1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，則.
故選：D.
2. 已知，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】因為，所以，則.
故選：C.
3. 已知向量，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，，
故，又，
故得.
故選：A.
4. 小王數(shù)學期末考試考了分，受到爸爸表揚的概率為，受到媽媽表揚的概率也為，假設(shè)小王受爸爸表揚和受媽媽表揚獨立，則小王被表揚的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】記小王受到爸爸表揚為事件，小王受到媽媽表揚為事件，小王受到表揚為事件，小王同學受爸爸表揚和受媽媽表揚相互獨立，
則.
故選：C.
5. 已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（ ）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列B.
C. 數(shù)列存在最大值D. 數(shù)列存在最大值
【答案】D
【解析】由可知，當時，，
因為，所以，
故數(shù)列是從第二項開始的等差數(shù)列，故A錯誤；
將的通項公式可得，故B錯誤；
由知，數(shù)列為遞增數(shù)列，不存在最大值，故C錯誤；
由知，數(shù)列為遞減數(shù)列，故存在最大值，故D正確.
故選：D.
6. 已知是銳角，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，
由得，
化簡得，得
故選：B.
7. 已知直線是雙曲線的一條漸近線，是坐標原點，是的焦點，過點作垂直于直線交于點的面積是，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，解得，則雙曲線方程為.
故選：B.
8. 已知正三棱錐的底面是邊長為的正三角形，高為2，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖，
若球心在三棱錐內(nèi)，設(shè)為底面的外接圓的圓心.
球的半徑為，則.
因為，所以，解得.
.
若球心三棱錐外，則，
同理由解得，此時，不符合題意.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)中是奇函數(shù)且是周期函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】若，定義域為，
則是奇函數(shù)，
是周期函數(shù)，故A正確；
若，則，故不是奇函數(shù)，故B錯誤；
若，定義域為，
則，
故不是奇函數(shù)，故C錯誤；
若，定義域為，
則是奇函數(shù)，
是周期函數(shù)，故D正確.
故選：AD.
10. 如圖，在棱長為的正方體中，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則平面
B. 若，則點的軌跡長度為
C. 若，則存在，使
D. 若，則存在，使平面
【答案】ABD
【解析】
對于A，若，則，則點在線段上，如上圖.
因平面平面,且平面平面,平面平面,
故因平面，平面,故平面，同理可證平面，
因平面，平面,且,故有平面平面，
又因為平面，所以平面，故A正確；
對于B，若，則（為的中點）如上圖.
又因為，所以.故點的軌跡長度為，故B正確；
對于C，若，則，所以
，所以點在線段上（如上圖）.
假設(shè)，則，
即，化簡得，
該方程無解，所以不存在，故C錯誤；
對于D，如上圖，設(shè)為的中點，
當時，則，即，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
則,
.
所以.
假設(shè)平面，則
即解得.故D正確.
故選: .
11. 已知函數(shù)有兩個極值點，則（ ）
A. 或
B.
C. 存在實數(shù)，使得
D
【答案】BD
【解析】易知，
令，則.
令，則.設(shè)，
由對勾函數(shù)的圖象可知：
當時，與的圖象有兩個交點，
因為，故不成立，故A錯誤；
設(shè)，則①，
設(shè)為①式的兩根，則，即②，
③.
由③式可知，所以，則，
故B正確；
解法1：由②式可知，
令，
則，
則在上單調(diào)遞減，所以，
故，所以不存在實數(shù)使得，故C錯誤；
解法2：，，，
可得為區(qū)間的極小值點，則必有，故C錯誤；
由③式可知，所以，
要證
，
僅需證明成立.
令，則.
則在上單調(diào)遞增，所以，
故，故D正確.
故選：BD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在的展開式中，所有項的系數(shù)和為__________.
【答案】
【解析】令，可得所有項的系數(shù)和為.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，則的最小值是__________.
【答案】
【解析】當時，單調(diào)遞減，所以.
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)增，所以.
綜上所述，的最小值是.
故答案為：.
14. 直線與橢圓交于兩點不是橢圓的頂點），設(shè)，當直線的斜率是直線斜率的2倍時，__________.
【答案】
【解析】設(shè)，由可知.
由知，，解得.
，①
，②
.
又，
，即，化簡得，
將①②代入上式可得，解得或，滿足.
當時，直線經(jīng)過橢圓右頂點，不合題意，舍去.綜上所述.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.記的內(nèi)角所對的邊分別是，已知__________.
（1）求.
（2）設(shè)為的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點），且滿足，求的面積.
解：（1）選擇條件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因為，所以.
選擇條件②：因，所以，即.
由正弦定理得，即.
因為，所以，所以.
因為，所以，所以.因為，所以.
（2）連接，
因為點是內(nèi)心，所以.
因為，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
16. 如圖，在四棱錐中，底面平行四邊形，平面，平面平面.
（1）證明：平面.
（2）若為的中點，求到平面的距離.
（1）證明：如圖,在平面內(nèi)作,交于點.
因為平面平面,平面平面平面,
所以平面,則.
因為平面,所以,
因為平面,所以平面.
（2）解：如圖，連接交于點,連接.
易知為的中位線,所以.
因為平面平面,所以平面,
所以到平面的距離,即為點到平面的距離.
由（1）知平面,所以.
因為,所以.又因為平面,所以兩兩垂直.
因為,所以.
法一（建系）：如圖,以點為坐標原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.
則,
所以,
.
設(shè)平面的法向量為,
則即
取,則,所以平面的一個法向量為.
則點到平面的距離,即到平面的距離為
法二（幾何）：因為平面,所以,因為平面,所以,所以是直角三角形.
所以,因為是斜邊的中點,所以.
則.
設(shè)點到平面的距離為,則,解得，即到平面的距離為.
17. 如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右、上、下頂點分別為.設(shè)為上并且位于第一象限的兩點，滿足.
（1）若交軸于，且，求橢圓的離心率.
（2）設(shè)為的中點，直線交于點（其中在軸上方）.證明：.
解：（1）因為，所以.
所以，則，
則，解得，
則.
（2）由（1）知，.
設(shè)點，因為，所以存在，使，則.
因為是的中點，所以.
又因為三點共線，所以存在，使.
令，則，
則由點在橢圓上得，
整理得，
.
因為點在橢圓上，所以，整理得.
所以.
18. 購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一?其最吸引人的地方是因為盒子上沒有標注物品具體信息，買家只有打開才會知道自己買到了什么.某商店推出種款式不同的盲盒，購買規(guī)則及概率如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡種款式中的一種.
（1）若種款式的盲盒各有一個.
（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.
（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的數(shù)學期望.
（2）若每種款式的盲盒數(shù)量足夠多，每次盲盒被買后老板都會補充被買走的款式.商店為了滿足客戶的需求，引進了保底機制：在抽取前指定一個款式，若前次未抽出指定款式，則第次必定抽出指定款式.設(shè)為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求的數(shù)學期望（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）.
解：（1）（i）設(shè)小劉第次抽到特別喜歡的款式為事件.
則小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率為.
（也可以用）
（ii）的可能取值為，
則，
所以的分布列為
則.
（2）記的可能取值為.
因為前9次（包含第9次）沒有保底，
則，其中，
，
所以的分布列為
則.
記，
則，
兩式相減，得，
所以.
19. 把一列函數(shù)按一定次序排列稱為函數(shù)列，記為.例如：函數(shù)列可以記為.記為的導函數(shù).
（1）若.證明：為等差數(shù)列.
（2）已知定義在上的函數(shù)列滿足，且對任意的，都有.
（i）設(shè)，證明：的充要條件是.
（ii）取定正數(shù)，使數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列，證明：.
（1）證明：由題知，所以，
記，因為，
所以為等差數(shù)列，即是首項為，公差為的等差數(shù)列.
（2）（i）證明：令，則.
所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，
則當時，.
充分性：當時，由題知顯然成立.
必要性：若，則由時，，得，
則，所以.
因為，所以.
所以的充要條件是.
（ii）證明：由題知，且，則，
兩邊取自然對數(shù)得，則需.
考慮函數(shù)，
當時，；當時，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以.
因為在上單調(diào)遞減，所以，
所以，
則，即.1
2
19
20
1
2
9
10

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