1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意得但∴．
故選：A.
2. 在復平面內對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由題意得，所以在復平面內對應點位于第四象限．
故選：D.
3. 2024年6月至10月全國進出口總值同比增長速度依次為，，則該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：，
由題意得該組數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，
則該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為．
故選：B.
4. 將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意得
故選：C.
5. 已知奇函數(shù)的定義域為，且在上的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】令得或.
如圖，畫出在上的圖象與直線，直線．
由圖可知，的圖象與直線有5個公共點，
的圖象與直線僅有1個公共點，
則的零點個數(shù)為．
故選：B.
6. 已知是橢圓的右焦點，若過點且垂直于軸的直線被截得的弦長等于點到直線距離的一半，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，過點且垂直于軸的直線被截得的弦長為，
則，得，
即，所以的離心率為．
故選：C.
7. 已知函數(shù)，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由題意得的定義域為，，
因為，所以恒成立，所以是減函數(shù)．
又因為，
由單調性可知，．
故選：B.
8. 《九章算術》是我國古代數(shù)學名著之一，其中記載了關于粟米分配的問題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（ ）
A. 715種B. 572種C. 312種D. 286種
【答案】D
【解析】本題可轉化為將14個大小相同，質地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個人，每人至少分1個，利用隔板法在中間13個空隙（兩端除外）當中插入3個隔板，可得分配的方案數(shù)為，所以不同的分配方法有286種．
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知的內角的對邊分別為為的中點，，則（ ）
A. B.
C. 的面積為D.
【答案】ABD
【解析】因為為的中點，所以，則，A正確．由余弦定理得，則，B正確；
由，得，所以，C錯誤；
由，得，則，D正確．
故選：ABD.
10. 已知分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線與雙曲線的上支交于兩點，的長等于實軸長的2倍，且，則（ ）
A. 的焦距為
B. 的漸近線方程為
C.
D. 的周長為
【答案】CD
【解析】
由題意得，由雙曲線定義得
所以．
由，得，即．
即解方程組得
所以．
由，得，得，，
所以的焦距為，漸近線方程為，，故A、B錯誤，C正確；
又的周長為，故D正確；
故選：CD.
11. 已知正三棱錐外接球的表面積為，則下列結論正確的是（ ）
A. 正三棱錐外接球的體積為
B. 當時，點到底面距離為2
C. 若滿足條件的正三棱錐存在兩個，則
D. 正三棱錐體積的最大值為
【答案】ACD
【解析】設正三棱錐外接球的球心為，半徑為．由，得，所以正三棱錐外接球的體積為，A正確；
設，點到底面距離為，則外接圓的半徑為，
點到球心的距離為，由，得，
當時，，得，B錯誤；
若滿足條件的正三棱錐存在兩個，則方程有兩個正解，
則Δ=36?43a2>0,h1+h2=6>0,h1h2=13a2>0,解得，C正確；
由，得，則正三棱錐的體積為．
設函數(shù)，則，得在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，D正確．
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若，則______，______．
【答案】 3
【解析】由，得，
所以．
故答案為：3；.
13. 在正方體中，是上靠近的三等分點，則直線與平面所成角的正弦值為______．
【答案】
【解析】如圖，
連接．平面，所以直線與平面所成的角為．
設，易得，
，
所以．
故答案為：.
14. 若，則______．
【答案】3
【解析】兩邊同時除以得，
得．
令函數(shù)，則，
令，．
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以．
易得，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞增，
所以．
因為，
所以，得．
故答案為：3.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎．已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結果相互獨立．
（1）求顧客中獎的概率；
（2）若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數(shù)的分布列及數(shù)學期望．
解：（1）顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為，
顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為，
顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為，
綜上，顧客中獎的概率為；
（2）設小明全家中獎的次數(shù)為，
則，，
，
，
，則的分布列為
所以．
16. 如圖，在直四棱柱中，，，.
（1）證明：四邊形是梯形．
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
（1）證明：四棱柱是直四棱柱，
平面平面．
平面，
平面．
平面．
，平面，．
又四邊形是梯形.
（2）解：易得兩兩垂直，
以原點，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
設為1個單位長度，則，．
設平面的法向量為，
則，
取，則，
得平面的一個法向量為，
易得平面的一個法向量為，
平面與平面夾角的余弦值為．
17. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（2）若的導函數(shù)有最小值，且是增函數(shù)，求的取值范圍．
解：（1）由題意得，
則，
所以曲線在點處的切線方程為，
令，得；令，得．
故所求三角形的面積為．
（2）由（1）得，
設，則，
當時，單調遞增，沒有最小值．
當時，令，得，
當時，單調遞減，
當時，單調遞增，
則．
因為是增函數(shù)，所以，即．
又，所以，得，即取值范圍為．
18. 已知、、是的三個頂點，、分別為的外心、垂心．
（1）求點、的坐標（用、表示）；
（2）若，求點的軌跡；
（3）設第（2）問中點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于、兩點，與拋物線交于、兩點（從左到右依次為、、、
），當最小時，求的斜率．
解：（1）因為點在的中垂線上，所以點的橫坐標為．
設，則由，得，
得，即．
由垂心的性質可知，，則點的橫坐標為，
設點，則，且，
由，得，得，即．
（2）由（1）可得．
由，得，
得，
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（挖去，兩點）．
（3）若直線的斜率為零，則直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意，
設的方程為，設點、．
聯(lián)立得得，
則恒成立，由韋達定理可得，，
因為
，
所以（當且僅當時，等號成立），
則．
因為，所以，得．
此時，直線的斜率為.
19. 若數(shù)列滿足，且，則稱是“擺動數(shù)列”．已知是“擺動數(shù)列”，且的前項和為．
（1）若，列出所有可能的取值；
（2）若，求的取值集合；
（3）若，等可能地取定的正負號（即與發(fā)生的概率相等），求是整數(shù)的概率．
解：（1）當時，由，得或0．
當時，由，得或2；
當時，由，得或．
綜上，所有可能的取值為．
（2）由題意得，設．
當時，由，
得，
則
．
當時，取得最大值，且最大值為．
當時，．
當時，．
……
當時，取得最小值，且最小值為．
綜上，取遍－35到55之間（包括）的所有奇數(shù)，所以的取值集合為，即的取值集合為．
（3）設是整數(shù)的概率為是整數(shù)的概率為是整數(shù)的概率為，則．
要使是整數(shù)，則必然不是整數(shù)．
當是整數(shù)時，只有當時，是整數(shù)；
當是整數(shù)時，只有當時，是整數(shù)．
所以．
又，所以，得，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
故，即．0
1
2
3

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