【考點(diǎn)1】關(guān)于三角形角度計(jì)算與證明的綜合問(wèn)題
【例1】（2019?衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)、C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【例2】（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．
（2）以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．
【考點(diǎn)2】關(guān)于三角形的線段計(jì)算綜合問(wèn)題
【例3】（2019?紹興）如圖1，長(zhǎng)、寬均為3，高為8的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，則圖2中水面高度為（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2020?浙江自主招生）如圖，等邊三角形ABC中，AO是∠BAC的平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊三角形CDE，連結(jié)BE，延長(zhǎng)BE至點(diǎn)Q，P為BQ上一點(diǎn)，連結(jié)CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8時(shí)，則PQ的長(zhǎng)為 ．
【考點(diǎn)3】全等三角形的計(jì)算與證明
【例5】（2019?溫州）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△BDE≌△CDF．
（2）當(dāng)AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)4】三角形與旋轉(zhuǎn)變換綜合問(wèn)題
【例6】（2019?紹興）如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)臂DM可繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，AD＝30，DM＝10．
（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，
①當(dāng)A，D，M三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求AM的長(zhǎng)．
②當(dāng)A，D，M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求AM的長(zhǎng)．
（2）若擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D的位置由△ABC外的點(diǎn)D1轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)D2處，連結(jié)D1D2，如圖2，此時(shí)∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)5】以三角形為載體的幾何綜合探究問(wèn)題
【例7】（2018?舟山）已知，△ABC中，∠B＝∠C，P是BC邊上一點(diǎn)，作∠CPE＝∠BPF，分別交邊AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）若∠CPE＝∠C（如圖1），求證：PE+PF＝AB．
（2）若∠CPE≠∠C，過(guò)點(diǎn)B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D．試猜想：線段PE，PF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并就∠CPE＞∠C情形（如圖2）說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)F與A重合（如圖3），∠C＝27°，且PA＝AE．
①求∠CPE的度數(shù)；
②設(shè)PB＝a，PA＝b，AB＝c，試證明：b．
【例8】（2018?臺(tái)州）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且CD＝CE．
（1）如圖1，求證：∠CAE＝∠CBD；
（2）如圖2，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，求證：AE⊥CF；
（3）如圖3，F(xiàn)，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面積．
【考點(diǎn)6】以三角形為載體的幾何閱讀創(chuàng)新題
【例9】（2018?紹興）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：
例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）
例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)，（答案：40°或70°或100°）
張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題：
變式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)．
（1）請(qǐng)你解答以上的變式題．
（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A＝x°，當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索x的取值范圍．
一．選擇題（共5小題）
1．（2020?衢州模擬）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章中有一題：“今有開(kāi)門去閫（kǔn）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何？”大意是說(shuō)：如圖，推開(kāi)雙門（AD和BC），門邊緣D，C兩點(diǎn)到門檻AB的距離為1尺（1尺＝10寸），雙門間的縫隙CD為2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）AB為（ ）
A．103寸B．102寸C．101寸D．100寸
2．（2020?拱墅區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．則AB的值為（ ）
A．5+3B．2+2C．7D．
3．（2020?溫州模擬）如圖，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC＝∠DCBB．∠ABD＝∠DCAC．AC＝DBD．AB＝DC
4．（2019?周村區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（2020?黃巖區(qū)模擬）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE＝BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二．填空題（共4小題）
6．（2020?溫州模擬）如圖，已知OP平分∠AOB，CP∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E．CP，PD＝6．如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)是 ．
7．（2020?溫嶺市校級(jí)一模）在半徑為2的⊙O中，弦AB＝2，連接OA，OB．在直線OB上取一點(diǎn)K，使tan∠BAK，則△OAK的面積為 ．
8．（2020?蕭山區(qū)一模）如圖，CE、BF分別是△ABC的高線，連接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分別是EF、BC的中點(diǎn)，則DG的長(zhǎng)為 ．
9．（2019?海寧市二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點(diǎn)E，EA平分∠BED．
（1）CD的長(zhǎng)是 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)F是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是 ．
三．解答題（共11小題）
10．（2020?拱墅區(qū)校級(jí)一模）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，點(diǎn)D在AC上．
（1）如圖1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求證：∠ECB＝∠A；
（2）如圖2，設(shè)BC與DE交于點(diǎn)F．當(dāng)∠ABC＝∠DBE＝45°時(shí)，求證：CE∥AB；
（3）在（2）的條件下，若tan∠DEC時(shí)，求的值．
11．（2020?天臺(tái)縣模擬）某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng)，愛(ài)思考的小實(shí)同學(xué)在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點(diǎn)P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．
【特例探究】
（1）如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，AB＝6時(shí)，AC＝ ，BC＝ ；
如圖2，當(dāng)sin∠PAB，AB＝4時(shí)，AC＝ ，BC＝ ；
【歸納證明】
（2）請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想AB2、BC2、AC2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論．
【拓展證明】
（3）如圖4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至G，使得GE＝DE，連結(jié)BG，當(dāng)BG⊥AC于點(diǎn)M時(shí)，求GF的長(zhǎng)．
12．（2020?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AF為BC邊上的中線，DE經(jīng)過(guò)△ABC的重心G，且∠ADE＝∠C．
（1）問(wèn)：線段AG是△ADE的高線還是中線？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若AB＝6，AC＝8，求AD的長(zhǎng)．
13．（2020?溫州模擬）如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且AD＝AE，連接DE．
（1）如圖①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；
（2）如圖②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
14．（2020?上城區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；
（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．
15．（2019?杭州模擬）定義：若一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊長(zhǎng)的一半，則稱該三角形為“半高”三角形，這條高稱為“半高”．
（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，點(diǎn)P在AB上，PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD，DE求證：△BDE是“半高”三角形；
（2）如圖2，△ABC是“半高”三角形，且BC邊上的高是“半高”，點(diǎn)P在AB上，PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q，PM⊥BC于點(diǎn)M，QN⊥BC于點(diǎn)N．
①請(qǐng)?zhí)骄緽M，PM，CN之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若△ABC的面積等于16，求MQ的最小值．
16．（2019?南潯區(qū)二模）（1）嘗試探究
如圖1，等腰Rt△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C在直線MN上，點(diǎn)D是直線MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右邊），BC＝3，BD＝m，在△ABC同側(cè)作等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，EF⊥MN于點(diǎn)F，連接CE．
①求DF的長(zhǎng)；
②在判斷AC⊥CE是否成立時(shí)，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問(wèn)題：
思路一：先證CF＝EF，求出∠ECF＝45°，從而證得結(jié)論成立．
思路二：先求DF，EF的長(zhǎng)，再求CF的長(zhǎng)，然后證AC2+CE2＝AE2，從而證得結(jié)論成立．
請(qǐng)你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過(guò)程．（如用兩種方法作答，則以第一種方法評(píng)分）
（2）拓展探究
將（1）中的兩個(gè)等腰直角三角形都改為有一個(gè)角為30°的直角三角形，如圖2，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝3，BD＝m，當(dāng)4≤m≤6時(shí)，求CE長(zhǎng)的范圍．
17．（2019?瑞安市三模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使得DE＝BD，連結(jié)CE．
（1）求證：△ABD≌△CED．
（2）當(dāng)BC＝5，CD＝3時(shí)，求△BCE的周長(zhǎng)．
18．（2019?黃巖區(qū)二模）如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中點(diǎn)B與點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，求證：△DMB是等腰三角形．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，M是EC上一點(diǎn)，若△DMB是等腰直角三角形，∠DMB為直角，求證：點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)．
（3）如圖3，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，線段EC上是否都存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形，若不存在，請(qǐng)舉出反例；若存在，請(qǐng)予以證明．
19．（2019?余杭區(qū)二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且DE＝DF，連結(jié)AC，分別交DE，DF于點(diǎn)M，N．
（1）求證：△ADF≌△CDE；
（2）設(shè)△DMN和△AFN的面積分別為S1和S2；
①若∠ADF＝∠EDF，求S2：S1的值．
②若S2＝2S1，求tan∠ADF．
20．（2019?慈溪市模擬）定義：在一個(gè)三角形中，若存在兩條邊x和y，使得y＝x2，則稱此三角形為“平方三角形”，x稱為平方邊．
（1）“若等邊三角形為平方三角形，則面積為是 命題；“有一個(gè)角為30°且有一條直角邊為2的直角三角形是平方三角形”是 命題；（填“真”或“假”）
（2）若a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，若三角形中存在一個(gè)角為60°，求c的值；
（3）如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)．
①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求證，△ABC是平方三角形；
②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代數(shù)式表示）

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