1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5豪米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷，草稿紙上作答無(wú)效．
4.本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊(cè)．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1.雙曲線的焦距為
A.B.3C.D.6
2.5名畢業(yè)生分別從4家公司中選擇一家實(shí)習(xí)，不同選法的種數(shù)為
A.B.C.D.
3.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是
A.B.C.或D.或
4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為
A.B.C.D.
5.北京時(shí)間2024年6月2日，嫦娥六號(hào)成功著陸月球背面，開(kāi)啟人類(lèi)探測(cè)器首次在月球背面實(shí)施的樣品采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開(kāi)展了月球知識(shí)宣傳活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為
A.2880B.1440C.720D.576
6.已知圓及圓，則與圓都相切的直線的條數(shù)為
A.1B.2C.3D.4
7.現(xiàn)有10名學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)試，可能有學(xué)生不合格，從中抽取3名學(xué)生成績(jī)查看，記這3名學(xué)生中不合格人數(shù)為，已知，則本次測(cè)試的不合格率為
A.B.C.D.
8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率的取值范圍是
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9.已知展開(kāi)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，若，則
A.B.C.D.
10.已知隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件分別為，若，則
A.B.
C.若A，B獨(dú)立，則D.若A，B互斥，則
11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別為棱上的點(diǎn)，且，平面AEF與棱交于點(diǎn)，若點(diǎn)為正方體內(nèi)部（含邊界）的點(diǎn)，滿足，則
A.點(diǎn)的軌跡為四邊形AEGF及其內(nèi)部
B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C.當(dāng)時(shí)，
D.當(dāng)時(shí)，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.由數(shù)據(jù)可得關(guān)于的線性回歸方程為，若7，則______.
13.已知隨機(jī)變量，若，則______.
14.已知拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線的斜率是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15.（本小題滿分13分）已知關(guān)于x，y的方程.
（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程表示圓；
（2）若圓與直線相交于M，N兩點(diǎn)，且，求的值.
16.（本小題滿分15分）某超市為調(diào)查顧客單次消費(fèi)金額與性別是否有關(guān)，隨機(jī)抽取70位當(dāng)日來(lái)店消費(fèi)的顧客，其中女性顧客有40人，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，單次消費(fèi)超過(guò)100元的占抽取總?cè)藬?shù)的，男性顧客單次消費(fèi)不超過(guò)100元的占抽取總?cè)藬?shù)的.
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，是否有的把握認(rèn)為顧客單次消費(fèi)是否超過(guò)100元與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）在“單次消費(fèi)超過(guò)100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再?gòu)倪@7人中任選3人參與問(wèn)卷調(diào)查，記3人中女性人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：（其中.
參考數(shù)據(jù)：
17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，是PA的中點(diǎn).
單次消費(fèi)超過(guò)100元
單次消費(fèi)不超過(guò)100元
合計(jì)
女性
男性
合計(jì)
0.050
0.025
0.01
3.841
5.024
6.635
（1）求證：平面平面MCD；
（2）若，求平面PBC與平面MCD夾角的余弦值.
18.（本小題滿分17分）學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球，乙袋中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球．從這兩個(gè)袋子中選擇1個(gè)袋子，再?gòu)脑摯又须S機(jī)摸出1個(gè)球，稱為一次摸球．多次摸球直到摸出白球時(shí)試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次摸球選到甲袋或乙袋的概率均為.
（1）求首次摸球就試驗(yàn)結(jié)束的概率；
（2）在首次摸球摸出紅球的條件下.
①求選到的袋子為乙袋的概率；
②將首次摸球摸出的紅球放回原來(lái)袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次摸球時(shí)有如下兩種方案：方案一，從原來(lái)袋子中摸球；方案二，從另外一個(gè)袋子中摸球.請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案使得第二次摸球就試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.
19.（本小題滿分17分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，且.
（1）求的方程；
（2）若點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，直線PA交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.
①記的面積分別為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若直線PB交于另外一點(diǎn)，點(diǎn)是直線MN上的一點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2024～2025學(xué)年高二（上）期末抽樣檢測(cè)?數(shù)學(xué)試題
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1.D因?yàn)?，所以焦?故選D.
2.A因?yàn)槊棵厴I(yè)生都有4種選擇，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為.故選A.
3.C當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其方程是，符合題意；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率為-1，所以方程是．故選C.
4.B向量在向量上的投影向量為.故選B.
5.A先將4名女生排在一起，有種方法，再將4名女生作為一個(gè)整體和4名男生排列，有種方法，故4名女生相鄰的站法種數(shù)為.故選A.
6.A圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，所以，圓內(nèi)切，所以與圓都相切的直線只有1條.故選A.
7.C設(shè)10名學(xué)生中有名不合格，從中抽取3人，其中不合格人數(shù)為，由，得，化簡(jiǎn)得，解得，即本次測(cè)試的不合格率為.故選C.
8.D由題意可得，所以，又，所以，又，所以，化簡(jiǎn)，得，即，解得，又，所以.故選D.
9.ABD由題意知，所以，故A正確；，令，得，所以，故B正確；令，得，令
，得，所以，故C錯(cuò)誤；二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)為，所以的奇數(shù)次冪的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，偶數(shù)次冪的系數(shù)均為正數(shù)，即為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，令，得，所以，故D正確.故選ABD.
10.ACD因?yàn)椋蔄正確，由A知，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锳，B獨(dú)立，則，則，故C正確；因?yàn)椋コ?，，所以，所?，故D正確.故選ACD.
11.ABD對(duì)于A，取上一點(diǎn)，使得，連接EH，F(xiàn)H，HB，易證四邊形AFHB和四邊形BHGE是平行四邊形，所以，所以四邊形AEGF為平行四邊形，因?yàn)?，由空間向量基本定理可知，所以在四邊形AEGF內(nèi)（或邊界上），故A正確；對(duì)于B，當(dāng)1時(shí)，，所以，即在線段EG上，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為線段EG的長(zhǎng)，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，易得點(diǎn)為線段AF的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，得，則，則，所以不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，分別取AF，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，P在線段MN上，，所以由，可得，平面ABCD的一個(gè)法向量為.設(shè)AP與平面ABCD所成的角為，所以
，設(shè)，因?yàn)?，則，則代入上式并化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為，D正確.故選ABD.
12.32依題意，，由，得，解得，所以.
13.因?yàn)?，所以，所以，所?
14.拋物線的準(zhǔn)線為，所以，設(shè)直線的方程為，，由得，所以，即，，因?yàn)?，所以，得，所以或所?
15.解：（1）由圓的一般方程性質(zhì)可知：，解得，
所以當(dāng)時(shí)，方程表示圓．…………………………………………………………………………5分
（2）由，得，
所以該圓圓心為，半徑.…………………………………………………………………7分
所以圓心到直線的距離，………………………………………10分
根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知：，即，解得.…………………………13分
16.解：（1）由題意得如下列聯(lián)表：
…………………………………………………………………………………………………………………2分
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得
，
故有的把握認(rèn)為顧客單次消費(fèi)是否超過(guò)100元與性別有關(guān)聯(lián).…………………………………6分
（2）在“單次消費(fèi)超過(guò)100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的7人中，
女性有人，…………………………………………………………………………………7分
所以的可能取值為0，1，2，3，
則，………………………………………………………9分
，………………………………………………………11分
故的分布列為
………………………………………………………………………………………………………………13分
所以．……………………………………………………15分
單次消費(fèi)超過(guò)100元
單次消費(fèi)不超過(guò)100元
合計(jì)
女性
15
25
40
男性
20
10
30
合計(jì)
35
35
70
0
1
2
3
17．（1）證明：因?yàn)槭荘A的中點(diǎn)，所以，………………………………1分
因?yàn)槠矫鍹CD，所以平面………………………3分
又平面PAB，所以平面平面MCD．…………………………………………………………4分
（2）解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫鍼AD，所以平面PAD，
又平面PAD，所以.………………………………………………………………………5分
因?yàn)?，所以，所以…………………………………………?分
所以CD，AD，PD兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，.
則，………………………………………………………………………8分
設(shè)是平面PBC的法向量，則即令，得，所以.………………………………………………………………………………………………10分
由（1）知平面MCD，所以平面MCD的一個(gè)法向量為.……………………11分
因?yàn)?，………………………………………………?3分
所以平面PBC與平面MCD夾角的余弦值為.……………………………………………………15分
18.解：設(shè)摸球一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“摸出白球”為事件，“摸出紅球”為事件.
（1）.
所以摸球一次就試驗(yàn)結(jié)束的概率為.……………………………………………………………………4分
（2）①因?yàn)槭菍?duì)立事件，，………………………………………………6分
所以，
所以選到的袋子為乙袋的概率為.…………………………………………………………………………10分
②由①，得，……………………………………………………12分
所以方案一中取到白球的概率為
，……………………………14分
方案二中取到白球的概率為
，…………………………16分
因?yàn)?，所以方案二中取到白球的概率更大，即選擇方案二使得第二次摸球就試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.
…………………………………………………………………………………………………………………17分
19.解：（1）由題意知……………………………………………………………………………2分
解得，…………………………………………………………………………………………3分
所以的方程為.………………………………………………………………………………4分
（2）由題意可知，，設(shè)，因?yàn)橹本€PA交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)），
所以，又雙曲線的漸近線為，故，解得，
所以直線，即，
由得，所以，解得
，……………………………………………………………………………………………6分
所以.…………………………………………………………………7分
①因?yàn)?，又?br>所以，………………………………………………………………………………9分
解得或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或．…………………………………………10分
②直線，即，由得，即，所以，解得，
所以，…………………………………………………………12分
所以直線MN的斜率，…………………………………………13分
所以直線MN的方程為，………………………………………14分
令，得，解得，
所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，………………………………………………………………………16分
又，即，點(diǎn)是HO的中點(diǎn)，所以.……………………17分

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