一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 下列命題既是真命題又是存在量詞命題的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可知，選項A、D為全稱量詞命題，選項B、C為存在量詞命題.
當時，，選項B為真命題.
當時，，選項C為假命題.
故選：B.
2. 若，則（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】設，則，
因為，所以，所以，
解得，所以，所以.
故選：C.
3. 已知平面向量滿足：，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】已知，兩邊同時平方可得：.
展開得到：.
因，則，
上式化為：，即.
.
故選：A.
4. 我們研究成對數(shù)據(jù)的相關關系，其中，.在集合中取一個元素作為的值，使得這組成對數(shù)據(jù)的相關程度最強，則（ ）
A. 8B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】由可知前9個點在直線上.
∵，
∴要使相關性最強，應更接近10，四個選項中最接近.
故選：B.
5. 某市為修訂用水政策，制定更合理的用水價格，隨機抽取100戶居民，得到他們的月均用水量，并整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)信息，下列結論中正確的是（ ）
A. 100戶居民的月均用水量的中位數(shù)大于7.2
B. 100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶所占比例超過
C. 100戶居民的月均用水量的極差介于21與27之間
D. 100戶居民的月均用水量的平均值介于16.2與22.2之間
【答案】C
【解析】由頻率分布直方圖可知，
，
解得，
對于A，月均用水量在頻率為，
月均用水量在的頻率為，
所以100戶居民的月均用水量的中位數(shù)在，故A錯誤；
對于B，因為100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶的頻率為
，
所以100戶居民的月均用水量低于16.2的用戶所占比例為，故B錯誤；
對于C，由圖知，極差的最大值為，最小值為，
所以100戶居民的月均用水量的極差介于21與27之間，故C正確；
對于D，100戶居民的月均用水量的平均值為
t，故D錯誤.
故選：C.
6. 已知為坐標原點，為拋物線的焦點，點在上，且，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由拋物線的定義，可知，
又，，
則，即，
由點在C上，得，結合，解得.
所以C的方程為.
故選：B.
7. 已知正四棱臺的上?下底面面積分別為，下底面上的棱與側棱所成角的余弦值為，則該正四棱臺的體積為（ ）
A. B. C. 148D.
【答案】A
【解析】因為正四棱臺的上、下底面面積分別為，，
所以上、下底面邊長分別為，．
如圖，過點作于點，則．
因為，所以與所成的角為，
所以，得．

設該正四棱臺上、下底面的中心分別為，，連接，，，
易得，，過作于點，
則，．
所以該正四棱臺的體積．
故選：.
8. 設函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，
若，則對任意的，，
則當時，，不合乎題意；
若時，當時，，，
此時，，不合乎題意；
若，則當時，，，
此時，，不合乎題意.
所以，，此時，，則f1=0，
當時，，，此時，；
當時，，，此時，.
所以，對任意的，，合乎題意，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知曲線，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則曲線表示兩條直線
B. 若，則曲線是橢圓
C. 若，則曲線是雙曲線
D. 若，則曲線的離心率為
【答案】ACD
【解析】由題意，曲線，，
若，則，此時曲線，表示兩條直線，故A正確；
若，又，則，
曲線，可化為，
當時，則曲線表示圓，
當時，則曲線表示橢圓，故B錯誤；
若，又，則，則曲線表示雙曲線，故C正確；
若，又，
所以，
則曲線為，
則曲線為等軸雙曲線，離心率為，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知，則（ ）
A. 若，且，則
B. ，使得的圖像向左平移個單位長度后所得圖像關于原點對稱
C. 當時，函數(shù)恰有三個零點，且，則
D. 若在上恰有2個極大值點和1個極小值點，則
【答案】BCD
【解析】因為，所以周期，
對于A，由條件知，周期為，所以，故A錯誤；
對于B，函數(shù)圖像左移個單位長度后得到的函數(shù)為，
其圖像關于原點對稱，則，
解得，，
又，所以，B正確；
對于C，函數(shù)，
令，，可得：，.
，令，可得一條對稱軸方程為，
令，可得一條對稱軸方程為，
函數(shù)恰有三個零點，
可知，關于其中一條對稱軸是對稱的，即，
，關于其中一條對稱軸是對稱的，即，
那么，C正確；
對于D，令，
由在上恰有2個極大值點和1個極小值點，
得，解得，故D正確，
故選：BCD.
11. 將函數(shù)的圖像繞原點逆時針旋轉后得到的曲線依然可以看作一個函數(shù)的圖像、以下函數(shù)中符合上述條件的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】若函數(shù)逆時針旋轉角后所得函數(shù)仍是一個函數(shù)，
則函數(shù)的圖像與任一斜率為的直線均不能有兩個或兩個以上的交點.
對于，
設，
則，
則為上的單調遞減函數(shù)，即方程只有一解，
所以與只有一個交點，故符合題意，A正確；
對于，
設，
,
則在有零點，即方程不只有一解，
所以與多個交點，不符合題意，B錯誤；
對于，
設，
顯然為0,+∞上減函數(shù)，
當時，，
即所以與只有一個交點，故符合題意，C正確；
對于，設，
則，
顯然在和0,2上各有零點，
即所以與有多個交點，故不符合題意，D錯誤.
故選：AC.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知公比不為1的等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，則___________（結果用冪表示）
【答案】
【解析】已知成等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列性質可得.
因為，設等比數(shù)列的公比為（），則，.
將，，代入可得：
，
解得或（公比不為，舍去）.
由等比數(shù)列通項公式，則.
故答案為：.
13. 已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與圓相切于點，若，則雙曲線的漸近線方程為___________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，由切線性質，，，
所以，則，且，
由余弦定理得，
解得，又，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
14. 如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走d m到達B處，在B處測得山頂P的仰角為，則山高_________m.（結果用d、、、表示）
【答案】
【解析】設山高，則，延長交于，如圖，
則，
因此，，，
，
在中由正弦定理得，
所以，
故答案為：．
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某校為了解高三學生每天的作業(yè)完成時長，在該校高三學生中隨機選取了100人，對他們每天完成各科作業(yè)的總時長進行了調研，結果如下表所示：
用表格中頻率估計概率，且每個學生完成各科作業(yè)時互不影響.
（1）從該校高三學生中隨機選取1人，估計該生可以在3小時內完成各科作業(yè)的概率；
（2）從樣本“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內”的學生中隨機選取3人，其中共有人可以在2小時內完成各科作業(yè)，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）從該校高三學生（學生人數(shù)較多）中隨機選取3人，其中共有人可以在3小時內完成各科作業(yè)，求.
解：（1）設“從該校高三學生中隨機選取1人，這個學生可以在3小時內完成各科作業(yè)”為事件，
則.
（2）樣本中“完成各科作業(yè)的總時長在2.5小時內”的學生有（人），其中可以在2小時內完成的有3人，的所有可能取值為0，1，2，3.
，，，，
∴的分布列為：
∴.
（3）由題意得，，
∴.
16. 已知橢圓左?右焦點分別為，直線與交于兩點（點在軸上方），的面積是面積的2倍.
（1）求直線的方程；
（2）求.
解：（1）由得.
∵直線與交于兩點，
∴，解得.
設到的距離為，到的距離為，
由題意得，，則，
∴，解得或（舍），
∴直線的方程為.
（2）由題意得，.
設，則.
由得，解得，
∵點在第一象限，∴，，
∴.
在中，由余弦定理得，,
∴，∴，
∴，
∴，即.
17. 如圖，平面四邊形中，，，點為中點，于，將沿翻折至，使得.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
（1）證明：因為由翻折而成，且，
根據(jù)翻折的性質，翻折前后對應邊和對應角不變，所以.
已知，所以
因為，，所以，
又因為，即，，平面，
所以平面
（2）解：由（1）知平面，平面，所以，
又，.可求得.
又.則.則.
則兩兩垂直，可以建立空間直角坐標系
平面的法向量可取.
點中點，則，，
則.則，
則
點為中點，則，則.
設平面法向量為，
則，即，解得，故.
設平面與平面的夾角為，
則.
故平面與平面的夾角的余弦值為.
18. 已知函數(shù).
（1）證明曲線是軸對稱圖形；
（2）設函數(shù)，解不等式（是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）證明：由得或，
所以函數(shù)的定義域為，
因為，
，
所以，所以關于對稱，
即曲線是軸對稱圖形；
（2）解：因為，
則，
令，
則，
令，
則，所以在單調遞增，
所以，即，所以在單調遞增，
所以，即，所以在單調遞增，
又，
則，即，所以，
所以不等式的解集為.
19. 設為無窮數(shù)列，為正整數(shù)集的無限子集，且，則數(shù)列稱為數(shù)列的一個子列.
（1）請寫出一個無窮等差數(shù)列，其任意子列均為等比數(shù)列；
（2）設無窮數(shù)列為等差數(shù)列，，證明：的任意子列不是等比數(shù)列；
（3）對于公差不為零的無窮等差數(shù)列，試探究其任意子列不是等比數(shù)列的一個充分條件.
（1）解：既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列最簡單的是非0常數(shù)列，
如，它是等差數(shù)列，它的任意子列均為公比為1的等比數(shù)列；
（2）證明：若存在一個子列是等比數(shù)列，則中必存在某三項成等比數(shù)列，
下證的任意三項不能構成等比數(shù)列，
假設，其中且，
因為公差，所以，
從而，
整理得，
若，則，從而，與矛盾，
所以，
此時，（1）中左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，不可能相等，
所以假設不成立，故的任意三項不能構成等比數(shù)列，
從而的任意子列不是等比數(shù)列；
（3）解：若無窮等差數(shù)列的任意三項均不能構成等比數(shù)列，
則其任意子列必定不是等比數(shù)列，
設的公差為，則，下證“是無理數(shù)”為滿足題意的一個充分條件．
假設，其中且，
因為，
所以，
整理得，
若，則，從而，與矛盾，
所以，此時，有理數(shù)，
所以，當是無理數(shù)時，假設不成立，
從而的任意三項不能構成等比數(shù)列，
進而的任意子列不是等比數(shù)列，
故“是無理數(shù)”為“的任意子列不是等比數(shù)列”的一個充分條件．時長（小時）
人數(shù)（人）
3
4
33
42
18

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