易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤（相鄰問題）
相鄰問題
技巧總結(jié)
相鄰問題
1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在一起考慮.如果設(shè)計到順序，則還應(yīng)考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進行計算.
2、解題步驟：
第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數(shù)
第二步：求出其余元素的排列種數(shù)
第三步：求出總的排列種數(shù)
易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）；
（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；
例、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
變式1：加工某種產(chǎn)品需要5道工序，分別為A，B，C，D，E，其中工序A，B必須相鄰，工序C，D不能相鄰，那么有（ ）種加工方法．
A．24B．32C．48D．64
變式2：中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列. 中國的目標是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴大了太空計劃.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施 個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（ ）
A． 種B． 種C． 種D． 種
變式3：為推動黨史學(xué)習教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（ ）
A．10種B．12種C．16種D．24種
1．2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
2．六名同學(xué)暑期相約去都江堰采風觀景，結(jié)束后六名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．48種B．72種C．120種D．144種
3．把二項式的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為，有理項兩兩不相鄰的概率為，則（ ）
A．5B．C．4D．
4．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰的不同站法的種數(shù)為（ ）
A．48B．96C．144D．288
5．2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分戰(zhàn)勝韓國隊，實現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A．18種B．24種C．30種D．36種
6．為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（ ）
A．18種B．36種C．72種D．144種
7．甲、乙兩個家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為（ ）
A．144B．864C．1728D．2880
8．某駕校6名學(xué)員站成一排拍照留念，要求學(xué)員A和B不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．120種B．240種C．360種D．480種
9．某高鐵動車檢修基地庫房內(nèi)有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現(xiàn)有動車、高鐵共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車停放在道的概率為（ ）
A．B．C．D．
10．班長邀請四位同學(xué)參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學(xué)隨機坐在①②③④四個座位，則兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（ ）

A．B．
C．D．
11．將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（ ）
A．4種B．8種C．12種D．48種
12．5名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（ ）
A．70種B．72種C．36種D．12種
13．現(xiàn)有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進行排列，則（ ）
A．排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種
B．全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種
C．全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種
D．全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種
14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（ ）
A．若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種
B．若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種
D．如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種
15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓(xùn)練，則（ ）
A．甲乙不相鄰的不同排法有48種
B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種
C．甲乙不排在兩端的不同排法有36種
D．甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種
16．某學(xué)校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進行安排，則下列說法正確的是（ ）
A．若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序
B．若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序
C．若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序
D．若學(xué)生的節(jié)目順序已確定，再增加兩個教師節(jié)目，共有72種不同的出場順序
17．某校高二年級安排甲?乙?丙三名同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每名同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進行實踐活動，且多名同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進行實踐活動，則下列說法正確的有（ ）
A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種
B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有50種
C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種
D．如果甲?乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種
18．在樹人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現(xiàn)將獲得一等獎的學(xué)生排成一排合影，則（ ）
A．3名男生排在一起，有6種不同排法B．2名女生排在一起，有48種不同排法
C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法D．女生不站在兩端，有108種不同排法
19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（ ）
A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為72種
D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種
20．(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（ ）
A．A與B相鄰有48種擺法
B．A與C相鄰有48種擺法
C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法
D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法
21．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內(nèi)部排列”或“整體列”
（不相鄰問題）
不相鄰問題
技巧總結(jié)
1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進行全排列，然后將要求不相鄰的元素插入到已排列的元素之間，最后進行計算即可
2.解題步驟：
①先考慮不受限制的元素的排列種數(shù)
②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種（插空法），求出排列種數(shù)
③求出總的排列種數(shù)
易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間．但應(yīng)該注意插入的元素之間如果也有順序，應(yīng)先進行排列．
例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數(shù)．
（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；
（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起．
變式1：為推動黨史學(xué)習教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（ ）
A．10種B．12種C．16種D．24種
變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（ ）
A．12種B．24種C．72種D．120種
1．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（ ）
A．若女生必須站在一起，那么一共有種排法
B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法
C．若甲不站最中間，那么一共有種排法
D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法
2．某校文藝匯演共6個節(jié)目，其中歌唱類節(jié)目3個，舞蹈類節(jié)目2個，語言類節(jié)目1個，則下列說法正確的是（ ）
A．若以歌唱類節(jié)目開場，則有360種不同的出場順序
B．若舞蹈類節(jié)目相鄰，則有120種出場順序
C．若舞蹈類節(jié)目不相鄰，則有240種不同的出場順序
D．從中挑選2個不同類型的節(jié)目參加市藝術(shù)節(jié)，則有11種不同的選法
3．現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是（ ）
A．個空位全都相鄰的坐法有種
B．個空位中只有個相鄰的坐法有種
C．個空位均不相鄰的坐法有種
D．4個空位中至多有個相鄰的坐法有種
4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（ ）．
A．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種
B．若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C．若甲、乙、丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種
D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有36種
5．現(xiàn)將9把椅子排成一排，5位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是（ ）
A．4個空位全都相鄰的坐法有720種
B．4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種
C．4個空位均不相鄰的坐法有1800種
D．4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種
6．現(xiàn)有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數(shù)可以表示為（ ）
A．B．
C．D．
7．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（ ）
A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習，共有15種選法
B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法
C．課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法
D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法
8．有甲、乙、丙等6名同學(xué)，則說法正確的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480
B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240
C．6名同學(xué)平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法
D．6名同學(xué)分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種
9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（ ）
A．若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種
B．若五位同學(xué)排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C．若甲乙丙三位同學(xué)按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種
D．若甲、乙、丙、丁四位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有72種
10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（ ）
A．36B．72C．81D．144
11．杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（ ）
A．288種B．360種C．480種D．504種
12．，，，，五名學(xué)生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．72B．36C．18D．64
13．某選拔性考試需要考查4個學(xué)科（語文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
14．現(xiàn)有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
15．黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的，兩段，使得長線段與原線段的比等于短線段與長線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為（ ）
A．180B．210C．240D．360
易錯點三：忽視排列數(shù)、組合數(shù)公式的隱含條件（排列組合綜合）
1．兩個重要公式
(1)排列數(shù)公式
．
(2)組合數(shù)公式
2、要點：一般用于計算，而和一般用于證明、解方程（不等式）.
重點：三個重要性質(zhì)和定理
組合數(shù)性質(zhì)
（1）對稱性：；
組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.
從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.
等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標相同，上標之和等于下標.
應(yīng)用：①簡化計算，當時，通常將計算轉(zhuǎn)化為計算，如
②列等式：由，可得或，如，則或故或.
；
組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.
對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，根據(jù)分類加法原理：.
等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組合數(shù).
應(yīng)用：恒等變形
常見的組合恒等式：，，
，.
（3）.
重點：三個重要性質(zhì)和定理
組合數(shù)性質(zhì)
（1）對稱性：；
組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.
從個不同的元素中任取個元素后只剩下個元素了，則從個不同的元素中任取個元素與從個不同的元素中任取個元素是等效的.則，故.
等式特點：等號兩邊組合數(shù)的下標相同，上標之和等于下標.
應(yīng)用：①簡化計算，當時，通常將計算轉(zhuǎn)化為計算，如
②列等式：由，可得或，如，則或故或.
；
組合意義：從個不同的元素中任取個元素，則.
對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有種，如果不取這一元素，則需從剩下的個元素中任取個元素，所以共有，根據(jù)分類加法原理：.
等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數(shù)之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組合數(shù).
應(yīng)用：恒等變形
常見的組合恒等式：，，
，.
（3）.
易錯提醒：解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點
（1）元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題．
（2）對于有限多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法．
例、解不等式.
變式1．若，則n的值為（ ）
A．7B．8C．9D．10
變式2．計算＋＋＋＋的值為（ ）
A．B．
C．－1D．－1
變式3．若整數(shù)滿足，則的值為（ ）
A．1B．C．1或D．1或3
1．可表示為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，則（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．！除以2019的余數(shù)為（ ）
A．1B．2018C．2017D．前三個答案都不對
4．甲，乙，丙3位同學(xué)從即將開設(shè)的4門校本課程中任選一門參加，則他們參加的校本課程各不相同的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．若，則n等（ ）
A．8B．4C．3或4D．5或6
6．若，則正整數(shù)（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．一條鐵路有n個車站，為適應(yīng)客運需要，新增了m個車站，且知，客運車票增加了62種，則現(xiàn)在車站的個數(shù)為（ ）
A．15B．16C．17D．18
8．不等式的解集為（ ）
A．{2，8}B．{2，6}
C．{7，12}D．{8}
9．若，則 .
10．已知，求x的值．
11．解關(guān)于正整數(shù)x的不等式．
12．解關(guān)于正整數(shù)n的方程：．
13．已知，且.求的值.
14．（1）解不等式．
（2）若，求正整數(shù)n．
15．（1）若，則x= .
（2）不等式的解集為 .
易錯點四：實際問題不清楚導(dǎo)致計算重復(fù)或者遺漏致誤
（加法與乘法原理）
正難則反問題
技巧總結(jié)
正難則反排除處理：對于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面(取補集的思想)，一般在題目中有字眼“至多、至少”等體現(xiàn)。
正規(guī)方法：限制（定位）問題優(yōu)先處理：某個（幾個）元素要排在指定位置，可先排這個（幾個）元素，再排其它元素，或某個（幾個）位置要求排指定元素，可先排這個（幾個）位置，再排其它位置。（即可從限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。
秒殺方法：對立事件處理+韋恩圖解釋
模型：7個同學(xué)站隊，要求甲同學(xué)不站在排首，乙同學(xué)不站在排尾，求站隊的總方案數(shù).
破解：①全部方案：,
②其中不合理的方案
則種方案.
解釋：
易錯提醒：排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以我們在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素原則、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向．同時，解答組合問題必須心思細膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題．
例、有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有多少種？
變式1：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面點，不同取法有 種。
變式2：從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有 ( )
A.70種 B.80種 C.100種 D.140種
變式3：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1,且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)。若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有 ( )
A.18個 B.16 C.14個 D.12個
1．高考期間，為保證考生能夠順利進入考點，交管部門將5名交警分配到該考點周邊三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少1人，至多2人，則不同的分配方染共有（ ）
A．60種B．90種C．125種D．150種
2．某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數(shù)是（ ）
A．B．120C．240D．720
4．用數(shù)字3，6，9組成四位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．81B．48C．36D．24
5．從4名優(yōu)秀學(xué)生中選拔參加池州一中數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三學(xué)科培優(yōu)研討會，要求每名學(xué)生至多被一學(xué)科選中，則每學(xué)科至少要選用一名學(xué)生的情況有（ ）種
A．24B．36C．48D．60
6．將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（ ）
A．30種B．90種C．180種D．270種
7．哈六中高一學(xué)習雷鋒志愿小組共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，現(xiàn)在從中任選人，要求這三人不能是同一個班級的學(xué)生，且在三班至多選人，不同的選取法的種數(shù)為
A．B．C．D．
8．下列說法正確的是（ ）
A．4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有81種報名方法
B．4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有24種報名方法
C．4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有64種可能的結(jié)果
D．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為12個
9．如圖，線路從到之間有五個連接點，若連接點斷開，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通，則下列判斷正確的是（ ）
A．至多三個斷點的有種B．至多三個斷點的有種
C．共有種D．共有種
10．某班有5名同學(xué)報名參加校運會的四個比賽項目，計算在下列情況下各有多少種不同的報名方法.
（1）每人恰好參加一項，每項人數(shù)不限；
（2）每項限報一人，每項都有人報名，且每人至多參加一項；
（3）每人限報一項，人人參加了項目，且每個項目均有人參加.
11．已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對它們一一進行測試，直至找到所有次品．
（1）若在第5次測試時找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？
（2）若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？
12．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、B、C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加A、B項目，乙不能參加B、C項目，那么共有 種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）
13．某校在高二年級開設(shè)選修課，其中數(shù)學(xué)選修課開四個班.選課結(jié)束后，有四名同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但每班至多可再接收2名同學(xué)，那么不同的分配方案有 （用數(shù)字作答）
14．某單位有A、B、C、D四個科室，為實現(xiàn)減負增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這8人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有 種不同的安排方法？
易錯點五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問題）
不同元素分組分配問題
技巧總結(jié)
分組問題與分配問題
Ⅰ：將個不同元素按照某些條件分成組，稱為分組問題.
分組問題共分為3類：不平均分組、平均分組、部分平均分組.
將個不同元素按照某些條件分配給個不同的對象，稱為分配問題.
分配問題共分為2類：定額分配、隨機分配.
區(qū)別：分組問題是組與組之間只要元素個數(shù)相同，是不區(qū)分的.而分配問題即使兩組元素個數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的，對于分配問題必須先分組后分配.
Ⅱ：分組問題的常見形式及快速處理方法
①非均勻不編號分組：個不同元素分成組，每組元素數(shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是否分完，其分法種數(shù)為：
如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目不同，有多少種情況？
②均勻不編號分組：將個不同元素分成不編號的組，假定其中組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以.除的原因為：如：123456平均分成3組，可能是
也可能是或者是等，一共有種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以除以.
如：兩兩一組，分兩組，若直接用種，但列舉出來的分別為、、再往下列舉就已經(jīng)重復(fù)了.
如：、、.
如：6個不同的球分為3組，且每組數(shù)目相同，有多少種情況？
.
③非均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）
④均勻編號分組：將個不同元素分成組，各組元素數(shù)目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為（為非均勻不編號分組的分法種數(shù)）.
易錯提醒：均勻分組和部分均勻分組在計數(shù)過程中易出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，注意計算公式的應(yīng)用．重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以．
例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少一本的不同分法共有______種．（用數(shù)字作答）
變式1：12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有
( )種。
A. B.3 C. D.
變式2：將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有 ( )
A.12種 B.10種 C.9種 D.8種
變式3：某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少
安排一個班，不同的安排方法共有 種。（用數(shù)字作答）
1．第19屆亞運會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者．甲、乙等4人報名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目．若甲不能參加“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有（ ）
A．6種B．12種C．18種D．24種
2．從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（ ）
A．42種B．36種C．72種D．46種
3．陽春三月，草長鶯飛，三個家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每兩位大人之間至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．216B．288
C．432D．512
4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（ ）
A．20種B．30種C．50種D．60種
5．杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲?乙等6人報名參加了??三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加?項目，乙不能參加?項目，那么共有（ ）種不同的選拔志愿者的方案.
A．36B．40C．48D．52
6．現(xiàn)有甲?乙?丙3位同學(xué)在周一至周五參加某項公益勞動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲同學(xué)安排在另外兩位前面，則不同的安排總數(shù)為（ ）
A．10B．20C．40D．60
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20種B．30種C．40種D．60種
8．甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是
A．B．C．D．
9．從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有 種．
10．將2枚白棋和2枚黑棋放入一個的棋盤中，使得棋盤的每個方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種數(shù)為 ．
11．現(xiàn)有紅、黃、白三種顏色的小球（形狀、大小完全相同）5個，每種顏色至多2個小球，若將這5個小球排成一排，要求中間位置不放白球，且同種顏色的小球不相鄰，則共有 種排法．
12．把座位編號為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為 (用數(shù)字作答)．
13．全運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加、、三個項目的志愿者工作．因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加1個項目，若甲不能參加、項目，乙不能參加、項目，那么共有多少種不同的選拔志愿者的方案？
14．某電影院一排有10個座位，現(xiàn)有4名觀眾就座.
（1）若4名觀眾必須相鄰，則不同的坐法有多少種？
（2）若4名觀眾中恰有兩人相鄰，則不同的坐法有多少種？
（3）若4名觀眾兩兩不相鄰，且要求每人左右兩邊至多只有2個空位，則不同的坐法有多少種？
15．將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少種放法?
(2)若每盒至多一球,則有多少種放法?
(3)若恰好有一個空盒,則有多少種放法?
(4)若每個盒內(nèi)放一個球,并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同,則有多少種放法?
易錯點六：由于重復(fù)計數(shù)致錯（可重復(fù)與限制問題）
可重復(fù)問題
總原則：可重復(fù)問題方冪處理(乘法原理）
Ⅰ：解決排列組合綜合問題的一般過程
（1）認真審題，確定要做什么事；
（2）確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；
（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；
（4）解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．
Ⅱ：數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．
Ⅲ：定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
易錯提醒：解排列組合的應(yīng)用題，要注意：由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決問題的方案是否完備，有無重復(fù)或遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看是否相同．在對排列組合問題分類時，分類標準應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．
例、從1，3，5，7，9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到的不同值的個數(shù)是（ ）
A．9 B．10 C．18 D．20
變式1.有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小
組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為 ( )
A. B. C. D.
變式2.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同
學(xué)參加公益活動的概率為 ( )
A. B. C. D.
變式3.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦，在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有個陽爻的概率是 ( )

A. B. C. D.
1．2023年6月25日19時，隨著最后一場比賽終場哨聲響起，歷時17天的．2023年涼山州首屆“火洛杯”禁毒防艾男子籃球聯(lián)賽決賽冠軍爭奪賽在涼山民族體育館內(nèi)圓滿閉幕，為進一步展現(xiàn)涼山男兒的精神風貌主辦方設(shè)置一場扣籃表演，分別由西昌市、冕寧縣、布拖縣、昭覺縣4個代表隊每隊各派1名球員參加扣籃表演，則西昌代表隊隊員扣籃表演不在第一位且不在最后一位的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．“繽紛藝術(shù)節(jié)”是西大附中的一個特色，學(xué)生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對這五個節(jié)目的出場順序進行排序，其中甲不能第一個出場，乙不能第三個出場，則一共有（ ）種不同的出場順序.
A．72B．78C．96D．120
3．將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機分配到A，B，C，D四個社區(qū)做環(huán)保宣傳，每個志愿者只能去其中一個社區(qū)且每個社區(qū)只能安排一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．某班準備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準備表演3個歌唱類節(jié)目和2個語言類節(jié)目，現(xiàn)要排出一個節(jié)目單，若前2個節(jié)目中必須要有語言類節(jié)目，則不同的排法有 種．
5．某醫(yī)院選派甲、乙等4名醫(yī)生到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲、乙不在同一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有 種．
6．首個全國生態(tài)主場日活動于在浙江湖州舉行，推動能耗雙控轉(zhuǎn)向碳排放雙控．有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項議程在該天舉行，每個議程有半天會期．現(xiàn)在有甲、乙、丙三個會議廳可以利用，每個會議廳每半天只能容納一個議程．若要求A，B兩議程不能同時在上午舉行，而C議程只能在下午舉行，則不同的安排方案一共有 種．（用數(shù)字作答）
7．填空：
（1）甲、乙、丙3名同學(xué)選修興趣課程，從5門課程中，甲選修2門，乙選修4門，丙選修3門，則不同的選修方案共有 種．
（2）H城市某段時間內(nèi)發(fā)放的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同，這樣的牌照號碼共有 種．
（3）4名教師分配到3所學(xué)校任教，每所學(xué)校至少1名教師，則不同的分配方案共有 種．
（4）五人并排站成一排，甲、乙必須相鄰且甲在乙的左邊，則不同的站法共有 種．
（5）要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育和藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法共有 種．
8．某公司為員工制訂了一項旅游計劃，從7個旅游城市中選擇5個進行游覽，如果M，N為必選城市，并且在游覽過程中必須按先M后N的次序，則不同的游覽線路有多少種？
9．用可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？其中能被5整除的五位數(shù)有多少個？
10．某單位安排7位工作人員在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少種不同的安排方法？

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