本試卷共 4 頁，19 題.全卷滿分 150 分.考試用時 120 分鐘.
注意事項(xiàng):
1. 答題前，先將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置.
2. 作答選擇題時，選出每小題答案后，用 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.不能答在本試卷上，否則無效.
3. 非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在非答題區(qū)域無效.
4. 考試結(jié)束后，只交答題卡.
一、選擇題:本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知 和 都是單位向量，若 在 上的投影向量為 ，則 （ ）
A. B. C. D. 3
4. 已知等比數(shù)列，則（ ）
A 3B. ±3C. 3D.
5. 已知點(diǎn)、在圓上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知，隨機(jī)變量，若 ，則的值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知都是定義在上的函數(shù)，對任意滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A
B. 若，則
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D
二、選擇題:本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符 合題目要求. 全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)說法中正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，8，9，11的第 75 百分位數(shù)是 7
B. 由兩個分類變量 的成對樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到 ，依據(jù) 的獨(dú)立性檢驗(yàn) ，可判斷 獨(dú)立
C. 經(jīng)驗(yàn)回歸方程 相對于點(diǎn)的殘差為
D. 若一組樣本數(shù)據(jù) 的對應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為
10. 設(shè)函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng) 時， 在點(diǎn) 處的切線方程為 y=-1
B. 當(dāng) 時， 有三個零點(diǎn)
C. 若 有兩個極值點(diǎn)，則
D. 若 在 上有解，則正實(shí)數(shù) 的取值范圍為
11. 如圖所示，棱長為的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的倍
B. 若點(diǎn)平面，且與所成角是，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支
C. 三棱錐的外接球的表面積為
D. 若線段 ，則的最小值是
三、填空題:本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時， _____.
13. 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，若，且 ，則雙曲線的漸近線方程為_____.
14. 甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.8，乙每次投籃的命中率均為0.6 . 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、 乙的概率各為0.5 . 則第次投籃的人是甲的概率是_____.
四、解答題:本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象.
（1）求函數(shù)解析式；
（2）設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且b=4，求面積的最大值.
16. 如圖，在四棱錐中，平面平面，
.
（1）求證:平面平面；
（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為? 若存在，求出的值; 若不存在，請說明理由.
17. 已知圓 和定點(diǎn) 為圓 上的任意一點(diǎn)，線段 的垂直平分線與直線 交于點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) 的軌跡為曲線 .
（1）求曲線 的方程；
（2）已知點(diǎn) 是曲線 上位于 軸上方的兩個不同點(diǎn)，且滿足 ，求四邊形 面積的取值范圍.
18. 已知函數(shù) ，其中 為自然對數(shù)底數(shù).
（1）當(dāng) a=2 時，求 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程 有兩個不同的實(shí)根 .
(i)求 的取值范圍；
(ii) 證明: .
19. 因受到中國八卦圖和《周易》陰陽理論的啟發(fā)，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出二進(jìn)制記數(shù)法. 用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字 0 和 1，對于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如: 自然數(shù) 1 在二進(jìn)制中就表示為 表示為 表示為 表示為 . 發(fā)現(xiàn)若 可表示為二進(jìn)制表達(dá)式 ，則 ，其中 或 .
（1）記 ，求證:
（2）記 為整數(shù) 的二進(jìn)制表達(dá)式中的 0 的個數(shù)，如 ，
(i)求 的值；
(ii) 求 的值.
廊坊市2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高三數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. A
7. A
8. B
二、選擇題
9. BCD
10. ACD
11. ACD
三、填空題
12.
13.
14.
四、解答題
15. （1）依題意，.
所以.
（2）由（1）知，解得，
在銳角中，，即，則，解得，
由余弦定理得，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，于是，
所以面積的最大值為.
16.（1）在四棱錐中，由平面平面，平面平面，
，平面，得平面，而平面，則，
又，且，平面，于是平面，而平面，
所以平面平面.
（2）假定在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，
取中點(diǎn)為，連接，由，得，
由平面平面，且平面平面，平面，
得平面，而平面，則，由，得，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

顯然，，
則，
，，
設(shè)，，則，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
整理得，而，解得，即，
所以在棱上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，.
17.（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得，故，
因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓,且，故，
故橢圓方程.
（2）不妨設(shè)直線方程為，分別延長,與橢圓相交于另一點(diǎn)，，連接,
由于，根據(jù)橢圓的對稱性可知四邊形為平行四邊形，
聯(lián)立得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，
故
，
點(diǎn)到直線的距離為，
因此，
令，則，，
故，
由于，故單調(diào)遞增，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故，
因此，
由于是平行四邊形對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)，因此四邊形與四邊形全等，
故,因此.
18.（1）a=2 時，，則，
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，
故 的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞
（2）(i)令，則，
由（1）知函數(shù)在0,1單調(diào)遞增，在1,+∞單調(diào)遞減，
故的極大值為，且當(dāng)時，gx>0，，
因此的大致圖象如下：
要使方程 有兩個不同實(shí)根 ，則的圖象與直線有兩個不相同的交點(diǎn)，
故
(ii)不妨設(shè)，，
則，
故當(dāng)單調(diào)遞增，
又故，則，
又，故，
由于，在1,+∞單調(diào)遞減，
故，因此，
故，得證.
19.（1）根據(jù)題意有
，
，
，
，
；
（2）（ⅰ），
，
（ⅱ），
，故從到中，
有、、、共9個，
有個，由，即共有個
有個，由，即共有個
……，
有個，
.

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