1. 已知集合，，則（ ）．
A B.
C. D.
2. 函數(shù)的圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列說法中，正確的個數(shù)為（ ）
①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；
②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；
③隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；
④隨機變量服從二項分布，若方差，則．
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
4. 在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上一點，若，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負責語言服務(wù)、人員引導、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負責語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（ ）
A. 102種B. 105種C. 210種D. 288種
6. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
7. 設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函數(shù)在0,4上有3個零點，則a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足當時，，當時，滿足為常數(shù)，則下列敘述中正確的為（ ）
A. 當時，
B. 當時，解析式為
C. 當時，上恒成立
D. 當時，函數(shù)圖象與直線在上的交點個數(shù)為
11. 設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若的展開式中含x的項的系數(shù)為60，則的最小值為______．
13. 已知：函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，當時，，若，且對任意，不等式)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________
14. 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
16. 記為數(shù)列an的前項和，已知，．
（1）求，并證明是等差數(shù)列；
（2）求．
17. 如圖，在四邊形ABCD中，，，，．

（1）求大??；
（2）求的面積的最大值
（3）若，求的面積．
18. 第十五屆全國運動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦．為了普及全運知識，某大學舉辦了一次全運知識闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復賽，初賽勝利后才能參加復賽，初賽規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參加初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為，假定互不相等，且每人能否闖關(guān)成功相互獨立．
（1）若計劃依次派甲、乙、丙進行初賽闖關(guān)，，求該小組初賽勝利的概率；
（2）已知，若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出；
（3）初賽勝利小組的三名成員都可以進入復賽，復賽規(guī)定：單人參賽，每個人回答三道題，全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎，已知某學生進入了復賽，他在復賽中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．
19. 已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當時，求在上的值域；
（2）當時，討論的零點個數(shù)；
（3）當時，證明：．
2024-2025學年山東省淄博市高三上學期10月月考數(shù)學檢測試題
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1. 已知集合，，則（ ）．
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解出不等式解集為集合，求解出一元二次不等式的解集為集合，根據(jù)集合并集概念及運算求解出結(jié)果.
【詳解】由可知，得．
由可知，得，
所以．
故選：B.
2. 函數(shù)的圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項.
【詳解】設(shè)，
對任意，，
所以，
所以的定義域為，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定義域為，
又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項，
當時，是減函數(shù)，
則，，
所以，排除A選項.
故選：C
3. 下列說法中，正確的個數(shù)為（ ）
①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；
②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；
③隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；
④隨機變量服從二項分布，若方差，則．
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【正確答案】C
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，二項分布的性質(zhì)，擬合效果的衡量以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強，故①正確；
用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；
已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；
若隨機變量服從二項分布，則方差，所以，
所以，所以或，故④錯誤.
故選：C.
4. 在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上一點，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由終邊上點的坐標求出，由的范圍及求得，最后由公式求值即可.
【詳解】由點為角終邊上一點得，，
，又，，∴，∴，
∴.
故選：D
5. 2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負責語言服務(wù)、人員引導、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負責語言服務(wù)工作，則不同的選法種數(shù)共有（ ）
A. 102種B. 105種C. 210種D. 288種
【正確答案】C
【分析】先算從8名志愿者中任意選出3名的方法數(shù)，再減去甲、乙、丙3人有一人負責語言服務(wù)工作的方法數(shù)，即可得解.
【詳解】先從8名志愿者中任意選出3名，
分別負責語言服務(wù)、人員引導、應(yīng)急救助工作，有種，
其中甲、乙、丙3人有一人負責語言服務(wù)工作，有種，
故符合條件的選法共有種.
故選：C
6. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【正確答案】A
【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱；由為偶函數(shù)，得的圖象關(guān)于直線軸對稱；根據(jù)對稱性求解即可.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱；
因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱；
又當時，，
所以，
故選：A.
7. 設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù).利用導數(shù)判斷單調(diào)性，證明出.構(gòu)造函數(shù).利用導數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，得到；構(gòu)造函數(shù).利用導數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，即為.即可得到答案.
【詳解】記.
因為，所以當時，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，，即，所以.
記.
因為，所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，，即，所以.
所以.
記.
因為，所以當時，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，，即，所以.
所以.
綜上所述.
故選：C
8. 若函數(shù)在0,4上有3個零點，則a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)在上零點的個數(shù)，討論的范圍，分別確定在0,4上零點的個數(shù)，進一步確定的范圍，進而可得答案.
【詳解】令，則或，
由得a=2，
當時，，在0,4上沒有零點，
則在上應(yīng)有3個零點，所以，
即，與聯(lián)立得；
當a=2時，在上有1個零點2，
在上，因為，所以，
所以有3個零點，不滿足題意；
當時，在上有2個零點，
在上應(yīng)有1個零點，
所以，即，與聯(lián)立得，
綜上得的取值范圍是.故C正確.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BD
【分析】A選項，兩式平方后相加得到；D選項，由得到；B選項，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到；C選項，先求出的值，利用正切二倍角公式得到答案.
【詳解】A選項，因為，兩式平方后相加可得
，所以，故A錯誤；
D選項，因為，所以，
又，故，
由于，故，
又，所以，故D正確；
B選項，，故B正確；
C選項，，
故，故C錯誤.
故選：BD.
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足當時，，當時，滿足為常數(shù)，則下列敘述中正確的為（ ）
A. 當時，
B. 當時，的解析式為
C. 當時，在上恒成立
D. 當時，函數(shù)的圖象與直線在上的交點個數(shù)為
【正確答案】ABD
【分析】對A，代入運算即可求解；對B，根據(jù)題目條件分和求解；對C，舉反例可判斷；對D，利用數(shù)形結(jié)合可判斷.
詳解】對于A，當 時，，故A正確；
對于B，設(shè)時，則，
；
當時，則，
，故B正確；
對于C，當時，取，當時，，
，故C錯誤；
對于D， 當時，的圖象如下：

直線剛好經(jīng)過第 n 個“山峰”的“山頂”，
它與前面?zhèn)€“山峰”都有兩個交點，與后面的“山峰”沒有交點，
共個交點，故D正確.
故選：ABD.
11. 設(shè)數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ACD
【分析】選項A，根據(jù)條件得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)，可得，再作差比較，即可求解；選項B和D，根據(jù)條件得到，進而可得到，再利用指數(shù)的運算法則及單調(diào)性得到，可得，即可求解；選項C，根據(jù)條件得到，再利用累加法得到，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為，，
令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，
得到，又，得到，所以選項A正確，
因為，又，
所以，得到，
所以，得到，顯然，
所以，又，所以，
得到，所以，故選項B錯誤，選項D正確，
對于選項C，因為，所以，
得到，
所以
，
又，所以，故選項C正確，
故選：ACD.
關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵（1）在于選項B和D，根據(jù)條件得到，進而得到，再利用，從而得，關(guān)鍵（2）在于選項C，通過條件，變形得到，再利用累加法，即可求解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若的展開式中含x的項的系數(shù)為60，則的最小值為______．
【正確答案】
【分析】求出通項公式，利用項的系數(shù)得到方程，求出，進而由基本不等式求出最小值.
【詳解】二項展開式的通項為，
令得，
∴，依題意得，，
∴，
∴，當且僅當，即時，等號成立．
∴的最小值為．
故
13. 已知：函數(shù)是定義在R上的可導函數(shù)，當時，，若，且對任意，不等式)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________
【正確答案】
【分析】由題意可得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，由，解不等式即可.
【詳解】函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，，
則定義域為，，為偶函數(shù)，
當時，，則在上單調(diào)遞增，
當，，則有，
即，所以，
由，可得.
故
14. 甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.
【正確答案】##0.5
【分析】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.
【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.
從而.
記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，兩式相減即得，故.
所以甲的總得分不小于2的概率為.
故答案為.
關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，求導可得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.
【小問1詳解】
當時，的定義域為，
，
令，則，解得，
令，則，解得.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
令，則.
令，其中，
則.
令，解得，令，解得.
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
.
又，函數(shù)在上有兩個零點，
的取值范圍是.
16. 記為數(shù)列an的前項和，已知，．
（1）求，并證明是等差數(shù)列；
（2）求．
【正確答案】（1），證明見解析
（2）
【分析】（1）先求出和的值得到，再通過與的關(guān)系推導出的表達式并證明其為等差數(shù)列.
（2）利用第一問的結(jié)論將進行拆分求解.
【小問1詳解】
當時，，
解這個方程：，即，解得.
當時，，
把代入得，
移項可得，即，解得.
所以.
由，可得.
當時，.
展開得.
整理得，移項得，即.
那么.
令，則，.
所以（常數(shù)）.
所以是等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由可得.
因為，所以（）.
則.
所以.
展開得.
17. 如圖，在四邊形ABCD中，，，，．

（1）求的大小；
（2）求的面積的最大值
（3）若，求的面積．
【正確答案】（1）
（2）面積的最大值為3
（3）
【分析】（1）利用正弦定理得出，再根據(jù)，即可得出；
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出，最后由三角形的面積公式得出面積的最大值.
（3）利用兩角和的正弦公式可求得，再利用正弦定理可求得，可求的面積.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理可得，
因為，，所以，
因為，所以，所以，
所以；
【小問2詳解】
在中，，
由余弦定理可得
，即，當且僅當時取等號，
所以，
故的面積的最大值為；
【小問3詳解】
因為，所以，
所以
，
在中，由正弦定理可得，即，
所以，
所以，
所以的面積為.
18. 第十五屆全國運動會將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦．為了普及全運知識，某大學舉辦了一次全運知識闖關(guān)比賽，比賽分為初賽與復賽，初賽勝利后才能參加復賽，初賽規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次；如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參加初賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為，假定互不相等，且每人能否闖關(guān)成功相互獨立．
（1）若計劃依次派甲、乙、丙進行初賽闖關(guān)，，求該小組初賽勝利的概率；
（2）已知，若乙只能安排在第二個派出，要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出；
（3）初賽勝利小組的三名成員都可以進入復賽，復賽規(guī)定：單人參賽，每個人回答三道題，全部答對獲得一等獎；答對兩道題獲得二等獎；答對一道題獲得三等獎；全部答錯不獲獎，已知某學生進入了復賽，他在復賽中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設(shè)他獲得二等獎的概率為，求的最小值．
【正確答案】（1）
（2）甲先派出； （3）
【分析】（1）由獨立事件的乘法公式求解即可；
（2）分別求出甲乙丙和丙乙甲時的所有可能取值和相應(yīng)概率，再用期望公式求出對應(yīng)的期望，作差分解因式即可比較出結(jié)果；
（3）由獨立事件的乘法公式結(jié)合題意可得，進而可得，再利用導數(shù)分析單調(diào)性和最值，得到結(jié)果即可；
【小問1詳解】
設(shè)事件表示該小組獲勝，
則，
所以該小組初賽勝利的概率為，
【小問2詳解】
若依次派出甲乙丙進行闖關(guān)，設(shè)派出的人員數(shù)目為，
則的可能取值為，
則，
，
，
此時，
若依次派出丙乙甲進行闖關(guān)，設(shè)派出的人員數(shù)目為，
則可能取值為，
則，
，
，
此時，
所以
，
因為，
所以，
所以，
所以要使初賽派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲.
【小問3詳解】
由題意可得，，
則，
令，
則，
令，
所以當時，，為減函數(shù)，
當時，，為增函數(shù)，
所以，
所以的最小值為.
關(guān)鍵點點睛：本題第三問關(guān)鍵是用代換，得到，再構(gòu)造函數(shù)求導分析即可.
19. 已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當時，求在上的值域；
（2）當時，討論的零點個數(shù)；
（3）當時，證明：．
【正確答案】（1）
（2）答案見解析 （3）證明見解析
【分析】（1）求導后，結(jié)合可得在上恒成立，即可得的單調(diào)性，即可得其值域；
（2）分及進行討論，當時，利用函數(shù)單調(diào)性可得其有唯一零點，當，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點的存在性定理可得在上有且僅有一個零點，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導數(shù)研究單調(diào)性后可得在上有一個零點；
（3）設(shè)，分及進行討論，結(jié)合（2）中所得并利用導數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性后即可得證.
【小問1詳解】
當時，，，
∵，∴，
∴在上單調(diào)遞減，
又，，
所以在上的值域為.
小問2詳解】
，令得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
∴，
當時，，
∴，則在上有且僅有1個零點．
當時，令，，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，又，
∴在上有1個零點，又，
令，則，
∴在上單調(diào)遞減，
∴，
∴，
∴上有一個零點．
綜上所述，時，有一個零點，
時，有2個零點.
【小問3詳解】
當時，，
設(shè)，
當時，，
又由（2）知，∴，
當時，，
設(shè)，則，
∴在單調(diào)遞增，∴，
∴，即在單調(diào)遞增，，
綜上，，即當時，，即.
方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．

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