一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足,則( )
A.B.C.D.
3．“直線與圓相交”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知數(shù)列的通項公式是（）,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
5．已知,,直線與曲線相切,則的最小值是( )
A.4B.3C.2D.1
6．已知橢圓的左、右焦點分別為,,若C上存在一點P,使得,則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A.B.C.D.
7．在等比數(shù)列中,,則能使不等式成立的最大正整數(shù)n是( )
A.5B.6C.7D.8
8．在中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,成等差數(shù)列,則的最小值為( )
A.2B.3C.D.4
二、多項選擇題
9．已知（,,）的部分圖象如圖所示,則( )
A.
B.的最小正周期為
C.在內有3個極值點
D.在區(qū)間上的最大值為
10．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R,記.若,均為奇函數(shù),且,則( )
A.關于直線對稱B.關于點對稱
C.的周期為4D.
11．如圖,在平行四邊形中,,且,為的中線,將沿折起,使點C到點E的位置,連接、、,且,則( )
A.平面
B.與所成的角為
C.與平面所成角的正切值是
D.點C到平面的距離為
三、填空題
12．已知等比數(shù)列的前n項和為,若,則_______.
13．已知函數(shù)的兩個極值點為、,且,則實數(shù)a的最小值是_______.
14．已知向量,,,,則的取值范圍是_______.
四、解答題
15．已知數(shù)列的前n項和為,且滿足,.
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）設,設數(shù)列的前n項和,求證:.
16．在銳角中,內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足.
（1）求角C;
（2）求的取值范圍.
17．已知O為坐標原點,是橢圓的右焦點,點M是橢圓C的上頂點,以點M為圓心且過F的圓恰好與直線相切.
（1）求橢圓C的標準方程;
（2）過點的直線l與橢圓C交于A,B兩點,直線,與x軸的交點分別是P,Q,求證:線段中點的橫坐標為定值.
18．如圖,在三棱錐中,側面PAC是邊長為2的正三角形,,,E,F分別為PC,PB的中點,平面AEF與底面ABC的交線為l.
（1）證明:平面PBC.
（2）已知平面平面,若在直線l上存在點Q,使得直線PQ與平面AEF所成角為,異面直線PQ,EF所成角為,且滿足,求.
19．定義運算:,已知函數(shù).
（1）若函數(shù)的最大值為0,求實數(shù)a的值;
（2）證明:;
（3）若函數(shù)存在兩個極值點,,證明:.
參考答案
1．答案：D
解析：因為,,
則.
故選:D.
2．答案：B
解析：設,則,
所以,
所以,可得,所以,則,
因此,
故選:B.
3．答案：A
解析：若直線與圓相交,則圓心到直線的距離滿足,故,
由于能推出,
當不能得到,
故“直線與圓相交”是“”的充分不必要條件,
故選:A
4．答案：C
解析：為單調遞增的數(shù)列,故,
解得,
故選:C
5．答案：D
解析：由于直線與曲線相切,
設切點為,且,所以,
則切點的橫坐標,則,即.
又,所以,即,
當且僅當時取等號,所以的最小值為1.
故選:D
6．答案：D
解析：根據橢圓定義可得,又,故,
因此,故,故,
故選:D
7．答案：C
解析：在等比數(shù)列中,,
公比,
時,;時,.
,
,,,
,
又當時,,
使不等式成立的n的最大值為7.
故選:C
8．答案：B
解析：由于,,成等差數(shù)列,則,
由正弦定理可得,
故,
,
由于,因此,故
,當且僅當,取等號,
故選:B
9．答案：ABD
解析：對于AB,根據函數(shù)的部分圖象知,,
,,故AB正確,
對于C,由五點法畫圖知,,,解得,,
由于,所以,
.
令,,則,,
時,,時,,
當時,,當時,,當時,,
故在內有2個極值點,分別為,,故C錯誤,
對于D,,可得：,
故當此時取最大值,故D正確.
故選：ABD.
10．答案：BCD
解析：對于A,由為奇函數(shù)可得,
故關于對稱,故A錯誤,
對于B,由于為奇函數(shù),故,故關于點對稱,B正確,
對于C,由和可得,
令,故,故,因此,
結合關于對稱可得,
故的周期為4,C正確,
對于D,由于,故,,
且,由于,令,則,
,故D正確,
故選:BCD
11．答案：ACD
解析：對于A選項,在平行四邊形中,,且,
因為,則,且,則,
因為F為的中點,則,且,
將沿折起,使點C到點E的位置,使得,
翻折后,,所以,,
所以,,且有,
因此,,、平面,所以,平面,A對;
對于BCD選項,因為平面,,
以點F為坐標原點,、、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,
則、、、、、
,
,,
則,
所以,與所成的角為,B錯,
,易知平面的一個法向量為,
所以,,
設直線與平面所成的角為,則,
所以,,則,
故直線與平面所成的角的正切值為,C對;
設平面的法向量為,,,
則,取,可得,
,則點C到平面的距離為,D對.
故選:ACD.
12．答案：
解析：設等比數(shù)列的公比為,
若,則,不合乎題意,故,
所以,,所以,,
所以,,,,
因此,.
故答案為:.
13．答案：2
解析：函數(shù)定義域為R,且,
因為函數(shù)有兩個極值點、,則,可得,
由題意可知,、為方程的兩根,
由韋達定理可得,
所以,
,解得,所以,,
因此,實數(shù)a的最小值為2.
故答案為:2.
14．答案：
解析：如圖,設,,則,,
由題意,設向量與夾角為,直線與x軸正半軸夾角為,
則,則,
因為,,則,即,
又,則.
故答案為:.
15．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）數(shù)列的前n項和為,對任意的,,
當時,則有,可得,
當時,由可得,
上述兩個等式作差可得,可得,
所以數(shù)列為等比數(shù)列,且其首項和公比都為2,所以.
（2）由（1）可得,則,則,
所以,
所以
.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為,
由正弦定理可得,即,即,
由余弦定理可得,
因為,故.
（2）由（1）得,
所以,,
因為為銳角三角形,則,即,解得,
所以,,則,
則,
因為雙勾函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,
所以,,
當或時,,
所以,函數(shù)在上的值域為,
因為,則,
故.
因此,的取值范圍為.
17．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）由題意可得,
由于以點M為圓心且過F的圓恰好與直線相切,故,即,故,進而,
故橢圓方程為
（2）由題意可知l的斜率一定存在,設方程為,
則,
且,,
設,,
則,,
直線的方程為,令,則,故,
故,
則
由于
故
,
因此線段中點的橫坐標為定值,
18．答案：（1）證明見解析
（2）1
解析：（1）證明:因為E,F分別為,的中點,
所以.
又平面,平面,
所以平面.
又平面,平面與底面的交線為l,
所以,,從而.
而平面,平面,
所以,平面.
（2）取的中點記為D,連接,
因為是邊長為2的正三角形,所以,
所以,.
又平面平面,平面平面,且平面,
所以平面,
由（1）可知,在底面內過點A作的平行線,即平面與底面的交線l.
由題意可得,即,
取的中點記為M,連接,則.
因為,所以.
以D為坐標原點,,,所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
則,,,,,,
設,則,,,
設平面的一個法向量為,
則,即,
取,則,,即是平面的一個法向量,
所以.
又直線與平面所成角為,
于是.
又,
而異面直線,所成角為,于是.
假設存在點Q滿足題設,則,
即,所以.
當時,,此時有;
當時,,此時有.
綜上所述,這樣的點Q存在,且有.
19．答案：（1）1
（2）證明見解析
（3）證明見解析
解析：（1）由題意知:,,
①當時,,在單調遞減,不存在最大值.
②當時,由得,
當,;,,
函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.
,令,則,
當時,,函數(shù)遞減,
當時,,函數(shù)遞增,
又,.
（2）證明:由（1）知,當時,函數(shù)在上單調遞增,
在上單調遞減,
所以,即,
當時,.
,
.
（3）證明:
“函數(shù)存在兩個極值點,”等價于
“方程有兩個不相等的正實數(shù)根”
故,解得,
,
要證,即證,
,不妨令,故
由,得,即證,
令
在恒成立,
所以函數(shù)在上單調遞減,故.
成立.

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