2024-2025學(xué)年廣西南寧市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：高考范圍．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1 已知集合，則（）
A. B.
C D.
2. 已知，且，其中是虛數(shù)單位，則（）
A. B. C. D.
3. 已知定義域為的函數(shù)不是偶函數(shù)，則（）
A. B.
C. D.
4. 已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差為4，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）
A. B. C. D.
5. 已知遞增的等差數(shù)列的前項和為，則（）
A. 70B. 80C. 90D. 100
6. 在中，，若，則（）
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
8. 不等式對所有的正實數(shù),恒成立，則的最大值為（）
A. 2B. C. D. 1
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 如圖，已知為圓錐底面的直徑，，C為底面圓周上一點，弧的長度是弧的長度的2倍，異面直線與所成角的余弦值為，則（）．
A. 圓錐的體積為
B. 圓錐的側(cè)面積為
C. 直線與平面所成的角大于
D. 圓錐外接球的表面積為
10. 已知拋物線的焦點分別為，若分別為上的點，且直線平行于軸，則下列說法正確的是（）
A. 若，則B. 若，是等腰三角形
C. 若，則四邊形是矩形D. 四邊形可能是菱形
11. 設(shè)，定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）
A. B.
C. 為偶函數(shù)D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 的展開式中，含的項的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊過點，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則______．
14. 已知橢圓的左焦點為，若關(guān)于直線的對稱點恰好在上，且直線與的另一個交點為，則______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的內(nèi)角所對的邊分別為.
（1）求角A的大??；
（2）求的最大值.
16. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，點M是棱PC的中點．
（1）求證：平面PAD；
（2）求平面PAB與平面BMD所成銳二面角余弦值．
17. 中國體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績．為了解學(xué)生對奧運會的了解情況，某校組織了全校學(xué)生參加的奧運會知識競賽，從一、二、三年級各隨機抽取100名學(xué)生的成績（，各年級總?cè)藬?shù)相等），統(tǒng)計如下：
學(xué)校將測試成績分為及格（成績不低于60分）和不及格（成績低于60分）兩類，用頻率估計概率，所有學(xué)生的測試成績結(jié)果互不影響．
（1）從一、二年級各隨機抽一名學(xué)生，記表示這兩名學(xué)生中測試成績及格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）從這三個年級中隨機抽取兩個年級，并從抽取的兩個年級中各隨機抽取一名學(xué)生，求這兩名學(xué)生測試成績均及格的概率．
18. 已知雙曲線的兩條漸近線方程為為上一點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過點的直線與僅有1個公共點，求的方程；
（3）過雙曲線的右焦點作兩條互相垂直的直線，，且與交于兩點，記的中點與交于兩點，記的中點為．若，求點到直線的距離的最大值．
19. 已知函數(shù)（其中）．
（1）當(dāng)時，證明：是增函數(shù)；
（2）證明：曲線是中心對稱圖形；
（3）已知，設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的最小值．
2024-2025學(xué)年廣西南寧市高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題
考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：高考范圍．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】解不等式化簡集合，求出函數(shù)的定義域化簡集合，再利用交集的定義求出求解即得.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
2. 已知，且，其中是虛數(shù)單位，則（）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算代入計算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】由可得，即，
所以，解得，則.
故選：D
3. 已知定義域為的函數(shù)不是偶函數(shù)，則（）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的概念得是假命題，再寫其否定形式即可得答案.
【詳解】定義域為R的函數(shù)是偶函數(shù)，
所以不是偶函數(shù)．
故選：D．
4. 已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差為4，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，由平均數(shù)與方差的性質(zhì)列出方程，代入計算，即可求解.
【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是，，
則數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，
所以，解得，，解得，
即數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是.
故選：A
5. 已知遞增的等差數(shù)列的前項和為，則（）
A. 70B. 80C. 90D. 100
【正確答案】D
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出即可結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式計算得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則由題得，解得，
所以.
故選：D.
6. 在中，，若，則（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先由求出AB=AC即，接著由余弦定理結(jié)合數(shù)量積的運算律計算得，再由平面向量模的求法即可計算比較得解.
【詳解】設(shè)的角A、B、C的對邊為a、b、c，
因為，所以，
所以，故，
所以AB=AC，即，
所以，

所以
，
，
，
因為，所以，即.
故選：B.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由條件求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式可求結(jié)論.
【詳解】因為，，
所以，
由已知，，
所以，
所以的取值范圍是.
故選：C.
8. 不等式對所有的正實數(shù),恒成立，則的最大值為（）
A. 2B. C. D. 1
【正確答案】D
【分析】由題意可得，令，則有，，結(jié)合基本不等式求得，于是有，從而得答案.
【詳解】解：因為,為正數(shù)，所以，
所以，則有，
令，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，，
又，所以，
即，
所以的最小值為1，
所以，
即的最大值為1.
故選：D.
方法點睛：對于恒成立問題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)的最值即可得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 如圖，已知為圓錐的底面的直徑，，C為底面圓周上一點，弧的長度是弧的長度的2倍，異面直線與所成角的余弦值為，則（）．
A. 圓錐的體積為
B. 圓錐的側(cè)面積為
C. 直線與平面所成的角大于
D. 圓錐的外接球的表面積為
【正確答案】ABD
【分析】A選項，作出輔助線，設(shè)底面圓的半徑為，根據(jù)異面直線的夾角余弦值和余弦定理得到，從而得到圓錐的體積；B選項，根據(jù)側(cè)面積公式求出答案；C選項，作出輔助線，得到直線與平面所成角的平面角為，并求出其正切值，得到；D選項，找到外接球球心，并根據(jù)半徑相等得到方程，求出外接球半徑，得到外接球表面積.
【詳解】A選項，連接并延長交圓于點，連接，
因為為圓錐的底面的直徑，弧的長度是弧的長度的2倍，
故四邊形為矩形，，則，
異面直線與所成角等于異面直線與所成角，
因為，所以，
設(shè)底面圓的半徑為，則，
故，解得，
則由勾股定理得，
故圓錐的體積為，A正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為，B正確；
C選項，取的中點，連接，則⊥，⊥，
又，平面，故⊥平面，
過點作⊥于點，由于平面，則⊥，
又，平面，故⊥平面，
故即為直線與平面所成的角，
其中，則，
由于，且在上單調(diào)遞增，故，C錯誤；
D選項，由對稱性可知，外接球球心在上，連接，
設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，
由勾股定理得，即，解得，
故圓錐外接球的表面積為，D正確.
故選：ABD
方法點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑
10. 已知拋物線的焦點分別為，若分別為上的點，且直線平行于軸，則下列說法正確的是（）
A. 若，則B. 若，是等腰三角形
C. 若，則四邊形是矩形D. 四邊形可能是菱形
【正確答案】ABC
【分析】不妨設(shè)Ax1,y, Bx2,yy>0，則，，對于A，由題意求出和即可求解AB；對于B，由題意得，進(jìn)而可求出兩點坐標(biāo)，從而求出和即可判斷；對于C，由題意先得，接著求出，進(jìn)而求出，軸即可得解；對于D，先假設(shè)四邊形是菱形，再推出矛盾即可得解.
【詳解】由題意得，不妨設(shè)Ax1,y, Bx2,yy>0，
則，，
對于A，因為，又直線平行于軸，所以軸，
所以，故，
如圖，故，故A正確；
對于B，若，則，所以，解得，
所以，
所以，，
所以，F(xiàn)2A+AB>F2B，所以是等腰三角形，故B正確；
對于C，若，又直線平行于軸，所以軸，
所以，故，
故，軸，所以四邊形是矩形，故C正確；
對于D，若四邊形是菱形，則，即即，
所以，所以，
所以可得，則四邊形不是菱形，矛盾，
所以四邊形不是菱形，故D錯誤.
故選：ABC.
11. 設(shè)，定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）
A. B.
C. 為偶函數(shù)D.
【正確答案】ABD
【分析】對于A，令，又，即可求得；對于B，令，再由，即可推得；對于C，令，可得，從而為奇函數(shù)；對于D，可推得，即的周期為，則.
【詳解】對于A，令，得，
因為，所以，故A正確；
對于B，令，代入可得，
因為，所以，
從而，故B正確；
對于C，令，代入得，
又因為對，恒成立且不恒為0，
所以，從而為奇函數(shù)，
又不恒等于0，故C錯誤；
對于D，因為，
所以，
所以為的周期，
所以，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 的展開式中，含的項的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
【正確答案】
【分析】先求二項式的展開式的通項，再由乘法法則求出的展開式中含的項即可得解.
【詳解】由題意得的展開式的通項為，
所以的展開式中，含的項為，
所以展開式中含的項的系數(shù)為.
故答案為.
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊過點，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則______．
【正確答案】##
分析】由條件，根據(jù)三角函數(shù)定義可求，，根據(jù)對稱性可求，，結(jié)合兩角差正弦公式求結(jié)論.
【詳解】因為角的終邊過點，
所以，，
又角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，
所以，，
所以.
故答案為.
14. 已知橢圓的左焦點為，若關(guān)于直線的對稱點恰好在上，且直線與的另一個交點為，則______．
【正確答案】##0.2
【分析】求出點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再結(jié)合橢圓定義及勾股定理求出即可.
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點，由，解得，
即，令橢圓右焦點，則，
，而點在橢圓上，由，得，

設(shè)，則，顯然的中點都在直線上，
則平行于直線，從而，在中，，
解得，所以.
故
思路點睛：橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關(guān)系．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的內(nèi)角所對的邊分別為.
（1）求角A的大?。?br>（2）求最大值.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理和即可求解.
（2）先由（1）結(jié)合余弦定理得，接著由正弦定理角化邊得，再結(jié)合基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
因為，，
所以由正弦定理得，
又B∈0,π，故，所以即，
又，所以.
【小問2詳解】
由（1），所以由余弦定理得，
所以由正弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以的最大值為.
16. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，點M是棱PC的中點．
（1）求證：平面PAD；
（2）求平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）取PD的中點E，連接ME，AE，根據(jù)E是PD的中點，得到，，從而四邊形ABME是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BDM的一個法向量n=x,y,z，平面PAB的一個法向量，設(shè)平面PAB與平面BMD所成銳二面角的大小為θ，由求解．
【小問1詳解】
證明：取PD的中點E，連接ME，AE，
因為E是PD的中點，M是PC的中點，
所以，，又，，
所以，，
所以四邊形ABME是平行四邊形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
【小問2詳解】
解：因為平面ABCD，DA，平面ABCD，
所以，，又，，所以．
以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則，所以．
設(shè)平面BDM的一個法向量n=x,y,z，又，，
所以
令，解得，，
所以平面BMD的一個法向量n=1,?1,1．
設(shè)平面PAB的一個法向量，又，，
所以
令，解得，，
所以平面PAB的一個法向量，
設(shè)平面PAB與平面BMD所成銳二面角的大小為θ，
所以．
即平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值為．
17. 中國體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運會上取得了優(yōu)異的成績．為了解學(xué)生對奧運會的了解情況，某校組織了全校學(xué)生參加的奧運會知識競賽，從一、二、三年級各隨機抽取100名學(xué)生的成績（，各年級總?cè)藬?shù)相等），統(tǒng)計如下：
學(xué)校將測試成績分為及格（成績不低于60分）和不及格（成績低于60分）兩類，用頻率估計概率，所有學(xué)生的測試成績結(jié)果互不影響．
（1）從一、二年級各隨機抽一名學(xué)生，記表示這兩名學(xué)生中測試成績及格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）從這三個年級中隨機抽取兩個年級，并從抽取的兩個年級中各隨機抽取一名學(xué)生，求這兩名學(xué)生測試成績均及格的概率．
【正確答案】（1）答案見解析
（2）
【分析】（1）寫出所有可能得取值，然后分別求出其對應(yīng)概率，列出表格，即可得到分布列，再由期望的公式代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由互斥事件概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
一年級學(xué)生及格的頻率為，不及格的頻率為，
二年級學(xué)生及格的頻率為，不及格的頻率為，
三年級學(xué)生及格的頻率為，不及格的頻率為，
的所有可能取值為，
則，，
，
所以的分布列為：
所以的期望為
【小問2詳解】
由題意可知，抽到一、二年級，一、三年級，二、三年級的概率都是，
所以抽到的兩名學(xué)生測試成績均及格的概率為
.
18. 已知雙曲線的兩條漸近線方程為為上一點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過點的直線與僅有1個公共點，求的方程；
（3）過雙曲線的右焦點作兩條互相垂直的直線，，且與交于兩點，記的中點與交于兩點，記的中點為．若，求點到直線的距離的最大值．
【正確答案】（1）
（2），，.
（3）
【分析】（1）列出關(guān)于的方程，代入計算，即可求解；
（2）分直線斜率存在于不存在討論，然后聯(lián)立直線與雙曲線方程，代入計算，即可得到結(jié)果；
（3）分直線斜率存在于不存在討論，分別聯(lián)立直線與雙曲線方程以及直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，即可得到直線過定點，從而得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可得，，解得，所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
代入可得，
當(dāng)時，即時，直線與雙曲線的漸近線平行，只有一個公共點，
即直線的方程為，；
當(dāng)時，，
即，可得，此時直線與雙曲線相切，
直線的方程為；
顯然，當(dāng)直線斜率不存在時，直線與雙曲線有兩個公共點，不滿足；
綜上所述，與雙曲線僅有1個公共點的直線有3條：
，，.
【小問3詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時，則與重合，又，即，
所以，，此時直線的方程為，
則到的距離為0；
當(dāng)直線的斜率為0時，則與重合，，，
此時直線的方程為，則到的距離為0；
當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)的方程為，
設(shè)，
直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，
由韋達(dá)定理可得，則，
所以，
所以，
聯(lián)立可得，
，
由韋達(dá)定理可得，則，
所以，所以，
則
，，
所以直線的方程為，
即，
所以，即，
故直線過定點，
當(dāng)時，直線與雙曲線的漸近線平行，故與雙曲線只有一個交點，舍去；
當(dāng)時，直線與雙曲線的漸近線平行，故與雙曲線只有一個交點，舍去；
當(dāng)時，的橫坐標(biāo)均為，此時，直線的方程為，
過點；
綜上所述，直線過定點.
所以點到直線的距離的最大值為.
關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論直線的斜率存在以及不存在，然后得到直線恒過定點，從而解答.
19. 已知函數(shù)（其中）．
（1）當(dāng)時，證明：是增函數(shù)；
（2）證明：曲線是中心對稱圖形；
（3）已知，設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的最小值．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析；（3）.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷導(dǎo)數(shù)值為正即可.
（2）利用中心對稱的定義，計算推理即得.
（3）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，再按分類討論并求出的最小值，建立不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，，
求導(dǎo)得，所以是增函數(shù)．
【小問2詳解】
依題意，
，
所以曲線關(guān)于點對稱，曲線中心對稱圖形.
【小問3詳解】
依題意，，其定義域為R，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，的取值集合為，
因此當(dāng)時，函數(shù)的取值集合為，不符合題意；
當(dāng)時，由，得在上單調(diào)遞增；
由，得在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得最小值，且，
由對任意的x∈R恒成立，得，即成立，
因此，設(shè)，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞減，在上遞增，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最小值為.
結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，
①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.
②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.
年級
一年級
40
60
二年級
25
75
三年級
10
90
年級
一年級
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60
二年級
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三年級
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