1. 下列各式中，是二次函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A、自變量在分母上，不是二次函數(shù)，不符合題意；
B、不一定，當(dāng)a為零時(shí)，則不，不符合題意；
C、是二次函數(shù)，符合題意；
D、自變量在根號內(nèi)，不是二次函數(shù)，不符合題意；
故選：C．
2. 一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A. 2B. ﹣2C. 3D. ﹣3
答案：B
解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一次項(xiàng)為﹣2x，
∴一次項(xiàng)系數(shù)為﹣2．
故選B．
3. 下列四個(gè)2024年巴黎奧運(yùn)會項(xiàng)目圖標(biāo)中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：A、該圖標(biāo)是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；
B、該圖標(biāo)不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；；
C、該圖標(biāo)是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；；
D、該圖標(biāo)是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；．
故選：B．
4. 若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則與的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 不能確定
答案：A
解：∵二次函數(shù)解析式為：，
∴對稱軸為：，
∴點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，
∵，
∴，故A正確．
故選：A．
5. 如圖，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到，，，則旋轉(zhuǎn)角等于（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解：∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度得到，
∴，，
又∵，且，，
∴，
即，
故選：D．
6. 2023年我國低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模為萬億元，預(yù)計(jì)2025年我國低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模將達(dá)到萬億元．如果設(shè)這兩年低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模年平均增長率為x，那么根據(jù)題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：由題意得：2024年我國低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模為萬億元，
2025年我國低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模為萬億元，
故，
故選：D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．
答案：
解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故答案為：．
8. 點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為_________．
答案：
解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
9. 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，則實(shí)數(shù)k的值是______．
答案：
解：二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，
∴，
∴．
故答案為：．
10. 若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為____________．
答案：
解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，
∴且，
∴．
故答案為：．
11. 將拋物線向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度后，得到的拋物線的解析式為_______．
答案：
解：將拋物線向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度后可得：，
故答案為：；
12. 如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，此時(shí)邊經(jīng)過點(diǎn)B，若，，則的長是______．
答案：3
解：∵由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，
，
，
故答案為：3．
13. 已知關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為__________．
答案：
解：∵關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
故答案為：．
14. 如圖，四邊形是正方形，頂點(diǎn)B在拋物線的圖象上，若正方形的邊長為，且邊與y軸的負(fù)半軸的夾角為，則a的值是______．
答案：
解：如圖，連接，過B作軸于D， 則，
由題意得：，
∵，
∴，
∵正方形的邊長為，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∴點(diǎn)，
代入中，得：，
∴故答案為：．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15. 用直接開平方法解方程：．
答案：
解：
．
16. 用公式法解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
答案：x1＝，x2＝
解：a=2，b=﹣3，c=﹣1，
∴△＝（﹣3）2-4×2×（﹣1）＝9+8＝17>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17. 已知二次函數(shù)．
（1）寫出此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）請你判斷點(diǎn)是否在此二次函數(shù)的圖象上．
答案：（1）函數(shù)圖象的開口向上、對稱軸是直線、頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（2）點(diǎn)不在此二次函數(shù)的圖象上
【小問1詳解】
解：∵，，
∴此函數(shù)圖象的開口向上、對稱軸是直線、頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
解：∵當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)不在此二次函數(shù)的圖象上．
18. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）已知方程一個(gè)根為2，求k的值．
答案：（1）見解析 （2），或
【小問1詳解】
解：∵，
故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【小問2詳解】
設(shè)方程的另一根為a，
則，
∴，
∴，
∴，或，
解得，，或．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，坐標(biāo)分別為，，．
（1）畫出關(guān)于原點(diǎn)O對稱的；
（2）將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，畫出并寫出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
答案：（1）作圖見解析
（2）作圖見解析，
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖，即為所求，．
20. 某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，該商店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商品每天的銷售利潤為1200元？
答案：每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商品每天的銷售利潤為1200元．
解：設(shè)每件商品降價(jià)元，根據(jù)題意，得
解這個(gè)方程得，
由，得
的值
答：每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商品每天的銷售利潤為1200元．
21. 如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，求EF的長；
（3）當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是_________．
答案：（1）
（2）
（3）或，
【小問1詳解】
解：由題知，將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，
，
解得．
所以拋物線的解析式為．
【小問2詳解】
令得，
，
解得，．
則．
所以的長為．
【小問3詳解】
由圖像可知：當(dāng)時(shí)，或，
22. 如圖，中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的延長線與相交于點(diǎn)，連接、．

（1）求證：．
（2）若，求的長．
答案：（1）見解析；（2）
解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
，，
為等邊三角形，
，
，
．
（2）如圖，在上截取，連接，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
又，
為等邊三角形，
，
又，
，
．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23. 垂柳是常見的樹種之一，也是園林綠化中常用的行道樹，觀賞價(jià)值較高，成本低康．深受各地綠化喜愛．如圖①是某街道旁的一棵垂柳，這棵垂柳中某一枝的形狀星如圖②所示的拋物線型，它距離地面的高度與到樹干的水平距離之間滿足關(guān)系式．已知這枝垂柳的始端到地面的距離，末端B恰好接觸地面，且到始端的水平距離．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）踩著高蹺的小明頭頂距離地面2m，他從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B處走去，請計(jì)算小明走出多遠(yuǎn)時(shí)，頭頂剛好碰到樹枝？
答案：（1）
（2）
【小問1詳解】
解：，，
，，
分別代入，得
，解得，
該拋物線的函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
令，則，
整理得，
解得，（不合題意，舍去），
故小明走出時(shí)，，頭頂剛好碰到樹枝．
24. 在四邊形中，，，，將沿剪下來，以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，旋轉(zhuǎn)過程中，、與所在直線的交點(diǎn)分別為、．
（1）如圖①，求證：；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，如圖②，求重疊部分的面積；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，直接寫出的長．
答案：（1）見解析 （2）
（3）
【小問1詳解】
證明：，，
，
在和中，
，
；
【小問2詳解】
，，
是等腰直角三角形，
，
，
也是等腰直角三角形，
，
將以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
重疊部分為，且，
，，
，
，
重疊部分的面積為；
【小問3詳解】
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在等腰直角中，，
設(shè)，則，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
，
．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25. 如圖，已知矩形邊長，，某一時(shí)刻，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為．
（1）填空： ________， ________（用含的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，求的值；
（4）當(dāng)?shù)拿娣e等于矩形面積的時(shí)，直接寫出此時(shí)的值．
答案：（1），
（2）
（3）的值為或
（4）的值為或
【小問1詳解】
解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，
根據(jù)題意得：，，
四邊形是矩形，
，
，
故答案為：，；
【小問2詳解】
四邊形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，的值為；
【小問3詳解】
，，
，即，
解得：或，
當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，的值為或；
【小問4詳解】
，，，
，
矩形的邊長，，
，
的面積等于矩形面積的，
，
解得：或，
當(dāng)?shù)拿娣e等于矩形面積的時(shí)，的值為或．
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，且在直線的上方．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）連接，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，的面積最大？請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和面積的最大值；
（4）連接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
答案：（1）
（2）
（3）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，有最大值，且最大值為；
（4）存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為
【小問1詳解】
解：將、代入得：
，
解得：，
∴
【小問2詳解】
解：令，解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)
【小問3詳解】
解：設(shè)直線的解析式為：，
將代入得：，
解得：；
∴直線的解析式為：，
過點(diǎn)作軸，如圖所示：

設(shè)點(diǎn)，則
∴當(dāng)，即點(diǎn)時(shí)，有最大值，且最大值為；
小問4詳解】
解：設(shè)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，如圖所示：

若四邊形為菱形，則，
∴
即：，
解得：（舍）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

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