第Ⅰ卷（選擇題 共36分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 將四個數(shù)字看作一個圖形，則下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. 6666B. 9999C. 6669D. 6699
【答案】D
【解析】將圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合的只有D項，故D項符合要求，
故選：D．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)
B. 任意一個五邊形的外角和等于
C. 任意畫兩個面積相等的三角形，這兩個三角形全等
D. 個同學(xué)參加一個聚會，他們中至少有兩個同學(xué)的生日是同月同日
【答案】D
【解析】A選項：射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是隨機事件，故A選項不符合題意；
B選項：因為任意一個凸多邊形的外角和都等于，所以任意畫一個五邊形的外角和等于，是不可能事件，故B選項不符合題意；
C選項：作意畫兩個面積相等的三角形，這兩個三角形全等是一個隨機事件，故C選項不符合題意；
D選項：閏年有天，所以個同學(xué)參加一個聚會，他們中至少有兩個同學(xué)的生日是同月同日，這個事件是必然事件，故D選項符合題意．
故選：D．
3. 如圖，四邊形和四邊形相似，點的對應(yīng)點分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】四邊形和四邊形相似，
，，，，
又，
．
故選：A．
4. 下列圖象中，是反比例函數(shù)的圖象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴反比例函數(shù)的圖象為過二，四象限的雙曲線．
故選C．
5. 已知方程的兩個根分別為和，則的值為（ ）
A. B. C. 2D. 6
【答案】C
【解析】由題意，得：，
∴．
故選：C．
6. 如圖，正方形剪去四個角后成為一個邊長為1的正八邊形，則正方形的周長（ ）
A. 4B.
C. 8D.
【答案】D
【解析】如圖，
由題意，得：，，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
同理：，∴，
∴正方形的周長；
故選D．
7. 兩年前生產(chǎn)1kg某種藥品的成本是50元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1kg這種藥品的成本是30元，如果這種藥品成本的年平均下降率為，則可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意，可列方程為：；故選C．
8. 圓心角為，半徑為3的扇形弧長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故選：B．
9. 如圖，中，弦相交于點，，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴；
故選B．
10. 如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點分別為，延長交于點，下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】記與相交于一點H，如圖所示：
∵中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴
∵
∴在中，
∴
故D選項是正確的，符合題意；
設(shè)
∴
∵
∴
∴
∵不一定等于
∴不一定等于
∴不一定成立，
故B選項不正確，不符合題意；
∵不一定等于
∴不一定成立，
故A選項不正確，不符合題意；
∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴
∴
故C選項不正確，不符合題意；
故選：D.
11. 要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，則水管的長為（ ）
A. mB. 2mC. mD. 1m
【答案】A
【解析】如圖，以水池中心為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
由題意，拋物線的頂點坐標(biāo)為，與軸的一個交點坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為：，
把代入拋物線解析式得：，∴，
∴，
∴當(dāng)時，，
即水管的長為m；
故選A．
12. 如圖，在中，，，．的內(nèi)切圓與，分別相切于點，連接．以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交于兩點；分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩條弧交于點；作射線．下列說法錯誤的是（ ）
A. 平分B. 點在射線上
C. D. 的半徑為1
【答案】D
【解析】由作圖可知：平分，故選項A正確；
∵是的內(nèi)切圓，
∴點為三角形三條角平分線的交點，
∴點在射線上，故選項B正確；
連接，則：，
∵，
∴四邊形為正方形，
∴，，
∴，故選項C正確；
∵，，，
∴，
設(shè)的半徑為，則：，
∴，
∴，
∴，故選項D錯誤；
故選D．
第Ⅱ卷 （非選擇題共84分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．請將答案直接填在答題紙中對應(yīng)的橫線上）
13. 如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成6個大小相同的扇形，顏色分為紅、藍、黃三種顏色．指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，當(dāng)作指向右側(cè)的扇形）．任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向藍色扇形的概率為_______．
【答案】
【解析】任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，共有6種等可能的結(jié)果，其中指針指向藍色扇形的情況有2種，
∴．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點在反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象上，連接，過點作軸，垂足為，若的面積為2，則________．
【答案】4
【解析】∵點A在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象上，軸，垂足為，∴根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得：，
∴，
∵的面積為2，∴，
∵，∴，
故答案為：4．
15. 兩個相似三角形最短邊分別為和，它們的周長之和為，那么較小三角形的周長為________（）．
【答案】18
【解析】∵兩個相似三角形的最短邊分別為和，
∴相似比為：，
∴兩個三角形的周長比為：，
設(shè)較小三角形的周長為，較大三角形的周長為，
則：，
解得：，
∴較小三角形的周長為；
故答案為：18．
16. 圓的半徑為13，、是圓的兩條弦，，，，則與之間的距離為________．
【答案】7或17
【解析】如圖所示，當(dāng)在圓心O的同側(cè)，過點O作，交于點E，交于點F，連接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，
中，，
∴；
如圖所示，當(dāng)在圓心O的異側(cè)，過點O作，交于點E，作，交于點F，連接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴點E，O，F(xiàn)三點共線．
在中，，
在中，，
∴．
所以與之間的距離是7或17．
17. 如圖，點是圓上一動點，弦，是的平分線，．當(dāng)_______（度）時，四邊形的面積最大，最大面積為_________．
【答案】
【解析】平分，，，
如圖所示，過點作于點，
，
在中，＝30°，則，AB＝，
，
，
，為定值，
∴當(dāng)最大時，四邊形面積最大，
在中，AB邊不變，其最長的高為過圓心與AB垂直（即AB的中垂線）與圓交于點，此時四邊形面積最大．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴為等邊三角形，
∵為圓的直徑，
∴，
，
，
四邊形的最大面積為．
故答案為：；．
18. 如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點．均在格點上，點為線段與網(wǎng)格線的交點．
（Ⅰ）的長為_________；
（Ⅱ）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，分別在線段上畫出點，使得最小．簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）___________．
【答案】 5 取格點E，J，連接，，延長交于點M，交于點N，連接，點M，點N即為所求
【解析】（Ⅰ）；
（Ⅱ）如圖，
取格點E，J，連接，，延長交于點M，交于點N，連接，點M，點N即為所求．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
19. 在一個不透明的口袋中，有四個完全相同的小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)，，，．
（1）搖勻后，從口袋中隨機摸出一個小球．若將摸出的小球上所標(biāo)的數(shù)恰好是正數(shù)記為事件，求事件的概率；
（2）搖勻后，先從口袋中隨機摸出一個小球（不放回），再從余下的三個小球中隨機摸出一個小球．若將兩次摸出的小球上所標(biāo)的數(shù)之和等于記為事件．用列表或畫樹狀圖的方法，求事件的概率．
解：（1）在一個不透明的口袋中，隨機摸出一個小球，小球上的數(shù)可能是，，，共種，這些數(shù)出現(xiàn)的可能性相等．
又出現(xiàn)的數(shù)為正數(shù)的可能有種，分別為或，；
（2）畫樹狀圖如下圖所示：
從樹狀圖可以看出共有個可能的結(jié)果，即
這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，
兩次摸出小球上的數(shù)之和等于的結(jié)果有個，
即和（第一次摸出，且第二次摸出，或是第一次摸出，且第二次摸出），
．
20. 若點，在反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象上．
（1）求：反比例函數(shù)的解析式和的值；
（2）填空：
①函數(shù)的圖象在第________象限；
②該函數(shù)的圖象的每一支上，隨的增大而_________；
③在該函數(shù)的圖象上分別取點和，如果，請將按從小到大的順序排列，并用“”連接，其結(jié)果為__________．
解：（1）由題意，得：，
∴，反比例函數(shù)的解析式為：；
（2）∵，，
∴雙曲線過二，四象限，在圖象的每一支上，隨的增大而增大；
∵點和在雙曲線上，且，
∴；
故答案為：①二，四；②增大；③．
21. 在四邊形中，，連接，點在上，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，若，，，，求的度數(shù)和的長．
（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∴．
22. 已知中，，為的弦，直線與相切于點．
（1）如圖1，連接，若，直徑與相交于點，求和的大??；
（2）如圖2，若，，垂足為，與相交于點，，求線段的長．
解：（1）如圖1所示，
∵為的切線，且為直徑，
∴于點，即，
∵，
∴，
∴，
即于點，
∵于點，且為直徑，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：連接，
由（1）可知，且，
∵，，
∴，
∴在中，，，
∴，
設(shè)，則，
∴由勾股定理，
即，
解得，負值舍去，
即線段的長為．
23. 為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻的空地上修建一個矩形綠化帶，綠化帶一邊靠墻（的長不超過墻長），另三邊用總長為40m的柵欄圍?。O(shè)邊長為m，綠化帶的面積為．
（1）如圖1，若墻長為19m．
①求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②當(dāng)綠化帶的面積為時，求的值；
③填空：當(dāng)滿足條件的綠化帶的面積最大時，此時_________（m），綠化帶的最大面積為_________（）；
（2）填空：如圖2，若墻長為24m，當(dāng)滿足條件的綠化帶的面積最大時，此時_________（m），綠化帶的最大面積為_________（）．
解：（1）①由題意，，
∴，
∵墻長為19m，
∴；
②∵，
當(dāng)時，，
解得：，
∵不合題意；
∴；
③∵，
∴當(dāng)時，隨的增大而增大，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值：；
故答案為：19，199.5；
（2）由題意，得：，
∴當(dāng)時，有最大值為：200；
故答案為：20，200
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，其中，點在第一象限，且．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點分別為，點恰在軸上．
（1）如圖1，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)和的長；
（2）如圖2，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點組成的凸多邊形為四邊形時，將此四邊形的面積記為．用含有的式子表示，并寫出的取值范圍（此問直接寫出結(jié)果即可）．
解：（1）如圖1，過點作軸于點，
∵是由逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且點在軸上，
∴，
∴，
且，
∴，
∴，
由勾股定理可知
解得；
∴點的坐標(biāo)為；
（2）如圖2，由（1）可知，且，
∵由旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，
∴，
∴點的坐標(biāo)為；
（3）如圖， 當(dāng)時，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且軸，，，
軸，
，，
；
如圖，當(dāng)時，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，
，
；
如圖，當(dāng)時，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，
，，
．
25. 拋物線（為常數(shù)，）的頂點為，拋物線與軸相交于和兩點，拋物線與軸相交于點．
（1）若，點在拋物線上，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，且．
①求拋物線的解析式和頂點的坐標(biāo)；
②若的面積與的面積相等，求的值；
（2）和是軸上的兩動點，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，直接寫出和的值．
解：（1）①，和代入，
得，解得，
∴，
∴，
∴；
②當(dāng)時，，
∴，
設(shè)解析式為，則，解得，
∴
∵，
∴，
當(dāng)點Q在下面時，
設(shè)解析式為，
則，
∴，
∴，
∵點Q為與拋物線的交點，
∴，
解得，或（舍去）；
當(dāng)點Q在上面時，
作點A關(guān)于點B的對稱點，
則，
同理可得的解析式為，
則，
解得，或；
綜上，，或，或；
（2）和代入，
得，解得，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
取點C關(guān)于x軸的對稱點，
向右作線段，使，連接，
則，，四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)N運動到上時，，取得最小值，
∵，的最小值為，
∴，
∵，
∴解得，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
則，解得，
∴，
當(dāng)時，，∴，解得，．

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