2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練(通用版)專題34圓中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型、婆羅摩笈多(定理)模型(原卷版+解析)

這是一份2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練(通用版)專題34圓中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型、婆羅摩笈多(定理)模型(原卷版+解析)，共67頁(yè)。試卷主要包含了阿基米德折弦模型，婆羅摩笈多模型等內(nèi)容，歡迎下載使用。
圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型
【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。
一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。
如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是 的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。

圖1 圖2 圖3 圖4
常見(jiàn)證明的方法：
1）補(bǔ)短法：如圖2，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；
2）截長(zhǎng)法：如圖3，在CD上截取DG=DB；
3）垂線法：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。
例1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．
如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝ °．
例2．（2023·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點(diǎn)M是上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
例3．（2023上·河南周口·九年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程
證明：如圖2，在上截取，連接，，和
是弧的中點(diǎn)，
∴，
……
(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為_(kāi)_____.
(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點(diǎn)，連接，，，，求的周長(zhǎng).
例4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴……
請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為 ．
（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．
例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：
阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．
如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．
小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．
小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接
任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書(shū)寫(xiě)出證明過(guò)程，
(2)就圖3證明：．
模型2.婆羅摩笈多（定理）模型
【模型解讀】婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。
婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)。

圖1 圖2 圖3
如圖1，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC和BD垂直相交，交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線EF，延長(zhǎng)FE與AD交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)。
如圖2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，則G為BE中點(diǎn)。
2、如圖3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延長(zhǎng)線取點(diǎn)H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F為CD中點(diǎn)，則AG⊥BE。
例1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
布拉美古塔定理
婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．
某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證．
已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P作的垂線分別交，于點(diǎn)H，M． 求證：M是的中點(diǎn)．
任務(wù)：(1)請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過(guò)程．(2)該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫(xiě)出了另外一個(gè)命題：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是 命題．（填“真”或“假”）。(3)若，求的長(zhǎng)．
例2．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．
任務(wù)：（1）按圖（1）寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；
已知：__________________ 求證：_________________ 證明：
（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·浙江溫州·校考三模）在幾何學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特·西姆森發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長(zhǎng)線）所作垂線的垂足共線，這三個(gè)垂足的連線后來(lái)被稱為著名的“西姆森線”．如圖，半徑為4的為的外接圓，過(guò)圓心O，那么過(guò)圓上一點(diǎn)P作三邊的垂線，垂足E、F、D所在直線即為西姆森線，若，，則的值為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023山東·?？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ恚喝鐖D1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是 ．
3.（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦．阿基米德從中看出了玄機(jī)并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論．
某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此進(jìn)行了探究，如圖1，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，小明通過(guò)度量、、的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)平分折弦，即．小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)仍然成立，于是三位同學(xué)都嘗試進(jìn)行了證明：
小軍采用了“截長(zhǎng)法”（如圖2），在上?取，使得，……
小麗則采用了“補(bǔ)短法”（如圖3），延長(zhǎng)至，使，……
小明采用了“平行線法”（如圖4），過(guò)點(diǎn)作，交圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，……
(1)請(qǐng)你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；
(2)如圖5，在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，內(nèi)接于（A、B、C均是格點(diǎn)），點(diǎn)A、D關(guān)于對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．
①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作直線，使得直線平分的周長(zhǎng)；②求的周長(zhǎng)．
4．（2023·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理：如圖1， 和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)， ∴
任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上 一點(diǎn), ，與點(diǎn)E,則的周長(zhǎng)是 ．
5．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
(2)填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，，則折弦的長(zhǎng)是______．

6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：
任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是______；（2）將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則．請(qǐng)證明該命題．
7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．
證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；
【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為 （填“真命題”，“假命題”）；
【探究】（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．
8．（2023·山西太原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)
任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分短缺的條件為： ；
（2）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性：
已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，① ．求證：② ．證明：
8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用
材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為 ，用a．c和θ表示△ABC的面積為 ．
材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CF?BF＝QF?PF．
材料三：蝴蝶定理（ButterflyTherem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．
定理：如圖3，M為弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD，連結(jié)AD和BC交PQ分別于點(diǎn)E和F，則ME＝MF．
證明：設(shè)∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，
∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y(tǒng)
由即
化簡(jiǎn)得：MF2?AE?ED＝ME2?CF?FB 則有： ,
又∵CF?FB＝QF?FP，AE?ED＝PE?EQ，
∴，即 即，從而x＝y(tǒng)，ME＝MF．
請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問(wèn)題：
如圖4，B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP＝CQ，A為PQ外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結(jié)論．
9．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上
以下是他們的證明過(guò)程：
如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，
則（依據(jù)1），
∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．
又∵，∴．
∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．
∵，∴（依據(jù)4）．
∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．
任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；
③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．
(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．
10．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．
(2)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．
11．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）閱讀與思考；
（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過(guò)程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：
已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，F(xiàn)是AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求證：ME⊥BC
（2）已知如圖2，△ABC內(nèi)接于圓O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，點(diǎn)D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD 交BC于點(diǎn)P，作ON⊥CD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M，求證PM⊥BA并求PN的長(zhǎng)．
12．（2023·北京昌平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和，的半徑為4，交軸于點(diǎn)A，，對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)叫做關(guān)于的“折弦點(diǎn)”．
(1)若，①點(diǎn)，，中是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”的是______；
②若直線（）上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，求的值；
(2)點(diǎn)在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．
13．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．連結(jié)AD，AC，BD．（1）寫(xiě)出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．
（2）判斷AE，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
14．（2023.浙江九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過(guò)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；
（3）如圖3，．組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．
15．（2023.重慶九年級(jí)期中）先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題．
命題：如圖1，在正方形中，已知：，角的兩邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接．求證：．
證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至．，，與重合．，，點(diǎn)、、是一條直線．
根據(jù)，得證，得．
（1）特例應(yīng)用：如圖1，命題中，如果，，求正方形的邊長(zhǎng)．
（2）類比變式：如圖3，在正方形中，已知，角的兩邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接．寫(xiě)出、、之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．
（3）拓展深入：如圖4，在中，、是的弦，且，、是上的兩點(diǎn)，．①如圖5，連接、，求證：，；
②若點(diǎn)在（點(diǎn)不與點(diǎn)、、、重合）上，連接、分別交線段、或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，直接寫(xiě)出、、之間的等式關(guān)系．
16．（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】
我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．
【理解應(yīng)用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則______；
【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；
【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．
【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，，則______________．
17．（2023·福建泉州·九年級(jí)?？计谥校┎牧希喝鐖D1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，……
(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知內(nèi)接于，D是的中點(diǎn)，依據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為_(kāi)_________；
(3)如圖4，已知等腰內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．
18．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考 請(qǐng)閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家物理學(xué)家，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中記述了有關(guān)圓的15個(gè)引理，其中第三個(gè)引理是：如圖1，是的弦，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上且，在上取一點(diǎn)，使，連接，則．小明思考后，給出如下證明：如圖2，連接、、、．
∵，∴（依據(jù)1） ∴
∵ ∴（依據(jù)2）…
圖1 圖2
任務(wù)：(1)寫(xiě)出小明證明過(guò)程中的依據(jù)：依據(jù)1：________ 依據(jù)2：________
(2)請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(3)小亮想到了不同的證明方法：如圖3，連接、、、．請(qǐng)你按照小亮的證明思路，寫(xiě)出證明過(guò)程；(4)結(jié)論應(yīng)用：如圖4，將材料中的“弦”改為“直徑”，作直線與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，其余條件不變，若，且是的中點(diǎn)，則____．
專題34圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、
婆羅摩笈多（定理）模型
圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型
【模型解讀】折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。
一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。
如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是 的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。

圖1 圖2 圖3 圖4
常見(jiàn)證明的方法：
1）補(bǔ)短法：如圖2，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；
2）截長(zhǎng)法：如圖3，在CD上截取DG=DB；
3）垂線法：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。
例1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．
如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝ °．
【答案】60°．
【分析】連接OA、OC、OE，由已知條件，根據(jù)阿基米德折弦定理，可得到點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即,進(jìn)而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，則∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.
【詳解】解：如圖2，連接OA、OC、OE，
∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，
∴點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即，∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，
∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案為60°．
【點(diǎn)睛】本題是新定義型題，考查了圓周角定理及推論，解本題的關(guān)鍵是掌握題中給出的關(guān)于阿基米德折弦定理的內(nèi)容并進(jìn)行應(yīng)用.
例2．（2023·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BCAB)，點(diǎn)M是上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=，AB=4，則AE的長(zhǎng)為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，從而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性質(zhì)列式可求BE的長(zhǎng)度，從而可求得AE的長(zhǎng)度．
【詳解】解：延長(zhǎng)ME，設(shè)交圓于點(diǎn)F，連接BF、AF，如圖，
∵BC為⊙O的直徑， MD⊥BC于點(diǎn)D，∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM
又∠BMF=∠FAB∴∠BFM=∠FAB∴∠BFE=∠FAB
∵∠EBF=∠FBA∴△BFA∽△BEF∴即∴BE=∴AE=4-=故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確做出輔助線，得出三角形相似．
例3．（2023上·河南周口·九年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程
證明：如圖2，在上截取，連接，，和
是弧的中點(diǎn)，
∴，
……
(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為_(kāi)_____.
(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點(diǎn)，連接，，，，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)
【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證明結(jié)論；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理，即可證明結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．
是的中點(diǎn)，．
在和中，，，
又，，．
（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為
故答案為：．
（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，
由阿基米德折弦定理得：，
∵∴∴，
∴的周長(zhǎng)為
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解“截長(zhǎng)法”是解答本題的關(guān)鍵．
例4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴……
請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為 ．
（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）4
【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結(jié)論；
（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．
在和中，，∴，∴，
又∵，∴，∴；
（2）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，答案為：；
（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，
∵的周長(zhǎng)為，∴，
∴，
∵，∴，在中，，∴．
【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解和應(yīng)用阿基米德折弦定理解題關(guān)鍵．
例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：
阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．
如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．
小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段上從C點(diǎn)截取一段線段，連接．
小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接
任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書(shū)寫(xiě)出證明過(guò)程，
(2)就圖3證明：．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）首先證明，進(jìn)而可得，即可得到解答；
（2）由（1）可知，，整理等式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取C，連接，
∵是的中點(diǎn)，∴
在和中，∴，∴
∵，∴∴ ；
（2）證明：在中，，
在中，，由（1）可知， ，
∴
；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
模型2.婆羅摩笈多（定理）模型
【模型解讀】婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家。
婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)。

圖1 圖2 圖3
如圖1，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC和BD垂直相交，交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線EF，延長(zhǎng)FE與AD交于點(diǎn)G；則點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)。
如圖2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，則G為BE中點(diǎn)。
2、如圖3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延長(zhǎng)線取點(diǎn)H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F為CD中點(diǎn)，則AG⊥BE。
例1．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
布拉美古塔定理
婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．
某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證．
已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P作的垂線分別交，于點(diǎn)H，M．
求證：M是的中點(diǎn)．
任務(wù)：(1)請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明過(guò)程．(2)該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在該定理的基礎(chǔ)上寫(xiě)出了另外一個(gè)命題：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊請(qǐng)判斷此命題是 命題．（填“真”或“假”）。(3)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)真(3)．
【分析】（1）在中，證明，再由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，可得，則；同理可證，即可得到；
（2）仿照（1）的證明過(guò)程，直接證明即可；
（3）求出，再由，可得，求出，再由，即可求出．
【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，同理可得，，∴，∴M是的中點(diǎn)；
（2）解：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊，理由如下：
已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，垂足為P，M是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H，
求證：；
證明：∵M(jìn)是的中點(diǎn)；∴，
∴，且，
∵，∴，∴，
∴，∴；故答案為：真；
（3）解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，同角的余角相等是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線互相垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊”．
任務(wù)：（1）按圖（1）寫(xiě)出了這個(gè)定理的已知和求證，并完成這個(gè)定理的證明過(guò)程；
已知：__________________ 求證：_________________
證明：
（2）如圖（2），在中，弦于M，連接分別是上的點(diǎn)，于于H，當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形是怎樣的特殊四邊形：__________．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）菱形
【分析】（1）先寫(xiě)出已知、求證，先證明，再證明，即可證明
（2）先證明，再證明,由布拉美古塔定理證明即可證明
【詳解】（1）已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)． 求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)
證明：
，，
，，，
同理可證，，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)
故答案為：已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作的垂線分別交于點(diǎn)． 求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)
（2）四邊形是菱形
理由：由布拉美古塔定理可知，分別是的中點(diǎn)，
是中點(diǎn)
∴四邊形是菱形故答案為：四邊形是菱形
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、根據(jù)題意寫(xiě)已知求證、靈活進(jìn)行角的和差關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·浙江溫州·?？既＃┰趲缀螌W(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經(jīng)久不衰的平面幾何定理，蘇格蘭數(shù)學(xué)家羅伯特·西姆森發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點(diǎn)向三邊（或其延長(zhǎng)線）所作垂線的垂足共線，這三個(gè)垂足的連線后來(lái)被稱為著名的“西姆森線”．如圖，半徑為4的為的外接圓，過(guò)圓心O，那么過(guò)圓上一點(diǎn)P作三邊的垂線，垂足E、F、D所在直線即為西姆森線，若，，則的值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接，首先根據(jù)題意得到點(diǎn)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，然后證明出四邊形是矩形，得到，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，

由題意可得，點(diǎn)E、F、D共線，∵，∴，
∵，∴，∴點(diǎn)A，F(xiàn)，P三點(diǎn)共線，
∵，，，∴四邊形是矩形，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，∴．故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形綜合題，相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
2．（2023山東·?？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ恚喝鐖D1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則可用阿基米德折弦定理得，，根據(jù)中，，于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，可求出的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)，根據(jù)的周長(zhǎng)的計(jì)算方法即可求解．
【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，
∴外接圓中，，即點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，且于點(diǎn)，
∴根據(jù)阿基米德折弦定理得，，
∵中，，于點(diǎn)，且，
∴，，即是等腰直角三角形，則，
∴，∴，
∵的周長(zhǎng)為，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，等邊三角形的性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識(shí)，等腰直角三角形的性質(zhì)，幾何圖形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3.（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦．阿基米德從中看出了玄機(jī)并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論．
某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此進(jìn)行了探究，如圖1，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，小明通過(guò)度量、、的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)平分折弦，即．小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)仍然成立，于是三位同學(xué)都嘗試進(jìn)行了證明：
小軍采用了“截長(zhǎng)法”（如圖2），在上?取，使得，……
小麗則采用了“補(bǔ)短法”（如圖3），延長(zhǎng)至，使，……
小明采用了“平行線法”（如圖4），過(guò)點(diǎn)作，交圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，……
(1)請(qǐng)你任選一位同學(xué)的方法，并完成證明；
(2)如圖5，在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，內(nèi)接于（A、B、C均是格點(diǎn)），點(diǎn)A、D關(guān)于對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．
①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作直線，使得直線平分的周長(zhǎng)；②求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析，②
【分析】（1）證，得到，再由待腰三角形“三線合一”性質(zhì)得，即可得出結(jié)論（2）①作直徑，交于H，連接交于G，過(guò)點(diǎn)G、H作直線l即可；
②先由勾股定理，求得，再證，得，即可求得，從而得出，則，然后由由①可知周長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】（1）解：選小軍采用了“截長(zhǎng)法”（如圖2），在上?取，使得，
證明：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴∴，
在與中，，∴，∴，
∵，即，∴，∴，∴；
（2）解：①如圖所示，直線l即為所作，
理由：∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱，∴，，
∴，即，∴F是的中點(diǎn)，
∵，，∴，
由（1）得平分折弦，∴，
∵，∴，∴，即l平分周長(zhǎng)；
②由題意可得：，，，由勾股定理，得，
∵，，
∴，∴，即，∴，
∴，∴，
由①知周長(zhǎng)
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，屬圓的綜合探究題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理：如圖1， 和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)， ∴
任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上 一點(diǎn), ，與點(diǎn)E,則的周長(zhǎng)是 ．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）方法一、首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得出答案．方法二、先求出，再用（1）的結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)， ∴

在和中∴，∴，
又∵， ∴，∴；
（2）解：方法一、如圖3，截取，連接，
由題意可得：，
在和中，∴，∴，
∵，∴，則，
∵，∴，則的周長(zhǎng)是．故答案為．
方法二、∵是等邊三角形，∴，
∴由（1）的結(jié)論得，，
∵，∴，∴，
∴則的周長(zhǎng)是．故答案為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．
5．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
(2)填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，，則折弦的長(zhǎng)是______．

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．
【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，得，。再根據(jù)直角三角形的全等和判定，得，推出，即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，則，，根據(jù)，于點(diǎn)，，得；由題意得，，則折弦的長(zhǎng)為：，即可．
【詳解】（1）∵是弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，
∵和所對(duì)的弧是，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴．
（2）∵是等邊三角形，∴，，
∵，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，
∵，∴，∵，
∴折弦的長(zhǎng)為：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓，全等三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，掌握折弦定理的運(yùn)用．
6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)：
任務(wù)：（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是______；（2）將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則．請(qǐng)證明該命題．
【答案】（1）同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得結(jié)論；（2）證明為等腰三角形即可；
（3）用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明即可．
【詳解】（1）同弧所對(duì)的圓周角相等
（2）…，∵，，
∴，∴，∴．
（3）證明：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練轉(zhuǎn)換題目中角的關(guān)系．
7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．
證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；
【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為 （填“真命題”，“假命題”）；
【探究】（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．
【答案】【思考】真命題；【探究】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4．
【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計(jì)算．結(jié)論可得；
（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；
（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證，得到，．再進(jìn)一步說(shuō)明，可得，結(jié)論可得．
【詳解】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，
∵，為的中點(diǎn)，∴．∴．
∵，∴．∵，∴．
∴．∴．即：．
∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．
故答案為：真命題．
【探究】（1）如下圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∵，∴．∵，∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．
∵，∴．∴．
∵為等腰直角三角形，∴．
在和中，∴．∴．
∵，∴．在和中，∴．
∴．即是的中點(diǎn)．
（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∵，∴．
在和中，∴．
∴．∴． ∵，∴．
∵，
∴．在和中，
∴．∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點(diǎn)添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·山西太原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)
任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分短缺的條件為： ；
（2）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正確性：
已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，① ．求證：② ．證明：
【答案】（1）∠CBD=∠CAD；（2）①FA=FD，②FE⊥BC；證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得結(jié)論．
（2）把題設(shè)與結(jié)論交換可得逆命題，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明即可．
【詳解】解：（1）由題意：空格處為∠CBD=∠CAD．故答案為：∠CBD=∠CAD；
（2）①FA=FD，②FE⊥BC．故答案為：FA=FD，F(xiàn)E⊥BC．
理由：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，
∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等角的余角相等，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）探索應(yīng)用
材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為 ，用a．c和θ表示△ABC的面積為 ．
材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CF?BF＝QF?PF．
材料三：蝴蝶定理（ButterflyTherem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．
定理：如圖3，M為弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD，連結(jié)AD和BC交PQ分別于點(diǎn)E和F，則ME＝MF．
證明：設(shè)∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，
∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y(tǒng)
由即
化簡(jiǎn)得：MF2?AE?ED＝ME2?CF?FB 則有： ,
又∵CF?FB＝QF?FP，AE?ED＝PE?EQ，
∴，即 即，從而x＝y(tǒng)，ME＝MF．
請(qǐng)運(yùn)用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問(wèn)題：
如圖4，B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP＝CQ，A為PQ外一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結(jié)論．
【答案】材料一：；材料二：證明見(jiàn)解析；材料三：△PAQ的形狀為等腰三角形，證明見(jiàn)解析．
【分析】材料一：作AD⊥BC于D，由三角函數(shù)定義得AD＝AB×sinB＝c?sinθ，由三角形面積公式得△ABC的面積＝BC×AD＝acsinθ即可；
材料二：證明△CFQ∽△PFB，得出＝，即可得出結(jié)論；
材料三：證S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，證△ABP∽△ACQ，由S△ABP＝S△ACQ，證出AP＝AQ，即可得出結(jié)論．
【詳解】材料一：解：作AD⊥BC于D，如圖1所示：則sinB＝，
∴AD＝AB×sinB＝c?sinθ，∴△ABC的面積＝BC×AD＝acsinθ，故答案為：csinθ，acsinθ；
材料二：證明：∵∠C＝∠P，∠CFQ＝∠PFB，∴△CFQ∽△PFB，∴＝,∴CF?BF＝QF?PF；
材料三：解：△PAQ的形狀為等腰三角形，理由如下：
∵B、C為線段PQ上的兩點(diǎn)，且BP＝CQ，∴CP＝BQ，
∴△ABP與△ACQ等底等高，△APC與△AQB等底等高，∴S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，
∵∠BAP＝∠CAQ，∴∠BAP+∠BAC＝∠CAQ+∠BAC，
即∠PAC＝∠QAB，∴sin∠QAB＝Psin∠PAC，
∵S△AQB＝AB?AQsin∠QAB，S△APC＝AC?APsin∠PAC，
∴==1,∴=，∴△ABP∽△ACQ，
∵S△ABP＝S△ACQ，∴=＝1，∴AP＝AQ，∴△PAQ的形狀為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形面積公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在⊙O上（不與點(diǎn)A、B、C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上
以下是他們的證明過(guò)程：
如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE，QF，
則（依據(jù)1），
∴E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)2）．
又∵，∴．
∵，∴B，D，P，E四點(diǎn)共圓．∴（依據(jù)3）．
∵，∴（依據(jù)4）．
∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．
任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點(diǎn)的定義及______；②依據(jù)2指的是______；
③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．
(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，．請(qǐng)你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．
【答案】(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；
③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；④等量代換；
（2）證明：如圖，連接PA，PB，PC．
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∴，．
又∵，，∴．
∴（HL）．∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦，圓周角的關(guān)系，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及________；②依據(jù)2指的是________．
(2)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，，請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性．
【答案】(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）利用直角直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可；
（2）利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C和點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)分別共圓，再說(shuō)明∠FEP+∠DEP=180°，可證明結(jié)論；
（3）連接PA，PB，PC，利用HL證明Rt△PBD≌Rt△PCF，從而得出結(jié)論．
【詳解】（1）①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
②依據(jù)2指的是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，
故答案為：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；
（2）如圖（1），連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點(diǎn)Q，連接QE、QF，
則EQ=FQ=PC=PQ=CQ，∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴∠FCP+∠FEP=180°，
又∵∠ACP+∠ABP=180°，∴∠FEP=∠ABP，
同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，∴∠DBP=∠DEP，
∵∠ABP+∠DBP=180°，∴∠FEP+∠DEP=180°，∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線上；
（3）如圖，連接．
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴．
又∵，∴，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△PBD≌Rt△PCF是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）閱讀與思考；
（1）請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過(guò)程，完成婆羅摩笈多逆定理的證明：
已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，F(xiàn)是AD中點(diǎn)，連接FM并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求證：ME⊥BC
（2）已知如圖2，△ABC內(nèi)接于圓O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，點(diǎn)D在圓O上，∠BCD=60°，連接AD 交BC于點(diǎn)P，作ON⊥CD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NP交AB于點(diǎn)M，求證PM⊥BA并求PN的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）證明見(jiàn)解析, PN=1．
【詳解】試題分析：（1）由于AC⊥BD，所以∠AMD=90°，∠FAM+∠FDM=90°，由于F是AD的中點(diǎn)，所以AF=MF=DF，從而可證明∠EMC+∠MCB=90°．
（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由（1）的證明過(guò)程可知：PM⊥BA，再由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求出AP=1，CD=2，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出PN的長(zhǎng)度．
試題解析：（1）∵AC⊥BD，∴∠AMD=90°，
∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=MF=DF，∴∠FAM=∠FMA，∠FMD=∠FDM，
∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC，∠FAM+∠FDM=90°
∴∠EMC+∠MCB=90°，∴ME⊥BC；
（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，∴∠ACD=45°+60°=105°，
又∵∠D=∠B=30°，∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，
∴PA=PC，∠APC=90°，∴AD⊥BC，
∵ON⊥CD，∴由垂徑定理可知：N是CD的中點(diǎn)，
∴由（1）的證明過(guò)程可知：PM⊥BA
∵AB=2，∠B=30°，∴AP=1，∴PC=1，∵∠D=30°，∴CD=2PC=2，
∵N是CD的中點(diǎn)，∠CPD=90°，∴PN=CD=1．
12．（2023·北京昌平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和，的半徑為4，交軸于點(diǎn)A，，對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)叫做關(guān)于的“折弦點(diǎn)”．
(1)若，①點(diǎn)，，中是關(guān)于的“折弦點(diǎn)”的是______；
②若直線（）上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，求的值；
(2)點(diǎn)在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，直接寫(xiě)出的取值范圍．
【答案】(1)①、；②k的值是. (2)
【分析】（1）①根據(jù)題意得到P為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離進(jìn)行判斷即可；②由①可知, 點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為,過(guò)點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，求得，，，證明，根據(jù)相似性質(zhì)列式計(jì)算即可得到答案；
（2）由（1）可知點(diǎn)P在以為直徑的圓上，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，則直線與相交或相切，分兩種情況利用勾股定理求出b的最大值和最小值即可．
【詳解】（1）解：①如圖，∵P為MN的中點(diǎn)，
∴，∴，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，
∵，∴點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，
∵，，，
∴點(diǎn)，在該圓上，不在該圓上，
∴點(diǎn)，是關(guān)于的“折弦點(diǎn)” 故答案為，
②由①可知, 點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為,
∵直線（）上只存在一個(gè)關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，
∴直線（）與相切，過(guò)點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，
當(dāng)，，解得，當(dāng)，，
∴直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，
∴，，，
∵，∴，
∴，∴，解得；
（2）由（1）可知點(diǎn)P在以為直徑的圓上，
∵直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”，
∴直線與相交或相切，點(diǎn)D作垂直直線于點(diǎn)F，
∵直線與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，b有最大值，此時(shí),
∴,解得或（舍去），
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，b有最小值，此時(shí),
∴,解得（舍去）或
∴ 當(dāng)時(shí)，直線上存在關(guān)于的“折弦點(diǎn)”.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，圓的切線性質(zhì)定理，弄清定義，會(huì)畫(huà)圖分析是解題的關(guān)鍵.
13．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖中所示，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E．連結(jié)AD，AC，BD．（1）寫(xiě)出所有與∠DBA相等的角（不添加任何線段）__________．
（2）判斷AE，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）如圖，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）40
【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可求得；
（2）在線段上截取，根據(jù)是的中垂線，，可得，進(jìn)而可得，；
（3）根據(jù)即可求得．
【詳解】（1）是的中點(diǎn)，故答案為：
（2）
理由如下：如圖，在線段上截取，
∵
∴是的中垂線∴ ，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，，∴
∵∴，
∵，∴ ，∴，
∴，∴即
（3）∵∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（2023.浙江九年級(jí)期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過(guò)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；
（3）如圖3，．組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．
【解答】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點(diǎn)，，
，，，，
，為等腰三角形，，；
（2）如圖2，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接，
是圓內(nèi)接四邊形，，是劣弧的中點(diǎn)，，
，為等腰三角形，，，，
，
（3）．連接，，，、相交于點(diǎn)，
弧弧，，，，，
，，，，，
，，，，．
15．（2023.重慶九年級(jí)期中）先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題．
命題：如圖1，在正方形中，已知：，角的兩邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接．求證：．
證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至．，，與重合．，，點(diǎn)、、是一條直線．
根據(jù)，得證，得．
（1）特例應(yīng)用：如圖1，命題中，如果，，求正方形的邊長(zhǎng)．
（2）類比變式：如圖3，在正方形中，已知，角的兩邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接．寫(xiě)出、、之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．
（3）拓展深入：如圖4，在中，、是的弦，且，、是上的兩點(diǎn)，．①如圖5，連接、，求證：，；
②若點(diǎn)在（點(diǎn)不與點(diǎn)、、、重合）上，連接、分別交線段、或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，直接寫(xiě)出、、之間的等式關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖1，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則有，．
由材料可知：．在中，，．
．解得：，（舍去）所以正方形的邊長(zhǎng)為6．
（2）．理由如下：
在上取一點(diǎn)，使得．連接，如圖3．
四邊形是正方形，，．．
在和中，．．
，．．
，．
在△和中，．△．
．．
（3）①延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖5．
，，．
在和中，．．
．．
，．．
，，，．
，．
②Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6、7．

同理可得：．
Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖8．
同理可得：．
16．（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【了解概念】
我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．
【理解應(yīng)用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則______；
【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；
【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．
【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，，則______________．
【答案】（1）3；（2）證明見(jiàn)解析；（3）；（4）或
【分析】（1）根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出，再由所給的定義求出的長(zhǎng)即可；
（2）在上截取，連接、、、，可證明，得到，再由垂徑定理得到，則有，即可證明是折弦的中點(diǎn)；
（3）仿照（2）的方法，在上截取，連接、、、，證明，可得到；
（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出．
【詳解】解：（1）是的切線，為切點(diǎn)，，，
，，，，
是折線段的中點(diǎn)，，故答案為：3；
（2）證明：在上截取，連接、、、，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，
，，，是折弦的中點(diǎn)；
（3），理由如下：在上截取，連接、、、，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，，，，
，，；
（4）是的直徑，，，，，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖5，，，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，，；
綜上所述：的長(zhǎng)為或，故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·福建泉州·九年級(jí)校考期中）材料：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，……
(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知內(nèi)接于，D是的中點(diǎn)，依據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為_(kāi)_________；
(3)如圖4，已知等腰內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．
【答案】(1)該證明的剩余部分見(jiàn)解析(2)(3)4
【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可證明結(jié)論；（2）直接根據(jù)“截長(zhǎng)法”即可證明結(jié)論；
（3）根“截長(zhǎng)法”得出CE=BD+DE，進(jìn)而求出CE，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD．
（2）解：根據(jù)（1）中的結(jié)論可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為
故答案為：．
（3）解：∵AB=AC，D為上一點(diǎn)∴A是的中點(diǎn)，根據(jù)“截長(zhǎng)法”可得：CE=BD+DE，
∵△BCD的周長(zhǎng)為4+2，∴BD+CD+BC=4+2，∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4+2，
∵BC=2，∴CE=2，在Rt△ACE中，∠ACD=45°，∴AC=CE=4．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解“截長(zhǎng)法”是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考 請(qǐng)閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家物理學(xué)家，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中記述了有關(guān)圓的15個(gè)引理，其中第三個(gè)引理是：如圖1，是的弦，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上且，在上取一點(diǎn)，使，連接，則．小明思考后，給出如下證明：如圖2，連接、、、．
∵，∴（依據(jù)1） ∴
∵ ∴（依據(jù)2）…
圖1 圖2
任務(wù)：(1)寫(xiě)出小明證明過(guò)程中的依據(jù)：依據(jù)1：________ 依據(jù)2：________
(2)請(qǐng)你將小明的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(3)小亮想到了不同的證明方法：如圖3，連接、、、．請(qǐng)你按照小亮的證明思路，寫(xiě)出證明過(guò)程；(4)結(jié)論應(yīng)用：如圖4，將材料中的“弦”改為“直徑”，作直線與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，其余條件不變，若，且是的中點(diǎn)，則____．
【答案】(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；等弧所對(duì)的圓周角相等
(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)
【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等和等弧所對(duì)的圓周角相等來(lái)作答；
（2）結(jié)合小明的證明思路，利用四邊形是⊙的內(nèi)接四邊形得到，再結(jié)合，即有，又因?yàn)椋瑒t有，即可證得；（3）根據(jù)小亮的作圖，，，即有繼而得到再根據(jù)=得，推出，則有，根據(jù)四邊形是⊙的內(nèi)接四邊形有即，又根據(jù)，即可得，則有；（4）根據(jù)題條件易求得AB、BD的長(zhǎng)度，則利用結(jié)論有BQ=BD可求BQ，根據(jù)直線l是圓的切線以及BM⊥l，可得∠BMQ=∠QBM+∠BMQ=90°，則有，繼而得∠MBQ=∠OQB，∠MBQ=∠OQB=∠OBQ，則可證得，即有，在Rt△AQB中，利用勾股定理求出，即可求出．
（1）依據(jù)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；依據(jù)2：等弧所對(duì)的圓周角相等；
（2）∵四邊形是⊙的內(nèi)接四邊形∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴；
（3）∵，∴∴
∵=，∴，∴，∴，
∵四邊形是⊙的內(nèi)接四邊形∴即，
∵，∴，∴；
（4）QM=，理由如下：如圖，連接AQ，
∵直徑AB=4，∴半徑OA=OQ=OB=2，∠AQB=90°，∴∠OQA=∠OAQ，∠OQB=∠OBQ，
∵D為OA中點(diǎn)，∴AD=DO=1，∴BD=BO+OD=3，則利用結(jié)論有BQ=BD=3，
∵直線l是⊙O的切線，∴OQ⊥l，∴∠OQM=∠OQB+∠BQM=90°，
∵BM⊥l，∴∠BMQ=∠QBM+∠BMQ=90°，
∴，∴∠MBQ=∠OQB，∴∠MBQ=∠OQB=∠OBQ，
再結(jié)合∠AQB=90°=∠BMQ，有，∴，
在Rt△AQB中，，∴由，得．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．
阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．
這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．
∵是弧的中點(diǎn)，
∴．…


婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：
圖1
古拉美古塔定理：如圖1，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線，垂足為點(diǎn)，并且交直線于點(diǎn)，則．
證明：∵，，∴
∴，．∴．
∵，∴．（依據(jù)）
又∵，∴．∴．……
婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：
古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點(diǎn)F，則AF＝FD．
證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME ∴ ，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF…
西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）． 某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．
如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．
如下是他們的證明過(guò)程（不完整）：
如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）
∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）
又∵，∴．
同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……
婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書(shū)寫(xiě)了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書(shū)籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，ME⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EM交CD于F，求證：MF=DF
證明∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中點(diǎn)．

阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．
阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．
這個(gè)定理有根多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．
∵是弧的中點(diǎn)，
∴．…


婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：
圖1
古拉美古塔定理：如圖1，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)，直線，垂足為點(diǎn)，并且交直線于點(diǎn)，則．
證明：∵，，∴
∴，．∴．
∵，∴．（依據(jù)）
又∵，∴．∴．……
婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹(shù)，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻(xiàn)．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：
古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點(diǎn)F，則AF＝FD．
證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME ∴ ，∠CME＝∠AMF ∴∠CAD＝∠AMF ∴AF＝MF…
西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）． 某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．
如圖（1），已知內(nèi)接于，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A，B，C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作，，的垂線，垂足分別為．點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線上．
如下是他們的證明過(guò)程（不完整）：
如圖（1），連接，，，，取的中點(diǎn)Q，連接，，則，（依據(jù)1）
∴點(diǎn)E，F(xiàn)，P，C四點(diǎn)共圓，∴．（依據(jù)2）
又∵，∴．
同上可得點(diǎn)B，D，P，E四點(diǎn)共圓，……
婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，書(shū)寫(xiě)了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)與天文的書(shū)籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國(guó)九章算術(shù)而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內(nèi)容及證明如下：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接與圓O對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)M，ME⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EM交CD于F，求證：MF=DF
證明∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中點(diǎn)．