一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1. 如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成四個(gè)扇形，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的概率為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】∵圓被等分成4份，其中紅色部分占1份，
∴落在紅色區(qū)域的概率=．
故選：A．
2. 將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得的新拋物線的表達(dá)式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：．
故選：D．
3.如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
4. 如圖，在小孔成像實(shí)驗(yàn)中，已知燃燒的蠟燭距小孔15厘米，光屏在距離小孔45厘米處，測得蠟燭的火焰高度為2厘米，則光屏上火焰所成像的高度為（ ）

A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米
【答案】B
【解析】如圖：

表示蠟燭火焰的高，表示蠟燭火焰所成像的高度，過O點(diǎn)作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，
∵，厘米，厘米，
∴，∴，
∵厘米，∴厘米，
∴光屏上火焰所成像的高度為6厘米．
故選：B．
5. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動(dòng)人民的智慧，圖1，點(diǎn)M表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】B
【解析】過點(diǎn)作半徑于，如圖，
∴，
在中， ，
∴，
∴筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為．
故選：B．
6. 從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加圖書節(jié)志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲同學(xué)是女生，乙、丙、丁同學(xué)都是男生，被抽到的2名同學(xué)都是男生的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

一共有12種情況，被抽到的2名同學(xué)都是男生的情況有6種，
，
故選：B．
7. 如圖，小明在時(shí)測得某樹的影長為，時(shí)又測得該樹的影長為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)題意做出示意圖，則，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（負(fù)值舍去）．
故選：B．
8. 潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面的點(diǎn)M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行到達(dá)點(diǎn)N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點(diǎn)在同一平面內(nèi)），則潮汐塔的高度為（ ）
（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，延長交于點(diǎn)C．
由題意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
故選B．
9. 如圖，四邊形內(nèi)接于交延長線于點(diǎn)，若平分，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接，
∵平分，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：．
10. 已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③（其中）；④若Ax1,y1和Bx2,y2均在該函數(shù)圖象上，且，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，
把，1,0代入，
可得：，解得，
∴，故②正確；
∵拋物線開口方向向下，
∴，
∴，，
∴，故①錯(cuò)誤；
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即（其中），故③正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線開口朝下，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
∵，
∴，故④錯(cuò)誤，
故選：B．
二、填空題（本題有6小題，每小題3分，共18分）
11. 為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植樹造林活動(dòng)，如圖，在坡度的山坡上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離為米，則斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為______米
【答案】
【解析】∵，為米，
∴，
∴，
故答案為：4．
12. 若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，則，，的大小關(guān)系是______
【答案】
【解析】由得圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線對(duì)稱，則，
∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，，
∴，
∴．
13. 如圖，中，，在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則等于_________________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
14. “服務(wù)社會(huì)，提升自我．”寧波市某學(xué)校積極開展志愿者服務(wù)活動(dòng)，來自九年級(jí)的3名同學(xué)（兩男一女）成立了“交通秩序維護(hù)”小分隊(duì)，若從該小分隊(duì)任選兩名同學(xué)進(jìn)行交通秩序維護(hù)，則恰是一男一女的概率是________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：
一共有6種情況，恰好是一男一女的有4種情況，
所以，恰好是一男一女的概率是．
15. 如圖，正五邊形內(nèi)接于，為上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），則______．

【答案】
【解析】如圖，連接，，

∵多邊形是正五邊形，
∴，
∴，
∴的度數(shù)為．
16. 如圖，正方形的邊長是3，，連接交于點(diǎn)O，并分別與邊交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：；；；當(dāng)時(shí)，，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_________
【答案】2
【解析】∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴，∴．
在與中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴=，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，故②錯(cuò)誤；
在與中，，
∴，
∴，
∴．
在與中，，
∴，
∴，
即，故③正確；
∵，
∴．
∵，
∴==，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故④錯(cuò)誤．
故答案為：2個(gè)．
三、解答題（本題有8小題，共72分，解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）
17. 第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年10月8日在杭州結(jié)束，如圖，有3張分別印有杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C蓮蓮．現(xiàn)將這3張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片，求下列事件發(fā)生的概率．

（1）第一次取出的卡片圖案為“B琮琮”的概率為______；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A宸宸”的概率．
解：（1）由題意得，第一次取出的卡片圖案為“琮琮”的概率為．
故答案為：．
（2）列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中取出的2張卡片中至少有1張圖案為“宸宸”的結(jié)果有：，，，，，共5種，
取出的2張卡片中至少有1張圖案為“宸宸”的概率為．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，．
（1）請(qǐng)畫出將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．
（2）在（1）的條件下，求扇形的面積（結(jié)果保留π）．
解：（1）如圖，即為所求；
（2）由題意可得，，，
∵，
∴．
19. 如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）當(dāng)AD＝2，AB＝3時(shí)，求AC的長．
（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴AC=(負(fù)值已舍)．
∴AC的長為．
20. 如圖1，是一款手機(jī)支架圖片，由底座、支撐板和托板構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長，支撐板長，底座長，托板AB連接在支撐板頂端點(diǎn)C處，且，托板可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板可繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖2，若．(參考數(shù)值，，)

（1）求點(diǎn)C到直線的距離(精確到0.1cm)；
（2）求點(diǎn)A到直線的距離(精確到0.1cm)．
解：（1）如圖2，過點(diǎn)C作，垂足為N

由題意可知，，
在中， ，
∴．
答：點(diǎn)C到直線的距離約為．
（2）如圖3，過A作，交的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作，垂足為F，

∴
在中，，，∴，
∴．
答：點(diǎn)A到直線的距離約為21.5cm．
21. 食品廠加工生產(chǎn)某規(guī)格的食品的成本價(jià)為30元/千克，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)出廠價(jià)定為48元/千克時(shí)，每天可銷售500千克，為增大市場占有率，在保準(zhǔn)盈利的情況下，工廠采取降價(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：出廠價(jià)每降低1元，每天可多銷售50千克．
（1）若出廠價(jià)降低2元，求該工廠銷售此規(guī)格的食品每天的利潤；
（2）求工廠銷售此規(guī)格的食品每天獲得的利潤W（元）與降價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，工廠銷售此食品每天獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？
解：（1）（元）
答：若出廠價(jià)降低2元，該工廠銷售此規(guī)格的食品每天的利潤為9600元；
（2）由題意可得：每千克利潤為：元，銷售數(shù)量為：千克，
∴；
（3）
∴當(dāng)時(shí)（符合實(shí)際），W取得最大值9800
∴當(dāng)降價(jià)4元時(shí)，工廠銷售此食品每天獲得的利潤最大，最大利潤為9800元.
22. 如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半徑；
（3）DF⊥AC于點(diǎn)F，試探究線段AF、DF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝
∴AD＝AM+DM＝，
∴AB＝AD＝
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)N，
∵四邊形DACB內(nèi)接于圓，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
23. 【問題背景】
水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當(dāng)作噴射劑．圖1是某學(xué)校興趣小組制做出的一款簡易彈射水火箭．
【實(shí)驗(yàn)操作】
為驗(yàn)證水火箭的一些性能，興趣小組同學(xué)通過測試收集了水火箭相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的水平距離（單位：）與飛行時(shí)間（單位：）的數(shù)據(jù)，并確定了函數(shù)表達(dá)式為：．同時(shí)也收集了飛行高度（單位：）與飛行時(shí)間（單位：）的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．?dāng)?shù)據(jù)如表所示：
【建立模型】
任務(wù)1：求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
【反思優(yōu)化】
圖2是興趣小組同學(xué)在室內(nèi)操場的水平地面上設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)（距離地面的高度為），當(dāng)彈射高度變化時(shí)，水火箭飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段為水火箭回收區(qū)域，已知，．
任務(wù)2：探究飛行距離，當(dāng)水火箭落地（高度為）時(shí)，求水火箭飛行的水平距離．
任務(wù)3：當(dāng)水火箭落到內(nèi)（包括端點(diǎn)，），求發(fā)射臺(tái)高度的取值范圍．
解：任務(wù)1：設(shè)函數(shù)表達(dá)式：，
將原點(diǎn)代入上式，解得：，則．
任務(wù)2：由，得，
將代入，得．
令，解得（舍去）或，
即水火箭飛行的水平距離為；
任務(wù)3：設(shè)發(fā)射臺(tái)彈射口高度為c，
則此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，
，解得，即，
故發(fā)射臺(tái)PQ高度范圍為．
24. 綜合探究
在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接，和，設(shè)．
（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，請(qǐng)求出k值，并給予證明；
（2）當(dāng)時(shí)：
①如圖2，（1）中的k值是否發(fā)生變化，如無變化，請(qǐng)給予證明；如有變化，請(qǐng)求出k值并說明理由；
②如圖3，當(dāng)D，E，C三點(diǎn)共線，且E為中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出的值．
解：（1），
理由如下：如圖1，∵，，，
∴和都是等邊三角形，
∴，，，∴，
在和中，，
∴，∴，即；
（2）①k值發(fā)生變化，，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，∴，
∴，即，∴；
②作于F，設(shè)，則，
∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，
由勾股定理得，，
∵，，∴，
∴，即，解得，
∴，則．
飛行時(shí)間
0
2
4
6
8
…
飛行高度
0
10
16
18
16
…

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