1．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）下列手機中的圖標是軸對稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）若a、b均為正整數(shù)，且滿足2a+2a+2a+2a＝2b×2b×2b×2b，則a與b的關系正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝2bB．2a＝b+4C．a(chǎn)+2＝b4D．a(chǎn)+2＝4b
3．（2分）（2023秋?普陀區(qū)期末）如果當x＝﹣1時，分式M的值為0，那么M可以是（ ）
A．x-1x+1B．1-xx+1C．x+1x-1D．x-1x2-1
4．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，點E在AB的延長線上，下列條件中可以判斷AB∥DC的是（ ）
A．∠A＝∠5B．∠3＝∠4
C．∠ABC+∠C＝180°D．∠ADC＝∠ABC
5．（2分）（2023秋?寶山區(qū)期末）如果一個數(shù)等于兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個數(shù)為“友誼數(shù)”．下列數(shù)中“友誼數(shù)”是（ ）
A．502B．520C．205D．250
二、填空題（本大題共13題，每題2分，滿分26分）
6．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）當x 時，分式2x5x+4有意義．
7．（2分）（2009秋?靜安區(qū)期末）計算：a2-1a+2-1-aa+2= ．
8．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，∠ACB＝90°，AB⊥CD，垂足為D，線段 的長表示點B到直線CD的距離．
9．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，與∠B構成同旁內(nèi)角的角有 個．
10．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，直線AB、CD相交于E，EF⊥CD，垂足為E．當∠BEF＝33°時，∠AEC＝ ．
11．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉77°后得到△ADE，點B與點D是對應點，點C與點E是對應點．如果∠EAB＝39°，那么∠DAC＝ °．
12．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）甲安裝隊為A小區(qū)安裝78臺空調(diào)，乙安裝隊為B小區(qū)安裝65臺空調(diào)，兩隊同時開工且恰好同時完工，甲隊比乙隊每天多安裝3臺，若設乙隊每天安裝x臺，則根據(jù)題意可列方程 .（無需解方程）
13．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示：，實際時間是 ．
14．（2分）（2019?高郵市二模）若關于x的方程x-3x-2=m2-x有增根，則m的值為 ．
15．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，當0＜∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，當∠ACE的度數(shù)為 時，三角板BCE的直角邊與邊AD平行．
16．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）已知xx2+x+1=29，則x2x4+x2+1= ．
17．（2分）（2023秋?崇明區(qū)期末）將9個代數(shù)式填入九宮格的方格中，使得九宮格的每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個代數(shù)式的和都相等．已知九宮格中的部分代數(shù)式如圖所示，則M﹣N＝ ．（用含有x的代數(shù)式表示）
18．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AD⊥BC，AD＝2，BD＝3，CD＝4，將△ABC繞著點D旋轉，使得點A的對應點A′落在邊BC上，點B、C的對應點分別是點B′、C′，則△A′B′C的面積等于 ．
三、簡答題（本大題共6題，每題5分，滿分30分）
19．（5分）（2020秋?奉賢區(qū)期末）計算：（2x﹣1）2﹣2（x﹣2）（x+6）．
20．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）計算：(-4xx2y)2÷(a-1x22y-1)2?(ayx)-4．
21．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）計算：4+(xx-2-xx+2)÷4xx2-x-6．
22．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）因式分解：4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2．
23．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）因式分解：（a2+6a）2+14（a2+6a）+45．
24．（5分）（2023秋?楊浦區(qū)期末）解方程：x+5x2-x=5x-1-3x．
四、解答題（本大題共4題，6分+6分+6分+6分，共24分）
25．（6分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）化簡：(1+x2-1x2-2x+1)?(5x-5)+x2+2x-3x-1并在x=1，2，-213三個數(shù)中選取兩個求這個代數(shù)式的值．
26．（6分）（2022?山西）2022年我國已成為全球最大的電動汽車市場，電動汽車在保障能源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明顯優(yōu)勢．經(jīng)過對某款電動汽車和某款燃油車的對比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動汽車平均每公里的充電費比燃油車平均每公里的加油費少0.6元．若充電費和加油費均為200元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款電動汽車平均每公里的充電費．
27．（6分）（2018秋?閔行區(qū)期末）在圖中網(wǎng)格上按要求畫出圖形，并回答問題：
（1）如果將三角形ABC平移，使得點A平移到圖中點D位置，點B、點C的對應點分別為點E、點F，請畫出三角形DEF；
（2）畫出三角形ABC關于點D成中心對稱的三角形A1B1C1；
（3）三角形DEF與三角形A1B1C1 （填“是”或“否”）關于某個點成中心對稱？如果是，請在圖中畫出這個對稱中心，并記作點O．
28．（6分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）圖1是一塊智慧黑板的平面示意圖，由①、②、③、④四塊長方形小黑板組成，四塊小黑板的長和寬如圖所示（其中a＜b），②和③號黑板分別可以向左、向右水平移動，移動后就可以看到黑板后的電子屏幕．
（1）將②號黑板向左水平移動到EF與AB重合，③號黑板向右水平移動到MN與DC重合，此時電子屏幕全部呈現(xiàn)，沒有黑板遮擋，如圖2所示．求電子屏幕的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
（2）將②號黑板向左水平移動長度14a，③號黑板水平向右水平移動一定的長度，此時被黑板遮擋住的電子屏幕的面積為a2+2ab+b24，求③號黑板向右水平移動的長度．（用含a、b的代數(shù)式表示）
五、綜合題（共10分）
29．（10分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）某學校數(shù)學興趣小組的成員李同學在學習了圖形的旋轉這節(jié)課后，探索了一個新的問題：新定義：把長方形ABCD繞著一個頂點旋轉，使一邊落在對角線上，把這樣的旋轉稱為“對角旋轉”，這個旋轉角稱為“對角旋轉角”，如圖1，在長方形ABCD中，AB＜AD，AC是對角線，
（1）如圖2，把長方形ABCD繞點A逆時針作“對角旋轉”，使邊AB落在對角線AC上，此時點B的對應點為點B1，點C的對應點為點C1，點D的對應點為點D1，聯(lián)結AC1，如果∠CAD度數(shù)為α，則“對角旋轉角”的度數(shù)＝ （用含有α的代數(shù)式表示）；
（2）在（1）的條件下，如果∠C1AD＝39°，那么再把長方形ABCD繞點A順時針作“對角旋轉”，使邊AD落在對角線AC上，點B的對應點為點B2，點C的對應點為點C2，點D的對應點為點D2，聯(lián)結AC2，則∠C2AD＝ ．；
（3）在長方形ABCD中，BC＝2AB+4，在（1）（2）的基礎上經(jīng)“對角旋轉”后，點C的對應點分別為點C1和點C2，聯(lián)結AC1、AC2、CC1、CC2，△ACC1面積為312，△ACC2面為130，請求出此時長方形ABCD的面積．
2024-2025學年上海市徐匯區(qū)西南模范中學七年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共5小題，每題2分，滿分10分）
1．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）下列手機中的圖標是軸對稱圖形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考點】軸對稱圖形．
【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，把圖形沿某一條直線折疊，看直線兩旁的部分是否能夠互相重合，逐一進行判斷即可．
【解答】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：C．
【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分完全重合，稱這個圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
2．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）若a、b均為正整數(shù)，且滿足2a+2a+2a+2a＝2b×2b×2b×2b，則a與b的關系正確的是（ ）
A．a(chǎn)＝2bB．2a＝b+4C．a(chǎn)+2＝b4D．a(chǎn)+2＝4b
【考點】有理數(shù)的乘方．
【專題】實數(shù)；運算能力．
【分析】由2a+2a+2a+2a＝2b×2b×2b×2b，知4×2a＝24b，即2a+2＝24b，據(jù)此可得答案．
【解答】解：∵2a+2a+2a+2a＝2b×2b×2b×2b，
∴4×2a＝24b，
∴2a+2＝24b，
則a+2＝4b，
故選：D．
【點評】本題主要考查有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是掌握乘方的定義．
3．（2分）（2023秋?普陀區(qū)期末）如果當x＝﹣1時，分式M的值為0，那么M可以是（ ）
A．x-1x+1B．1-xx+1C．x+1x-1D．x-1x2-1
【考點】分式的值為零的條件．
【專題】分式；運算能力．
【分析】直接利用分式的值為零則分子為零，分母不為零進而得出答案．
【解答】解：A．當x＝﹣1時，分式x-1x+1沒有意義，故本選項不符合題意；
B．當x＝﹣1時，分式1-xx+1沒有意義，故本選項不符合題意；
C．當x＝﹣1時，分式x+1x-1的值為0，故本選項符合題意；
D．當x＝﹣1時，分式x-1x2-1沒有意義，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握相關定義是解題關鍵．
4．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，點E在AB的延長線上，下列條件中可以判斷AB∥DC的是（ ）
A．∠A＝∠5B．∠3＝∠4
C．∠ABC+∠C＝180°D．∠ADC＝∠ABC
【考點】平行線的判定．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．
【分析】根據(jù)平行線的判定方法分別進行判斷．
【解答】解：A、∠A＝∠5可以判定AD∥BC，故此選項不合題意；
B、∠3＝∠4可以判定AD∥BC，故此選項不合題意；
C、∠ABC+∠C＝180°可以判定直線AB∥DC，故此選項符合題意；
D、∠ADC＝∠ABC不可以判定AB∥DC，故此選項不合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
5．（2分）（2023秋?寶山區(qū)期末）如果一個數(shù)等于兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個數(shù)為“友誼數(shù)”．下列數(shù)中“友誼數(shù)”是（ ）
A．502B．520C．205D．250
【考點】整式的加減．
【專題】整式；運算能力．
【分析】設較小的奇數(shù)為x，較大的為x+2，根據(jù)題意列出算式，求出解判斷即可．
【解答】解：設較小的奇數(shù)為x，較大的為x+2，
根據(jù)題意得：（x+2）2﹣x2＝（x+2﹣x）（x+2+x）＝4x+4，
若4x+4＝205，即x=2014，不為整數(shù)，不符合題意；
若4x+4＝250，即x=2464，不為整數(shù)，不符合題意；
若4x+4＝502，即x=4984，不為整數(shù)，不符合題意；
若4x+4＝520，即x＝129，符合題意．
故選：B．
【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
二、填空題（本大題共13題，每題2分，滿分26分）
6．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）當x ≠-45 時，分式2x5x+4有意義．
【考點】分式有意義的條件．
【專題】分式；運算能力．
【分析】根據(jù)分式有意義的條件解得即可．
【解答】解：根據(jù)題意，當分式有意義時，
5x+4≠0，
解得x≠-45，
故答案為：≠-45，
【點評】本題考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件為分母不等于0．
7．（2分）（2009秋?靜安區(qū)期末）計算：a2-1a+2-1-aa+2= a﹣1 ．
【考點】分式的加減法．
【專題】計算題．
【分析】利用同分母分式的減法法則計算，分子整理后分解因式，約分即可得到結果．
【解答】解：原式=a2-1-1+aa+2=a2+a-2a+2=(a+2)(a-1)a+2=a﹣1．
故答案為：a﹣1
【點評】此題考查了分式的加減運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母．
8．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，∠ACB＝90°，AB⊥CD，垂足為D，線段 BD 的長表示點B到直線CD的距離．
【考點】點到直線的距離．
【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．
【分析】直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，由此即可得到答案．
【解答】解：∵AB⊥CD，垂足為D，
∴線段BD的長表示點B到直線CD的距離．
故答案為：BD．
【點評】本題考查點到直線的距離，關鍵是掌握點到直線的距離的定義．
9．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，與∠B構成同旁內(nèi)角的角有 3 個．
【考點】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．
【專題】幾何直觀．
【分析】根據(jù)兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角，由此即可得到答案．
【解答】解：能與∠B構成同旁內(nèi)角的角有∠C、∠BDE、∠A，共3個．
故答案為：3．
【點評】本題考查同旁內(nèi)角，關鍵是掌握同旁內(nèi)角的定義．
10．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，直線AB、CD相交于E，EF⊥CD，垂足為E．當∠BEF＝33°時，∠AEC＝ 57° ．
【考點】垂線；對頂角、鄰補角．
【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．
【分析】根據(jù)垂直的定義求出∠DEF＝90°，可得∠BED的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等即可得出答案．
【解答】解：∵EF⊥CD，
∴∠DEF＝90°，
∵∠BEF＝33°，
∴∠BED＝90°﹣33°＝57°，
∴∠AEC＝∠BED＝57°．
故答案為：57°．
【點評】本題考查了垂線，對頂角，熟練掌握垂直的定義，對頂角的性質(zhì)是解題的關鍵．
11．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉77°后得到△ADE，點B與點D是對應點，點C與點E是對應點．如果∠EAB＝39°，那么∠DAC＝ 115 °．
【考點】旋轉的性質(zhì)．
【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力．
【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAE，∠DAB＝77°，求出∠BAC＝∠DAE＝∠BAD﹣∠EAB＝77°﹣39°＝38°，即可得出結果．
【解答】解：∵將△ABC繞點A順時針旋轉77°后得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠DAB＝77°，
又∵∠EAB＝39°，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠BAD﹣∠EAB＝77°﹣39°＝38°，
∴∠DAC＝2×38°+39°＝115°，
故答案為：115°．
【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)，熟記旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．
12．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）甲安裝隊為A小區(qū)安裝78臺空調(diào)，乙安裝隊為B小區(qū)安裝65臺空調(diào)，兩隊同時開工且恰好同時完工，甲隊比乙隊每天多安裝3臺，若設乙隊每天安裝x臺，則根據(jù)題意可列方程 78x+3=65x .（無需解方程）
【考點】分式方程的應用．
【專題】分式方程及應用；應用意識．
【分析】設乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝（x+3）臺，根據(jù)兩隊同時開工且恰好同時完工，列出分式方程即可．
【解答】解：設乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝（x+3）臺，
由題意得：78x+3=65x，
故答案為：78x+3=65x．
【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
13．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示：，實際時間是 16：25 ．
【考點】鏡面對稱．
【專題】平移、旋轉與對稱；空間觀念．
【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡面對稱．
【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與16：25成軸對稱，所以此時實際時刻為16：25，
故答案為：16：25．
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應認真觀察，注意技巧．
14．（2分）（2019?高郵市二模）若關于x的方程x-3x-2=m2-x有增根，則m的值為 1 ．
【考點】分式方程的增根．
【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．有增根，最簡公分母x﹣2＝0，所以增根是x＝2，把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程兩邊都乘（x﹣2），得
x﹣3＝﹣m，
∵方程有增根，
∴最簡公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝1．
故答案為：1．
【點評】考查了分式方程的增根，解決增根問題的步驟：
①確定增根的值；
②化分式方程為整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
15．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，當0＜∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，當∠ACE的度數(shù)為 120°或30° 時，三角板BCE的直角邊與邊AD平行．
【考點】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．
【分析】分兩種情況：當CB∥AD時；當CE∥AD時，然后分別利用平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．
【解答】解：分兩種情況：
當CB∥AD時，如圖：
∵CB∥AD，
∴∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°；
當CE∥AD時，如圖：
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝180°﹣∠A＝120°；
綜上所述：如果三角板BCE的直角邊與邊AD平行，那么∠ACE的度數(shù)為120°或30°，
故答案為：120°或30°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關鍵．
16．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）已知xx2+x+1=29，則x2x4+x2+1= 445 ．
【考點】分式的值．
【專題】分式；運算能力．
【分析】先根據(jù)已知條件，求出x2+x+1x的值，從而求出x+1x，再求出x2+1x2，最后求出x4+x2+1x2的值，從而求出答案即可．
【解答】解：∵xx2+x+1=29，
∴x2+x+1x=92，
x+1+1x=92，
x+1x=72，
∴(x+1x)2=494，
x2+2+1x2=494，
x2+1x2=414，
∵x4+x2+1x2
=x2+1x2+1
=414+1
=454，
∴x2x4+x2+1=445，
故答案為：445．
【點評】本題主要考查了分式的值，解題關鍵是熟練掌握如何利用求分式倒數(shù)的方法求出分式的值．
17．（2分）（2023秋?崇明區(qū)期末）將9個代數(shù)式填入九宮格的方格中，使得九宮格的每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個代數(shù)式的和都相等．已知九宮格中的部分代數(shù)式如圖所示，則M﹣N＝ ﹣2x2+4x ．（用含有x的代數(shù)式表示）
【考點】整式的加減．
【專題】整式；運算能力．
【分析】先設最中間的代數(shù)式為P，然后根據(jù)題意，即可用含x的代數(shù)式表示出P，M，N，從而可以計算出M﹣N．
【解答】解：設最中間的代數(shù)式為P，
由題意可得，（x2﹣x）+（x﹣1）+N＝（x2﹣x）+P+（x2﹣x﹣1），
∴P＝﹣x2+2x+N，
∴第一列中間的代數(shù)式為：（x2﹣x）+（x﹣1）+N﹣（x﹣x2+2x+N）＝2x2﹣3x﹣1，
∵第一列的三個數(shù)之和＝第三行的三個數(shù)之和，
∴M+（2x2﹣3x﹣1）+（x2﹣x）＝（x2﹣x）+（x﹣1）+N，
化簡，得：M﹣N＝﹣2x2+4x，
故答案為：﹣2x2+4x．
【點評】本題考查整式的加減，解答本題的關鍵是明確題意，用含x的代數(shù)式表示出M、N．
18．（2分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AD⊥BC，AD＝2，BD＝3，CD＝4，將△ABC繞著點D旋轉，使得點A的對應點A′落在邊BC上，點B、C的對應點分別是點B′、C′，則△A′B′C的面積等于 4或12 ．
【考點】旋轉的性質(zhì)；勾股定理．
【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力．
【分析】由點D在邊BC上，AD⊥BC，得∠ADB＝∠ADC＝90°，再分兩種情況討論，一是點A′落在線段CD上，則B′D＝BD＝3，B′D⊥A′C，因為CD＝4，A′D＝AD＝2，所以A′C＝CD﹣A′D＝2，求得S△A′B′C=12A′C?B′D＝4；二是點A′落在線段BD上，則B′D＝BD＝3，A′D＝AD＝2，B′D⊥A′C，所以A′C＝CD+A′D＝6，求得S△A′B′C=12A′C?B′D＝12，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵點D在邊BC上，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
如圖1，點A′落在線段CD上，
由旋轉得∠A′DB′＝∠ADB＝∠B′DC＝90°，B′D＝BD＝3，
∴B′D⊥A′C，
∵CD＝4，A′D＝AD＝2，
∴A′C＝CD﹣A′D＝4﹣2＝2，
∴S△A′B′C=12A′C?B′D=12×2×4＝4；
如圖2，點A′落在線段BD上，
由旋轉得∠A′DB′＝∠ADB＝90°，B′D＝BD＝3，A′D＝AD＝2，
∴B′D⊥A′C，
∵A′C＝CD+A′D＝4+2＝6，
∴S△A′B′C=12A′C?B′D=12×6×4＝12，
綜上所述，△A′B′C的面積等于4或12，
故答案為：4或12．
【點評】此題重點考查旋轉的性質(zhì)、三角形的面積公式、分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，正確地進行分類討論并且畫出相應的圖形是解題的關鍵．
三、簡答題（本大題共6題，每題5分，滿分30分）
19．（5分）（2020秋?奉賢區(qū)期末）計算：（2x﹣1）2﹣2（x﹣2）（x+6）．
【考點】整式的混合運算．
【專題】計算題．
【分析】根據(jù)完全平方公式、多項式乘以多項式的法則展開，再合并同類項即可．
【解答】解；原式＝4x2﹣4x+1﹣2（x2+4x﹣12）＝4x2﹣4x+1﹣2x2﹣8x+24＝2x2﹣12x+25．
【點評】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是注意去括號、合并同類項，以及公式的使用．
20．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）計算：(-4xx2y)2÷(a-1x22y-1)2?(ayx)-4．
【考點】分式的乘除法；負整數(shù)指數(shù)冪．
【專題】分式；運算能力．
【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、分式的乘除法法則計算．
【解答】解：原式=16x2x4y2÷a-2x44y-2?a-4y-4x-4
=16x2x4y2÷x4y24a2?x4a4y4
=16x2x4y2?4a2x4y2?x4a4y4
=64x2y8a2．
【點評】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則是解題的關鍵．
21．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）計算：4+(xx-2-xx+2)÷4xx2-x-6．
【考點】分式的混合運算．
【專題】分式；運算能力．
【分析】先把括號內(nèi)通分，再進行同分母的減法運算，接著把除法運算化為乘法運算，則約分得到原式＝4+x-3x-2，然后進行同分后進行同分母的加法運算．
【解答】解：原式＝4+x(x+2)-x(x-2)(x+2)(x-2)?(x-3)(x+2)4x
＝4+x2+2x-x2+2x(x+2)(x-2)?(x-3)(x+2)4x
＝4+4x(x+2)(x-2)?(x-3)(x+2)4x
＝4+x-3x-2
=4(x-2)+x-3x-2
=4x-8+x-3x-2
=5x-11x-2．
【點評】本題考查了分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．
22．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）因式分解：4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2．
【考點】因式分解﹣運用公式法．
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2
＝[2ab﹣（a2+b2﹣c2）][2ab+（a2+b2﹣c2）]
＝[﹣（a2+b2﹣2ab）+c2][（a+b）2﹣c2]
＝[c2﹣（a﹣b）2][（a+b）2﹣c2]
＝（c﹣a+b）（c+a﹣b）（a+b﹣c）（a+b+c）．
【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確應用乘法公式是解題關鍵．
23．（5分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）因式分解：（a2+6a）2+14（a2+6a）+45．
【考點】因式分解﹣十字相乘法等．
【專題】因式分解；運算能力．
【分析】利用十字相乘法對所給整式進行因式分解即可．
【解答】解：因為45＝5×9，1＝1×1，且1×+1×9＝14，
所以原式＝（a2+6a+5）（a2+6a+9）
＝（a+1）（a+5）（a+3）2．
【點評】本題主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟知十字相乘法是解題的關鍵．
24．（5分）（2023秋?楊浦區(qū)期末）解方程：x+5x2-x=5x-1-3x．
【考點】解分式方程．
【分析】觀察可得最簡公分母是x（x﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．
【解答】解：方程的兩邊同乘x（x﹣1），
得：x+5＝5x﹣3（x﹣1），
解得：x＝2．
檢驗：把x＝2代入x（x﹣1）＝2≠0，即x＝2是原分式方程的解．
則原方程的解為：x＝2．
【點評】此題考查了分式方程的求解方法．此題比較簡單，注意掌握轉化思想的應用，注意解分式方程一定要驗根．
四、解答題（本大題共4題，6分+6分+6分+6分，共24分）
25．（6分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）化簡：(1+x2-1x2-2x+1)?(5x-5)+x2+2x-3x-1并在x=1，2，-213三個數(shù)中選取兩個求這個代數(shù)式的值．
【考點】分式的化簡求值．
【專題】分式；運算能力．
【分析】先把分子分母因式分解，再約分，接著利用乘法的分配律計算，則合并同類項得到原式＝11x+3，然后根據(jù)分式有意義的條件，x可以取2和-213，然后把它們分別代入計算即可．
【解答】解：原式＝[1+(x+1)(x-1)(x-1)2]×5（x﹣1）+(x-1)(x+3)x-1
＝（1+x+1x-1）×5（x﹣1）+x+3
＝5（x﹣1）+5（x+1）+x+3
＝5x﹣5+5x+5+x+3
＝11x+3，
∵x﹣1≠0，
∴x可以取2和-213，
當x＝2時，原式＝11×2+3＝25；
當x=-213時，原式＝11×（-213）+3=1713．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．
26．（6分）（2022?山西）2022年我國已成為全球最大的電動汽車市場，電動汽車在保障能源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明顯優(yōu)勢．經(jīng)過對某款電動汽車和某款燃油車的對比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動汽車平均每公里的充電費比燃油車平均每公里的加油費少0.6元．若充電費和加油費均為200元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款電動汽車平均每公里的充電費．
【考點】分式方程的應用．
【專題】分式方程及應用；運算能力；應用意識．
【分析】原來的燃油汽車行駛1千米所需的油費（x+0.6）元，根據(jù)題意可得等量關系：燃油汽車所需油費200元所行駛的路程×4＝電動汽車所需電費200元所行駛的路程，根據(jù)等量關系列出方程即可．
【解答】解：設這款電動汽車平均每公里的充電費用為x元，
根據(jù)題意，得200x=200x+0.6×4，
解得x＝0.2，
經(jīng)檢驗，x＝0.2是原方程的根，
答：這款電動汽車平均每公里的充電費用為0.2元．
【點評】此題主要考查了分式方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中等量關系，設出未知數(shù)，列出方程，注意不要忘記檢驗．
27．（6分）（2018秋?閔行區(qū)期末）在圖中網(wǎng)格上按要求畫出圖形，并回答問題：
（1）如果將三角形ABC平移，使得點A平移到圖中點D位置，點B、點C的對應點分別為點E、點F，請畫出三角形DEF；
（2）畫出三角形ABC關于點D成中心對稱的三角形A1B1C1；
（3）三角形DEF與三角形A1B1C1 是 （填“是”或“否”）關于某個點成中心對稱？如果是，請在圖中畫出這個對稱中心，并記作點O．
【考點】作圖﹣旋轉變換；作圖﹣平移變換．
【專題】作圖題；網(wǎng)格型；平移、旋轉與對稱．
【分析】（1）由題意得出，需將點B與點C先向左平移3個單位，再向下平移1個單位，據(jù)此可得；
（2）分別作出三頂點分別關于點D的對稱點，再首尾順次連接可得；
（3）連接兩組對應點即可得．
【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求．
（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（3）如圖所示，△DEF與△A1B1C1是關于點O成中心對稱，
故答案為：是．
【點評】本題主要考查作圖﹣旋轉變換和平移變換，解題的關鍵是熟練掌握旋轉變換和平移變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應點．
28．（6分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）圖1是一塊智慧黑板的平面示意圖，由①、②、③、④四塊長方形小黑板組成，四塊小黑板的長和寬如圖所示（其中a＜b），②和③號黑板分別可以向左、向右水平移動，移動后就可以看到黑板后的電子屏幕．
（1）將②號黑板向左水平移動到EF與AB重合，③號黑板向右水平移動到MN與DC重合，此時電子屏幕全部呈現(xiàn)，沒有黑板遮擋，如圖2所示．求電子屏幕的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
（2）將②號黑板向左水平移動長度14a，③號黑板水平向右水平移動一定的長度，此時被黑板遮擋住的電子屏幕的面積為a2+2ab+b24，求③號黑板向右水平移動的長度．（用含a、b的代數(shù)式表示）
【考點】列代數(shù)式；整式的混合運算．
【專題】整式；運算能力．
【分析】（1）分別求出電子屏幕的長和寬，再根據(jù)長方形面積公式，即可解答；
（2）用電子屏幕的長，減去被遮住部分的長，再減去②號黑板向左水平移動長度，即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得：電子屏幕的長＝2a+2b﹣2b＝2a，
電子屏幕的寬=a+b2，
∴電子屏幕的總面積=2a?a+b2=a2+ab．
（2）2a-a2+2ab+b24÷a+b2-14a
=2a-a+b2-14a
=54a-12b．
答：③號黑板向右水平移動的長度為54a-12b．
【點評】本題考查了列代數(shù)式，整式的混合運算，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵．
五、綜合題（共10分）
29．（10分）（2024秋?徐匯區(qū)校級期末）某學校數(shù)學興趣小組的成員李同學在學習了圖形的旋轉這節(jié)課后，探索了一個新的問題：新定義：把長方形ABCD繞著一個頂點旋轉，使一邊落在對角線上，把這樣的旋轉稱為“對角旋轉”，這個旋轉角稱為“對角旋轉角”，如圖1，在長方形ABCD中，AB＜AD，AC是對角線，
（1）如圖2，把長方形ABCD繞點A逆時針作“對角旋轉”，使邊AB落在對角線AC上，此時點B的對應點為點B1，點C的對應點為點C1，點D的對應點為點D1，聯(lián)結AC1，如果∠CAD度數(shù)為α，則“對角旋轉角”的度數(shù)＝ 90°﹣α （用含有α的代數(shù)式表示）；
（2）在（1）的條件下，如果∠C1AD＝39°，那么再把長方形ABCD繞點A順時針作“對角旋轉”，使邊AD落在對角線AC上，點B的對應點為點B2，點C的對應點為點C2，點D的對應點為點D2，聯(lián)結AC2，則∠C2AD＝ 50° ．；
（3）在長方形ABCD中，BC＝2AB+4，在（1）（2）的基礎上經(jīng)“對角旋轉”后，點C的對應點分別為點C1和點C2，聯(lián)結AC1、AC2、CC1、CC2，△ACC1面積為312，△ACC2面為130，請求出此時長方形ABCD的面積．
【考點】四邊形綜合題．
【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力．
【分析】（1）根據(jù)對角旋轉角的定義解答即可；
（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)和角的關系解答即可；
（3）根據(jù)三角形的面積公式和關系得出AB與BC的關系，進而解答即可．
【解答】解：（1）由題意可知：“對角旋轉角”為∠BAC，∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∴對角旋轉角為：90°﹣α，
故答案為：90°﹣α；
（2）∵∠C1AD＝40°，
由旋轉可知，∠DAC＝∠D1AC，
∵∠D1AC1+∠C1AD+∠DAC＝90°，
∴∠D1AC1+∠DAC＝90°﹣40°＝50°，
∴2∠DAC＝50°，
由旋轉可知，∠DAC＝∠D2AC2，
∴∠D2AC2+∠DAC＝50°，
∵∠C1AD＝∠C2AD2+∠CAD，
∴∠C2AD＝50°，
故答案為：50°；
（3）∵S△ACC1=S△ABC1+S△C1BC=12AC?B1C1＝312，S△ACC2=S△AD2C2+S△D2CC2=12AC?D2C2＝130，
∵B1C1＝AD，D2C2＝AB，BC＝2AB+4，
∴AB=BC-42，
則312=12AC?AD=12AC?BC，
∴312130=12AC?BC12AC?AB，
∴130BC＝312AB，
∵AB=BC-42，
∴AB＝10，BC＝24，
∴S長方形ABCD＝AB?BC＝10×24＝240．
【點評】此題是四邊形的綜合題，關鍵是根據(jù)旋轉的性質(zhì)和定義以及三角形的面積公式解答．題號
1
2
3
4
5
答案
C
D
C
C
B

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