一、單選題
1．函數(shù)，若存在，使有解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．已知數(shù)列中，，則（ ）
A．96B．97C．98D．99
3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下命題為真命題的是（ ）
A．的共軛復(fù)數(shù)為B．的虛部為
C．D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限
4．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點Px,y是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．某平臺為維護(hù)消費者權(quán)益，開設(shè)維權(quán)通道，消費者可通過電話投訴專線、郵件投訴等多個渠道進(jìn)行消費維權(quán)投訴．平臺將對投訴情況進(jìn)行核實，為消費者提供咨詢幫助．據(jù)統(tǒng)計，在進(jìn)行維權(quán)的消費者中，選擇電話投訴專線維權(quán)和郵件投訴維權(quán)的概率分別為和，且對應(yīng)維權(quán)成功的概率分別為、，選擇其他方式維權(quán)且成功的概率為，則在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．已知為平行四邊形的邊的中點，以B，E為焦點的橢圓過點A，D，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，則“”是“的最大值大于2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
9．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)換為幾何問題加以解決，如：對于形如的代數(shù)式，可以轉(zhuǎn)化為平面上點Mx,y與的距離加以考慮.結(jié)合以上觀點，對于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．的圖象是軸對稱圖形
B．是單調(diào)函數(shù)
C．的值域為
D．方程無實數(shù)解
10．在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的取值范圍為
C．的最小值為
D．的取值范圍是
11．在復(fù)數(shù)域內(nèi)，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對值來描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復(fù)數(shù)的正負(fù)即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長度”即為模長，規(guī)定在復(fù)平面軸上方的復(fù)數(shù)為正，在軸下方的復(fù)數(shù)為負(fù)，在軸上的復(fù)數(shù)即為實數(shù)大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用來表示復(fù)數(shù)的“大小”，例如：，則下列說法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)表示一個圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數(shù)，且，則
D．復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為
三、填空題
12．的展開式中的各項系數(shù)和為243，則該展開式中的系數(shù)為 .
13．已知，若，則的最小值為 .
14．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為 ．

四、解答題
15．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍．
16．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心?橢圓的短半軸長為半徑的與直線相切.
(1)求橢圓的方程，
(2)過定點斜率為的直線與橢圓交于兩點，若.求實數(shù)的值及的面積.
17．空間中，我們將至少兩條坐標(biāo)軸不垂直的坐標(biāo)系稱為“空間斜坐標(biāo)系”．類比空間直角坐標(biāo)系，分別為“空間斜坐標(biāo)系”中三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，，，．以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”．
(1)若點在平面內(nèi)，且平面，求的斜坐標(biāo)；
(2)若的斜坐標(biāo)為，求平面與平面的夾角的余弦值．
18．設(shè)數(shù)列，其中，，若同時滿足①或；②對于任意，都存在使得（且兩兩不相等），則稱數(shù)列為數(shù)列．
(1)當(dāng)，時，求滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；
(2)記，若．
（?。┳C明：；
（ⅱ）在的條件下，求的概率．
19．設(shè)是給定的正整數(shù)．對于數(shù)列，，…，，令集合．
(1)對于數(shù)列，，，直接寫出集合；（用列舉法表示）
(2)設(shè)常數(shù)．若，，…，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求證：集合的元素個數(shù)為；
(3)若，，…，是等比數(shù)列，且，公比．求集合的元素個數(shù)，并求集合中所有元素之和．
《湖南省2025屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟（長郡二十校）高三第二次預(yù)熱演練數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，進(jìn)而得的取值范圍.
【詳解】若存在，使得有解，即．
設(shè)，，則．
令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以．
故的取值范圍為．
故選：A
2．C
【分析】利用倒敘相加法求和即可.
【詳解】①，
②，
①+②得
，
所以.
故選：C.
3．D
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)值，然后結(jié)合復(fù)數(shù)性質(zhì)逐一分析每個選項
【詳解】，
，A選項錯誤，
的虛部是，B選項錯誤；
，C選項錯誤，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限，D選項正確.
故選：D
4．C
【分析】轉(zhuǎn)化為點Px,y與連線的斜率，數(shù)形結(jié)合后由直線與圓的位置關(guān)系求解.
【詳解】記，則為直線的斜率，
故當(dāng)直線與半圓相切時，得k最小，
此時設(shè)，故，解得或（舍去），
即．
故選：C.
5．B
【分析】設(shè)選擇郵件投訴為事件，維權(quán)成功為事件，求出、的值，利用條件概率公式可求得的值.
【詳解】設(shè)選擇郵件投訴為事件，維權(quán)成功為事件，
則，，
故在維權(quán)成功的條件下，選擇郵件投訴的概率為.
故選：B.
6．D
【分析】利用向量的線性運算以及數(shù)量積運算律可得，連接并利用橢圓的定義求，再由余弦定理求，易知，建立方程求間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓的離心率
【詳解】如下圖所示：

因為為平行四邊形的邊的中點，
所以
，
所以，所以．
連接，由橢圓的定義可知，；
設(shè)，則，故，
在中，．
在中，．
在平行四邊形中，，所以，
所以，則，整理得，
所以橢圓的離心率為，
故選：D．
【點睛】方法點睛：處理本題中向量數(shù)量積問題時還可以利用平面向量中的極化恒等式：或．其幾何意義為向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”的平方差的．
7．C
【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，由正弦定理得到，且根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對勾函數(shù)得到的最值，求出的取值范圍.
【詳解】由三角形面積公式可得：，故，
，故，
因為，所以，
解得：或0，
因為為銳角三角形，所以舍去，
故，，
由正弦定理得：
，
其中，
因為為銳角三角形
所以，故，所以，，
，，
令，則為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
又，
因為，所以，
則.
故選：C
【點睛】解三角形中求解取值范圍問題，通常有兩種思路，一是利用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式進(jìn)行求解，二是利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求出答案.
8．A
【分析】首先對函數(shù)進(jìn)行變形，令，，則，然后根據(jù)充分性和必要性兩方面判斷.
【詳解】，令，，
則，故
充分性：
當(dāng)時，，故當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，則的最大值 必大于2，充分性成立；
必要性：
當(dāng)時，，則不滿足最大值大于2，當(dāng)時，，
故當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，
要使最大值大于2，必有，則，即，即，，
故，解得，必要性不成立．
綜上，“”是“的最大值大于2”的充分不必要條件．
故選：A.
9．ACD
【分析】根據(jù)對稱性的定義，即可判斷A，根據(jù)條件將函數(shù)構(gòu)造為兩點間距離，即可判斷BCD.
【詳解】.
設(shè)，則.
對于
，
，
圖象的對稱軸為直線，故A正確；
對于B，當(dāng)三點共線時，即x=2時，取得最小值，所以不單調(diào)，故B錯誤；
對于C，由題知，，
的值域為，故C正確；
根據(jù)選項C，對于D，設(shè)，方程等價于，
即，解得或，
又，矛盾
所以方程無實數(shù)解，故D正確.
故選：ACD.
10．AB
【分析】利用正弦定理角化邊得，結(jié)合余弦定理和二倍角公式可得，可判斷A；根據(jù)三個角為銳角列不等式組求解可判斷B；利用商數(shù)關(guān)系和和差公式，結(jié)合化簡，運用基本不等式可判斷C；邊化角，利用二倍角和三倍角公式化簡，結(jié)合角范圍可判斷D.
【詳解】對A，由正弦定理角化邊得，
由余弦定理有，
，
因為為銳角三角形，所以，，
所以，
所以，所以，A正確；
對B，由上知，，
因為為銳角三角形，，解得，
所以，B正確；
對C，
，
當(dāng)時，得，
因為，，所以等號不成立，C錯誤；
對D，
，
因為，所以，
所以，所以，
即，D錯誤.
故選：AB
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)在于利用正弦定理角化邊，代入余弦定理表示出，結(jié)合二倍角公式求得.
11．BCD
【分析】根據(jù)已知條件，理解的意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，模長計算，逐一判斷即可.
【詳解】A：根據(jù)已知條件表示模長為1，在復(fù)平面位于軸上方的復(fù)數(shù)，所以并不是一個圓，故A錯誤；
B：若，則方程為一個實數(shù)，所以無解，故B正確；
C：若為虛數(shù)，且，設(shè)，則，
所以，所以，故C正確；
D：設(shè)，
根據(jù)復(fù)數(shù)的新定義有，
所以，且，
所以，
所以是，
所以，故D正確；
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于對的理解.
12．
【分析】令求出，然后求出展開式中的常數(shù)項和含的項，分別與因式中的項相乘可得.
【詳解】令可得，解得，
的展開式中通項，，
分別令，得，
所以展開式中的常數(shù)項和含的項分別為，
所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
13．
【分析】根據(jù)題意，分析得，進(jìn)而得到，從而利用“1”的代換與基本不等式即可得解.
【詳解】因為，
則方程與有相同的解，不妨設(shè)為，
則，故，即，整理得，
因為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于分析得方程與有相同的解，從而得到，由此得解.
14．
【分析】利用外接球球心在過底面外接圓圓心的垂線上，通過球心到各頂點的距離想等來求解即可.
【詳解】如圖，取中點，連接，則，，

又，，平面，則平面，
因為平面，則，
又，，，平面，
所以平面，
所以三棱錐的外接球球心必在過的中心且平行于的直線上，
且，
設(shè)，則，，
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則有，
當(dāng)時，，
故三棱錐外接球體積的最小值為．
故答案為：.
15．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）在時，對函數(shù)求導(dǎo)后分解因式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，對，，，的情況進(jìn)行討論，由題意即得參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
令，解得或．
令f′x0，解得或，即在，上單調(diào)遞增．
綜上，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由求導(dǎo)得，
① 當(dāng)時，恒成立，
令f′x0，解得，即在1,+∞上單調(diào)遞增，
故時，函數(shù)在處取得極小值，符合題意；
②當(dāng)時，令，解得，，且，
當(dāng)時，f′x0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意．
③ 當(dāng)時，令，解得，此時f′x≥0恒成立且f′x不恒為0，
單調(diào)遞增，故函數(shù)無極值，不符合題意．
④ 當(dāng)時，令，解得，，且，
當(dāng)時，f′x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，f′x

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