TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc597" PAGEREF _Tc597 \h 2
\l "_Tc18380" 模型1.一線三等角模型（全等模型） PAGEREF _Tc18380 \h 2
\l "_Tc18644" 模型2.一線三等角模型（相似模型） PAGEREF _Tc18644 \h 11
\l "_Tc8266" PAGEREF _Tc8266 \h 19
大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③ 明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！
模型1.一線三等角模型（全等模型）
一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。
1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）
銳角一線三等角 直角一線三等角（“K型圖”） 鈍角一線三等角
條件：，AE=DE； 結(jié)論：，AB+CD=BC。
2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）
銳角一線三等角 直角一線三等角 鈍角一線三等角
條件：，AE=DE； 結(jié)論：，AB-CD=BC。
1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，
∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，
∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，
∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關(guān)系為________；
【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；
【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．
例2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．
例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
例4．（23-24八年級上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在的邊、上，且，于點F，于點D．求證：；
（2）如圖②，點B、C分別在的邊、上，點E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；
（3）如圖③，在中，，．點D在邊上，，點E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．
例5．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在y軸正半軸，點C在x軸正半軸， 交y軸于點E．(1)如圖1，若點B坐標為，直接寫出點A的坐標 ，點C的坐標 ；(2)如圖2， 若點B坐標為，過點B作 交x軸于點D，設(shè)的長為d，請用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點 B為第三象限內(nèi)任意一點，過點B作 交x軸于點 D，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
模型2.一線三等角模型（相似模型）
“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個三角形相似．
1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型） （直角型） （鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ACE∽△BED。
證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一線三等角模型（異側(cè)型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ADE∽△BEC.
證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.
證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴，∵C為AB的中點，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（對頂角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可證：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕，如圖②．
根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長是（ ）

A．3B．C．2D．1
例3．（2024·湖北武漢·校考模擬預測）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過點，過點、分別作于點，于點，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結(jié)論．
(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．
②若圖1的中，，，并將直線繞點旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點和點，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫出證明過程）．
例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點，在射線上取點D、E，使得．求證：；
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E、F，連接，使得．若，求CE的長；
【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E，連接CE．若，，求的正切值．

例5．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．若點D是AB的中點，則
C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時， D．若，則
1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作 ，交線段于，以下四個結(jié)論：
①；②當為中點時，；③當為等腰三角形時，；
④當時，．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，已知點，A與關(guān)于y軸對稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)得，點 B的對應(yīng)點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：如圖，等腰直角，，，點D為外一點，，連接CD，，，BC的長為 ．
5．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知，，，，和都是等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為 ．
6．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測盤凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（，）放置在凹槽內(nèi)，三個頂點A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測得，，則該凹槽的寬度的長為 ．
7．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，將平行四邊形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形 ，使點E落在邊 上， 且點 D 巧合是的中點， 若 則 的值為 ．
8．（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，將一張正方形紙片折疊，折痕為，折疊后，點B的對應(yīng)點落在正方形內(nèi)部的點F處，連接并延長交于點G．若，，則的長為 ．
9．（2024·四川成都·一模）已知等邊的邊長為5，點M在邊上運動，點N在直線上運動，將沿著翻折，使點A落在直線上的點處，若，則 ．
10．（23-24八年級下·山東濱州·期末）小明酷愛數(shù)學，勤于思考，善于反思，在學習八年級上冊數(shù)學知識之后，他發(fā)現(xiàn)“全等三角形”和“軸對稱”兩章中許多問題有關(guān)聯(lián)，問題解決的方法相通．于是他撰寫了一篇數(shù)學作文．請你認真閱讀思考，幫助小明完成相關(guān)內(nèi)容．“一線三垂直”模型的探索與拓展
【模型呈現(xiàn)】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的度數(shù)均為，且它們的頂點在同一條直線上，所以稱為“一線三垂直模型”．若有—組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
例如：如圖1，，過點C作任意一條直線m，于點D，于點E，則三個直角的頂點都在同一條直線m上，這就是典型的“一線三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因為，所以可得．
【模型應(yīng)用】問題1：如圖2，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，求的長．

問題2：如圖3，在平面直角坐標系中，，．若是以為腰的等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．
【模型遷移】問題3：如圖4，已知為等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且，．求證：是等邊三角形．

11．（2023·江蘇·九年級專題練習）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：
①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；
②如圖2，為正三角形，，則________；
③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．
【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為，則點C的坐標為________．
【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．
12．（2024·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．
(1)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．
(2)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．
13．（2024·浙江·?？家荒＃?）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過點C，過點A作，過點B作，垂足分別為D、E．求證：．
（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標系內(nèi)，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內(nèi)，已知點N的坐標為，求點M的坐標．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線繞P點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標．
14．（2024·北京?？肌ひ荒＃┮阎菪沃?，∥，且，，．
⑴如圖，P為上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；
⑵如果點P在邊上移動（點P與點不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點E，同時交直線DC于點．①當點在線段DC的延長線上時，設(shè)，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；②寫CE=1時，寫出AP的長（不必寫解答過程）
15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．
(1)求證：．(2)若為中點，且，求長．
(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關(guān)系并說明理由．
16．（2023年安徽省九年級數(shù)學一模試卷）如圖，在中，，，是線段上的一點，連接，過點作，分別交，于點，，與過點A且垂直于的直線相交于點，連接(1)求證：(2)若是的中點，求的值．(3)若，求的值．
17．（2023秋·廣東深圳·九年級校考階段練習）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點，F(xiàn)是邊上一點，．求證：；
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是邊的中點，，若，，求線段的長．
【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點作等腰直角三角形，點D在上，點E在上．若，求的長．
18．（2024·河南·三模）問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和疊放在一起，其中，，，頂點D與邊的中點重合，經(jīng)過點C，交于點G．求重疊部分（）的面積．

(1)小明經(jīng)過獨立思考，寫出如下步驟，請你幫助小明補全依據(jù)及步驟：
解：∵，D是的中點，∴．∴． （依據(jù)：______________________）
又∵，∴．∴．∴_____________________．
∴．∴．又∵，∴G是的中點，∴為中位線．
∴，．∴．
(2) “希望”學習小組受此問題的啟發(fā)，將繞點D旋轉(zhuǎn)，使交于點H，交于點G，如圖2，請解決下列兩個問題：①求證：；②求出重疊部分（）的面積．
(3)“智慧”小組也不甘落后，提出的問題是：如圖3，將繞點D旋轉(zhuǎn)，，分別交于點M，N，當是以為腰的等腰三角形時，請你直接寫出此時重疊部分（）的面積是________．
19．（22-23九年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E、F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．(1)如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF．(2)在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)過程中：①如圖2，求證：；②若CE＝6，CF= 3，求DN的長．
20．（2024·河南周口·三模）在四邊形中，是邊上一點，在的右側(cè)作 ，且 ，連接．(1)如圖，當四邊形是正方形時， ．
(2)如圖，當四邊形是菱形時，求 （用含的式子表示）．
(3)在（2）的條件下，且 如圖，連接交于點；若為邊的三等分點，請直接寫出的長．
專題19 全等與相似模型之一線三等角（K字）模型
全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。
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\l "_Tc18380" 模型1.一線三等角模型（全等模型） PAGEREF _Tc18380 \h 2
\l "_Tc18644" 模型2.一線三等角模型（相似模型） PAGEREF _Tc18644 \h 11
\l "_Tc8266" PAGEREF _Tc8266 \h 19
大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③ 明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！
模型1.一線三等角模型（全等模型）
一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。
1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）
銳角一線三等角 直角一線三等角（“K型圖”） 鈍角一線三等角
條件：，AE=DE； 結(jié)論：，AB+CD=BC。
2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）
銳角一線三等角 直角一線三等角 鈍角一線三等角
條件：，AE=DE； 結(jié)論：，AB-CD=BC。
1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，
∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，
∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，
∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關(guān)系為________；
【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；
【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．
【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或
【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關(guān)鍵．
（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；（2）同（1）中方法證明，再證明即可；
（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．
【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，
由旋轉(zhuǎn)得，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，故答案為：；
（2）補全圖形如圖：，理由如下：過點作交于點，
由旋轉(zhuǎn)得，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，

由（2）得，，∴，
∴，∴．
當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，
同理可得：，∴，，∴，
∴，∴；綜上：或
例2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.
【分析】（1）利用鄰補角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．
【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，
∵∠BDA=110°時，∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1），理由見詳解，（2），理由見詳解，（3），理由見詳解
【分析】（1）直接證明，即可證明；（2）過E點作于點M，過E點作于點N，先證明，可得，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得：， ，即有，，進而可得，即可證；（3）過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，先證明，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證明．
【詳解】（1），理由如下：
∵，，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，，
∴，∴；
（2），理由如下：過E點作于點M，過E點作于點N，如圖，
∵四邊形是正方形，是正方形的對角線，∴，平分，，
∴，即，
∵，，∴，∵，∴，∴，

∵，，，，∴四邊形是正方形，
∴是正方形對角線，，∴， ，
∴，，
∴，即，
∵， ∴，即有；
（3），理由如下，過A點作于點H，過F點作，交的延長線于點G，如圖，∵，，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵在正方形中，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．
例4．（23-24八年級上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在的邊、上，且，于點F，于點D．求證：；
（2）如圖②，點B、C分別在的邊、上，點E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；
（3）如圖③，在中，，．點D在邊上，，點E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，三角形外角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)的面積為17，，得出的面積是：，由，得出，根據(jù)，即可求出結(jié)果．
【詳解】證明：（1）∵，，，∴，
∴，，∴，
在和中，，∴；
（2）∵，，，，
∴，，
在和中，，∴；
∴，，∴；
（3）∵的面積為17，，∴的面積是：，
根據(jù)解析（2）同理可證，∴，
∴．
例5．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在y軸正半軸，點C在x軸正半軸， 交y軸于點E．(1)如圖1，若點B坐標為，直接寫出點A的坐標 ，點C的坐標 ；(2)如圖2， 若點B坐標為，過點B作 交x軸于點D，設(shè)的長為d，請用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點 B為第三象限內(nèi)任意一點，過點B作 交x軸于點 D，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
【答案】(1)，(2)(3)，證明見解析
【分析】（1）過點 B作軸于點H，證明，可得，即可；（2）過點B作軸于點H，軸于點 G， 連接，則，證明，可得，由（1）得：，， ，然后根據(jù)，可得 ，即可求解；（3）在上取，連接，證明，可得，從而得到，過點 B作交y軸于點G，可證明，可得．再根據(jù)，可得，即可．
【詳解】（1）解：過點 B作軸于點H，

在 中， ，∵，∴，
∵點B坐標為， ∴，
又∵，， ∴，∴，
，∴，；
（2）解：過點B作軸于點H，軸于點 G， 連接，則，
∴，∵，∴，∴，
∵點B坐標為，∴，∴，∴，
由（1）得：，∴， ，
，
， ，
，即；
（3）解：，證明如下：如圖，在上取，連接，
∵，，∵，，∴，
∵， ∴，∴，
∴，
∵，∴，，
過點 B作交y軸于點G，∴，
∴，∴，
又∵， ∴，∴．
又 ∵， ∴，∴，
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標與圖形等知識，得到全等三角形是解題的的關(guān)鍵．
模型2.一線三等角模型（相似模型）
“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個三角形相似．
1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型） （直角型） （鈍角型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ACE∽△BED。
證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一線三等角模型（異側(cè)型）
條件：如圖，∠1=∠2＝∠3， 結(jié)論：△ADE∽△BEC.
證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.
證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
∴，∵C為AB的中點，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（對頂角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可證：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】證明，根據(jù)題意得出，進而即可求解．
【詳解】解：∵為等邊三角形， ∴，
∵，，∴，∴∴
∵，∴，∴∵∴，故選：C．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕，如圖②．
根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長是（ ）

A．3B．C．2D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，利用勾股定理求出，再證明，得，求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作，交于點，

在和中，
設(shè)，則，
，即：，解得：，
，，，，，
，故選：C．
【點睛】本題考查折疊問題及矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)并能熟練運用勾股定理方程思想是解題的關(guān)鍵．
例3．（2024·湖北武漢·?？寄M預測）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過點，過點、分別作于點，于點，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結(jié)論．
(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．
②若圖1的中，，，并將直線繞點旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點和點，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫出證明過程）．
【答案】(1)成立，見解析 (2)①，見解析；②或
【分析】（1）易證，則有，，從而可得；
（2）①易證，則有，從而可得，，即可得到；②同①可得，．由于直線在繞著點旋轉(zhuǎn)過程中，點到直線的距離與點到直線的距離大小關(guān)系會發(fā)生變化，因此需分情況討論（如圖4、圖，然后只需結(jié)合圖形就可解決問題．
【詳解】（1）猜想．理由：如圖2，

，．，，．
在和中，，，，，；
（2）①猜想：．理由：如圖3，，．
，，．
，，，，，；
②或．同①可得：，．
如圖4，；如圖5，．
【點睛】本題是一道探究題，用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角的定義等知識，考查了探究能力，滲透分類討論的思想以及特殊到一般的思想，是一道好題．
例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點，在射線上取點D、E，使得．求證：；
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E、F，連接，使得．若，求CE的長；
【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E，連接CE．若，，求的正切值．

【答案】【基礎(chǔ)鞏固】見解析 【嘗試應(yīng)用】【拓展提高】
【分析】【基礎(chǔ)鞏固】利用兩角相等的三角形相似證明即可；【嘗試應(yīng)用】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，,再推導，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到，計算解題；【拓展提高】如圖所示，在BD上取點F，使，作于點，則可得到，即，，進而證明，得到，設(shè)，可以求出解題即可．
【詳解】【基礎(chǔ)鞏固】證明：∵,
，∴,
又∵,,，∴,∴.
【嘗試應(yīng)用】解：∵,
∴，,即：，
又∵，，即：，
又.∴,
又∵，，
∴,∴,∴，∴，故CE的長為：.
【拓展提高】解：如圖所示，在BD上取點F，使，作于點，

∵，∴，.即：，
又∵，∴，
又，，∴，∴，
∴，，∴，
∵，∴令，則∴，
又∵∴在中，，∴，
由勾股定理可得：，
又∵，
∴∠，∴，∴，∴，
設(shè)，則，.
∴，解得：,∴,
∴故的正切值為：．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
例5．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．若點D是AB的中點，則
C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時， D．若，則
【答案】D
【分析】由，可確定A項正確；由可得，進而由確定點F為的三等分點，可確定B項正確；當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到為圓的直徑，因為，根據(jù)垂徑定理得到，故C項正確；因為D為的三等分點，即，可得，由此確定D項錯誤．
【詳解】解：依題意可得，∴，∴，
又，∴．故A項正確；如圖，
∵，，∴．在與中，，
∴，∴，又∵，∴；
∵為等腰直角三角形，∴；∴；
∵，∴，∴，∴．故B項正確；
當B、C、F、D四點在同一個圓上時，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，
∴是B、C、F、D四點所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項正確；
∵，，，∴，∴，，
∴，∴；∴．故D項錯誤．故選：D．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對每一個結(jié)論，需要仔細分析，嚴格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．
1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，證明，則，設(shè)，得到，則，故，同理可求，則，因此．
【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，由旋轉(zhuǎn)得，
∵四邊形是正方形，∴，，，設(shè)，∴，
∵，∴，∴，∴，，
設(shè)，則，∴，
∴，而，∴，∴，
∵，∴，同理可求，
∴，∴，故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角全等”是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作 ，交線段于，以下四個結(jié)論：
①；②當為中點時，；③當為等腰三角形時，；
④當時，．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到或；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．
【詳解】解：①，，
，，，故①正確；
②為中點，，，，，
，，，故②正確；
③，，，為等腰三角形，，，
，；或為等腰三角形，
，，，，故③錯誤；
④，，，
，，，
，，，，故④正確，
綜上所述正確的有①②④．故選：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，已知點，A與關(guān)于y軸對稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)得，點 B的對應(yīng)點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)問題，坐標與圖形．過點作軸于點C，證明，可得，即可求解．
【詳解】解：∵點，A與關(guān)于y軸對稱，∴，
如圖，過點作軸于點C，∵將線段以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)得，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴點 B的對應(yīng)點的坐標為．故選：A
4．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：如圖，等腰直角，，，點D為外一點，，連接CD，，，BC的長為 ．
【答案】
【分析】過作于，過作交的延長線于，由，，得到，證出，推出，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，，，于是得到．
【詳解】解：過作于，過作交的延長線于，
，，，，
在與中，，，，，
，，設(shè)，，
在中，，即：，
解得：；（不合題意，舍去）．，，
，．故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知，，，，和都是等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】12
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．過作于，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，延長交于，過作于，過作于，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過作于，，
，，，
延長交于，過作于，過作于，
，，，
，，，
同理，，，，
，，，
圖中陰影部分的面積的面積，故答案為：12．
6．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測盤凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（，）放置在凹槽內(nèi)，三個頂點A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測得，，則該凹槽的寬度的長為 ．
【答案】48
【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴故答案為：48．
7．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，將平行四邊形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形 ，使點E落在邊 上， 且點 D 巧合是的中點， 若 則 的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，即可得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，即可得到，求出和長即可解題．
【詳解】解：在平行四邊形中，，，
∵平行四邊形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形 ，
∴，，，設(shè)，則，
∵ D 是的中點，∴，∵，，，
∴，，∴，∴，即，解得，
∴，∴，故答案為：．
8．（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，將一張正方形紙片折疊，折痕為，折疊后，點B的對應(yīng)點落在正方形內(nèi)部的點F處，連接并延長交于點G．若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，過作于點，過作于點，由題意可知，，，證明，，由性質(zhì)即可求解，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過作于點，過作于點，
由題意可知，，，∴，
∵，∴，在中，由勾股定理得：，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴， 設(shè)，在中，由勾股定理得：
，即，解得：，∴，故答案為：．
9．（2024·四川成都·一模）已知等邊的邊長為5，點M在邊上運動，點N在直線上運動，將沿著翻折，使點A落在直線上的點處，若，則 ．
【答案】或
【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換，關(guān)鍵是證明，得到，再利用含的式子表示．此題要分兩種情況進行討論：①當點A落在線段上時；②當A在的延長線上時，首先證明．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 ，再設(shè)，則，然后利用含x的式子表示、，根據(jù)列出方程，解出x的值可得答案．
【詳解】解：①當點A落在如圖1所示的位置時，

是等邊三角形，，
，，，．
，由折疊知，，， ，
，，，，設(shè)，則，
，，
，，解得， ；
②當A在的延長線上時，如圖2，由折疊知，，，
，，
又，，，
，，，，
設(shè)，則，，，
，，解得：，故答案為：或
10．（23-24八年級下·山東濱州·期末）小明酷愛數(shù)學，勤于思考，善于反思，在學習八年級上冊數(shù)學知識之后，他發(fā)現(xiàn)“全等三角形”和“軸對稱”兩章中許多問題有關(guān)聯(lián)，問題解決的方法相通．于是他撰寫了一篇數(shù)學作文．請你認真閱讀思考，幫助小明完成相關(guān)內(nèi)容．“一線三垂直”模型的探索與拓展
【模型呈現(xiàn)】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的度數(shù)均為，且它們的頂點在同一條直線上，所以稱為“一線三垂直模型”．若有—組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
例如：如圖1，，過點C作任意一條直線m，于點D，于點E，則三個直角的頂點都在同一條直線m上，這就是典型的“一線三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因為，所以可得．
【模型應(yīng)用】問題1：如圖2，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，求的長．

問題2：如圖3，在平面直角坐標系中，，．若是以為腰的等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

【模型遷移】問題3：如圖4，已知為等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且，．求證：是等邊三角形．
【答案】問題1：4；問題2：點P的坐標為或或或；問題3：證明過程見解析
【分析】問題1：利用等量代換得，證明，可得，，再根據(jù)求解即可；問題2：如圖，由題意可得，，分類討論：當時，當時，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)求解即可；
問題3：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用等量代換可得，證得，可得，再根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得證．
【詳解】解：問題1：由題意得，，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴；
問題2：如圖，∵，，∴，，
當時，過點作軸于點C，∵是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，，
∴，∴，過點作軸于點D，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，
∴，，∴，∴，
當時，過點作軸于點E，同理可證，，
∴，，∴，∴，
過點作軸于點F，同理可證，，
∴，，∴，∴，
綜上所述，點P的坐標為或或或；

問題3：∵是等邊三角形，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
在和中，，∴，∴，
又∵，∴是等邊三角形．
【點睛】本題考查點的坐標與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·江蘇·九年級專題練習）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：
①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；
②如圖2，為正三角形，，則________；
③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．
【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為，則點C的坐標為________．
【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．
【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm
【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△AED≌△BDF；
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△BDE≌△CFD；
③根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性質(zhì)即可求得EF的長；
（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△COE≌△OAD，從而可求得OE、CE的長，進而得到點C的坐標；
（3）由三個垂直及等腰直角三角形可證明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)即可求得BE的長．
【詳解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜
∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜?∠B=135゜
∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜?∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD
在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS) 答案為：△BDF；
②∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜?∠B=120゜
∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜?∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF
在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案為：△CFD；
③∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜?∠ABC=90゜
∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF
在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案為：3；
（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，如圖所示
∵四邊形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜?∠ACO=90゜
∵AD⊥x軸，CE⊥x軸∴∠CEO=∠ADO =90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD
在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD
∵∴OD=1，∴CE=1，
∵點C在第二象限∴點C的坐標為故答案為：；
（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜
∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD
在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)
∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)
【點睛】本題是三角形全等的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．
12．（2024·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．
(1)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．
(2)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE
【分析】（1）過B作BH⊥CE于點H，可證△ACE≌△CBH，通過線段的等量代換可得結(jié)論；
（2）過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，△ACE≌△CBG，通過線段的等量代換可得答案．
（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，
證明：如圖，過B作BH⊥CE于點H，

∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AF-BF=2CE
證明：如圖，過點B作BG⊥CE，交CE的延長線于點G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
【點睛】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
13．（2024·浙江·?？家荒＃?）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過點C，過點A作，過點B作，垂足分別為D、E．求證：．
（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標系內(nèi)，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內(nèi)，已知點N的坐標為，求點M的坐標．
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線繞P點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標．
【答案】（1）見詳解；（2）點M的坐標為（1，3）；（3）R（，0）
【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）過點M作MF⊥y軸，垂足為F，過點N作NG⊥MF，判斷出MF=NG，OF=MG，設(shè)M（m，n）列方程組求解，即可得出結(jié)論；（3）過點Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點S作SH⊥x軸于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，進而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=5，SH=OQ=1，進而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，
（2）解：如圖2，過點M作MF⊥y軸，垂足為F，過點N作NG⊥MF，交FM的延長線于G，

由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，
∴MF＝NG，OF＝MG，設(shè)M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，
∵點N的坐標為（4，2）∴解得∴點M的坐標為（1，3）；
（3）如圖3，過點Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點S作SH⊥x軸于H，
對于直線y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，
∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），
設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得．∴直線PR為y＝x+4．
由y＝0得，x＝，∴R（，0）．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
14．（2024·北京?？肌ひ荒＃┮阎菪沃?，∥，且，，．
⑴如圖，P為上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；
⑵如果點P在邊上移動（點P與點不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點E，同時交直線DC于點．①當點在線段DC的延長線上時，設(shè)，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；②寫CE=1時，寫出AP的長（不必寫解答過程）
【答案】⑴的長1或4;⑵① ;②或3-
【分析】（1）當∠BPC=∠A時，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長．
（2）①與（1）的方法類似，只不過把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．
②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進行求解即可．
【詳解】解：⑴，，，
又梯形中，，，，，
設(shè)，，，解得，，的長1或4;
⑵①由⑴易得（如圖），，即，
②當CE=1時，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或，
，解得：AP=2或3?.
【點睛】考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．
15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．
(1)求證：．(2)若為中點，且，求長．
(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關(guān)系并說明理由．
【答案】(1)見詳解(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由折疊得出，得出，即可證明；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及線段中點，得出，根據(jù)代入數(shù)值得，進行計算，再結(jié)合，則，代入數(shù)值，得，所以；（3）由折疊性質(zhì)，得直線，，是等腰三角形，則，因為為中點，為中點，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，∴，
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，，
∵為中點，∴，設(shè)，∴，

在中，，即，解得，
∴，∴，∵，∴，∴，解得，
∵，∴；
（3）解：如圖：延長交于一點M，連接
∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，
∴直線
，，∴是等腰三角形，∴，
∵為中點，∴設(shè)，∴，
∵為中點，∴，∵，，∴，
∴，，∴，
在中，，∴，∴，
在中，，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
【點睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
16．（2023年安徽省九年級數(shù)學一模試卷）如圖，在中，，，是線段上的一點，連接，過點作，分別交，于點，，與過點A且垂直于的直線相交于點，連接(1)求證：(2)若是的中點，求的值．(3)若，求的值．
【答案】(1)證明見解析(2)(3)的值為12
【分析】（1）先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)進行證明．
（2）先證明，求出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（3）利用全等和相似進行線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，先求出，再求出，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，∴，∴，∵，∴，
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是的中點，∴，∴，∴，
∵∴，∴．
（3）∵，∴，
∵，∴，∴，
若，∴，即
∵∴，∴∴；∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)全等三角形和相似三角形，能利用它們的性質(zhì)進行線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化．
17．（2023秋·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點，F(xiàn)是邊上一點，．求證：；
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是邊的中點，，若，，求線段的長．
【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點作等腰直角三角形，點D在上，點E在上．若，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）5；（3）10
【分析】（1）利用一線三等角模型，可說明，得；（2）如圖2中，延長交的延長線于點．證明，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
（3）過點作與交于點，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案；
【詳解】（1）證明：，，，
，∴，，
，，；
（2）解：如圖2中，延長交的延長線于點．

，，，
，，
，，，，，
，，，，
；
（3）解：如圖，過點作與交于點，使，
，，，，
，，，
，，，，
，，，，，．
【點睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本幾何模型是解題的關(guān)鍵．
18．（2024·河南·三模）問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和疊放在一起，其中，，，頂點D與邊的中點重合，經(jīng)過點C，交于點G．求重疊部分（）的面積．

(1)小明經(jīng)過獨立思考，寫出如下步驟，請你幫助小明補全依據(jù)及步驟：
解：∵，D是的中點，∴．∴． （依據(jù)：______________________）
又∵，∴．∴．∴_____________________．
∴．∴．又∵，∴G是的中點，∴為中位線．
∴，．∴．
(2) “希望”學習小組受此問題的啟發(fā)，將繞點D旋轉(zhuǎn)，使交于點H，交于點G，如圖2，請解決下列兩個問題：①求證：；②求出重疊部分（）的面積．
(3)“智慧”小組也不甘落后，提出的問題是：如圖3，將繞點D旋轉(zhuǎn)，，分別交于點M，N，當是以為腰的等腰三角形時，請你直接寫出此時重疊部分（）的面積是________．
【答案】(1)等邊對等角，(2)①證明見解析；②(3)或
【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得；由，得到角相等，進而證得，從而求解；（2）①利用證明即可；
②證明可得出，證明可得出，則點為的中點，利用勾股定理求出，證明，可求出，然后利用三角形面積公式和三角形中線的性質(zhì)求解即可；
（3）分，，三種情況討論，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵，D是的中點，
∴．∴．（依據(jù)：等邊對等角）
又∵，∴．∴．
∴．∴．∴．
又∵，∴G是的中點，∴為中位線．
∴，．
∴．故答案為：等邊對等角，；
（2）①證明：∵，，∴，又，∴；
②如圖，∵，∴，∵，，
∴，，∴，∴，∴．
∵，，∴．∴．∴．∴點為的中點．
在中，．∵是中點，．
在與中，∵，，
∴．∴．∴，∴．
∴；

（3）解：當時，過D作于H，則，
∵，，∴．∴．∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，設(shè)，則，
在中，，∴，解得，∴；
當時，過D作于H，則，

同理：，∴，∴，∴，
設(shè)，則，在中，，
∴，解得，∴；
當時，過D作于H，過M作于G，則，
又，∴，∴，即，∴，
設(shè)，則，，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴，∴，∴，
綜上，的面積是為或．故答案為：或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形面積的計算的綜合應(yīng)用．明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（22-23九年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E、F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．(1)如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF．(2)在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)過程中：①如圖2，求證：；②若CE＝6，CF= 3，求DN的長．
【答案】(1)見解析(2)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，然后證明即可得出結(jié)論；
（2）①利用三角形外角的性質(zhì)得出，，則，結(jié)合，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得結(jié)論；
②根據(jù)①中結(jié)論求出的長度，過點作于點，則DP∥CE，，可證明，從而得出的長度，運用勾股定理計算即可．
【詳解】（1）證明：在等腰直角中，CD是中線，
為等腰直角三角形，，，，
在和中，，，；
（2）①，，，
，，，；
②，，過點作于點，
則DP∥CE，，，，，
在中，．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
20．（2024·河南周口·三模）在四邊形中，是邊上一點，在的右側(cè)作 ，且 ，連接．(1)如圖，當四邊形是正方形時， ．
(2)如圖，當四邊形是菱形時，求 （用含的式子表示）．
(3)在（2）的條件下，且 如圖，連接交于點；若為邊的三等分點，請直接寫出的長．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定；
（1）作交的延長線于，證出，得到，再根據(jù)正四邊形的性質(zhì)得到，從而計算出，即，故，再根據(jù)，求出，從而可得出結(jié)論．（2）方法1：如圖，在的延長線上取點，使得，證明，得出，則即可求解；方法2：如圖，連接，，證明，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而即可求解；（3）作于點，則， 證明，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：當四邊形是正方形時，作交的延長線于．

，，又，，
又，且，，，，
，，．
（2）方法1：如圖，在的延長線上取點，使得，
則，
又，∴∴，，
由，得 ∴
∴
方法2：如圖，連接，，∵，，，
∴， ∴
∴，∴
（3）由（2）知， ，∵，∴，
如圖所示，連接交于點，∵，則
∴ ∴
如圖，作于點，則， ，
得 則
當，時， 當，時， 綜上所述，或

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2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練(全國通用)專題21全等與相似模型之半角模型解讀與提分精練(原卷版+解析)：

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2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練(全國通用)專題19全等與相似模型之一線三等角(K字)模型解讀與提分精練(原卷版+解析)：

這是一份2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練(全國通用)專題19全等與相似模型之一線三等角(K字)模型解讀與提分精練(原卷版+解析)，共63頁。

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