+陜西省西安市碑林區(qū)西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

這是一份+陜西省西安市碑林區(qū)西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷，共30頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1．（3分）∠A是銳角，若sinA=12，則∠A＝（ ）
A．45°B．60°C．30°D．90°
2．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．6D．8
3．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤-94B．k≤-94且k≠0
C．k≥-94D．k≥-94且k≠0
4．（3分）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（ ）
A．355B．175C．35D．45
5．（3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測(cè)出AB＝40cm，CD＝10cm，則圓形工件的半徑為（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
6．（3分）線段AB是⊙O的一條弦，⊙O的半徑為4，AB＝42，則弦AB所對(duì)的圓周角度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°
7．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，線段EF垂直平分AB，交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)O．若AB＝8，∠DOF＝67.5°，則點(diǎn)O到AC的距離為（ ）
A．42+4B．22+2C．22-2D．42-4
8．（3分）下表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值：
下列各選項(xiàng)中，正確的是（ ）
A．這個(gè)函數(shù)的圖象開口向下
B．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)
C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大
D．這個(gè)函數(shù)的最小值小于﹣6
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9．（3分）正五邊形的中心角的度數(shù)是 ．
10．（3分）拋物線y=23(x-1)2+c經(jīng)過(-2，y1)，(0，y2)，(52，y3)三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為 ．
11．（3分）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，則陰影部分的面積是 cm2.（結(jié)果用π表示）
12．（3分）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=kx(k＞0)上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C．若BC＝2AC，△AOB的面積為6，則k的值為 ．
13．（3分）如圖．在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、CD上，AE＝DF＝2，AF、BE相交于點(diǎn)P，O是正方形ABCD的中心，連接OP，則OP的長(zhǎng)度為 ．
三、解答題（共12小題，計(jì)81分.解答要寫出過程）
14．（5分）計(jì)算：(-1)2024+|3tan30°-1|-13．
15．（5分）解方程2x+1+1=xx-1．
16．（5分）先化簡(jiǎn)：2x-6x÷(x-6x-9x)，再從0，1，2，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．
17．（5分）尺規(guī)作圖：求作△ABC的外接圓．
要求：保留作圖痕跡，不寫作法．
18．（6分）如圖，已知△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE于點(diǎn)F，連接AE、CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的長(zhǎng)．
19．（7分）某校合唱團(tuán)為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動(dòng)，需招收新成員，小賢、小晴、小藝、小志四名同學(xué)報(bào)名參加了應(yīng)聘活動(dòng)，其中小賢、小藝來自九年級(jí)（1）班，小志、小晴來自九年級(jí)（2）班，現(xiàn)對(duì)這四名同學(xué)采取隨機(jī)抽取的方式進(jìn)行線上面試．
（1）若隨機(jī)抽取一名同學(xué)，恰好抽到小藝同學(xué)的概率為 ；
（2）若隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求兩名同學(xué)均來自相同班級(jí)的概率．
20．（7分）時(shí)代中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行紅色研學(xué)活動(dòng)．學(xué)生到達(dá)愛國主義教育基地后，先從基地門口A處向正南方向走300米到達(dá)革命紀(jì)念碑B處，再從B處向正東方向走到黨史紀(jì)念館C處，然后從C處向北偏西37°方向走200米到達(dá)人民英雄雕塑D處，最后從D處回到A處．已知人民英雄雕塑在基地門口的南偏東65°方向，求革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
21．（7分）如圖，雙曲線y=mx上有兩點(diǎn)A（2，3）、B（3，n），連接AB．
（1）求m、n的值．
（2）連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)C，連結(jié)BC，求△ABC的面積．
22．（8分）每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)的一批輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．問每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
23．（8分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AD∥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若AD＝4，直徑AB＝12，求線段BC的長(zhǎng)．
24．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．點(diǎn)M在線段OB上，ME∥y軸，交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）當(dāng)△CEF與△BOC相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
25．（10分）（1）如圖①，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6．點(diǎn)P為AB上動(dòng)點(diǎn)，則CP長(zhǎng)度的最小值為 ．
（2）如圖②，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，CP＝1，PQ⊥AB于點(diǎn)Q．求PQ長(zhǎng)度最小值．
（3）如圖③，光明公司在一塊四邊形荒地進(jìn)行觀賞種植實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)，四邊形ABCD中，AB＝CD＝40米，AD＝BC＝30米，∠ABC＝90°．種植方案是：將四邊形ABCD分成一些區(qū)域種植不同的觀賞作物，其中點(diǎn)E、F在AB、DC上，AE＝2DF，CQ⊥EF于點(diǎn)P，交AD于點(diǎn)Q．現(xiàn)決定先對(duì)△ABP區(qū)域進(jìn)行種植實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)你確定△ABP的面積是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面積最小值；若沒有最小值，請(qǐng)說明理由．
2024-2025學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中九年級(jí)（上）期末
數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1．（3分）∠A是銳角，若sinA=12，則∠A＝（ ）
A．45°B．60°C．30°D．90°
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．
【解答】解：∠A是銳角，若sinA=12，則∠A＝30°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
2．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由AD∥BE∥CF可得ABBC=DEEF，代入可求得EF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，
∴13=2EF，
解得EF＝6，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段可得對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤-94B．k≤-94且k≠0
C．k≥-94D．k≥-94且k≠0
【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥-94，
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
則k的取值范圍是k≥-94且k≠0．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況．
4．（3分）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（ ）
A．355B．175C．35D．45
【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解決問題．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC=AH2+CH2=42+32=5，
∴sin∠ACH=AHAC=45，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
5．（3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們要測(cè)一個(gè)如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決方案是：在工件圓弧上任取兩點(diǎn)A，B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)C，測(cè)出AB＝40cm，CD＝10cm，則圓形工件的半徑為（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
【分析】根據(jù)垂徑定理可以得到BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理，即可求得圓形工件的半徑．
【解答】解：設(shè)圓心為O，連接OB，如圖所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圓形工件的半徑為25cm，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
6．（3分）線段AB是⊙O的一條弦，⊙O的半徑為4，AB＝42，則弦AB所對(duì)的圓周角度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)勾股定理逆定理求出△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°，利用圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出∠ADB與∠AEB的度數(shù)．
【解答】解：如圖所示，
∵OA＝OB＝4，AB＝42，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ADB=12∠AOB＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ADB＝135°，
∴弦AB所對(duì)的圓周角為45°或135°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，在解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解．
7．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，線段EF垂直平分AB，交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)O．若AB＝8，∠DOF＝67.5°，則點(diǎn)O到AC的距離為（ ）
A．42+4B．22+2C．22-2D．42-4
【分析】作ON⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)可得MF＝4，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出ON即可．
【解答】解：如圖，作ON⊥AC，
∵AD平分∠BAC，線段EF垂直平分AB，
∴OM＝ON，
∵∠MOA＝∠DOF＝67.5°，
∴∠MAO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠MAF＝2∠MAO＝45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM＝MF=12AB=12×8=4，
∴ON+OF＝4，
∵OF=2ON，
∴ON+2ON＝4，
∴ON＝42-4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．
8．（3分）下表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值：
下列各選項(xiàng)中，正確的是（ ）
A．這個(gè)函數(shù)的圖象開口向下
B．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)
C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大
D．這個(gè)函數(shù)的最小值小于﹣6
【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣4），（3，﹣4）可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=32，由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，6）可得拋物線開口向上，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣4），（3，﹣4），
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=32，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，6），
∴當(dāng)x＜32時(shí)，y隨x增大而減小，
∴拋物線開口向上，且跟x軸有交點(diǎn)，故A，B錯(cuò)誤，不符合題意；
∴x＞32時(shí)，y隨x增大而增大，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
由對(duì)稱性可知，在x=32處取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9．（3分）正五邊形的中心角的度數(shù)是 72° ．
【分析】根據(jù)正多邊形的圓心角定義可知：正n邊形的圓中心角為360°n，則代入求解即可．
【解答】解：正五邊形的中心角為：360°5=72°．
故答案為：72°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正多邊形的中心角的知識(shí)．題目比較簡(jiǎn)單，注意熟記定義．
10．（3分）拋物線y=23(x-1)2+c經(jīng)過(-2，y1)，(0，y2)，(52，y3)三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為 y2＜y3＜y1 ．
【分析】根據(jù)開口向上，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大解答即可．
【解答】解：拋物線y=23(x-1)2+c的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，
點(diǎn)（﹣2，y1）距離對(duì)稱軸有3個(gè)單位長(zhǎng)度，
點(diǎn)（0，y2）距離對(duì)稱軸有1個(gè)單位長(zhǎng)度，
點(diǎn)（52，y3）距離對(duì)稱軸有1.5個(gè)單位長(zhǎng)度，
根據(jù)開口向上，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大可知：y2＜y3＜y1．
故答案為：y2＜y3＜y1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)增減性是關(guān)鍵．
11．（3分）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，則陰影部分的面積是 3000π cm2.（結(jié)果用π表示）
【分析】利用扇形面積公式，根據(jù)S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．
【解答】解：S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
=100π?OA2360-100π?OB2360
=100π×1202360-100π×602360
＝3000π（cm2），
故答案為：3000π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求扇形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=kx(k＞0)上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C．若BC＝2AC，△AOB的面積為6，則k的值為 6 ．
【分析】如圖，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H．求出△AOH的面積可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵AH⊥OC，
∴OB：OH＝BC：AC＝2，
∴S△AOH=12S△AOB＝3，
∴k2=3，
∴k＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是理解反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．
13．（3分）如圖．在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、CD上，AE＝DF＝2，AF、BE相交于點(diǎn)P，O是正方形ABCD的中心，連接OP，則OP的長(zhǎng)度為 655 ．
【分析】設(shè)BD交AF于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，證明△BAE和△ADF全等得∠ABE＝∠DAF，進(jìn)而得∠BPA＝90°，即AF⊥BE，求出BD=62，則OB=32，證明△DHF和△BAH相似，利用相似三角形的性質(zhì)得BH＝3DH，AH＝3HF，進(jìn)而得DH=322，BH=922，再求出AF=210，則HF=102，AH=3102，證明△BPA和△ADF相似，利用相似三角形的性質(zhì)得AP=3105，BP=9105，則PH=91010，然后證明△BOM和△BHP相似，利用相似三角形的性質(zhì)得OM=3105，BM=6105，則PM=3105，最后在Rt△OPM中，由勾股定理即可求出OP的長(zhǎng)．
【解答】解：連接BD交AF于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為6，
∵AB＝AD＝6，∠BAE＝∠ADF＝90°，AB∥CD，
又∵AE＝DF＝2，
在△BAE和△ADF中，
AB=AD∠BAE=∠ADF=90°AE=DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠BPA＝180°﹣（∠ABE+∠BAF）＝90°，
即AF⊥BE，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
由勾股定理得：BD=AB2+AD2=62，
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，
∴點(diǎn)O在線段OB上，且OB=12BD=32，
∵AB∥CD，
∴△DHF∽△BAH，
∴DHBH=DFAB=HFAH=26=13，
∴BH＝3DH，AH＝3HF，
∴BD＝BH+DH＝4DH=62，
∴DH=322，
∴BH＝3DH=922，
在Rt△ADF中，AD＝6，DF＝2，
由勾股定理得：AF=AD2+DF2=62+22=210，
∴AF＝AH+HF＝4HF=210，
∴HF=102，
∴AH＝3HF=3102，
∵∠ABE＝∠DAF，∠BPA＝∠ADF＝90°，
∴△BPA∽△ADF，
∴APDF=BPAD=ABAF，
∴AP2=BP6=6210，
∴AP=3105，BP=9105，
∴PH＝AF﹣AP﹣HF=210-3105-102=91010，
∵OM⊥BE，AF⊥BE，
∴OM∥AF，
∴△BOM∽△BHP，
∴OM：PH＝BM：BP＝OB：BH，
∴OM：91010=BM：9105=32：322，
∴OM=3105，BM=6105，
∴PM＝BP﹣BM=9105-6105=3105，
∴PM＝OM=3105，
在Rt△OPM中，由勾股定理得：OP=OM2+PM2=2PM＝√2×3105=655．
故答案為：655．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題（共12小題，計(jì)81分.解答要寫出過程）
14．（5分）計(jì)算：(-1)2024+|3tan30°-1|-13．
【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘方、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值、二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)計(jì)算，再合并即可．
【解答】解：(-1)2024+|3tan30°-1|-13
＝1+|3×33-1|-33
＝1+|3-1|-33
＝1+3-1-33
=233．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
15．（5分）解方程2x+1+1=xx-1．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程兩邊同乘（x+1）（x﹣1），得
2（x﹣1）+x2﹣1＝x（x+1），
解得x＝3．
經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的根，
∴原方程的解x＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，解分式方程的關(guān)鍵是兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視檢驗(yàn)．
16．（5分）先化簡(jiǎn)：2x-6x÷(x-6x-9x)，再從0，1，2，3中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．
【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的x的值，代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式=2(x-3)x÷x2-6x+9x
=2(x-3)x?x(x-3)2
=2x-3．
∵x≠0，x﹣3≠0，
∴x≠0且x≠3．
當(dāng)x＝1時(shí)，
原式=21-3=-1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
17．（5分）尺規(guī)作圖：求作△ABC的外接圓．
要求：保留作圖痕跡，不寫作法．
【分析】分別作BC和AC的垂直平分線．它們相交于點(diǎn)O，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，OC為半徑作圓即可．
【解答】解：如圖，⊙O即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理、三角形的外接圓．
18．（6分）如圖，已知△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF∥BC交DE于點(diǎn)F，連接AE、CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的長(zhǎng)．
【分析】（1）由題意可得△AFD≌△CED（AAS），則AF＝EC，根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可得四邊形AECF是平行四邊形；又EF垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AF＝CF，根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得∠AEG＝60°，AE＝2，則BG＝AG=3，AB=2BG=6．
【解答】解：（1）證明：如圖，
在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又EF⊥AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，即EF垂直平分AC，
∴平行四邊形AECF是菱形．
（2）如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，
由（1）知四邊形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB＝∠AGE＝90°，
∴∠GAE＝30°，
∴GE=12AE＝1，AG=3GE=3，
∵∠B＝45°，
∴∠GAB＝∠B＝45°，
∴BG＝AG=3，
∴AB=2BG=6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定，含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等內(nèi)容，根據(jù)45°，30°等特殊角作出正確的垂線是解題關(guān)鍵．
19．（7分）某校合唱團(tuán)為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動(dòng)，需招收新成員，小賢、小晴、小藝、小志四名同學(xué)報(bào)名參加了應(yīng)聘活動(dòng)，其中小賢、小藝來自九年級(jí)（1）班，小志、小晴來自九年級(jí)（2）班，現(xiàn)對(duì)這四名同學(xué)采取隨機(jī)抽取的方式進(jìn)行線上面試．
（1）若隨機(jī)抽取一名同學(xué)，恰好抽到小藝同學(xué)的概率為 14 ；
（2）若隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求兩名同學(xué)均來自相同班級(jí)的概率．
【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到小藝同學(xué)的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩名同學(xué)均來自相同班級(jí)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到小藝同學(xué)的結(jié)果有1種，
∴隨機(jī)抽取一名同學(xué)，恰好抽到小藝同學(xué)的概率為14．
故答案為：14．
（2）列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中兩名同學(xué)均來自相同班級(jí)的結(jié)果有：（小賢，小藝），（小藝，小賢），（小志，小晴），（小晴，小志），共4種，
∴兩名同學(xué)均來自相同班級(jí)的概率為412=13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
20．（7分）時(shí)代中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行紅色研學(xué)活動(dòng)．學(xué)生到達(dá)愛國主義教育基地后，先從基地門口A處向正南方向走300米到達(dá)革命紀(jì)念碑B處，再從B處向正東方向走到黨史紀(jì)念館C處，然后從C處向北偏西37°方向走200米到達(dá)人民英雄雕塑D處，最后從D處回到A處．已知人民英雄雕塑在基地門口的南偏東65°方向，求革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由銳角三角函數(shù)定義求出CF≈120（米），DF≈160（米），再證四邊形BFDE是矩形，得BF＝DE，BE＝DF＝160米，則AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），然后由銳角三角函數(shù)定義求出DE≈299.60（米），即可求解．
【解答】解：過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如圖所示：
由題意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF=CFCD=sin37°≈0.60，cs∠CDF=DFCD=cs37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120（米），DF≈200×0.80＝160（米），
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四邊形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140（米），
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE=tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60（米），
∴BF＝DE≈299.60（米），
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420（米），
答：革命紀(jì)念碑與黨史紀(jì)念館之間的距離約為420米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，熟練掌握方向角的定義和銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
21．（7分）如圖，雙曲線y=mx上有兩點(diǎn)A（2，3）、B（3，n），連接AB．
（1）求m、n的值．
（2）連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)C，連結(jié)BC，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上得到坐標(biāo)特征解答即可；
（2）先求出對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出直線BC解析式得到點(diǎn)D坐標(biāo)，繼而利用S△ABC＝2S△COB求出面積即可．
【解答】解：（1）∵雙曲線y=mx上有兩點(diǎn)A（2，3）、B（3，n），
∴m＝2×3＝3n，
解得m＝6，n＝2；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性質(zhì)可知C（﹣2，﹣3），OA＝OC，如圖，連接OB，
∴S△BOC＝S△AOB，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，代入點(diǎn)B（3，2），C（﹣2，﹣3）得：
3k+b=2-2k+b=-3，
解得k=1b=-1，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣1，
∴D（0，﹣1）即OD＝1，
∴S△COB＝S△COD+S△BOD=12×1×2+12×1×3=52，
∴S△ABC＝2S△COB＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．
22．（8分）每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)的一批輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．問每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
【分析】根據(jù)單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．可得單價(jià)每降低1元，每天可多售出0.4輛，那么單價(jià)每降低x元，每天可多售出0.4x輛．銷售利潤＝每輛輪椅的銷售利潤×（原銷售量+增加的銷售量），把得到的函數(shù)關(guān)系式整理為頂點(diǎn)式，進(jìn)而根據(jù)每輛輪椅的利潤不低于180元得到自變量的取值范圍，代入到函數(shù)關(guān)系式可得最大利潤．
【解答】解：設(shè)每輛輪椅降價(jià)為元，每天的銷售利潤為y元，
y＝（200﹣x）（60+4×x10）
＝﹣0.4x2+20x+12000．
＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250
＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．
∵200﹣x≥180，
∴x≤20．
∴當(dāng)x＝20時(shí)，利潤最大，最大利潤為：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．
答：每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤為12240元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，得到降價(jià)后的銷售量是解決本題的關(guān)鍵；根據(jù)取值范圍得到函數(shù)的最大值是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．
23．（8分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AD∥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若AD＝4，直徑AB＝12，求線段BC的長(zhǎng)．
【分析】（1）連接OD，要證明CD為圓O的切線，只要證明∠CDO＝90°即可；
（2）連接BD，根據(jù)已知求得△ADB∽△OBC再根據(jù)相似比即可求得BC的值．
【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵AD∥CO，
∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．
∴∠COD＝∠COB．
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC（SAS）．
∴∠ODC＝∠OBC．
∵CB是圓O的切線且OB為半徑，
∴∠CBO＝90°．
∴∠CDO＝90°．
∴OD⊥CD．
又∵CD經(jīng)過半徑OD的外端點(diǎn)D，
∴CD為圓O的切線．
（2）解：連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°．
在直角△ADB中，BD=AB2-AD2=122-42=82，
∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，
∴△ADB∽△OBC．
∴ADOB=DBBC，即46=82BC．
∴BC＝122．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，常見的輔助線有：
①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．
24．（8分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．點(diǎn)M在線段OB上，ME∥y軸，交BC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）當(dāng)△CEF與△BOC相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)△CEF與△BOC相似時(shí)，則△CEF為等腰直角三角形，當(dāng)∠CEF為直角時(shí)，則點(diǎn)E、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)E（2，3）；當(dāng)∠ECF為直角時(shí)，得到點(diǎn)E（m，m+3），即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
則﹣3a＝3，則a＝﹣1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)知，△BOC為等腰直角三角形，
故當(dāng)△CEF與△BOC相似時(shí)，則△CEF為等腰直角三角形，
當(dāng)∠CEF為直角時(shí)，
則點(diǎn)E、C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)E（2，3）；
當(dāng)∠ECF為直角時(shí)，如圖，
過點(diǎn)C作CH⊥l于點(diǎn)H，設(shè)CH＝m，則EF＝FH＝m，
則點(diǎn)E（m，m+3），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：m+3＝﹣m2+2m+3，則m＝0（舍去）或1，
即點(diǎn)E（1，4），
綜上，E（2，3）或（1，4）．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．
25．（10分）（1）如圖①，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6．點(diǎn)P為AB上動(dòng)點(diǎn)，則CP長(zhǎng)度的最小值為 32 ．
（2）如圖②，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，CP＝1，PQ⊥AB于點(diǎn)Q．求PQ長(zhǎng)度最小值．
（3）如圖③，光明公司在一塊四邊形荒地進(jìn)行觀賞種植實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)，四邊形ABCD中，AB＝CD＝40米，AD＝BC＝30米，∠ABC＝90°．種植方案是：將四邊形ABCD分成一些區(qū)域種植不同的觀賞作物，其中點(diǎn)E、F在AB、DC上，AE＝2DF，CQ⊥EF于點(diǎn)P，交AD于點(diǎn)Q．現(xiàn)決定先對(duì)△ABP區(qū)域進(jìn)行種植實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)你確定△ABP的面積是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面積最小值；若沒有最小值，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP的長(zhǎng)最小，此時(shí)AP＝PB，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解答；
（2）如圖②，以C為圓心，以1為半徑畫圓，則點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，交⊙C于M，先根據(jù)面積法可得CD=125，由垂線段最短可得PQ≥DE，即可解答；
（3）如圖③，作輔助線構(gòu)建矩形和相似三角形，證明△DFN∽△AEN，則AN＝2DN，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：OP=12CN＝25，則點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，以25為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合（2）中的結(jié)論即可解答．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，
∴AB=62+62=62，
∵點(diǎn)P為AB上動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP的長(zhǎng)最小，此時(shí)AP＝PB，
∴CP=12AB＝32；
即PQ長(zhǎng)度的最小值是32；
故答案為：32；
（2）如圖②，以C為圓心，以1為半徑畫圓，則點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，交⊙C于M，
∵CP+PQ≥CM+DM，CP＝CM＝1，
∴1+PQ≥1+DM，
∴PQ≥DM，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=42+32=5，
∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，
∴CD=125，
∴DM=125-1=75，
∴PQ≥75，
∴PQ長(zhǎng)度的最小值是75；
（3）△ABP的面積有最小值，
如圖③，延長(zhǎng)AD，EF交于點(diǎn)N，連接CN，取CN的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，交CD于M，連接OP，過點(diǎn)P作PT⊥AB于T，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC＝90°，
∴?ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴△DFN∽△AEN，∠CDN＝∠BAD＝90°，
∴DFAE=DNAN=12，
∵AE＝2DF，
∴AN＝2DN，
∴AD＝DN＝30，
在Rt△CDN中，∵CD＝40，
∴CN=302+402=50，
∵EF⊥CQ，
∴∠CPN＝90°，
∵O是CN的中點(diǎn)，
∴OP=12CN＝25，
∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，以25為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵OH⊥AB，AN⊥AB，BC⊥AB，
∴OH∥AN∥BC，
∴四邊形AHMD是平行四邊形，
∴HM＝AD＝30，
∵OC＝ON，
∴CM＝MD，
∴OM是△CDN的中位線，
∴OM=12DN=12×30＝15，
∴OH＝15+30＝45，
由（2）同理得：PT的最小值為45﹣25＝20，
∴△ABP的面積有最小值，最小值=12×40×20＝400（米2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，考查了垂線段最短，平行四邊形和矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂線段最短和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
D
D
C
C
D
D
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
小賢
小藝
小志
小晴
小賢
（小賢，小藝）
（小賢，小志）
（小賢，小晴）
小藝
（小藝，小賢）
（小藝，小志）
（小藝，小晴）
小志
（小志，小賢）
（小志，小藝）
（小志，小晴）
小晴
（小晴，小賢）
（小晴，小藝）
（小晴，小志）