廣東省廣州市海珠區(qū)2023-2024學年七年級上學期期末數(shù)學試題（含答案）

這是一份廣東省廣州市海珠區(qū)2023-2024學年七年級上學期期末數(shù)學試題（含答案），共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
鐘，不可使用計算器．
注意事項：
答卷前，考生務必在答題卡第 1 面、第 3 面、第 5 面上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的學校、班級、姓名、座位號、考號；再用 2B 鉛筆把對應號碼的標號涂黑．
選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題號的答案標號涂黑；如需改動， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；不能答在試卷上．
非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用 2B 鉛筆畫圖．答案必須寫在答題卡各題指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上 新的答案；改動的答案也不能超出指定的區(qū)域．不準使用鉛筆、圓珠筆和涂改液，不按以上 要求作答的答案無效．
考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、選擇題（本題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分）
若氣溫為零上10?C 記作?10?C ，則?3?C 表示氣溫為 （ ）
A 零上3?C
零下3?C
零上7?C
零下7?C
【答案】B
【解析】
【分析】此題主要用正負數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負，直接得出結(jié) 論即可．
【詳解】解：若氣溫為零上10?C 記作?10?C ，則?3?C 表示氣溫為零下3?C ．
故選：B．
將“784000”用科學記數(shù)法表示為（）
A. 7.84 ?105
B. 7.84 ?106
C. 7.84 ?107
D. 78.4 ?106
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法： a ?10n ,1 ? a ? 10 ， n 為整數(shù)，進行表示即可，確定 a, n 的值，是
解題的關鍵．
【詳解】解： 784000 ? 7.84 ?105 ； 故選 A．
如圖的平面圖形繞直線 l 旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)面動成體以及長方形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓柱即可得答案.
【詳解】由圖可知所給的平面圖形是一個長方形， 長方形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓柱，
故選 B.
【點睛】本題考查了點、線、面、體，熟記各種常見平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的立體圖形是解題關鍵．
下列計算正確的是（）
2a ? 3b ? 5ab
a2b ? ab2 ? 0
2ab ? 2ba ? 0
a3 ? a2 ? a5
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了合并同類項，所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的單項式叫做同類項，合并 同類項時，只對同類項的系數(shù)進行加減計算，字母和字母的指數(shù)保持不變，據(jù)此求解判斷即可．
【詳解】解：A、 2a 與3b 不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B、 a2b 與ab2 不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
C、 2ab ? 2ba ? 0 ，原式計算正確，符合題意；
D、 a3 與 a2 不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意； 故選 C．
下列變形正確的是（）
A. 若 x ? 5 ? 1，則 x ? 1? 5
C. 若6x ? 3 ，則 x ? 6
B. 若 2x ? 8 ，則 x ? 8 ? 2
D. 若 2 x ? 5 ，則 x ? 5 ? ? 2 ?
?
3
??
33??
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查等式的性質(zhì)．等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，或者等式兩邊同時乘或除以同 一個不為0 的整式，或是等式左右兩邊同時乘方，等式仍然成立．熟記相關結(jié)論是解題關鍵．
【詳解】解：A、若 x ? 5 ? 1，則 x ? 1? 5 ，故本選項不符合題意；
B、若 2x ? 8 ，則 x ? 8 ，故本選項不符合題意；
2
C、若6x ? 3 ，則 x ? 3 ，故本選項不符合題意；
6
D、若 2 x ? 5 ，則 x ? 5 ? ? 2 ? ，故本選項符合題意；
??
3
3??
故選：D．
若關于 x 的方程 2x+a＝9﹣a（x﹣1）的解是 x＝3，則 a 的值為（）
A. 1B. 2C. ﹣3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先將 x＝3 代入方程，轉(zhuǎn)化為解關于字母 a 的一元一次方程．
【詳解】將 x＝3 代入方程 2x+a＝9﹣a（x﹣1），得：6+a＝9﹣2a，解得：a＝1，
故選：A．
【點睛】本題考查一元一次方程的解、解一元一次方程等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
如圖一個正方形的平面展開圖如圖所示，將它折成正方體后，“?！弊謱γ娴淖质牵ǎ?br>A. 碳B. 低C. 綠D. 色
【答案】A
【解析】
【分析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點作答．
【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形， “低”與“綠”是相對面，
“碳”與“?！笔窍鄬γ?，
“環(huán)”與“色”是相對面． 故選：A．
【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，解題的關鍵是注意正方體的空間圖形，從相對面入 手分析及解答問題．
在紙上畫了一條數(shù)軸后，折疊紙面，使數(shù)軸上表示?1的點與表示 3 的點重合，表示數(shù) 7 的點與點 A 重合，
則點 A 表示的數(shù)是（）
A. 5B. ?3
【答案】D
【解析】
C. ?7
D. ?5
【分析】此題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的混合運算．先確定折疊處表示的數(shù)，進一步計算即可求解．
【詳解】解：∵折疊后點?1與點 3 重合，
∴紙面的折疊處是 3 ?1 ? 1 ，
2
∵表示數(shù) 7 的點與點 A 重合，
∴點 A 表示的數(shù)是1? 2 ? 7 ? ?5 ． 故選：D．
有一個魔術，魔術師背對小聰，讓小聰拿著撲克牌按下列四個步驟操作：
①第一步：分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五張，且各堆牌的張數(shù)相同；
②第二步：從左邊一堆拿出五張，放入中間一堆；
③第三步：從右邊一堆拿出三張，放入中間一堆；
④第四步：右邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入右邊一堆．
這時，魔術師準確說出了中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)，則他說出的張數(shù)是（）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】設左、中、右三堆牌原來每堆有 x 張牌，根據(jù)題意，列出代數(shù)式，即可求解.
【詳解】設左、中、右三堆牌原來每堆有 x 張牌， 根據(jù)題意得：x+5+3-(x-3)=11，
故選 D.
【點睛】本題主要考查用代數(shù)式表示數(shù)量關系，設未知數(shù)，根據(jù)數(shù)量關系，列出代數(shù)式，是解題的關鍵.
a
a
b
b
c
c
??(abc ? 0) 的所有可能的值有（）個
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了絕對值運算．根據(jù)a、b、c 的符號分情況討論，再根據(jù)絕對值運算進行化簡即可得．
【詳解】解：由題意，分以下四種情況：
①當a、b、c 全為正數(shù)時，原式? 1?1?1 ? 3 ，
②當a、b、c 中兩個正數(shù)、一個負數(shù)時，原式? 1?1?1 ? 1，
③當a、b、c 中一個正數(shù)、兩個負數(shù)時，原式? 1?1?1 ? ?1 ，
④當a、b、c 全為負數(shù)時，原式? ?1 ?1 ?1 ? ?3 ， 綜上所述，所求式子的所有可能的值有 4 個，
故選：C．
二、填空題（本題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）
11. - 2023 的相反數(shù)是．
【答案】2023
【解析】
【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
【詳解】-2023 的相反數(shù)是：2023． 故答案為：2023．
【點睛】本題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關鍵．
12. 若??? 32? ，則??的余角的度數(shù)為．
【答案】58? ##58 度
【解析】
【分析】本題考查求一個角的余角，根據(jù)互余的兩個角的度數(shù)之和為90? ，計算即可．
【詳解】解： ??的余角的度數(shù)為90? ? 32? ? 58? ； 故答案為： 58? ．
“某數(shù)與 6 的和的一半等于 12”，設某數(shù)為 x，則可列方程．
【答案】 x ? 6 ? 12
2
【解析】
【分析】根據(jù)題目中的等量關系列出方程即可求解．
【詳解】解：∵某數(shù)與 6 的和的一半等于 12，
∴可列方程為 x ? 6 ? 12 ．
2
故答案為： x ? 6 ? 12 ．
2
【點睛】此題考查了列一元一次方程，解題的關鍵是找到題目中的等量關系并表示出來．
若單項式?2ax2 yn?1 與?3axm y4 的差是 ax2 y4 ，則 2m ? 3n ?．
【答案】13
【解析】
【分析】根據(jù)同類項的定義，列出關于 m、n 的等式即可求解．
【詳解】解：單項式?2ax2 yn?1 與?3axm y4 的差是 ax2 y4 ，
? m ? 2 ， n ?1 ? 4
解得： m ? 2 ， n ? 3 ，
把 m ? 2 ， n ? 3 代入 2m ? 3n ? 13， 故答案為：13
【點睛】本題考查了同類項，同類項定義中的兩個“相同”：所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，相同 字母的指數(shù)相同是易混點．
已知線段 AC 和線段 BC 在同一直線上，如果 AC ? 6cm ， BC ? 4cm，則線段 AC 和線段 BC 的中點
之間的距離為cm ．
【答案】1 或 5##5 或 1
【解析】
【分析】本題考查了與線段中點有關的計算．分 B 點在C 點的左側(cè)和 B 點在C 點的右側(cè)兩種情況，再根據(jù)線段中點的定義、線段的和差即可得．
【詳解】解：設線段 AC 的中點為點 M ，線段 BC 的中點為點 N ，
則 AM ? MC ? 1 AC ? 3cm，BN ? CN ? 1 BC ? 2cm ，
22
如圖，當 B 點在C 點的左側(cè)時，
所以 MN ? MC ? CN ? 3 ? 2 ? 1?cm?；
如圖，當 B 點在C 點的右側(cè)時，
所以 MN ? MC ? CN ? 3 ? 2 ? 5?cm? ；
綜上，線段 AC 的中點和線段 BC 的中點之間的距離為1cm 或5cm ． 故答案為：1 或 5．
如圖所示的圖形都由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，若按此規(guī)律排列下去，則第 n 個圖形中有
個小圓圈．
【答案】n2+n+4
【解析】
【分析】觀察圖形的變化可得前幾個圖形的小圓圈的個數(shù)，進而可以尋找規(guī)律即可．
【詳解】觀察圖形的變化可知：
第 1 個圖形中有小圓圈的個數(shù)：1×2+4＝6 個； 第 2 個圖形中有小圓圈的個數(shù)：2×3+4＝10 個； 第 3 個圖形中有小圓圈的個數(shù)：3×4+4＝16 個；
…
則第 n 個圖形中有小圓圈的個數(shù)為：n（n+1）+4＝n2+n+4． 故答案為：n2+n+4．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．
三、解答題（本題共 9 小題，共 72 分．解答要求寫出文字說明，證明過程或計算步驟）
17. 計算： ??3?2 ? 2 ? ?36 ? 4
【答案】9
【解析】
【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，先計算乘方和絕對值，再計算乘除法，最后計算減法 即可．
【詳解】解：原式? 9 ? 2 ? 36 ? 4
? 18 ? 9
? 9 ．
18. 解方程：
（1） 4x ?1 ? 2x ? 5 ．
（2） x ? 3 ? x ? 1 ? 4 ．
23
【答案】（1） x ? 3
（2） x ? 7
【解析】
【分析】（1）先移項，再合并同類項，最后化系數(shù)為 1；
（2）先去分母，再去括號，然后移項，最后合并同類項，據(jù)此解題．
【小問 1 詳解】
解： 4x ?1 ? 2x ? 5 ，
移項，得 4x ? 2x ? 5 ? 1 ． 合并同類項，得 2x ? 6 ． 系數(shù)化為 1，得 x ? 3 ．
【小問 2 詳解】
解：去分母，得3? x ? 3? ? 2? x ?1? ? 24 ． 去括號，得3x ? 9 ? 2x ? 2 ? 24 ．
移項，得3x ? 2x ? 24 ? 9 ? 2 ．
合并同類項，得5x ? 35 ． 系數(shù)化為 1，得 x ? 7 ．
【點睛】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握“一元一次方程的解法與步驟”是解本題的關鍵．
19. 已知多項式 A ? 3?2a2 ? 2ab ? b2 ? ? 2 ? a2 ? 3ab ? 5 b2 ? ．
?2?
??
化簡 A；
若a2 ? 2b2 ? 5 ，求多項式 A 的值．
【答案】（1） 4a2 ? 8b2
（2）20
【解析】
【分析】本題考查的是整式的加減運算中的化簡求值；熟記去括號，合并同類項的法則是解本題的關鍵．
先去括號，再合并同類項，即可得到答案；
把a2 ? 2b2 ? 5 整體代入化簡后的代數(shù)式進行計算即可．
【小問 1 詳解】
解： A ? 3?2a2 ? 2ab ? b2 ? ? 2 ? a2 ? 3ab ? 5 b2 ?
?2?
??
? 6a2 ? 6ab ? 3b2 ? 2a2 ? 6ab ? 5b2
? 4a2 ? 8b2 ；
【小問 2 詳解】
解：∵ a2 ? 2b2 ? 5 ，
∴原式? 4 ?a2 ? 2b2 ? ? 4? 5 ? 20 ．
如圖，已知平面內(nèi)的四個點A ， B ， C ， D ，請用直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（不寫畫法，保留畫圖痕跡）
畫直線 AB ；
畫射線 AC ；
連接 BC 并延長 BC 到 E，使得CE ? AB ? BC ；
在線段 BD 上取點 P，使 PA ? PC 的值最小，并說明理由．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）見解析（4）見解析，兩點之間，線段最短
【解析】
【分析】本題主要考查了畫直線，射線，和線段的尺規(guī)作圖，兩點之間線段最短等等，熟知相關知識是解
題的關鍵．
根據(jù)直線的畫法畫圖即可；
根據(jù)射線的畫法畫圖即可；
先在 BC 延長上截取線段CF ? BC ，再截取 EF ? AB 即可；
連接 BD 交 AC 于 P，根據(jù)兩點之間，線段最短可得點 P 即為所求．
【小問 1 詳解】
解：如圖所示，直線 AB 即為所求；
【小問 2 詳解】
解：如圖所示，射線 AC 即為所求；
【小問 3 詳解】
解：如圖所示，點 E 即為所求；
【小問 4 詳解】
解：如圖所示，點 P 即為所求， 理由為兩點之間，線段最短．
如圖，線段 AB ? 20 ， BC ? 15 ，點 M 是 AC 的中點．
求線段 AM 的長度；
在CB 上取一點 N，使得CN : NB ? 2 :3 ．求 MN 的長．
5
【答案】（1）
2
17
（2）
2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線段的中點以及和差關系，求解即可；
（2）根據(jù)線段的比值關系以及和差關系，即可求解．
【小問 1 詳解】
解：線段線段 AB ? 20 ， BC ? 15 ，
∴ AC ? AB ? BC ? 20 ?15 ? 5 ． 又∵點 M 是 AC 的中點．
∴ AM ? 1 AC ? 1 ? 5 ? 5 ，即線段 AM 的長度是 5 ．
2222
【小問 2 詳解】
∵ BC ? 15，CN : NB ? 2 : 3 ，
∴ CN ? 2 BC ? 6 ．
5
又∵點 M 是 AC 的中點， AC ? 5 ，
∴ MC ? 1 AC ? 5 ，
22
∴ MN ? MC ? NC ? 17 ，即 MN 的長度是17 ．
22
【點睛】此題考查了與線段中點有關的和差關系，解題的關鍵是理解題意，正確的進行求解．
某超市為了吸引顧客，推出兩種不同的優(yōu)惠銷售方式，方式一：累計購買商品總價超過 200 元，超出的部分按原價 8 折優(yōu)惠；方式二：累計購買商品總價超過 100 元，超出部分按原價 8.5 折優(yōu)惠．
甲顧客準備購買 300 元的商品，你認為他應該選擇哪種優(yōu)惠方式？請說明理由．
設乙顧客計劃累計購物 x 元(x ? 200) ，他選擇何種優(yōu)惠方式更省錢？
【答案】（1）應去乙超市購買；
（2）當購買 200 ? x ? 500 元的商品時，去乙超市購買更省錢；當購買 x ? 500 元的商品時，去甲超市購買更省錢．
【解析】
【分析】本題主要考查一元一次方程的實際應用，正確理解題意，列出方程，是解題關鍵．
根據(jù)題意分別列式表示甲、乙兩家超市的費用，再將 x ? 300 分別代入計算，再比較大小即可得到答案；
列出方程計算即可．
【小問 1 詳解】
解：①甲超市的費用： 200 ? 0.8 ? x ? 200 ? ? 0.8x ? 40 ，
②乙超市的費用：100 ? 0.85? x ?100? ? 0.85x ?15 ；
當購買 300 元的商品，應去乙超市購買，理由如下： 當 x ? 300 時，
甲超市的費用為： 0.8? 300 ? 40 ? 280 （元），乙超市的費用為： 0.85? 300 ?15 ? 270 （元），
∵ 280 ? 270 ，
∴應去乙超市購買；
【小問 2 詳解】
解： 0.8x ? 40 ? 0.85x ?15 ， 解得： x ? 500 ，
∴當購買 500 元的商品時，到兩家超市購物所付的費用一樣； 當購買200 ? x ? 500 元的商品時，去乙超市購買更省錢； 當購買 x ? 500 元的商品時，去甲超市購買更省錢．
定義：關于 x 的方程ax ? b ? 0 與方程bx ? a ? 0 （a，b 均為不等于 0 的常數(shù)）稱互為“反對方程”， 例如：方程 2x ?1 ? 0 與方程 x ? 2 ? 0 互為“反對方程”．
若關于 x 的方程2x ? 3 ? 0 與方程3x ? c ? 0 互為“反對方程”，則 c ?．
若關于 x 的方程2x ? 3 ? d 與其“反對方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù) d 的值．
已知關于 x 的一元一次方程 2022 x ? 5 ? 7x ? m 的解為 x ? ? 1 ，那么關于 y 的一元一次方程
(m ? 5)( y ? 2) ? 7 ? 2022 的解為
2023
2023
2
．（請直接寫出答案）
【答案】（1）2（2） ?1或? 5
（3） y ? ?4
【解析】
【分析】此題考查的是一元一次方程的應用；
根據(jù)“反對方程”的定義直接可得答案；
根據(jù)方程 2x ? 3 ? d 與其“反對方程”的解都是整數(shù)求解；
由題意得，互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù)，然后利用整體思想求解； 能夠正確理解“反對方程”的概念是解決此題關鍵．
【小問 1 詳解】
解：由題可知， ax ? b ? 0 與方程bx ? a ? 0(a ， b 均為不等于 0 的常數(shù)）稱互為“反對方程”，
?2x ? 3 ? 0 與方程3x ? c ? 0 互為“反對方程”，
? c ? 2 ，
故答案為：2；
【小問 2 詳解】
2x ? 3 ? d 變形為 2x ? ?3 ? d ? ? 0
由題意可知：方程 2x ? ?3 ? d ? ? 0 的“反對方程”為： ?3 ? d ? x ? 2 ? 0
解 2x ? ?3 ? d ? ? 0 ，得 x ? 3 ? d ，
2
解?3 ? d ? x ? 2 ? 0 ，得 x ?
2
，
3 ? d
?2x ? ?3 ? d ? ? 0 與?3 ? d ? x ? 2 ? 0 的解都是整數(shù)，
? x ? 3 ? d 與 x ?
2
2
3 ? d
都是整數(shù)，且d 為整數(shù)，
∴當 d ? ?1或? 5 時，
3 ? d
2
2
與都是整數(shù)；
3 ? d
故整數(shù) d 的值為?1或? 5 ；
【小問 3 詳解】
∵關于 x 的一元一次方程 2022 x ? 5 ? 7x ? m 的解為 x ? ? 1 ，
20232
?? 2022 ? 7 ? x ? ?m ? 5? ? 0 的解為 x ? ? 1 ，
? 2023?2
??
由題意得，互為“反對方程”的兩個方程的解互為倒數(shù)，
??m ? 5? x ? ? 2022 ? 7 ? ? 0 的解為 x ? ?2 ，
? 2023?
??
將(m ? 5)( y ? 2) ? 7 ? 2022 變形為?m ? 5?? y ? 2? ? ? 2022 ? 7 ? ? 0 ，
2023
? 2023?
??
? y ? 2 ? ?2
∴關于 y 的一元一次方程(m ? 5)( y ? 2) ? 7 ? 2022 的解為 y ? ?4 ．
2023
故答案為： y ? ?4 ．
請閱讀下列材料，并解答相應的問題：
“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”（如圖 1），是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數(shù)學符號表示，洛書就是一個三階幻方（如圖 2），“幻方”需要滿足的條件是每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等．
設圖 3 三階幻方中間的數(shù)字是 x，用 x 的代數(shù)式表示幻方中 9 個數(shù)的和為；每一行三個數(shù)的和為；
圖 4 是一個三階幻方，那么標有 x 的方格中所填的數(shù)是多少？請寫出解題過程．
由三階幻方可以衍生出許多有特定規(guī)律的新幻方，在如圖 5 所示的“幻方”中，每個小三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，x ? k ?1 ， y ? k ?1，求 a ? b ? c ? d 的值．
【答案】（1） 9x ， 3x
（2） x ? 21 ；
（3） a ? b ? c ? d ? ?4 ．
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，能找到規(guī)律是解題的關鍵．
根據(jù)三階幻方的性質(zhì)“每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等”求解即可；
根據(jù)“幻和恰好等于中心數(shù)的 3 倍”列式計算解答即可；
（2）根據(jù)“每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等”，分別列出 等式，然后表示出代數(shù)式 a ? b，d ? c 的值，整體代入計算即可．
【小問 1 詳解】
解：∵每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等，
∴每一行三個數(shù)的和為 x ? 3 ? x ? x ? 3 ? 3x ，
9 個數(shù)的和為9x ，
故答案為： 9x ， 3x ；
【小問 2 詳解】解：如圖，
由題意得 2 ? a ? x ? 8 ?10 ? x ， 解得 a ? 16 ，
10 ? a ? b ? 3b ，即10 ?16 ? b ? 3b ， 解得b ? 13 ，
∴ x ? 8 ?10 ? 3?13 ，解得 x ? 21 ；
【小問 3 詳解】
解：∵每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，
∴每個三角形各頂點上數(shù)字之和相等，
∴ x ? a ? m ? y ? b ? m ，即 k ?1? a ? m ? k ?1? b ? m ， 整理得 a ? b ? ?2 ，
x ? d ? n ? y ? c ? n ，即 k ?1? d ? n ? k ?1? c ? n ， 整理得： d ? c ? ?2 ，
∴ a ? b ? c ? d ? ?2 ? 2 ? ?4 ．
如圖 1，點 O 為直線 AB 上一點，過點 O 作射線OC ，使?BOC ? 110°，將一直角三角板的直角頂點放在點 O 處（ ?OMN ? 30? ），一邊OM 在射線OB 上，另一邊ON 在直線 AB 的下方．
將圖 1 中的三角板繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)至圖 2，使一邊OM 在?BOC 的內(nèi)部，且恰好平分?BOC ．求
?BON 的度數(shù)．
將圖 1 中三角板繞點 O 以每秒5? 的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OP 從OC 開始繞點 O 以每秒 2? 的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，當三角板停止運動時，射線OP 也停止運動．設旋轉(zhuǎn)時間為 t 秒．
①在運動過程中，當?POM ? 40? 時，求 t 的值；
②當 40 ? t ? 54 時，在旋轉(zhuǎn)的過程中?CON 與?AOM 始終滿足關系 m?CON ? ?AOM ? n? （m，n 為常數(shù)），求 m ? n 的值．
【答案】（1） ?BON ? 35?；
（2）①t 的值為 10 秒或
【解析】
150
秒或
7
430
7
秒；② m ? n ? 19 ．
【分析】本題主要考查的是一元一次方程的應用，角的計算、角平分線的定義的運用．
根據(jù)角平分線的定義以及直角的定義，即可求得?BON 的度數(shù)；
①分四種情況，作出相應圖形列方程求解即可；
②先求出當 40 ? t ? 54 時，ON 在?AOC 內(nèi)部，得出?CON ? 70? ? ?AON ，?AOM ? 90? ? ?AON ， 代入式子計算確定 m ? ?1，n ? 20 ，求解即可．
【小問 1 詳解】解：如圖，
∵ OM 平分?BOC ，
∴ ?MOC ? ?MOB ， 又∵ ?BOC ? 110°，
∴ ?MOB ? 55?，
∵ ?MON ? 90? ，
∴ ?BON ? ?MON ? ?MOB ? 35? ；
【小問 2 詳解】
解：① 360 ? 5 ? 72 秒， 分四種情況：
如圖，
由題意得5t ? 2t ? 40 ? 110 ， 解得t ? 10 （秒）；
如圖，
由題意得5t ? 2t ? 40 ? 110 ，
解得t ? 150 （秒）；
7
如圖，
由題意得5t ?110 ? 2t ? 40 ? 360 ， 解得t ? 430 （秒）；
7
如圖，
由題意得5t ?110 ? 2t ? 40 ? 360 ， 解得t ? 510 ? 72 （舍去）；
7
綜上所述，t 的值為 10 秒或
150
秒或
7
430
秒；
7
②當t ? 40 時，旋轉(zhuǎn)了5?? 40 ? 200? ，此時ON 與OC 重合， 當t ? 54 時，旋轉(zhuǎn)了5?? 54 ? 270? ，此時ON 與OA 重合， 當 40 ? t ? 54 時， ON 在?AOC 內(nèi)部，
∵ ?AOC ? 180? ? ?BOC ? 70? ，
∴ ?CON ? 70? ? ?AON ，
∵ ?AOM ? 90? ? ?AON ，
∵ m?CON ? ?AOM ? n?
∴ m ?70? ? ?AON ? ? ?90? ? ?AON ? ? n?， 整理得： 70m ? 90 ? n ? (m ?1)?AON ，
∵等式與?AON 的大小無關，
∴ m ?1 ? 0 ，
∴ m ? ?1，n ? 20 ，
∴ m ? n ? 19 ．