1），∴P（n）的最大值不是，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
一十．條件概率與獨(dú)立事件（共2小題）
29．（2023?南崗區(qū)校級(jí)二模）已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P（A）＝x，
由全概率公式，P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），
即0.3＝0.9x+0.2（1﹣x）＝0.7x+0.2，解可得x＝，
則＝1﹣P（A）＝．
故選：B．
30．（2023?瓊海校級(jí)模擬）東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個(gè)天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來(lái)到同沙生態(tài)公園旅游，分別準(zhǔn)備從映翠湖、十里河塘、計(jì)生雕塑園和鷺鳥天堂4個(gè)旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件B：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：甲和乙至少一人選擇映翠湖對(duì)應(yīng)的基本事件有4×4﹣3×3＝7個(gè)，
∵甲和乙選擇的景點(diǎn)不同對(duì)應(yīng)的基本事件有個(gè)，
∴P（B|A）＝．
故選：C．
一十一．全概率公式（共2小題）
31．（2023?龍泉驛區(qū)模擬）據(jù)美國(guó)的一份資料報(bào)道，在美國(guó)總的來(lái)說(shuō)患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（ ）
A．0.025%B．0.032%C．0.048%D．0.02%
【解答】解：設(shè)不吸煙患肺癌的概率為x，
則0.2×0.004+0.8x＝0.001，
解得x＝0.00025＝0.025%．
故選：A．
32．（2023?河源模擬）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球．若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個(gè)球，設(shè)事件Ai為第一次取出的球?yàn)閕號(hào)，事件Bi為第二次取出的球?yàn)閕號(hào)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由題意得，P（A3）＝，P（B3）＝＝，
P（A3B3）＝＝，
P（B3|A3）＝，
故ABD正確，C錯(cuò)誤．
故選：C．
一十二．離散型隨機(jī)變量及其分布列（共4小題）
33．（2023?貴州模擬）據(jù)世界田聯(lián)官方網(wǎng)站消息，原定于2023年5月13、14日在中國(guó)廣州舉辦的世界田聯(lián)接力賽延期至2025年4月至5月舉行．據(jù)了解，甲、乙、丙三支隊(duì)伍將會(huì)參加2025年4月至5月在廣州舉行的4×400米接力的角逐．接力賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和．
（1）甲、乙、丙三隊(duì)中，誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大；
（2）設(shè)甲、乙、丙三隊(duì)中進(jìn)入決賽的隊(duì)伍數(shù)為ξ，求ξ的分布列．
【解答】解：（1）甲隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為，
乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為，
丙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率為，
顯然乙隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲、乙、丙三隊(duì)進(jìn)入決賽的概率分別為，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
故ξ的分布列為：
34．（2023?晉江市校級(jí)模擬）某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分．已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為．
（1）在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為X，求X的概率分布列；
（2）求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率．
【解答】解：（1）由題意可知，X可能取值為0，1，2，3，
當(dāng)X＝0時(shí)，則前三場(chǎng)比賽都輸或前三場(chǎng)比賽贏一場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽輸，
則P（X＝0）＝（1﹣）3+××（1﹣）2（1﹣）＝，
當(dāng)X＝1時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽輸，
則P（X＝1）＝×（）2×（1﹣）2（1﹣）＝；
當(dāng)X＝2時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽贏，
則P（X＝2）＝×（）2（1﹣）2×＝，
當(dāng)X＝3時(shí)，前三場(chǎng)比賽都贏或前三場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽贏，
則P（X＝3）＝（）3+×（）2（1﹣）×＝，
故X的概率分布列如下：
（2）設(shè)甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為事件A，
則甲的三場(chǎng)比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故P（A）＝3×××+×××+3×××＝，
故甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為．
35．（2023?常德二模）某大學(xué)一個(gè)專業(yè)團(tuán)隊(duì)為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A、B、C三種軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊(duì)調(diào)查了這個(gè)專業(yè)大一四個(gè)班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：
（1）從這12人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)的概率；
（2）從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時(shí)間每人選擇一款軟件，其中選A、B兩個(gè)軟件學(xué)習(xí)的概率都是，且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨(dú)立的．設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件C的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）從12人中抽取2個(gè)的所有選法有＝66種
記：“這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)”為事件A，則A包含的結(jié)果有＝13種
∴P（A）＝
（2）由題意可得，每人選擇C的概率為1﹣2×＝
則ξ～B（3，）
∴P（ξ＝k）＝（k＝0，1，2，3）
∴Eξ＝3×＝2
36．（2023?南通二模）設(shè)（X，Y）是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為（ai，bj），其中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），稱pij（i，j∈N*）是二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：
現(xiàn)有n（n∈N*）個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為X，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為Y．
（1）當(dāng)n＝2時(shí)，求（X，Y）的聯(lián)合分布列；
（2）設(shè)pk＝（X＝k，Y＝m），k∈N且k≤n，計(jì)算．
【解答】解：（1）由題意知X可取0，1，2，Y可取0，1，2，
則P（X＝0，Y＝0）＝＝，
P（X＝0，Y＝1）＝＝，
P（X＝0，Y＝2）＝＝，
P（X＝1，Y＝0）＝＝，
P（X＝1，Y＝1）＝＝，
P（X＝2，Y＝0）＝＝，
P（X＝1，Y＝2）＝P（X＝2，Y＝1）＝P（X＝2，Y＝2）＝0，
∴（X，Y）的聯(lián)合分布列為：
（2）當(dāng)k+m＞n時(shí)，P（X＝k，Y＝m）＝0，
∴pk＝（X＝k，Y＝m）＝
＝＝＝＝，
∴＝，
設(shè)Z～B（n，），則由二項(xiàng)分布的期望公式得＝E（Z）＝．
一十三．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共12小題）
37．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)．在測(cè)試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為50%．
（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納．現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取3個(gè)，以ξ表示抽取
的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為10%，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率．
【解答】解：（1）易知ξ的所有取值為0，1，2，3，
此時(shí)P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，
所以ξ的分布列為：
則E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝；
（2）（i）記“輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，
記“輸入的問題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件B，
記“ChatGPT的回答被采納”為事件C，
易知P（B）＝0.1，
所以P（A）＝0.9，P（C|A）＝0.85，P（C|B）＝0.5，
則P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝0.9×0.85+0.1×0.5＝0.815；
（ii）若ChatGPT的回答被采納，
則該問題的輸入沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率P（A|C）＝＝＝＝．
38．（2023?靜安區(qū)二模）概率統(tǒng)計(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用廣泛．請(qǐng)解決下列兩個(gè)問題．
（1）隨著中小學(xué)“雙減”政策的深入人心，體育教學(xué)和各項(xiàng)體育鍛煉迎來(lái)時(shí)間充沛的春天．某初中學(xué)校學(xué)生籃球隊(duì)從開學(xué)第二周開始每周進(jìn)行訓(xùn)練，第一次訓(xùn)練前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒有用過的球），3個(gè)是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練，都是從中不放回任意取出2個(gè)籃球，訓(xùn)練結(jié)束后放回原處．設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布和期望．
（2）由于手機(jī)用微波頻率信號(hào)傳遞信息，那么長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)是否會(huì)增加得腦瘤的概率？研究者針對(duì)這個(gè)問題，對(duì)腦瘤病人進(jìn)行問卷調(diào)查，詢問他們是否總是習(xí)慣在固定的一側(cè)接聽電話？如果是，是哪邊？結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話．其中腦瘤部位在左側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有14人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有19人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話的有27人．
根據(jù)上述信息寫出下面這張2×2列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對(duì)患腦瘤在左右側(cè)的部位是否與習(xí)慣在該側(cè)接聽手機(jī)電話相關(guān)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．（顯著性水平α＝0.05）
參考公式及數(shù)據(jù)：K，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．
【解答】解：（1）第一次訓(xùn)練時(shí)所取的球是從6個(gè)球（3新，3舊）中不放回取出2個(gè)球，所以ξ可取的值為0，1，2，
，
則分布列如下：
則期望為；
（2）由題目條件可得列聯(lián)表如下：
則，故長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)與是否得腦瘤沒有顯著關(guān)系．
39．（2023?湖北模擬）高性能計(jì)算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國(guó)內(nèi)某企業(yè)已快速啟動(dòng)AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)和人工檢測(cè)．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包括安全檢測(cè)、蓄能檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，且智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，人工檢測(cè)僅對(duì)智能檢測(cè)達(dá)標(biāo)（即三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)．人工檢測(cè)綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為p（0＜p＜1）．
（1）求每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；
（2）人工檢測(cè)抽檢50個(gè)AI芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為f（p），當(dāng)p＝p0時(shí)，f（p）取得最大值，求p0；
（3）若AI芯片的合格率不超過93%，則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的p0作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
【解答】解：（1）記事件A＝“每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)”，則．
（2）由題意，
則f'（p）＝50[（1﹣p）49+p×49（1﹣p）48×（﹣1）]＝50（1﹣p）48（1﹣50p），
令f'（p）＝0，則，
當(dāng)，f'（p）＞0，f（p）為增函數(shù)；
當(dāng)，f'（p）＜0，f（p）為減函數(shù)；
所以f（p）在處取到最大值．
（3）記事件B＝“人工檢測(cè)達(dá)標(biāo)”，
則，
又，
所以，
故需要對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
40．（2023?湖北模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：
（1）根據(jù)α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？
（2）在人工智能中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比．現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，A表示“選到的學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀”，B表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)L（B|A）的值．
（3）現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求這3人中，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：．
【解答】解：（1）零假設(shè)H0：數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)無(wú)關(guān)，
據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：，
根據(jù)小概率值α＝0.010的χ2的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)；
（2）∵，
∴估計(jì)L（B|A）的值為；
（3）按分層抽樣，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的5人，語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀的3人，
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，
則，，，，
∴X的概率分布列為：
∴數(shù)學(xué)期望．
41．（2023?深圳二模）飛盤運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門簡(jiǎn)單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的新潮流．某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表：
（1）在上述愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)解釋其中的原因．
附：，其中n＝a+b+c+d．
．
【解答】解：（1）樣本中愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中男性16人，女性24人，比例為4：6，
按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人，
隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，3，
，
，
，
，
隨機(jī)變量X的分布列為：
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；
（2）零假設(shè)為H0：愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)聯(lián)．
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)聯(lián)；
列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍后，
，
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0成立，即認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)；
所以結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來(lái)的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．
42．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟．某校成立了A，B兩個(gè)研究性小組，分別設(shè)計(jì)和開發(fā)不同的AI軟件用于識(shí)別音樂的類別：“古典音樂”、“流行音樂”、“民族音樂”．為測(cè)試AI軟件的識(shí)別能力，計(jì)劃采取兩種測(cè)試方案．
方案一：將100首音樂隨機(jī)分配給A，B兩個(gè)小組識(shí)別，每首音樂只被一個(gè)AI軟件識(shí)別一次，并記錄結(jié)果；
方案二：對(duì)同一首音樂，A，B兩組分別識(shí)別兩次，如果識(shí)別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測(cè)試通過．
（Ⅰ）若方案一的測(cè)試結(jié)果顯示：正確識(shí)別的音樂數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識(shí)別的音樂數(shù)中，A組占；在錯(cuò)誤識(shí)別的音樂數(shù)中，B組占．
（ⅰ）用頻率估計(jì)概率，兩個(gè)研究性小組的AI軟件每次能正確識(shí)別音樂類別的概率分別為多少？
（ⅱ）利用（?。┲械慕Y(jié)論，求方案二在一次測(cè)試中獲得通過的概率；
（Ⅱ）若方案一的測(cè)試結(jié)果如下：
在A小組、B小組識(shí)別的歌曲中各任選一首，記X1，X2分別為A小組、B小組正確識(shí)別的數(shù)量，試比較E（X1）和E（X2）的大小．（直接寫出結(jié)果即可）
【解答】解：（Ⅰ）（i）對(duì)于方案一，設(shè)A、B兩個(gè)研究性小組的AI軟件每次能正確識(shí)別音樂類別的概率分別為P1、P2，
100首音樂中，正確被識(shí)別的數(shù)量為首，錯(cuò)誤被識(shí)別數(shù)量為100﹣60＝40首，
其中A組識(shí)別正確的數(shù)量為首，B組識(shí)別正確的數(shù)量為60﹣40＝20首，
其中A組識(shí)別錯(cuò)誤的數(shù)量為 首，B組識(shí)別錯(cuò)誤的數(shù)量為 首，
故 ，．
（ii）記事件D：方案二在一次測(cè)試中獲得通過，則P（D）＝（）2××（）2+×××（）2+（）2×（）2＝．
（Ⅱ）由題意可知，A小組識(shí)別正確的歌曲數(shù)量為首，
B小組識(shí)別正確的歌曲數(shù)量為首，
由題意可知，X1、X2均服從超幾何分布，且X1～H（3，24，40），X2～H（3，36，60），
根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，，
因此，E（X1）＝E（X2）．
43．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個(gè)小球，其中兩個(gè)紅球兩個(gè)白球的概率為，三個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為．
（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，求抽到紅球的概率；
（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個(gè)或三個(gè)小球，已知抽到兩個(gè)小球的概率為，抽到三個(gè)小球的概率為，所抽到的小球中，每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記﹣1分，用X表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）記事件A表示“抽取一個(gè)小球且為紅球”，B1表示“箱子中小球?yàn)閮杉t兩白”，B2表示“箱子中小球?yàn)槿t一白”，
則．
（2）由題意得X的取值可以為﹣2，0，1，3，4，6，
，，，
，，．
隨機(jī)變量X的分布列為：
所以X的分布列及數(shù)學(xué)期望為：．
44．（2023?福鼎市校級(jí)一模）“斯諾克（Snker）”是臺(tái)球比賽的一種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺(tái)球有時(shí)也被稱為障礙臺(tái)球，是四大“紳士運(yùn)動(dòng)”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運(yùn)動(dòng)之一．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開球（例如：若第一局甲開球，則第二局乙開球，第三局甲開球……），沒有平局．已知在甲的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，在乙的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，并且通過“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開球權(quán)．
（1）求甲以3：1贏得比賽的概率；
（2）設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為ξ，求E（ξ）．
【解答】解：（1）甲以3：1贏得比賽，則前3局中甲贏得了2局，第4局甲獲勝，
所以甲以3：1贏得比賽的概率為．
（2）ξ的可能取值為3，4，5，
設(shè)甲獲勝的概率為P甲，乙獲勝的概率為P乙，
；；；；
；；
則，
所以．
45．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）現(xiàn)有4個(gè)除顏色外完全一樣的小球和3個(gè)分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個(gè)球全部隨機(jī)放入三個(gè)盒子中（允許有空盒）．
（1）記盒子乙中的小球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；
（2）對(duì)于兩個(gè)不互相獨(dú)立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，稱為事件M，N的相關(guān)系數(shù)．
①若ρ（M，N）＞0，求證：P（M|N）＞P（M）；
②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有兩個(gè)盒子不空，求ρ（M，N）．
【解答】解：（1）由題意可知，X的可能的取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，），
故E（X）＝4×．
（2）①因?yàn)?，且ρ（M，N）＞0，
所以P（MN）﹣P（M）P（N）＞0，即＞P（M），而P（M|N）＝，
所以P（M|N）＞P（M）成立．
②事件M：盒子乙不空，則事件：盒子乙空，
由第1問可知P（）＝＝，所以P（M）＝1﹣P（）＝，
事件N：至少有兩個(gè)盒子不空，則事件：有一個(gè)盒子不空，
P（）＝，所以P（N）＝1﹣P（）＝，
事件MN：至少有兩個(gè)盒子不空且盒子乙不空，分為兩種情況，一種是三個(gè)盒子都不空，按照1、1、2分組；另一種是兩個(gè)盒子不空且乙不空，此時(shí)甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分組即可，
故P（MN）＝+＝，
所以ρ（M，N）＝＝．
46．（2023?浙江模擬）某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知甲組兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．
（1）若p1＝，p2＝，求他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率；
（2）若p1+p2＝，則在游戲中，甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號(hào)，理論上他們小組至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)p1，p2的值．
【解答】解：（1）每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，則可能的情況有①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投中兩次，
∵p1＝，p2＝，
∴他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率為?（）2×（）2+（）2×××+（）2×（）2＝；
（2）由題意得他們?cè)谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率p＝?p1（1﹣p1）+?p2（1﹣p2）+?＝2p1p2（p1+p2）﹣3?，
∵p1+p2＝，∴p＝p1p2﹣3?，
又0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2＝，則≤p1≤1，
令m＝p1p2＝﹣+p1＝﹣（p1﹣）2+，則m∈[，]，
∴p＝y(tǒng)（m）＝﹣3m2+m＝﹣3（m﹣）2+，
∴p＝﹣3m2+m在[，]上單調(diào)遞增，則pmax＝y(tǒng)（）＝，
∴他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的次數(shù)ξ滿足ξ～B（n，p），
∵np＝297，則n＝≥＝625，
∴理論上至少要進(jìn)行625輪游戲，且p1+p2＝，p1p2＝，解得p1＝p2＝，
故理論上他們小組至少要進(jìn)行625輪游戲才行，此時(shí)p1＝p2＝．
47．（2023?湖南模擬）國(guó)產(chǎn)科幻電影《流浪地球2》在給觀眾帶來(lái)視覺震撼的同時(shí)，也引領(lǐng)觀眾對(duì)天文，航天、數(shù)字科技等領(lǐng)域展開了無(wú)限遐想，某校為激發(fā)學(xué)生對(duì)天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識(shí)的興趣，舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽（競(jìng)賽試題中天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識(shí)題量占比分別為40%，40%，20%）．某同學(xué)回答天文、航天、數(shù)字科技這三類問題中每個(gè)題的正確率分別為，，．
（1）若該同學(xué)在該題庫(kù)中任選一題作答，求他回答正確的概率；
（2）若該同學(xué)從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯(cuò)誤不得分，設(shè)該同學(xué)回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）設(shè)所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識(shí)的題目分別為事件A1，A2，A3，
所選的題目回答正確為事件B，
則P（B）＝P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）
＝，
所以該同學(xué)在該題庫(kù)中任選一題作答，他回答正確的概率為；
（2）X的可能取值為0，2，4，6，
，
，
，
，
則X的分布列為：
所以．
48．（2023?東方校級(jí)模擬）為了解某班學(xué)生喜愛打羽毛球是否與性別有關(guān)，故對(duì)本班60名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：
已知在全班60人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打羽毛球的學(xué)生的概率為．
（1）請(qǐng)將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛打羽毛球與性別有關(guān)；
（2）采用分層抽樣的方法在喜愛打羽毛球的學(xué)生中抽取5人，再選出2人參加學(xué)校組織的羽毛球比賽，記選出的2人中女生數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）因?yàn)槿?0人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打羽毛球的學(xué)生的概率為，
所以喜愛打羽毛球的學(xué)生的人數(shù)為40，其中男生為24人，女生16人，
故可得到2×2列聯(lián)表：
又，
所以沒有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛打羽毛球與性別有關(guān)．
（2）用分層抽樣的方法在喜愛打羽毛球的學(xué)生中抽取5人，其中男生3人，女生2人，所以X的可能取值為0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列為：
X的數(shù)學(xué)期望．
一十四．二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型（共3小題）
49．（2023?雨花區(qū)校級(jí)一模）若，則當(dāng)k＝0，1，2，…，100時(shí)（ ）
A．P（X＝k）≤P（X＝50）B．P（X＝k）≤P（X＝32）
C．P（X＝k）≤P（X＝33）D．P（X＝k）≤P（X＝49）
【解答】解：根據(jù)題意可知，
，
即，解得，
又k為整數(shù)，故k＝33，
即P（X＝k）≤P（X＝33）．
故選：C．
50．（2023?濟(jì)南三模）已知隨機(jī)變量X，Y，其中X～B（6，），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），P（|Y|＜2）＝0.3，則P（Y＞6）＝ 0.2 ．
【解答】解：X～B（6，），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），
則μ＝，
P（|Y|＜2）＝0.3，
則P（﹣2＜Y＜2）＝0.3，
故P（2＜Y＜6）＝P（﹣2＜Y＜2）＝0.3，
所以P（Y＞6）＝P（Y＞2）﹣P（2＜Y＜6）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故答案為：0.2．
51．（2023?湖北模擬）已知隨機(jī)變量X服從B（9，0.6），則當(dāng)k＝ 5或6 時(shí)，概率P（X＝k）最大．
【解答】解：隨機(jī)變量X服從B（9，0.6），
則P（X＝k）＝，
概率P（X＝k）最大，
則P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），
即≥
且≥，
即2（k+1）≥27﹣3k且3（10﹣k）≥2k，解得5≤k≤6，
∵k∈N，
∴k＝5或k＝6．
故答案為：5或6．
一十五．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義（共6小題）
52．（2023?保定三模）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ≤0）＝0.2，則P（2＜ξ≤4）等于（ ）
A．0.8B．0.6C．0.4D．0.3
【解答】解：因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ≤0）＝0.2，
所以P（ξ＞4）＝0.2，所以＝0.3．
故選：D．
53．（2023?長(zhǎng)春模擬）已知隨機(jī)變量X～N（2，σ2），且P（X≤4）＝0.84，則P（0＜X≤4）＝（ ）
A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16
【解答】解：由 P（X≤4）＝0.84，知 P（X≥4）＝P（X≤0）＝0.16，
故 P（0＜X≤4）＝1﹣P（X≥4）﹣P（X≤0）＝1﹣0.32＝0.68．
故選：B．
54．（2023?佛山模擬）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，X～N（μ1，62），Y～N（μ2，22）．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（ ）
A．D（X）＝6B．μ1＞μ2
C．P（X≤38）＜P（Y≤38）D．P（X≤34）＜P（Y≤34）
【解答】解：由X～N（μ1，62），得D（X）＝36，A錯(cuò)誤；
由正態(tài)密度曲線圖像可知，μ1＝30，μ2＝34，μ1＜μ2，B錯(cuò)誤；
由正態(tài)密度曲線圖像可知，1﹣P（X≤38）＞1﹣P（Y≤38），所以P（X≤38）＜P（Y≤38），C正確；
由正態(tài)密度曲線圖像可知，P（X≤34）＞，P（Y≤34）＝，所以P（X≤34）＞P（Y≤34），D錯(cuò)誤．
故選：C．
55．（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）2023年國(guó)家公務(wù)員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)和申論兩科，滿分均為100分，行政職業(yè)能力測(cè)驗(yàn)中，考生成績(jī)X服從正態(tài)分N（80，σ2）．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績(jī)高于85的概率為 ．
．
【解答】解：∵考生成績(jī)X服從正態(tài)分N（80，σ2），
∴P（X＞85）＝＝＝，
∴從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績(jī)高于85的概率為＝．
故答案為：．
56．（2023?廣州二模）某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X（單位：分）服從正態(tài)分布N（80，σ2），且成績(jī)?cè)赱80，90]上的學(xué)生人數(shù)為16，則成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生人數(shù)為 8 ．
【解答】解：由X（單位：分）服從正態(tài)分布N（80，σ2），知正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸為X＝80，成績(jī)?cè)赱80，90]上的學(xué)生人數(shù)為16，
由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?0分上的學(xué)生人數(shù)為24人，所以90分以上的學(xué)生人數(shù)為24﹣16＝8．
故答案為：8．
57．（2023?山西模擬）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞m），則（x+m）6的展開式中x的系數(shù)為 192 ．
【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞m），
所以，故m＝2，
二項(xiàng)式（x+2）6展開式的通項(xiàng)，
令6﹣k＝1，可得k＝5，
所以（x+2）6展開式中x的系數(shù)為，
故答案為：192．
一十六．概率的應(yīng)用（共3小題）
58．（多選）（2023?金安區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除編號(hào)外沒有其它差異．每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個(gè)球．設(shè)“第一次摸到的球的編號(hào)為2”為事件A，“第二次摸到的球的編號(hào)為奇數(shù)”為事件B，“兩次摸到的球的編號(hào)之和能被3整除”為事件C，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．事件B與事件C相互獨(dú)立
C．
D．事件A與事件B互為對(duì)立事件
【解答】解：根據(jù)題意，從4個(gè)球中任意摸球兩次，每次摸球后放回，則有4×4＝16個(gè)基本事件，
則事件A包含4個(gè)基本事件，事件B包含8個(gè)基本事件，
事件C包含：（3，3）、（1，2）、（2、1），（4，2）、（2，4），共5個(gè)基本事件，
由此分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，易得P（C）＝；
對(duì)于B，P（B）＝，P（BC）＝，P（B）P（C）≠P（BC），B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，P（A）＝，P（AC）＝＝，則P（C|A）＝＝＝，C正確；
對(duì)于D，事件A、B可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
59．（多選）（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)盒子中裝有a個(gè)黑球和b個(gè)白球（a，b均為不小于2的正整數(shù)），現(xiàn)從中先后無(wú)放回地取2個(gè)球．記“第一次取得黑球”為A1，“第一次取得白球”為A2，“第二次取得黑球”為B1，“第二次取得白球”為B2，則（ ）
A．
B．
C．P（B1|A1）+P（B2|A1）＜1
D．P（B2|A1）+P（B1|A2）＞1
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，A1B2即第一次取得黑球，第二次取得白球，則P（A1B2）＝×＝，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，A2B1即第一次取得白球，第二次取得黑球，則P（A2B1）＝×＝×，B正確；
對(duì)于C，P（B1|A1）+P（B2|A1）＝+＝1，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，P（B2|A1）+P（B1|A2）＝+＝1﹣+＝1+＞1，D正確．
故選：BD．
60（多選）．（2023?吉林模擬）某商場(chǎng)開業(yè)期間舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知抽獎(jiǎng)箱中有30張獎(jiǎng)券，其中有5張寫有“中獎(jiǎng)”字樣．假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完之后乙再抽，記A表示甲中獎(jiǎng)，B表示乙中獎(jiǎng)，則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，P（AB）＝P（A）P（B|A）＝×＝，A正確；
對(duì)于B，P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝＝，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，P（A|B）＝＝＝，C正確；
對(duì)于D，P（B|A）＝＝＝，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
一、條件概率的性質(zhì)
設(shè)P(A)>0，則
①
②如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則
③設(shè)和互為對(duì)立事件，則
二、離散型隨機(jī)變量的期望
1.定義：
一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為
則稱…… 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．
2．性質(zhì)：
①；
②若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有；
的推導(dǎo)過程如下：：
的分布列為
于是……
＝……)……)＝
∴。
三、正態(tài)分布
1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，（）
其中x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.
2．正態(tài)分布
（1）定義
如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)隨機(jī)變量滿足：，
則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。記為。
（2）正態(tài)分布的期望與方差
若，則的期望與方差分別為：，。
3. 正態(tài)曲線
如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(Ceq \\al(0,M)Ceq \\al(n－0,N－M),Ceq \\al(n,N))
eq \f(Ceq \\al(1,M)Ceq \\al(n－1,N－M),Ceq \\al(n,N))
…
eq \f(Ceq \\al(m,M)Ceq \\al(n－m,N－M),Ceq \\al(n,N))
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)P0qn
Ceq \\al(1,n)P1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)Pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)Pnq0
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
摸棋子
5個(gè)白
4個(gè)白
3個(gè)白
其它
彩金
20元
2元
紀(jì)念品（價(jià)值5角）
同樂一次（無(wú)任何獎(jiǎng)品）
ξ
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
班級(jí)
一
二
三
四
人數(shù)
3
2
3
4
Y/X
b1
b2
b3
…
a1
p1，1
p1，2
p1，3
…
a2
p2，1
p2，2
p2，3
…
a3
p3，1
p3，2
p3，3
…
…
…
…
…
…
（X，Y）
0
1
2
0



1


0
2

0
0
0
1
2
3
P
習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話
習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話
總計(jì)
腦瘤部位在左側(cè)的病人
a
b
42
腦瘤部位在右側(cè)的病人
c
d
46
總計(jì)
a+c
b+d
88
ξ
0
1
2
P



習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話
習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話
總計(jì)
腦瘤部位在左側(cè)的病人
14
28
42
腦瘤部位在右側(cè)的病人
19
27
46
總計(jì)
33
55
88
語(yǔ)文成績(jī)
合計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績(jī)
優(yōu)秀
50
30
80
不優(yōu)秀
40
80
120
合計(jì)
90
110
200
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
性別
飛盤運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
不愛好
愛好
男
6
16
22
女
4
24
28
合計(jì)
10
40
50
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P




音樂類別
A小組
B小組
測(cè)試音樂數(shù)量
正確識(shí)別比例
測(cè)試音樂數(shù)量
正確識(shí)別比例
古典音樂
10
40%
24
50%
流行音樂
10
40%
20
50%
民族音樂
20
80%
16
87.5%
X
﹣2
0
1
3
4
6
P
X
0
2
4
6
P
喜愛
不喜愛
合計(jì)
男
6
女
16
合計(jì)
60
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
喜愛
不喜愛
合計(jì)
男
24
6
30
女
16
14
30
合計(jì)
40
20
60
X
0
1
2
P
…
…
P
…
…
…
…
…
…
P
…
…

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